1第七章復(fù)數(shù)（知識(shí)歸納題型突破）

第七章復(fù)數(shù)（知識(shí)歸納+題型突破）1.了解數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程；2.理解復(fù)數(shù)的概念、表示法；3.掌握復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)相等的充要條件.4.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量來(lái)表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；5.掌握實(shí)軸、虛軸、模等概念以及用向量的模來(lái)表示復(fù)數(shù)的模的方法.6.通過(guò)對(duì)復(fù)數(shù)的幾何意義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng).7.掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義。8.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；9.理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。知識(shí)點(diǎn)1：復(fù)數(shù)的概念（1）復(fù)數(shù)的概念我們把形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中叫做虛數(shù)單位,滿足.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.復(fù)數(shù)的表示:復(fù)數(shù)通常用字母表示,即,其中的與分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.（2）復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集中任取兩個(gè)數(shù)，，（），我們規(guī)定.知識(shí)點(diǎn)2：復(fù)數(shù)的分類對(duì)于復(fù)數(shù)(),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)時(shí),它叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí),它叫做純虛數(shù).這樣,復(fù)數(shù)()可以分類如下:知識(shí)點(diǎn)3：復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)的幾何意義——與點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義1：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（2）復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義2：復(fù)數(shù)平面向量知識(shí)點(diǎn)4：復(fù)數(shù)的模向量的模叫做復(fù)數(shù))的模，記為或公式：，其中復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；特別的，時(shí)，復(fù)數(shù)是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的模就等于(的絕對(duì)值).知識(shí)點(diǎn)5：共軛復(fù)數(shù)（1）定義一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)；虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).（2）表示方法表示方法：復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果，則.知識(shí)點(diǎn)6：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運(yùn)算及其幾何意義（1）復(fù)數(shù)的加法法則設(shè)，，（）是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的和：顯然：兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)（2）復(fù)數(shù)加法的幾何意義如圖，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別為，，以，為鄰邊作平行四邊形，則，即：，即對(duì)角線表示的向量就是與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量.所以：復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行.知識(shí)點(diǎn)7：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的減法運(yùn)算及其幾何意義（1）復(fù)數(shù)的減法法則類比實(shí)數(shù)集中減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足：的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)減去復(fù)數(shù)的差，記作注意：①兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)；②兩個(gè)復(fù)數(shù)相加減等于實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減.（2）復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù) 向量知識(shí)點(diǎn)8：()的幾何意義在復(fù)平面內(nèi),設(shè)復(fù)數(shù)，（）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是，,則.又復(fù)數(shù).則,故，即表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.知識(shí)點(diǎn)9：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘、除法運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)的乘法法則我們規(guī)定，復(fù)數(shù)乘法法則如下：設(shè),是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的乘積為，即（2）復(fù)數(shù)的除法法則（）由此可見(jiàn)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除（除數(shù)不為0），所得的商是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).知識(shí)點(diǎn)10：共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)設(shè)，（）①；②為實(shí)數(shù)；③且為純虛數(shù)④；⑤，，題型一：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念例題1．（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【詳解】由可得：，故的虛部為.故選:D．例題2．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）復(fù)數(shù)，則（

）A．的實(shí)部為 B．的虛部為C．的實(shí)部為 D．的虛部為【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，所以與的實(shí)部均為1，A，C錯(cuò)誤；的虛部為，B正確，D錯(cuò)誤.故選：B.例題3．（2023下·上海奉賢·高一?？计谀啊笔恰皬?fù)數(shù)是純虛數(shù)”的（

）條件.A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要【答案】A【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)且，所以“”是“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”的必要不充分條件.故選：A鞏固訓(xùn)練1．（2024上·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知，則的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，則，所以的虛部是.故選：A2．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法一定正確的是（

）A．是虛數(shù) B．存在x使得是純虛數(shù)C．不是實(shí)數(shù) D．實(shí)部和虛部均為1【答案】B【詳解】由復(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù)，故A、C不正確；當(dāng)時(shí)，，故B正確；由于的取值未知，故D錯(cuò)誤；故選：B3．（2023上·廣東湛江·高二校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則的實(shí)部是（

）A．2 B．0 C． D．【答案】B【詳解】由復(fù)數(shù)，得的實(shí)部是0，故選：B．題型二：復(fù)數(shù)的相等例題1．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知是虛數(shù)單位，，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【詳解】由，可得，解得，則.故選：D.例題2．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)，則復(fù)數(shù)的模為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【詳解】設(shè)，則，所以，.由，所以.故選：D例題3．（2023下·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，，則．【答案】【詳解】由，，得，∴，即，．∴．故答案為：鞏固訓(xùn)練1．（2024上·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知，則（

）A．1 B． C．3 D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，即，故選：C.2．（2023上·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)，其中是實(shí)數(shù)，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【詳解】依題意，所以，所以.故選：B3．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則.【答案】5【詳解】設(shè)，則，于是，解得，則.故答案為：.題型三：復(fù)數(shù)比較大小例題1．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知，．若，則的值為（

）A．2 B．3 C．2或3 D．不存在【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，解得或．故選：C例題2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)，，若，則實(shí)數(shù)m=，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.【答案】2三【詳解】z1+z2=(2mi)+(m+m2i)=(m)+(m22m)i.，∵z1+z2>0，∴z1+z2為實(shí)數(shù)且大于0.∴解得m=2.∴z2=2+4i，=24i，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(2，4)，位于第三象限.故答案為：2，三.鞏固訓(xùn)練1．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）設(shè)為復(fù)數(shù)，若，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】設(shè)z，則，∴，，∴，，∴，，即z位于第四象限，故選：D.2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，(a，b∈R)，若，則的取值范圍是.【答案】【詳解】因?yàn)閨z1|<z2，所以z2為實(shí)數(shù)，故a＝0，，即，即－1<b<1.故b的取值范圍是(－1，1).故答案為：.題型四：復(fù)數(shù)分類例題1．（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，，若為純虛數(shù)，則（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】A【詳解】由，得，因?yàn)榧兲摂?shù)，則，解得.故選：A例題2．（2023下·新疆喀什·高一?？计谀┰O(shè)復(fù)數(shù)，，當(dāng)為時(shí)，為純虛數(shù).【答案】4【詳解】由已知可得，，解得.故答案為：4.例題3．（2023下·新疆省直轄縣級(jí)單位·高一校考期末）實(shí)數(shù)取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)分別是：(1)實(shí)數(shù)？(2)純虛數(shù)？【答案】(1)或(2)【詳解】（1）由已知得,其中復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，當(dāng)時(shí)，即或時(shí)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).（2）當(dāng)，即，即時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù).鞏固訓(xùn)練1．（2023上·云南昆明·高二云南師大附中?？茧A段練習(xí)）若，則“”是復(fù)數(shù)“為純虛數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】由“”為純虛數(shù)，得，解得，故“”是復(fù)數(shù)“為純虛數(shù)”的充要條件.故選：C.2．（2024·陜西咸陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．1或6 C． D．1【答案】D【詳解】由題意可得：且，則.故選：D.3．（2023上·青海玉樹(shù)·高三?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)．當(dāng)實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是：(1)虛數(shù)；(2)純虛數(shù)；【答案】(1)實(shí)數(shù)取任意值(2)【詳解】（1）整理得當(dāng)復(fù)數(shù)是虛數(shù)時(shí)，，此時(shí)，即實(shí)數(shù)取任意值，復(fù)數(shù)都是虛數(shù)；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)時(shí)，，得，即實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù).題型五：復(fù)數(shù)的模例題1．（2024上·重慶長(zhǎng)壽·高三統(tǒng)考期末）設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模為（

）A．7 B．1 C．5 D．25【答案】C【詳解】復(fù)數(shù)，則，所以.故選：C.例題2．（2023上·北京·高三中關(guān)村中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知：，則，所以.故選：B.例題3．（2023上·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為：鞏固?xùn)練1．（2023·廣東·校聯(lián)考二模）（

）A． B． C．3 D．【答案】B【詳解】.故選：B.2．（2023上·上海松江·高三統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則【答案】【詳解】依題意，所以.故答案為：3．（2023上·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：.題型六：復(fù)數(shù)模的最值問(wèn)題例題1．（2023上·江蘇鹽城·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，當(dāng)?shù)奶摬咳∽钚≈禃r(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，則，所以，，即，所以，，可得，解得，當(dāng)?shù)奶摬咳∽钚≈禃r(shí)，即當(dāng)時(shí)，則，解得，故，故選：A.例題2．（2023下·陜西咸陽(yáng)·高二?？计谥校┮阎?，，則的取值范圍為.【答案】【詳解】∵，∴，即的取值范圍為.故答案為：.例題3．（2023下·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一內(nèi)蒙古師大附中?？计谀?duì)于給定的復(fù)數(shù)，若滿足的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是圓，則的取值范圍是.【答案】【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，即，所以，所以?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓；則表示到的距離，即圖中的，其中，在圓上移動(dòng)，由圖可知，，即，故答案為：鞏固訓(xùn)練1．（2023下·河南鄭州·高一校聯(lián)考期中）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)到點(diǎn)和的距離相等，所以在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡為，又表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值，當(dāng)為時(shí)，到定點(diǎn)的距離最小，最小值為1，所以的最小值為1，故選：A．2．（2023下·廣東廣州·高一校考期中）已知，且，為虛數(shù)單位，則的最小值是.【答案】【詳解】令，則，所以，等價(jià)于坐標(biāo)系中點(diǎn)到定點(diǎn)的距離恒為1，即動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓上，如下圖：又表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，而與的距離為，所以，在之間且共線，左側(cè)等號(hào)成立；在之間且共線，右側(cè)等號(hào)成立；所以的最小值是.故答案為：3．（2023下·安徽淮南·高一淮南第三中學(xué)?？计谀┮阎獜?fù)數(shù)滿足條件，則的最大值為.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以的軌跡是圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，，表示對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，所以距離的最大值為.故答案為：題型七：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算例題1．（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面表示的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】，，，所以，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D例題2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且，則（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】由題意，則，即，化簡(jiǎn)得，所以，解得，所以.故選：D.例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C．4 D．5【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以所以，所?故選：D.鞏固訓(xùn)練1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以．故選：B．2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意，∵，∴，解得：.故選：A.3．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）實(shí)數(shù)滿足，則．【答案】1【詳解】由得：，即，故，故答案為：1題型八：共軛復(fù)數(shù)例題1．（2024上·全國(guó)·高三階段練習(xí)）復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B．1 C．i D．【答案】B【詳解】解：由可得：，得，，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為，故選：B．例題2．（2024上·云南·高二統(tǒng)考期末）復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，則.故選：D.例題3．（2024上·遼寧丹東·高三統(tǒng)考期末）復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意有.故選：A.鞏固訓(xùn)練1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題，，故選：A．2．（2024上·河南周口·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，故.故選：D.3．（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由復(fù)數(shù)，所以.故選：B.題型九：待定系數(shù)法求復(fù)數(shù)例題1．（2024上·重慶·高三統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，所以，則且，所以.故選：A.例題2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，(且不同時(shí)為0)，由題意可知，得或，當(dāng)時(shí)，的軌跡是軸（除原點(diǎn)外），此時(shí)的幾何意義表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和的距離，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，如圖，根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，的幾何意義是圓上的點(diǎn)到的距離，如圖可知，的最小值是點(diǎn)與的距離.故選：B例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，且，則的最大值是．【答案】/【詳解】依題意，設(shè)，由，得，則，其幾何意義為：對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，因?yàn)榈膸缀我饬x為點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，所以.故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（2024上·吉林白城·高三校考階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則（

）A．3 B． C． D．3【答案】A【詳解】是純虛數(shù)，所以，所以.故選：.2．（2024·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)R)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（??）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由已知得，即，由復(fù)數(shù)相等的條件得，解得，則，所以，故選：.3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，則．【答案】【詳解】設(shè)，，由，所以，即，所以，所以，所以，則.故答案為：題型十：一元