數(shù)學北師大版必修3學案第二章算法初步本章知識體系

本章知識體系專題一算法的設計【例1】設計一個算法，求方程x2－4x＋2＝0在(3,4)之間的近似根，要求精確度為10－4，算法步驟用自然語言描述．【思路探究】可以利用二分法的步驟設計算法．【解答】算法步驟如下：第一步，令f(x)＝x2－4x＋2，由于f(3)＝－1<0，f(4)＝2>0，所以設x1＝3，x2＝4.第二步，令m＝eq\f(x1＋x2,2)，判斷f(m)是否等于0，若f(m)＝0，則m為所求的根，結束算法；若f(m)≠0，則執(zhí)行第三步．第三步，判斷f(x1)f(m)>0是否成立，若成立，則令x1＝m；否則令x2＝m.第四步，判斷|x1－x2|<10－4是否成立，若成立，則x1與x2之間的任意取值均為滿足條件的近似根；若不成立，則返回第二步．【規(guī)律方法】(1)算法設計與一般意義上的解決問題不同，它是對一類問題的一般解法的抽象與概括，它往往是把問題的解法劃分為若干個可執(zhí)行的步驟，有時是重復多次，但最終都必須在有限個步驟之內完成．(2)對于給定的問題，設計其算法時應注意以下四點：①與解決問題的一般方法相聯(lián)系，從中提煉與概括步驟；②將解決問題的過程劃分為若干步驟；③引入有關的參數(shù)或變量對算法步驟加以表述；④用簡練的語言將各個步驟表達出來．已知平面坐標系中兩點A(－1,0)，B(3,2)，寫出求線段AB的垂直平分線方程的一個算法．解：第一步，計算x0＝eq\f(－1＋3,2)＝eq\f(2,2)＝1，y0＝eq\f(0＋2,2)＝1，得AB的中點N(1,1)．第二步，計算k1＝eq\f(2－0,3－－1)＝eq\f(1,2)，得AB的斜率．第三步，計算k＝－eq\f(1,k1)＝－2，得AB垂直平分線的斜率．第四步，由點斜式得直線AB的垂直平分線的方程：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.專題二算法的選擇結構【例2】閱讀如圖所示的算法框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間[eq\f(1,4)，eq\f(1,2)]內，則輸入的實數(shù)x的取值范圍是()A．(－∞，－2) B．[－2，－1]C．[－1,2] D．(2，＋∞)【解答】若x?[－2,2]，則f(x)＝2?[eq\f(1,4)，eq\f(1,2)]，不符合題意；當x∈[－2,2]時，由f(x)＝2x∈[eq\f(1,4)，eq\f(1,2)]，得x∈[－2，－1]．【答案】B【規(guī)律方法】框圖表示的是一個分段函數(shù)的求值問題，題目是由函數(shù)值的范圍求自變量的范圍．如圖是求實數(shù)x的絕對值的算法程序框圖，則判斷框①中可填x>0或x≥0.解析：本題以絕對值為背景，主要考查了算法框圖，重點考查了選擇結構中的條件語句，根據(jù)絕對值的含義，非負數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，以及0的特殊性，故填x>0或x≥0.專題三算法的循環(huán)結構【例3】若1＋3＋5＋…＋n>2015，試設計算法框圖，尋找滿足條件的最小奇數(shù)n.【解答】因為涉及累加問題，所以算法含有循環(huán)結構，寫出算法步驟如下：1．S＝0，i＝1.2．S＝S＋i，i＝i＋2.3．判斷S>2015是否成立；(1)若S>2015，則i＝i－2，輸出i；(2)若S<2015，返回步驟2.算法框圖：①畫順序結構圖，即起止框及兩個處理框，并分別填入循環(huán)初始條件(如圖①)；②畫循環(huán)結構圖，先畫循環(huán)體即兩個處理框(一個累加，一個計數(shù))，再畫循環(huán)終止條件，即判斷框并判斷S>2015，若不成立，則流向循環(huán)體進行再循環(huán)(如圖②)；③畫處理框并填入“i＝i－2”，輸出框輸出i以及起止框表示算法結束(如圖③最后，合成整個算法框圖如下圖．【規(guī)律方法】循環(huán)結構必包含順序結構和選擇結構，所以本題具有一定的典型性和示范性；如累加、累乘等需要反復執(zhí)行的算法設計中，宜使用循環(huán)結構，這時要密切注意“循環(huán)體”、“循環(huán)變量”和“循環(huán)終止條件”三個重要組成部分的框圖設計．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結果為(B)A．(－2,2) B．(－4,0)C．(－4，－4) D．(0，－8)解析：運行程序：x＝1，y＝1，k＝0，s＝1－1＝0，t＝1＋1＝2，x＝0，y＝2，k＝0＋1＝1，因為1＜3，否，s＝－2，t＝2，x＝－2，y＝2，k＝2，因為2＜3，否，s＝－4，t＝0，x＝－4，y＝0，k＝3，因為3≥3，是，輸出(－4,0)．故選B.專題四基本算法語句編寫程序的基本方法是“自上而下，逐步求精”，即首先把一個復雜的大問題分解成若干個相對獨立的小問題，如果小問題仍較復雜，則可以把這些小問題再繼續(xù)分解成若干個子問題，這樣不斷分解，便可使得小問題或子問題簡單到能夠直接用程序的三種基本結構表達為止，然后，對應每一個小問題或子問題編寫出一個功能上相對獨立的程序模塊來，每個模塊各個擊破，最后再統(tǒng)一組裝，問題便可得到解決．【例4】高等數(shù)學中經(jīng)常用到符號函數(shù)sgn(x)，其定義為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1x>0，,0x＝0，,－1x<0.))試編寫程序，輸入x的值，輸出y的值．【思路探究】由于此函數(shù)是一個分段函數(shù)，對于輸入的x的值，應根據(jù)x的取值范圍，選擇相應的解析式代入求值，故要利用條件語句進行處理．又因為實數(shù)x的取值共分三個范圍，所以要用條件語句的嵌套．【解答】算法框圖如下圖所示．程序語言如下：輸入xIfx>0Theny＝1ElseIfx＝0Theny＝0Elsey＝－1EndIfEndIf輸出yEnd【規(guī)律方法】在編寫條件語句的嵌套中的“條件”時，要注意“If”與“EndIf”的配對，還可以用文字縮進來表示嵌套的層次，以幫助對程序的閱讀和理解．給出30個數(shù)：1,2,4,7，…，其規(guī)律是：第1個數(shù)是1，第2個數(shù)比第1個數(shù)大1，第3個數(shù)比第2個數(shù)大2，第4個數(shù)比第3個數(shù)大3，依此類推，要計算第30個數(shù)的大?。F(xiàn)在已給出了該問題算法的流程圖，如下圖所示．(1)請在圖中判