河北省衡水中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.曾玉、劉云、李夢(mèng)、張熙四人被北京大學(xué)、清華大學(xué)、武漢大學(xué)和復(fù)旦大學(xué)錄取，他們分別被哪個(gè)學(xué)校錄取，同學(xué)

們做了如下的猜想

甲同學(xué)猜：曾玉被武漢大學(xué)錄取，李夢(mèng)被復(fù)旦大學(xué)錄取

同學(xué)乙猜：劉云被清華大學(xué)錄取，張熙被北京大學(xué)錄取

同學(xué)丙猜：曾玉被復(fù)旦大學(xué)錄取，李夢(mèng)被清華大學(xué)錄取

同學(xué)丁猜：劉云被清華大學(xué)錄取，張熙被武漢大學(xué)錄取

結(jié)果，恰好有三位同學(xué)的猜想各對(duì)了一半，還有一位同學(xué)的猜想都不對(duì)

那么曾玉、劉云、李夢(mèng)、張熙四人被錄取的大小可能是（）

A.北京大學(xué)、清華大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、武漢大學(xué)

B.武漢大學(xué)、清華大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、北京大學(xué)

C.清華大學(xué)、北京大學(xué)、武漢大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)

D.武漢大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)

2.若曲線y=d+20χ上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角都是銳角，那么整數(shù)。等于（）

A.0B.1C.-2D.-1

3.已知A={a"(α)=O},B={尸"伊)=0},若存在αGA∕∈B,使得Ia-4|<1,則稱/(x)與g(x)互為“1

3

1—XH—,一2<X≤0

2

度零點(diǎn)函數(shù)”，若/(x)=,與g(x)=f一"lnx（α>O）互為“1度零點(diǎn)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)。的取

3

+l,x>0

x2-X÷1

值范圍為（）

2喘

A.(0,2e)B.[2e,+∞)C.

4.計(jì)算2C+3A；的值是（

A.72B.102C.5070D.5100

5.若XN<μ,σ?,則P(〃一b<X<"+b)=().6827,尸(〃—2b<X<〃+2b)=0.9545.設(shè)一批白熾燈的壽

命(單位：小時(shí))服從均值為IOO0,方差為400的正態(tài)分布，隨機(jī)從這批白熾燈中選取一只，則()

A.這只白熾燈的壽命在980小時(shí)到1040小時(shí)之間的概率為0.8186

B.這只白熾燈的壽命在600小時(shí)到1800小時(shí)之間的概率為0.8186

C.這只白熾燈的壽命在980小時(shí)到1040小時(shí)之間的概率為0.9545

D.這只白熾燈的壽命在600小時(shí)到1800小時(shí)之間的概率為0.9545

TTJT

6.已知AABC中，AB=2,B=-,C=-,點(diǎn)尸是邊BC的中點(diǎn)，則APBC等于()

46

A.1B.2C.3D.4

7.對(duì)33000分解質(zhì)因數(shù)得33000=2'x3x53xll,則33(XX)的正偶數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是()

A.48B.72C.64D.96

(iΣ-22+4≥0

8.設(shè)實(shí)數(shù)二二滿足約束條件二+二--目一，已知二=二二十二的最大值是一,最小值是一一，則實(shí)數(shù)二的值為()

l□-□□-2≤0

A.6B.-6C.-JD.J

9.在?5C中，，-r現(xiàn)將,二-繞二「所在直線旋轉(zhuǎn)至設(shè)二面角2_-：；'—的大小為g，aa?

?ACB=≡-

平面”匚所成角為,,?匚與平面？廠5所成角為￡，若：<夕<二，則()

AB

-a>?-β<θCnVIJD?≈rJJ

D≤er≤-B<二

10.已知某批零件的長(zhǎng)度誤差4(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(l,32),從中隨機(jī)取一件.其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(4,7)內(nèi)的

概率為()

(附:若隨機(jī)變量<服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ<μ+σ}≈68.26%,

—2cr<。<〃+2cr)≈95.44%)

A.4.56%B.13.59%C.27.18%31.74%

11.已知向量。=(—5,5),6=(0,—3),則α與b的夾角為()

3π

D.

C號(hào)

12.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)二滿足(l-i)z=i,在復(fù)平面內(nèi)2所對(duì)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若直線y=依+〃是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+l)的切線，則ZJ=.

14.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為α,b,c,且M加4=ɑeos/+，b=2,若滿足條件的AABC

有且僅有一個(gè)，則α的取值范圍是.

15.觀察下列等式：

(1+1)=2×1

(2+l)(2+2)=22×l×3

(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5

按此規(guī)律，第〃個(gè)等式可為.

16.如圖為某幾何體的三視圖，則其側(cè)面積為

￡如AltM給NA

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)某學(xué)校高三年級(jí)有學(xué)生IOOO名，經(jīng)調(diào)查研究，其中750名同學(xué)經(jīng)常參加體育鍛煉(稱為A類同學(xué))，另

外250名同學(xué)不經(jīng)常參加體育鍛煉(稱為8類同學(xué))，現(xiàn)用分層抽樣方法(按A類、8類分二層)從該年級(jí)的學(xué)生中

共抽查100名同學(xué).

(1)測(cè)得該年級(jí)所抽查的100名同學(xué)身高(單位：厘米)頻率分布直方圖如圖，按照統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，根據(jù)頻率分布直

方圖計(jì)算這IOO名學(xué)生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)(單位精確到0.01)；

(2)如果以身高達(dá)到170所作為達(dá)標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)抽取的100名學(xué)生，得到列聯(lián)表:

體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)2x2列聯(lián)表

身高達(dá)標(biāo)身高不達(dá)標(biāo)合計(jì)

積極參加體育鍛煉60

不積極參加體育鍛煉10

合計(jì)100

①完成上表;

②請(qǐng)問有多大的把握認(rèn)為體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)有關(guān)系？

n(ad-bc)"

參考公式：K?=

(α+?)(c+tZ)(α+c)(?+

參考數(shù)據(jù):

2

p(κ≥k)0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

k0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.(12分)已知平面直角坐標(biāo)系Xoy中，直線I的參數(shù)方程為］一r'(t為參數(shù)，OWaVn且aw】)，以

y=√3+sina2

原點(diǎn)O為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為P=26.已知直線I與曲線C交于A、B兩

點(diǎn)，且IABI=26.

(1)求a的大?。?/p>

(2)過A、B分別作I的垂線與X軸交于M,N兩點(diǎn)，求IMNI.

19.(12分)如圖，在四棱錐姐切中，底面地切為平行四邊形，NAV345。，

AD=AC=I,。為AC的中點(diǎn)，ABCD,PO=I,M為PD的中點(diǎn).

(I)證明：PB〃平面ACM；

(II)設(shè)直線AM與平面ABCD所成的角為a,二面角M-AC-B的大小

為少，求sina?cos∕?的值.

P

近，

fXr——t,

20.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，直線/的參數(shù)方程是J2(t是參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，X

γ=^r+4√2

軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為。=2CoSa+?

(1)判斷直線/與曲線C的位置關(guān)系;

(2)設(shè)點(diǎn)M(X,y)為曲線C上任意一點(diǎn)，求x+y的取值范圍.

21.(12分)已知拋物線y2=4x,過焦點(diǎn)/作斜率為人的直線交拋物線于AS兩點(diǎn).

(1)若IABl=5,求匕；

(2)過焦點(diǎn)尸再作斜率為八的直線交拋物線于C、D兩點(diǎn),且M、N分別是線段A&Cz)的中點(diǎn)，若勺+々=1,

證明：直線MN過定點(diǎn).

22.(10分)如圖，在正四棱柱ABa>—44GR中，已知AB=2,A41=5,

E、F分別為R。、BIB上的點(diǎn),且。E=4F=1.

(1)求證：BE_L平面ACF；

⑵求點(diǎn)E到平面ACF的距離.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

推理得到甲對(duì)了前一半，乙對(duì)了后一半，丙對(duì)了后一半，丁全錯(cuò)，得到答案.

【詳解】

根據(jù)題意：甲對(duì)了前一半，乙對(duì)了后一半，丙對(duì)了后一半，丁全錯(cuò)，

曾玉、劉云、李夢(mèng)、張熙被錄取的大學(xué)為武漢大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)

(另外武漢大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)也滿足).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了邏輯推理，意在考查學(xué)生的推理能力.

2、B

【解析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立轉(zhuǎn)化為二次不等式對(duì)應(yīng)二次方程的判別式小于0,進(jìn)一步求解關(guān)于a的不等

式得答案.

【詳解】

解:由y=x3-2axi+20x,得y'=3x2-4ax+2a,

曲線C:y=V-20√+2依上任意點(diǎn)處的切線的傾斜角都為銳角，

對(duì)任意實(shí)數(shù)X,3X2-4ax+2a>0恒成立，

.?.Λ=(Ta)?-4*3χ2α<0.

3

解得:0<a<一.

2

整數(shù)"的值為L(zhǎng)

故答案為B

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程,函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值就是對(duì)應(yīng)曲線上該點(diǎn)處的切線的斜率,考查

了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.

3、B

【解析】

通過題意先求出函數(shù)/(x)的零點(diǎn)，根據(jù)Ia-刈<1計(jì)算出函數(shù)g(x)的零點(diǎn)范圍，繼而求出實(shí)數(shù)"的取值范圍

【詳解】

315

令/(χ)=o,當(dāng)ι-χ+]=o時(shí)，X-——或x=一二

222

—2<%≤(),/.X=—

2

3

當(dāng)一一?--------+1=0時(shí)，解得玉=T,x=2

X—x+12

?.?χ>(),.*.X=2

若存在Z?為“1度零點(diǎn)函數(shù)”，不妨令g(Λo)=0

由題意可得：??+/<1或IX-2∣<1

即—~<玉)<5或1<%0<3

gGo)=XQ-abvc0=0

._?2

..u=-----

砥

設(shè)MX)==，h?x)=2xlnx~x=0

當(dāng)0<x<G時(shí)，Λ,(x)<O,MX)是減函數(shù)

當(dāng)X>五時(shí),∕z'(x)>O,∕z(x)是增函數(shù)

MJ^)=2e,當(dāng)χ.l時(shí)，MX).+oo,由題意滿足存在性

實(shí)數(shù)。的取值范圍為[2e,+8)

故選B

【點(diǎn)睛】

本題給出了新定義，按照新定義內(nèi)容考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，結(jié)合零點(diǎn)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)分離參量，求出函數(shù)的單調(diào)性，給出參

量的取值范圍，本題較為綜合，需要轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，有一定難度。

4、B

【解析】

根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)計(jì)算公式，計(jì)算出表達(dá)式的值.

【詳解】

7×6

依題意，原式=2C；+3&=2X——+3×5×4=42+60=102,故選B.

2x1

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查組合數(shù)和排列數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

先求出再求出和即得這只白熾燈的壽命在小時(shí)

4=1000,σ=20,P(980<X<1020)P(1020<X<1040),980

到1040小時(shí)之間的概率.

【詳解】

2

Vχz=1000,σ=400..".//=1000,σ=20,

所以P(980<X<1020)=P(〃一b<X<M+b)=0?6827,

P(Io20<X<1040)=0-9545?0'6827,

(1

：.P(980<X<1040)=0.6827+9545,6827=。用186.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)，考查指定區(qū)間的概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析

推理能力.

6、B

【解析】

利用正弦定理求出AC的值，用基底AAAC表示AP=空」*，BC=AC-AB.則可以得到4P?BC的值.

2

【詳解】

b

解：在ΔA3C中，由正弦定理」4得，

SinASinBsinC

2_AC

ABAC

,即7

sinCSinB五

22

解得AC=2&，

因?yàn)锳P=45+4C,BCAC-AB>

2

所以AP?BC="B+AC.（AC-AB）=L（A一AB?）=L（8-4）=2

222

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理、向量分解、向量數(shù)量積等問題，解題的關(guān)鍵是要將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為基向量，從而求解問題.

7、A

【解析】

分析：分33（XX）的因數(shù)由若干個(gè)2、若干個(gè)3、若干個(gè)5、若干個(gè)11相乘得到，利用分步計(jì)數(shù)乘法原理可得所有因數(shù)

個(gè)數(shù)，減去不含2的因數(shù)個(gè)數(shù)即可得結(jié)果.

詳解：33000的因數(shù)由若干個(gè)2（共有2?22,2∣,2°四種情況），

若干個(gè)3（共有3,30兩種情況），

若干個(gè)5（共有53,52,5∣,5°四種情況），

若干個(gè)11（共有Illl1°兩種情況），

由分步計(jì)數(shù)乘法原理可得33000的因數(shù)共有4X2X4X2=64,

不含2的共有2x4x2=16,

???正偶數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)有64-16=48個(gè)，

即33000的正偶數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是48,故選A.

點(diǎn)睛：本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理合的應(yīng)用，屬于中檔題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個(gè)原理及排列組合問題

交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是

分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才

能提高準(zhǔn)確率.

8、D

【解析】

試題分析：畫出不等式組表示的區(qū)域如圖，從圖形中看出當(dāng)αV0不成立，故&之0,當(dāng)直線?二二一1經(jīng)過點(diǎn)

3—=.二一時(shí)，取最大值J即解之得4=1，所以應(yīng)選D.

a+l。+1房；錯(cuò)

考點(diǎn)：線性規(guī)劃的知識(shí)及逆向運(yùn)用.

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是線性約束條件與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的求參數(shù)值的問題,解答時(shí)先構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系,準(zhǔn)確

的畫出滿足題設(shè)條件.三.+三一八］7的平面區(qū)域,然后分類討論參數(shù)二的符號(hào),進(jìn)而移動(dòng)直線-一-），發(fā)現(xiàn)當(dāng)該直

I二一二二TS0

,4Λ*22、命%

BD?-----.----）.--------=?

線經(jīng)過點(diǎn)a-?α-l時(shí)取得最大值，以此建立方程也喝：1,通過解方程求出參數(shù)的值.

9、C

【解析】

由題意畫出圖形，由線面角的概念可得,的范圍，得到t正確，取特殊情況說明用，三，二錯(cuò)誤.

【詳解】

如圖，

可得E匚一平面向IT.?.二面角P-ar-4的大小■=2jcp,

二是平面一:「的一條斜線，則NL與平面垂直時(shí)，二E與平面_二~所成角最大，貝（.的范圍為1，_，故《正確;

此時(shí):T，故T錯(cuò)誤；

當(dāng)Pt與平面.r5匚垂直時(shí)，三棱錐二-PdE滿足二一一CTCALCPtCBlCPtCA=CB=CPt

貝UPA=PB-,λB,設(shè)M=BC=1,則/M=PB=.AS'=?N濰平面射的射影為"八5的中心，

求得r,，即PU與平面二酒所成角g的余弦值f貝Q一，故D錯(cuò)誤；

當(dāng)d無限接近O時(shí)，二無限接近,￡::二，故5錯(cuò)誤.

綜上，正確的選項(xiàng)是「

故選：

【點(diǎn)睛】

本題考查空間角及其求法，考查空間想象能力與思維能力，屬難題.

10、B

【解析】

利用3b原則，分別求出尸(一2<J<4),P(-5<J<7)的值，再利用對(duì)稱性求出P(4<ξ<7)=13.59%.

【詳解】

正態(tài)分布N(l,3?)中，"=l,b=3,

所以P(-2<?<4)=P(l-3<?<l+3)≈68.26%,

P(—5<J<7)=P(1-2x3<J<l+2x3)≈95.44%,

所以P(4<J<7)=P(-5<1<7);P(-2<g<4)標(biāo)13.59%,故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查正態(tài)分布知識(shí)，考查利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求隨機(jī)變量在給定區(qū)間的概率.

11、D

【解析】

根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的計(jì)算公式可得CoSe的值，據(jù)此分析可得答案.

【詳解】

設(shè)a與人的夾角為8,由。、ZJ的坐標(biāo)可得IaI=5血，∣=3,a*b=-5×0+5×(-3)=-15,

故CoSe=*3)=一交,4i(0,P)所以e=當(dāng).

5√2×32v74

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算，涉及向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

12、B

【解析】

化簡(jiǎn)得到z=-'+^i,得到答案.

【詳解】

..iz(l+z)Z-I11.

(l-z)z=Z,故Z=?;_=~~~-Tτ?=--=故對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限.

1-z:(l-z)(l+z)222

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)，對(duì)應(yīng)象限，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1-1∏2

【解析】

試題分析：對(duì)函數(shù)y=lnx+2求導(dǎo)得y'=L,對(duì)y=ln(x+l)求導(dǎo)得y'=」一，設(shè)直線y=丘+人與曲線y=lnx+2

Xx+l

相切于點(diǎn)I(XI,χ),與曲線y=in(九+1)相切于點(diǎn)與(工2，必)，則y=皿玉+2,M=皿/+1),由點(diǎn)[(再,切)在切線

上得y-(In玉+2)=一(%-%)，由點(diǎn)右(％,%)在切線上得?-??+D=?-。一馬)，這兩條直線表示同一條直

X[X)*11

fl1

—=

線，所以，解得x∣=J,.?.Z=-!"=2,0=InXl+2-l=l-ln2.

,?.2x,+l2x

ln(‰+1)=In七—-~—l

VX*,÷1

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【名師點(diǎn)睛】函數(shù)f(X)在點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù)f,(χo)的幾何意義是曲線y=f(X)在點(diǎn)P(χo,y。)處的切線的斜率.相

應(yīng)地，切線方程為y-yo=f'(χo)(X-Xo).

注意：求曲線切線時(shí)，要分清在點(diǎn)P處的切線與過點(diǎn)P的切線的不同.

14、α=血II或OVaS2

3

【解析】

先根據(jù)2加E4=小(8+看)求得SinB,結(jié)合正弦定理及解的個(gè)數(shù)來確定a的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)?加加4=αcOS(B+高，所以2sinBSinA=SinAcos(B+^),

由于在三角形中SinAH0,所以2sinB=COS(B+2)=cosBcos-sinBsin,即CoSB=E?sinB，

6663

/77

因?yàn)閟in?B+cos?B=1，所以sin3=------

14

由正弦定理可得SinA=-SinB=-α,

b28

因?yàn)闈M足條件的A48C有且僅有一個(gè)，

所以SinA=I或者sinA≤sin3,

所以α=生包或者0<a≤2.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用三角形解的個(gè)數(shù)求解參數(shù)的范圍，三角形解的個(gè)數(shù)一般可以利用幾何法或者代數(shù)法來求解，側(cè)重考

查邏輯推理的核心素養(yǎng).

15、(n+l)(n+2)...(n÷n)=2n×l×3×...×(2n-l)

【解析】

試題分析：題目中給出的前三個(gè)等式的特點(diǎn)是第一個(gè)等式的左邊僅含一項(xiàng)，第二個(gè)等式的左邊含有兩項(xiàng)相乘，第三個(gè)

等式的左邊含有三項(xiàng)相乘，由此歸納第n個(gè)等式的左邊含有n項(xiàng)相乘，由括號(hào)內(nèi)數(shù)的特點(diǎn)歸納第n個(gè)等式的左邊應(yīng)為:

(n+l)(n+2)(n+3)...(n+n),

每個(gè)等式的右邊都是2的幾次哥乘以從1開始幾個(gè)相鄰奇數(shù)乘積的形式，且2的指數(shù)與奇數(shù)的個(gè)數(shù)等于左邊的括號(hào)數(shù),

由此可知第n個(gè)等式的右邊為2"?1?3?5…(2n-l).

所以第n個(gè)等式可為(n+l)(n+2)(n+3)...(n+n)=2rt?l?3?5...(2n-l).

16^4乃

【解析】

根據(jù)三視圖可知幾何體為圓錐，利用底面半徑和高可求得母線長(zhǎng)；根據(jù)圓錐側(cè)面積公式可直接求得結(jié)果.

【詳解】

由三視圖可知，幾何體為底面半徑為1,高為后的圓錐

圓錐的母線長(zhǎng)為：JlrR=4

，圓錐的側(cè)面積：S=萬xlx4=4萬

本題正確結(jié)果：4;T

【點(diǎn)睛】

本題考查圓錐側(cè)面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)三視圖準(zhǔn)確還原幾何體，考查學(xué)生對(duì)于圓錐側(cè)面積公式的掌握情況.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)174,174.55；(2)①列聯(lián)表見解析；②95%.

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)與中位數(shù)的公式即可求解；

(2)①根據(jù)頻率分布直方圖求出身高達(dá)標(biāo)與不達(dá)標(biāo)的比例，結(jié)合積極參加體育鍛煉和不積極參加體育鍛煉的比例，完

成表格；②根據(jù)公式計(jì)算出K?即可下結(jié)論.

【詳解】

(1)平均數(shù)155x0.1+165x0.15+175x0.55+185x0.15+195x0.05=174,

前兩組頻率之和為0?25,前三組頻率之和為0.8,所以中位數(shù)在第三組

025

中位數(shù)為170+6萬Xlo=I74.55.

(2)根據(jù)頻率分布直方圖可得身高不達(dá)標(biāo)所占頻率為0.25,達(dá)標(biāo)所占頻率為0?75,

所以身高不達(dá)標(biāo)25人，達(dá)標(biāo)75人，

根據(jù)分層抽樣抽取的積極參加體育鍛煉75人，不積極參加體育鍛煉的25人,

所以表格為：

身高達(dá)標(biāo)身高不達(dá)標(biāo)合計(jì)

積極參加體育鍛煉601575

不積極參加體育鍛煉151025

合計(jì)7525IOO

假設(shè)體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)沒有關(guān)系

^J00x(60xl0-15x?=4>384i

75×25×75×25

所以有95%把握認(rèn)為體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)有關(guān)系.

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)，計(jì)算指定組的頻率，完成列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，關(guān)鍵在于數(shù)量掌

握相關(guān)數(shù)據(jù)的求解方法，準(zhǔn)確計(jì)算并下結(jié)論.

Tl

18、(1)a=-；(2)4.

6

【解析】

（1）直接利用參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出結(jié)果.

（2）直接利用關(guān)系式求出結(jié)果.

【詳解】

x=~3÷tcosɑH

（1）由已知直線I的參數(shù)方程為:L(t為參數(shù)，0<aVn且a^?),

r√3+tsi∏a'2

貝!j：ta∏αχ-y+3ta∏α+y=o,

V∣OA∣=∣OB∣=2√3>∣AB∣=2√3,

.-.O到直線I的距離為3,

∣3ta∏α+yI

則3=

Vtan2ɑ-+1

解之得ta∏α

O

JT

VO≤tt?≤π且CIHz----9

2

?兀

..a=^—

6

（2）直接利用關(guān)系式，

解得：IMNl==4?

cos30

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用.

19、（1）證明見解析（2）以近

5

【解析】試題分析：（1）連接BD,MO,在平行四邊形ABCD中，由O為AC的中點(diǎn)，知O為BD的中點(diǎn)，再由M

為PD的中點(diǎn)，知PB〃MO,由此能夠證明PB〃平面ACM.

（2）取Do中點(diǎn)N,連接MN,AN,由M為PD的中點(diǎn)，知MN〃PO,且MN.PO=1,由PO_L平面ABCD,得

MN，平面ABCD,故NMAN是直線AM與平面ABCD所成的角，由此能求出直線AM與平面ABCD所成角的正切

值.

(1)證明：連接BD,MO,在平行四邊形ABCD中,

為AC的中點(diǎn)，,O為BD的中點(diǎn)，

又TM為PD的中點(diǎn)，

ΛPB/7MO,

TPBC平面ACM,MoU平面ACM,

.?.PB〃平面ACM.

(2)解：取DO中點(diǎn)N,連接MN,AN,

?.?M為PD的中點(diǎn)，

...MN〃PO,且MN=?PO=1,

2

由Pol?平面ABCD,得MNI.平面ABCD,

二ZMAN是直線AM與平面ABCD所成的角，

在RtADAo中，?.'AD=1,AO=-,ZDAO=90o,,DO=立,

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；直線與平面所成的角.

20、(1)相離；(2)[-√^,√2].

【解析】

試題分析：

本題考查參數(shù)方程與普通方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，圓的參數(shù)方程的應(yīng)用以及直線和圓的位置關(guān)系的

判斷.(1)把直線、曲線方程化為直角坐標(biāo)方程后根據(jù)圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系判斷即可.(2)利用圓的參數(shù)

方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)的知識(shí)求解.

試題解析：

f色

X=-----1

(1)由「2,消去，得直線的普通方程為：y=x+4√Σ

^r÷4√2

12

由0=2CoS6+工，得夕=2CoSgCOS2一2sinSsin工=>∕2cosθ-V2sin.

k4；44

：?p1=0夕COSe-夜夕Sin6,

2

即X-y∕2x+y2+y∕2y=0.

化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：]%一￥+[?+*)=L

f√2⑻

**?圓心坐標(biāo)為口-,---,半徑為1,

I22J

√2也+4√Σ

-----1_

,：圓心到直線x—y+40=0的距離22,

d=-------—?=---------=5>1

√2

：.直線/與曲線C相離.

√2

X==——+cosθ

?

(2)由M(X,y)為曲線C上任意一點(diǎn)，可設(shè)?L(0<θ≤2τr),

)'=------+sιnθ

2

貝!]x+y=Sine+cos6=V∑sin(e+(J,

?.?0<e≤2τr,

.?.-√2≤√2sin^+^≤√2

.?.X+>的取值范圍是[-√2,√2].

21、(1)占=±2；(2)證明見解析

【解析】

(1)設(shè)A(x∣,y),B[x2,y2),聯(lián)立直線AB的方程和拋物線方程可得%+/,然后利用

左]

IAB