2024屆杭州市二中高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)檢測考試卷附答案解析

屆杭州市二中高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)檢測考試卷2024.02一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列滿足，則的值為A．2 B．4 C． D．63．函數(shù)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．4．已知，則是的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．6．的展開式中，的系數(shù)為（

）A．60 B． C．120 D．7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)在橢圓C上，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．設(shè)為互不重合的平面，為互不重合的直線，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則10．有一組互不相等的樣本數(shù)據(jù)，平均數(shù)為.若隨機(jī)剔除其中一個(gè)數(shù)據(jù)，得到一組新數(shù)據(jù)，記為，平均數(shù)為，則（

）A．新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差B．新數(shù)據(jù)的中位數(shù)不可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)C．若，則新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差D．若，則新數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)一定大于原數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)11．記函數(shù)的最小正周期為，若，且在上的最大值與最小值的差為3，則（

）A． B．C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．直線是曲線的切線三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知函數(shù)．則；若，則實(shí)數(shù)m的值為．13．設(shè)是復(fù)數(shù)，已知，，，則．14．如圖，已知，，為邊上的兩點(diǎn)，且滿足，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的面積等于.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，，．(1)求證：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.16．設(shè)函數(shù)的圖像為曲線，過原點(diǎn)且斜率為的直線為.設(shè)與除點(diǎn)外，還有另外兩個(gè)交點(diǎn)，（可以重合），記.(1)求的解析式；(2)求的單調(diào)區(qū)間.17．“英才計(jì)劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科夏令營活動(dòng).(1)若數(shù)學(xué)組的7名學(xué)員中恰有3人來自中學(xué)，從這7名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來自中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學(xué)科知識競答活動(dòng)，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利.已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，.假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，且互不影響.當(dāng)時(shí)，求甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值.18．已知拋物線的焦點(diǎn)為.設(shè)（其中，）為拋物線上一點(diǎn).過作拋物線的兩條切線，，，為切點(diǎn).射線交拋物線于另一點(diǎn).(1)若，求直線的方程；(2)求四邊形面積的最小值.19．設(shè)整數(shù)滿足，集合.從中選取個(gè)不同的元素并取它們的乘積，這樣的乘積有個(gè)，設(shè)它們的和為.例如.(1)若，求；(2)記.求和的整式表達(dá)式；(3)用含，的式子來表示.1．C【分析】先根據(jù)集合的定義和集合中元素的互異性寫出集合，然后根據(jù)真子集的性質(zhì)求解.【詳解】依題意，集合中有個(gè)元素，則其真子集的個(gè)數(shù)有個(gè).故選：C2．B【分析】根據(jù)題意和等比數(shù)列的性質(zhì)求出，結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，∴，即，解得，又∵，，故可得，故選：B3．D【分析】利用函數(shù)的定義域、奇偶性、函數(shù)值分析運(yùn)算判斷即可得解.【詳解】解：設(shè)，定義域?yàn)?，則有，所以函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，故選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；綜上知，選項(xiàng)D正確.故選：D.4．B【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，成立，當(dāng)成立時(shí)，如取，此時(shí)不成立，所以是的充分不必要條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的定義，考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5．C【分析】將化為同底的對數(shù)形式，根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知；利用可得，由此可得結(jié)論.【詳解】，，又，；，，又，；綜上所述：.故選：C.6．A【分析】設(shè)的通項(xiàng)為，設(shè)的通項(xiàng)為,即得解.【詳解】解：設(shè)的通項(xiàng)為，設(shè)的通項(xiàng)為，令所以的系數(shù)為.故選：A7．B【分析】設(shè)關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)為，根據(jù)題意可得三點(diǎn)共線，設(shè)，則，在中，分別求得，再利用余弦定理可得的齊次式，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)為，則三點(diǎn)共線，設(shè)，則，又，所以為等邊三角形，所以，又，所以，在中，由余弦定理可得：，即，所以，所以.故選：B.8．D【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式及已知有，再由及差角余弦公式得，最后由和角正弦公式有，即可求結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，結(jié)合題設(shè)，所以，而，所以，即，所以，所以.故選：D9．AB【分析】把幾何語言轉(zhuǎn)化問文字語言，想象空間模型，得出結(jié)論.【詳解】對A：平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行，正確；對B：兩個(gè)平面的交線垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面.根據(jù)面面垂直的判定定理，該結(jié)論正確；對C：和兩條平行直線分別平行的兩個(gè)平面相交或平行，故C錯(cuò)誤；對D：垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交.故D錯(cuò)誤.故選：AB10．ABC【分析】根據(jù)極差、中位數(shù)、方差、百分位數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】不妨設(shè)原數(shù)據(jù)，新數(shù)據(jù)，A：例如原數(shù)據(jù)為，新數(shù)據(jù)為，此時(shí)極差均為，故A正確；B：原數(shù)據(jù)中位數(shù)為，新數(shù)據(jù)中位數(shù)為，可知或，若，可得；若，可得；綜上所述：新數(shù)據(jù)的中位數(shù)不可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故B正確；C：若，可知去掉的數(shù)據(jù)為，則，可得，所以新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差，故C正確；D：若，可知去掉的數(shù)據(jù)為，因?yàn)?，可知原?shù)據(jù)的分位數(shù)為第3位數(shù)，，可知新數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第2位數(shù)與第3位數(shù)的平均數(shù)，例如原數(shù)據(jù)為，新數(shù)據(jù)為，此時(shí)新數(shù)據(jù)的分位數(shù)、原數(shù)據(jù)的分位數(shù)均為3，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11．BD【分析】根據(jù)題意，先由函數(shù)周期以及可得，再由條件可得的值，即可得到，然后對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由，又，可得，又，則，即，若在上單調(diào)，則，即，令，則，即在上單調(diào)遞減，即，即，此時(shí)，此時(shí)，不符合題意，所以在上不單調(diào)，即在上不單調(diào)，又，即，即，即，，若，此時(shí)，符合題意；若，此時(shí)，不符合題意；綜上可得，，即，對于A，，故錯(cuò)誤；對于B，，，故B正確；對于C，當(dāng)，則，且在上先遞減后遞增，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，所以，，可得是在處的切線，故D正確；故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)最值之差求出的值，需要對該區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，從而確定函數(shù)解析式，再一一分析選項(xiàng)即可.12．或【分析】第一空，直接代入即可求解；第二空，對參數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)解析式和函數(shù)值，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，解得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，解得，滿足題意；綜上：的值為或.故答案為：；或.13．【分析】設(shè)，，根據(jù)復(fù)數(shù)模長運(yùn)算，利用可求得，進(jìn)而可得，由此可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，，，，，，.故答案為：.14．##【分析】由題設(shè)足，考慮三角形的面積之比，將其化簡得，借助于余弦定理和基本不等式求得的最大值和此時(shí)的三角形邊長，由面積公式即可求得.【詳解】如圖，不妨設(shè),分別記的面積為,則①②由①，②兩式左右分別相乘，可得：,故得：.設(shè)，在中，由余弦定理，，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，此時(shí)，因，故，取得最大值，此時(shí)的面積等于.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對條件等式的轉(zhuǎn)化，本題中，注意到有角的相等和邊長乘積的比，結(jié)合圖形容易看出幾個(gè)等高的三角形，故考慮從面積的比入手探究，即得關(guān)鍵性結(jié)論，之后易于想到余弦定理和基本不等式求出邊長和角即得.15．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，利用線面垂直的判定定理證得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）由(1)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法分別求出平面、平面的法向量，結(jié)合空間向量的數(shù)量積定義計(jì)算即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问沁呴L為的菱形，所以，因?yàn)?所以是等邊三角形，所以,因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫唬?）因?yàn)?，所以，由?）知，平面平面，而平面平面，平面，所以平面，所以直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，由，取，得，設(shè)平面的法向量為，由，取，得，所以，由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.16．(1)(2)在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增.【分析】（1）根據(jù)題意，將直線與函數(shù)聯(lián)立，可得方程有2個(gè)不同的實(shí)根，結(jié)合向量的模長公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分與討論，然后分別求導(dǎo)得，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)直線，聯(lián)立，可得或，即方程有2個(gè)不同的實(shí)根，且，即，化簡可得，由韋達(dá)定理可得，設(shè)，則，所以，（2）當(dāng)時(shí)，，則，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，.所以在，單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；綜上所述，在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增.17．(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）利用超幾何分布，求出分布列和期望，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)甲、乙答對題數(shù)為二項(xiàng)分布及獨(dú)立事件的概率求出每輪答題中取得勝利的概率，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，的可能取值有0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：0123P.（2）因?yàn)榧住⒁覂扇嗣看未痤}相互獨(dú)立，設(shè)甲答對題數(shù)為，則，設(shè)乙答對題數(shù)為，則，設(shè)“甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝”,則由，又，所以，則，又，所以，設(shè)，所以，由二次函數(shù)可知當(dāng)時(shí)取最大值，所以甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值為.18．(1)(2)16【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，由點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足切線方程得直線的方程；（2）設(shè)直線的方程，表示出弦長，再求A、B到直線的距離，表示出四邊形面積，利用韋達(dá)定理化簡，由基本不等式求最小值.【詳解】（1）設(shè)，，由題得，拋物線，即，則，所以拋物線在點(diǎn)處切線的斜率為，則切線的方程為，整理得，同理，的方程為，又在上，有，所以直線方程為.（2）設(shè)，，，聯(lián)立，消去整理得，，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，聯(lián)立，得，，（其中），，又，代入上式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值，所以四邊形面積的最小值為16.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線與拋物線的問題時(shí)，通常把兩個(gè)方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．19．(1)(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)題意，直接代入計(jì)算，即可得到