初中數(shù)學(xué)圓的專題訓(xùn)練

圓的專題訓(xùn)練初中數(shù)學(xué)組卷一．選擇題（共15小題）1．如圖，⊙O的半徑為4，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，連接OB、OC．若∠BAC與∠BOC互補，則弦BC的長為（）A．3 B．4 C．5 D．62．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，∠CDB=30°，⊙O的半徑為5cm，則圓心O到弦CD的距離為（）A．cm B．3cm C．3cm D．6cm3．如圖，AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，則陰影部分的面積為（）A． B．π C．2π D．4π4．如圖，已知AB是⊙O的直徑，∠D=40°，則∠CAB的度數(shù)為（）A．20° B．40° C．50° D．70°5．如圖，半徑為3的⊙A經(jīng)過原點O和點C（0，2），B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點，則tan∠OBC為（）A． B．2 C． D．6．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，則S陰影=（）A．2π B．π C．π D．π7．如圖，⊙O中，弦AB與CD交于點M，∠A=45°，∠AMD=75°，則∠B的度數(shù)是（）A．15° B．25° C．30° D．75°8．如圖，點A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，則∠B=（）A．100° B．72° C．64° D．36°9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P與x軸相切，與y軸相交于A（0，2），B（0，8），則圓心P的坐標(biāo)是（）A．（5，3） B．（5，4） C．（3，5） D．（4，5）10．如圖，正方形ABCD的邊AB=1，和都是以1為半徑的圓弧，則無陰影兩部分的面積之差是（）A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣11．如圖，△ABC內(nèi)接于半徑為5的⊙O，圓心O到弦BC的距離等于3，則∠A的正切值等于（）A． B． C． D．12．如圖所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A與BC相切于點D，陰影部分的面積為（）A． B． C． D．13．如圖，某工件形狀如圖所示，等腰Rt△ABC中斜邊AB=4，點O是AB的中點，以O(shè)為圓心的圓分別與兩腰相切于點D、E，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．2﹣π14．若圓錐經(jīng)過軸的截面是一個正三角形，則它的側(cè)面積與底面積之比是（）A．3：2 B．3：1 C．5：3 D．2：115．如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓上一點，且為半圓的．設(shè)扇形AOC、△COB、弓形BmC的面積分別為S1、S2、S3，則下列結(jié)論正確的是（）A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1二．解答題（共10小題）16．已知AB是半徑為1的圓O直徑，C是圓上一點，D是BC延長線上一點，過點D的直線交AC于E點，且△AEF為等邊三角形（1）求證：△DFB是等腰三角形；（2）若DA=AF，求證：CF⊥AB．17．已知△ABC，以AB為直徑的⊙O分別交AC于D，BC于E，連接ED，若ED=EC．（1）求證：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的長．18．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，M為中點，連接BM，CM．（1）求證：BM=CM；（2）當(dāng)⊙O的半徑為2時，求的長．19．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC為直徑，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延長線于點E．（1）求證：∠1=∠BAD；（2）求證：BE是⊙O的切線．20．如圖，⊙O的直徑為AB，點C在圓周上（異于A，B），AD⊥CD．（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分線，求證：直線CD是⊙O的切線．21．如圖，直角△ABC內(nèi)接于⊙O，點D是直角△ABC斜邊AB上的一點，過點D作AB的垂線交AC于E，過點C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延長線于點P，連結(jié)PO交⊙O于點F．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若PC=3，PF=1，求AB的長．22．如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF=∠CAB．（1）求證：直線BF是⊙O的切線；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長．23．如圖，AB是⊙O的直徑，點F、C在⊙O上且，連接AC、AF，過點C作CD⊥AF交AF的延長線于點D．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若，CD=4，求⊙O的半徑．24．如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD．（1）請證明：E是OB的中點；（2）若AB=8，求CD的長．25．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，且CD=24，點M在⊙O上，MD經(jīng)過圓心O，聯(lián)結(jié)MB．（1）若BE=8，求⊙O的半徑；（2）若∠DMB=∠D，求線段OE的長．

圓的專題訓(xùn)練初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題（共15小題）1．（2016?陜西）如圖，⊙O的半徑為4，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，連接OB、OC．若∠BAC與∠BOC互補，則弦BC的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】首先過點O作OD⊥BC于D，由垂徑定理可得BC=2BD，又由圓周角定理，可求得∠BOC的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得∠OBC的度數(shù)，利用余弦函數(shù)，即可求得答案．【解答】解：過點O作OD⊥BC于D，則BC=2BD，∵△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC與∠BOC互補，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=（180°﹣∠BOC）=30°，∵⊙O的半徑為4，∴BD=OB?cos∠OBC=4×=2，∴BC=4．故選：B．【點評】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．（2016?黔南州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，∠CDB=30°，⊙O的半徑為5cm，則圓心O到弦CD的距離為（）A．cm B．3cm C．3cm D．6cm【分析】根據(jù)垂徑定理知圓心O到弦CD的距離為OE；由圓周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半徑OC的長，即可在Rt△OCE中求OE的長度．【解答】解：連接CB．∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，∴圓心O到弦CD的距離為OE；∵∠COB=2∠CDB（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），∠CDB=30°，∴∠COB=60°；在Rt△OCE中，OC=5cm，OE=OC?cos∠COB，∴OE=cm．故選A．【點評】本題考查了垂徑定理、圓周角定理及解直角三角形的綜合應(yīng)用．解答這類題一些學(xué)生不會綜合運用所學(xué)知識解答問題，不知從何處入手造成錯解．3．（2016?通遼）如圖，AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，則陰影部分的面積為（）A． B．π C．2π D．4π【分析】連接OD，則根據(jù)垂徑定理可得出CE=DE，繼而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBD的面積，代入扇形的面積公式求解即可．【解答】解：連接OD．∵CD⊥AB，∴CE=DE=CD=，故S△OCE=S△ODE，即可得陰影部分的面積等于扇形OBD的面積，又∵∠ABD=60°，∴∠CDB=30°，∴∠COB=60°，∴OC=2，∴S扇形OBD==，即陰影部分的面積為．故選A．【點評】本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．4．（2016?婁底）如圖，已知AB是⊙O的直徑，∠D=40°，則∠CAB的度數(shù)為（）A．20° B．40° C．50° D．70°【分析】先根據(jù)圓周角定理求出∠B及∠ACB的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠D=40°，∴∠B=∠D=40°．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣40°=50°．故選C．【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．5．（2016?達(dá)州）如圖，半徑為3的⊙A經(jīng)過原點O和點C（0，2），B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點，則tan∠OBC為（）A． B．2 C． D．【分析】作直徑CD，根據(jù)勾股定理求出OD，根據(jù)正切的定義求出tan∠CDO，根據(jù)圓周角定理得到∠OBC=∠CDO，等量代換即可．【解答】解：作直徑CD，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，則OD==4，tan∠CDO==，由圓周角定理得，∠OBC=∠CDO，則tan∠OBC=，故選：C．【點評】本題考查的是圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2016?廣安）如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，則S陰影=（）A．2π B．π C．π D．π【分析】根據(jù)垂徑定理求得CE=ED=2，然后由圓周角定理知∠DOE=60°，然后通過解直角三角形求得線段OD、OE的長度，最后將相關(guān)線段的長度代入S陰影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．【解答】解：如圖，假設(shè)線段CD、AB交于點E，∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴CE=ED=2，又∵∠BCD=30°，∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，∴OE=DE?cot60°=2×=2，OD=2OE=4，∴S陰影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BE?CE=﹣2+2=．故選B．【點評】考查了垂徑定理、扇形面積的計算，通過解直角三角形得到相關(guān)線段的長度是解答本題的關(guān)鍵．7．（2016?自貢）如圖，⊙O中，弦AB與CD交于點M，∠A=45°，∠AMD=75°，則∠B的度數(shù)是（）A．15° B．25° C．30° D．75°【分析】由三角形外角定理求得∠C的度數(shù)，再由圓周角定理可求∠B的度數(shù)．【解答】解：∵∠A=45°，∠AMD=75°，∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°，∴∠B=∠C=30°，故選C．【點評】本題主要考查了三角形的外角定理，圓周角定理，熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵．8．（2016?畢節(jié)市）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，則∠B=（）A．100° B．72° C．64° D．36°【分析】連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAC=∠C=28°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：連接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=28°，∴∠OAB=64°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=64°，故選：C．【點評】本題考查的是圓周角定理，掌握圓的半徑相等、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2016?河池）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P與x軸相切，與y軸相交于A（0，2），B（0，8），則圓心P的坐標(biāo)是（）A．（5，3） B．（5，4） C．（3，5） D．（4，5）【分析】過P作PC⊥AB于點C，過P作PD⊥x軸于點D，由切線的性質(zhì)可求得PD的長，則可得PB的長，由垂徑定理可求得CB的長，在Rt△PBC中，由勾股定理可求得PC的長，從而可求得P點坐標(biāo)．【解答】解：如圖，過P作PC⊥AB于點C，過P作PD⊥x軸于點D，連接PB，∵P為圓心，∴AC=BC，∵A（0，2），B（0，8），∴AB=8﹣2=6，∴AC=BC=3，∴OC=8﹣3=5，∵⊙P與x軸相切，∴PD=PB=OC=5，在Rt△PBC中，由勾股定理可得PC===4，∴P點坐標(biāo)為（4，5），故選D．【點評】本題主要考查切線的性質(zhì)和垂徑定理，利用切線的性質(zhì)求得圓的半徑是解題的關(guān)鍵．10．（2015?黃岡中學(xué)自主招生）如圖，正方形ABCD的邊AB=1，和都是以1為半徑的圓弧，則無陰影兩部分的面積之差是（）A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣【分析】圖中1、2、3、4圖形的面積和為正方形的面積，1、2和兩個3的面積和是兩個扇形的面積，因此兩個扇形的面積的和﹣正方形的面積=無陰影兩部分的面積之差，即﹣1=．【解答】解：如圖：正方形的面積=S1+S2+S3+S4；①兩個扇形的面積=2S3+S1+S2；②②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．故選：A．【點評】本題主要考查了扇形的面積計算公式及不規(guī)則圖形的面積計算方法．找出正方形內(nèi)四個圖形面積之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．11．（2014?鎮(zhèn)江）如圖，△ABC內(nèi)接于半徑為5的⊙O，圓心O到弦BC的距離等于3，則∠A的正切值等于（）A． B． C． D．【分析】過點O作OD⊥BC，垂足為D，根據(jù)圓周角定理可得出∠BOD=∠A，再根據(jù)勾股定理可求得BD=4，從而得出∠A的正切值．【解答】解：過點O作OD⊥BC，垂足為D，∵OB=5，OD=3，∴BD=4，∵∠A=∠BOC，∴∠A=∠BOD，∴tanA=tan∠BOD==，故選：D．【點評】本題考查了垂徑定理、圓周角定理以及解直角三角形，要熟練掌握這幾個知識點．12．（2013?江門模擬）如圖所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A與BC相切于點D，陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【分析】陰影部分的面積是三角形ABC的面積減去圓的面積，根據(jù)勾股定理可求得BC的長，連接AD，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出AD等于BC的一半．【解答】解：連接AD，∵∠A=90°，AB=AC=2cm，∴由勾股定理得BC=2cm，∴AD=BC，∴AD=cm，∴S陰影=S△ABC﹣S圓=﹣=2﹣．故選B．【點評】本題是一道綜合題，考查了扇形面積的計算以及等腰三角形的性質(zhì)，是中檔題．13．（2011?深圳模擬）如圖，某工件形狀如圖所示，等腰Rt△ABC中斜邊AB=4，點O是AB的中點，以O(shè)為圓心的圓分別與兩腰相切于點D、E，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．2﹣π【分析】本題需先求出直角三角形的邊長，再利用切線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得出四邊形CDOE是正方形，然后分別求出直角三角形ABC、扇形FOD，正方形CDOE，扇形EOG的面積，即可求出陰影部分的面積．【解答】解：設(shè)AC=BC=x，則x2+x2=4x=2∴設(shè)OD=R，則OE=R∵AC，BC與⊙O相切，∴OD⊥AD，OE⊥BC∵∠A=45°∴∠AOD=45°∴∠A=∠AOD∴AD=OD=R∵AC=2∵AC=2∴AD=OD∵∠C=90°∴四邊形ODCE是正方形∴∴S正方形CDOE==2S扇形FOD=S扇形EOG==∴陰影部分的面積是2﹣故選A【點評】本題主要考查了扇形面積的求法，在解題時要注意面積計算公式和圖形的有關(guān)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．14．（2006?蘭州）若圓錐經(jīng)過軸的截面是一個正三角形，則它的側(cè)面積與底面積之比是（）A．3：2 B．3：1 C．5：3 D．2：1【分析】利用軸的截面是一個正三角形，易得圓錐的底面半徑和母線長的關(guān)系，把相應(yīng)數(shù)值代入圓錐的側(cè)面積=底面周長×母線長÷2，圓錐底面積=π×半徑2比較即可．【解答】解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，∴S底=πr2，S側(cè)=?2r?2πr=2πr2，∴S側(cè)：S底=2πr2：πr2=2：1．故選D．【點評】此題主要考查圓錐的軸截面、側(cè)面積與底面積的求法．15．（2003?海南）如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓上一點，且為半圓的．設(shè)扇形AOC、△COB、弓形BmC的面積分別為S1、S2、S3，則下列結(jié)論正確的是（）A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1【分析】首先根據(jù)△AOC的面積=△BOC的面積，得S2＜S1．再根據(jù)題意，知S1占半圓面積的．所以S3大于半圓面積的．【解答】解：根據(jù)△AOC的面積=△BOC的面積，得S2＜S1，再根據(jù)題意，知S1占半圓面積的，所以S3大于半圓面積的．故選B．【點評】此類題首先要比較有明顯關(guān)系的兩個圖形的面積．二．解答題（共10小題）16．（2016?株洲）已知AB是半徑為1的圓O直徑，C是圓上一點，D是BC延長線上一點，過點D的直線交AC于E點，且△AEF為等邊三角形（1）求證：△DFB是等腰三角形；（2）若DA=AF，求證：CF⊥AB．【分析】（1）由AB是⊙O直徑，得到∠ACB=90°，由于△AEF為等邊三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）過點A作AM⊥DF于點M，設(shè)AF=2a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到FM=EM=a，AM=a，在根據(jù)已知條件得到AB=AF+BF=8a，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AE=EF=AF=CE=2a，推出∠ECF=∠EFC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB=90°，∵△AEF為等邊三角形，∴∠CAB=∠EFA=60°，∴∠B=30°，∵∠EFA=∠B+∠FDB，∴∠B=∠FDB=30°，∴△DFB是等腰三角形；（2）過點A作AM⊥DF于點M，設(shè)AF=2a，∵△AEF是等邊三角形，∴FM=EM=a，AM=a，在Rt△DAM中，AD=AF=2a，AM=，∴DM=5a，∴DF=BF=6a，∴AB=AF+BF=8a，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，∵AE=EF=AF=2a，∴CE=AC﹣AE=2a，∴∠ECF=∠EFC，∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，∴CF⊥AB．【點評】本題考查了圓周角定理，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．17．（2016?寧夏）已知△ABC，以AB為直徑的⊙O分別交AC于D，BC于E，連接ED，若ED=EC．（1）求證：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的長．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得到∠EDC=∠C，由圓外接四邊形的性質(zhì)得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可證得結(jié)論；（2）連接AE，由AB為直徑，可證得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，證明△CDE∽△CBA后即可求得CD的長．【解答】（1）證明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）方法一：解：連接AE，∵AB為直徑，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=BC=，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE?CB=CD?CA，AC=AB=4，∴?2=4CD，∴CD=．方法二：解：連接BD，∵AB為直徑，∴BD⊥AC，設(shè)CD=a，由（1）知AC=AB=4，則AD=4﹣a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2在Rt△CBD中，由勾股定理可得：BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2整理得：a=，即：CD=．【點評】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．（2016?福州）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，M為中點，連接BM，CM．（1）求證：BM=CM；（2）當(dāng)⊙O的半徑為2時，求的長．【分析】（1）根據(jù)圓心距、弦、弧之間的關(guān)系定理解答即可；（2）根據(jù)弧長公式計算．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴=，∵M(jìn)為中點，∴=，∴+=+，即=，∴BM=CM；（2）解：∵⊙O的半徑為2，∴⊙O的周長為4π，∵===，∴=+=，∴的長=××4π=×4π=π．【點評】本題考查的是正方形的性質(zhì)、弧長的計算、圓心距、弦、弧之間的關(guān)系，掌握弧長的計算公式、圓心距、弦、弧之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．19．（2016?自貢）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC為直徑，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延長線于點E．（1）求證：∠1=∠BAD；（2）求證：BE是⊙O的切線．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出即可；（2）連接BO，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根據(jù)切線的判定得出即可；【解答】證明：（1）∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，∵∠1=∠BDA，∴∠1=∠BAD；（2）連接BO，∵∠ABC=90°，又∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCO+∠BCD=180°，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠CBO+∠BCD=180°，∴OB∥DE，∵BE⊥DE，∴EB⊥OB，∵OB是⊙O的半徑，∴BE是⊙O的切線．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．20．（2016?黃石）如圖，⊙O的直徑為AB，點C在圓周上（異于A，B），AD⊥CD．（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分線，求證：直線CD是⊙O的切線．【分析】（1）首先根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的長即可；（2）連接OC，證OC⊥CD即可；利用角平分線的性質(zhì)和等邊對等角，可證得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得證．【解答】（1）解：∵AB是⊙O直徑，C在⊙O上，∴∠ACB=90°，又∵BC=3，AB=5，∴由勾股定理得AC=4；（2）證明：連接OC∵AC是∠DAB的角平分線，∴∠DAC=∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA=∠CBA，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠OAC+∠OBC=90°，∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，∴DC是⊙O的切線．【點評】此題主要考查的是切線的判定方法．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．21．（2016?菏澤）如圖，直角△ABC內(nèi)接于⊙O，點D是直角△ABC斜邊AB上的一點，過點D作AB的垂線交AC于E，過點C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延長線于點P，連結(jié)PO交⊙O于點F．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若PC=3，PF=1，求AB的長．【分析】（1）連接OC，欲證明PC是⊙O的切線，只要證明PC⊥OC即可．（2）延長PO交圓于G點，由切割線定理求出PG即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，連接OC，∵PD⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠ECP=∠AED，又∵∠EAD=∠ACO，∴∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90°，∴PC⊥OC，∴PC是⊙O切線．（2）解法一：延長PO交圓于G點，∵PF×PG=PC2，PC=3，PF=1，∴PG=9，∴FG=9﹣1=8，∴AB=FG=8．解法二：設(shè)⊙O的半徑為x，則OC=x，OP=1+x∵PC=3，且OC⊥PC∴32+x2=（1+x）2解得x=4∴AB=2x=8【點評】本題考查切線的判定、切割線定理、等角的余角相等等知識，解題的關(guān)鍵是熟練運用這些知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．22．（2016?新疆）如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF=∠CAB．（1）求證：直線BF是⊙O的切線；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長．【分析】（1）連接AE，利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明∠ABF=90°．（2）利用已知條件證得△AGC∽△ABF，利用比例式求得線段的長即可．【解答】（1）證明：連接AE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，∴∠1=∠CAB．∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF∴∠CBF+∠2=90°即∠ABF=90°∵AB是⊙O的直徑，∴直線BF是⊙O的切線．（2）解：過點C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB?sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，∴sin∠2===，cos∠2===，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴∴BF==【點評】本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，角的大小及線段長度的求法，要求學(xué)生掌握常見的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡單的方法解題．23．（2016?南昌校級自主招生）如圖，AB是⊙O的直徑，點F、C在⊙O上且，連接AC、AF，過點C作CD⊥AF交AF的延長線于點D．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若，CD=4，求⊙O的半徑．【分析】（1）連結(jié)OC，由F，C，B三等分半圓，根據(jù)圓周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，則∠FAC=∠OCA，可判斷OC∥AF，由于CD⊥AF，所以O(shè)C⊥CD，然后根據(jù)切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；（2）連結(jié)BC，由AB為直徑得∠ACB=90°，由F，C，B三等分半圓得∠BOC=60°，則∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三邊的