四川省眉山市2023屆高三數(shù)學(xué)一輪講義8分段函數(shù)

Page14分段函數(shù)一分段函數(shù)的定義：若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．二分段函數(shù)的性質(zhì)1.分段函數(shù)的定義域：分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集。例．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)___________.2.分段函數(shù)的值域：分段函數(shù)的值域等于各段函數(shù)的值域的并集。例.已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的值域?yàn)椤?.分段函數(shù)的圖像：在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出各段函數(shù)的圖像即可。注意：分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．例.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是________.三典例分析1.分段函數(shù)的值域或最值例1.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－2a）x＋3a，x<1，,2x－1，x≥1))的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.例2．【2022年北京】設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為_(kāi)_______；a的最大值為_(kāi)__________．例3．【2022年浙江】已知函數(shù)則________；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是_________．2.分段函數(shù)的求值題型一：求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值。例1．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0，,10x，x≤0，))則f(f(－2))＝_______.例2．【2021·浙江高考真題】已知，函數(shù)若，則___________.例3．設(shè)函數(shù)，則（）A．9 B．11C．13 D．15例4.(2015·浙江)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lg(x2＋1)，x<1，))則f[f(－3)]＝________，f(x)的最小值是________.例5.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋log2（2－x），x<1，,2x－1，x≥1，))則f(－2)＋f(log212)＝()A.3 B.6 C.9 D.12題型2：當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍。例1.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0，,|log2x|，x>0，))則使f(x)＝eq\f(1,2)的x的集合為_(kāi)_______.例2.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－b，x<1，,2x，x≥1.))若f[f(eq\f(5,6))]＝4，則b＝()A.1 B.eq\f(7,8) C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,2)例3.已知函數(shù)，且，則（）A.B.C.D.3.分段函數(shù)與不等式已知函數(shù)的取值范圍求自變量的范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.例1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2ax，x≥2，,2x＋1，x＜2，))若f(f(1))>3a2，則a的取值范圍是________．例2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0,1，x<0))，則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范圍是________．例3.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2ex－1，x<1，,x3＋x，x≥1，))則f[f(x)]<2的解集是________.例4．(2017·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是_________。例5.(2018·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0.))則滿足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范圍是()A.(－∞，－1] B.(0，＋∞)C.(－1，0) D.(－∞，0)例6.(13年全國(guó)卷I）、已知函數(shù)=，若||≥，則的取值范圍是...[-2,1].[-2,0]4.分段函數(shù)與方程例1.已知。則f(－eq\f(3,2))的值為；若f(a)＝4且a>0，則實(shí)數(shù)a的值為．例2.已知實(shí)數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x<1，,－x－2a，x≥1，))若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為_(kāi)_______________．例3．1.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x＞0，,x＋1，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，則實(shí)數(shù)a的值等于()A．－3 B．－1C．1 D．32.(2015·山東)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1，x＜1，,2x，x≥1，))則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是()A.[eq\f(2,3),1]B．[0,1]C.[eq\f(2,3),＋∞) D．[1,＋∞)5.分段函數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)例1．若函數(shù)y＝|2x－1|，在(－∞，m]上單調(diào)遞減，則m的取值范圍是________．例2．函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)減區(qū)間是()A．[1,2]B．[－1,0]C．(0,2] D．[2，＋∞)例3．設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x－a|，若對(duì)?x1，x2∈[3，＋∞)，x1≠x2，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－3] B．[－3,0)C．(－∞，3] D．(0,3]分段函數(shù)一分段函數(shù)的定義：若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．二分段函數(shù)的性質(zhì)1.分段函數(shù)的定義域：分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集。例．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)___________.答案：2.分段函數(shù)的值域：分段函數(shù)的值域等于各段函數(shù)的值域的并集。例.已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的值域?yàn)?。答案?.分段函數(shù)的圖像：在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出各段函數(shù)的圖像即可。注意：分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．例.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是________.答案[0，1)解析由題意知g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2（x>1），,0（x＝1），,－x2（x<1），))函數(shù)的圖象如圖所示的實(shí)線部分，根據(jù)圖象，g(x)的遞減區(qū)間是[0，1).三典例分析1.分段函數(shù)的值域或最值例1.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－2a）x＋3a，x<1，,2x－1，x≥1))的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝2x－1≥1，∵函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－2a）x＋3a，x<1，,2x－1，x≥1))的值域?yàn)镽，∴當(dāng)x<1時(shí)，(1－2a)x＋3a必須取遍(－∞，1)內(nèi)的所有實(shí)數(shù)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2a>0，,1－2a＋3a≥1，))解得0≤a<eq\f(1,2).例2．【2022年北京】設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為_(kāi)_______；a的最大值為_(kāi)__________．答案：

0（答案不唯一）

1解析：若時(shí)，，∴；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒(méi)有最小值，不符合題目要求；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，∴或，解得，綜上可得；故答案為：0（答案不唯一），1例3．【2022年浙江】已知函數(shù)則________；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是_________．答案：

##解析：由已知，，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，等價(jià)于，所以，所以的最大值為.故答案為：，.2.分段函數(shù)的求值題型一：求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值。例1．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0，,10x，x≤0，))則f(f(－2))＝_______.答案：-2例2．【2021·浙江高考真題】已知，函數(shù)若，則___________.答案：2解析：，故，故答案為：2.例3．設(shè)函數(shù)，則（）A．9 B．11C．13 D．15答案：B解析:∵函數(shù)，∴=2+9=11．故選B．例4.(2015·浙江)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lg(x2＋1)，x<1，))則f[f(－3)]＝________，f(x)的最小值是________.答案：0，2eq\r(2)－3.解析：∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg10＝1，∴f[f(－3)]＝f(1)＝0，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(2,x)－3≥2eq\r(2)－3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(2)時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)f(x)min＝2eq\r(2)－3<0；當(dāng)x<1時(shí)，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg1＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)f(x)min＝0.∴f(x)的最小值為2eq\r(2)－3.例5.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋log2（2－x），x<1，,2x－1，x≥1，))則f(－2)＋f(log212)＝()A.3 B.6 C.9 D.12答案C解析根據(jù)分段函數(shù)的意義，f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3.又log212>1，∴f(log212)＝2(log212)－1＝2log26＝6，因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.題型2：當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍。例1.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0，,|log2x|，x>0，))則使f(x)＝eq\f(1,2)的x的集合為_(kāi)_______.答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\r(2)，\f(\r(2),2)))解析由題意知，若x≤0，則2x＝eq\f(1,2)，解得x＝－1；若x>0，則|log2x|＝eq\f(1,2)，解得x＝2eq\s\up6(\f(1,2))或x＝2－eq\f(1,2).故x的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\r(2)，\f(\r(2),2))).例2.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－b，x<1，,2x，x≥1.))若f[f(eq\f(5,6))]＝4，則b＝()A.1 B.eq\f(7,8) C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,2)答案：D解析：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))＝3×eq\f(5,6)－b＝eq\f(5,2)－b，若eq\f(5,2)－b<1，即b>eq\f(3,2)時(shí)，則feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－b))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－b))－b＝4，解得b＝eq\f(7,8)，不合題意舍去.若eq\f(5,2)－b≥1，即b≤eq\f(3,2)，則2eq\s\up6(\f(5,2))－b＝4，解得b＝eq\f(1,2).例3.(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ文科·T10)已知函數(shù)，且，則（）A.B.C.D.答案：選A.【解析】當(dāng)時(shí)不符合題意，所以，即，解得，所以.3.分段函數(shù)與不等式已知函數(shù)的取值范圍求自變量的范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.例1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2ax，x≥2，,2x＋1，x＜2，))若f(f(1))>3a2，則a的取值范圍是________．答案：例2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0,1，x<0))，則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范圍是________．答案(－1，eq\r(2)－1)解析由題意f(1－x2)>f(2x)等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2>0,1－x2>2x))，∴不等式的解集為(－1，eq\r(2)－1)．例3.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2ex－1，x<1，,x3＋x，x≥1，))則f[f(x)]<2的解集是________.答案(－∞，1－ln2)解析當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝x3＋x≥2，則f[f(x)]<2解集為?.當(dāng)x<1時(shí)，f(x)＝2ex－1<2.所以f[f(x)]<2等價(jià)于f(x)<1，則2ex－1<1，得x<1－ln2.故f[f(x)]<2的解集為(－∞，1－ln2).例4．(2017·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是_________。答案：解析：令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，例5.(2018·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0.))則滿足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范圍是()A.(－∞，－1] B.(0，＋∞)C.(－1，0) D.(－∞，0)答案D解析當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝2－x是減函數(shù)，則f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1<0，,2x<0，,2x<x＋1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2x<0，))解得x<－1或－1≤x<0，即x<0.例6.(13年全國(guó)卷I）、已知函數(shù)=，若||≥，則的取值范圍是...[-2,1].[-2,0]答案：選D.解析：∵||=，∴由||≥得，且，由可得，則≥-2，排除Ａ，Ｂ，當(dāng)=1時(shí)，易證對(duì)恒成立，故=1不適合，排除C，故選D.4.分段函數(shù)與方程例1.已知。則f(－eq\f(3,2))的值為；若f(a)＝4且a>0，則實(shí)數(shù)a的值為．答案：2，a＝eq\f(3,2)或a＝eq\r(5).解析：(1)由題意，得f(－eq\f(3,2))＝f(－eq\f(3,2)＋1)＝f(－eq\f(1,2))＝f(－eq\f(1,2)＋1)＝f(eq\f(1,2))＝2×eq\f(1,2)＋1＝2.(2)當(dāng)0<a<2時(shí)，由f(a)＝2a＋1＝4，得a＝eq\f(3,2)，當(dāng)a≥2時(shí)，由f(a)＝a2－1＝4，得a＝eq\r(5)或a＝－eq\r(5)(舍去)，綜上所述，a＝eq\f(3,2)或a＝eq\r(5).例2.已知實(shí)數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x<1，,－x－2a，x≥1，))若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為_(kāi)_______________．答案：－eq\f(3,4)解析當(dāng)a>0時(shí)，1－a<1,1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－eq\f(3,2)，不合題意．當(dāng)a<0時(shí)，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－eq\f(3,4)，符合題意．例3．1.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x＞0，,x＋1，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，則實(shí)數(shù)a的值等于()A．－3 B．－1C．1 D．3答案：A2.(2015·山東)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1，x＜1，,2x，x≥1，))則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是()A.[eq