數(shù)學(xué)北師大版必修3學(xué)案第二章算法初步本章知識體系

本章知識體系專題一算法的設(shè)計(jì)【例1】設(shè)計(jì)一個(gè)算法，求方程x2－4x＋2＝0在(3,4)之間的近似根，要求精確度為10－4，算法步驟用自然語言描述．【思路探究】可以利用二分法的步驟設(shè)計(jì)算法．【解答】算法步驟如下：第一步，令f(x)＝x2－4x＋2，由于f(3)＝－1<0，f(4)＝2>0，所以設(shè)x1＝3，x2＝4.第二步，令m＝eq\f(x1＋x2,2)，判斷f(m)是否等于0，若f(m)＝0，則m為所求的根，結(jié)束算法；若f(m)≠0，則執(zhí)行第三步．第三步，判斷f(x1)f(m)>0是否成立，若成立，則令x1＝m；否則令x2＝m.第四步，判斷|x1－x2|<10－4是否成立，若成立，則x1與x2之間的任意取值均為滿足條件的近似根；若不成立，則返回第二步．【規(guī)律方法】(1)算法設(shè)計(jì)與一般意義上的解決問題不同，它是對一類問題的一般解法的抽象與概括，它往往是把問題的解法劃分為若干個(gè)可執(zhí)行的步驟，有時(shí)是重復(fù)多次，但最終都必須在有限個(gè)步驟之內(nèi)完成．(2)對于給定的問題，設(shè)計(jì)其算法時(shí)應(yīng)注意以下四點(diǎn)：①與解決問題的一般方法相聯(lián)系，從中提煉與概括步驟；②將解決問題的過程劃分為若干步驟；③引入有關(guān)的參數(shù)或變量對算法步驟加以表述；④用簡練的語言將各個(gè)步驟表達(dá)出來．已知平面坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A(－1,0)，B(3,2)，寫出求線段AB的垂直平分線方程的一個(gè)算法．解：第一步，計(jì)算x0＝eq\f(－1＋3,2)＝eq\f(2,2)＝1，y0＝eq\f(0＋2,2)＝1，得AB的中點(diǎn)N(1,1)．第二步，計(jì)算k1＝eq\f(2－0,3－－1)＝eq\f(1,2)，得AB的斜率．第三步，計(jì)算k＝－eq\f(1,k1)＝－2，得AB垂直平分線的斜率．第四步，由點(diǎn)斜式得直線AB的垂直平分線的方程：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.專題二算法的選擇結(jié)構(gòu)【例2】閱讀如圖所示的算法框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間[eq\f(1,4)，eq\f(1,2)]內(nèi)，則輸入的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A．(－∞，－2) B．[－2，－1]C．[－1,2] D．(2，＋∞)【解答】若x?[－2,2]，則f(x)＝2?[eq\f(1,4)，eq\f(1,2)]，不符合題意；當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，由f(x)＝2x∈[eq\f(1,4)，eq\f(1,2)]，得x∈[－2，－1]．【答案】B【規(guī)律方法】框圖表示的是一個(gè)分段函數(shù)的求值問題，題目是由函數(shù)值的范圍求自變量的范圍．如圖是求實(shí)數(shù)x的絕對值的算法程序框圖，則判斷框①中可填x>0或x≥0.解析：本題以絕對值為背景，主要考查了算法框圖，重點(diǎn)考查了選擇結(jié)構(gòu)中的條件語句，根據(jù)絕對值的含義，非負(fù)數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，以及0的特殊性，故填x>0或x≥0.專題三算法的循環(huán)結(jié)構(gòu)【例3】若1＋3＋5＋…＋n>2015，試設(shè)計(jì)算法框圖，尋找滿足條件的最小奇數(shù)n.【解答】因?yàn)樯婕袄奂訂栴}，所以算法含有循環(huán)結(jié)構(gòu)，寫出算法步驟如下：1．S＝0，i＝1.2．S＝S＋i，i＝i＋2.3．判斷S>2015是否成立；(1)若S>2015，則i＝i－2，輸出i；(2)若S<2015，返回步驟2.算法框圖：①畫順序結(jié)構(gòu)圖，即起止框及兩個(gè)處理框，并分別填入循環(huán)初始條件(如圖①)；②畫循環(huán)結(jié)構(gòu)圖，先畫循環(huán)體即兩個(gè)處理框(一個(gè)累加，一個(gè)計(jì)數(shù))，再畫循環(huán)終止條件，即判斷框并判斷S>2015，若不成立，則流向循環(huán)體進(jìn)行再循環(huán)(如圖②)；③畫處理框并填入“i＝i－2”，輸出框輸出i以及起止框表示算法結(jié)束(如圖③最后，合成整個(gè)算法框圖如下圖．【規(guī)律方法】循環(huán)結(jié)構(gòu)必包含順序結(jié)構(gòu)和選擇結(jié)構(gòu)，所以本題具有一定的典型性和示范性；如累加、累乘等需要反復(fù)執(zhí)行的算法設(shè)計(jì)中，宜使用循環(huán)結(jié)構(gòu)，這時(shí)要密切注意“循環(huán)體”、“循環(huán)變量”和“循環(huán)終止條件”三個(gè)重要組成部分的框圖設(shè)計(jì)．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為(B)A．(－2,2) B．(－4,0)C．(－4，－4) D．(0，－8)解析：運(yùn)行程序：x＝1，y＝1，k＝0，s＝1－1＝0，t＝1＋1＝2，x＝0，y＝2，k＝0＋1＝1，因?yàn)?＜3，否，s＝－2，t＝2，x＝－2，y＝2，k＝2，因?yàn)?＜3，否，s＝－4，t＝0，x＝－4，y＝0，k＝3，因?yàn)?≥3，是，輸出(－4,0)．故選B.專題四基本算法語句編寫程序的基本方法是“自上而下，逐步求精”，即首先把一個(gè)復(fù)雜的大問題分解成若干個(gè)相對獨(dú)立的小問題，如果小問題仍較復(fù)雜，則可以把這些小問題再繼續(xù)分解成若干個(gè)子問題，這樣不斷分解，便可使得小問題或子問題簡單到能夠直接用程序的三種基本結(jié)構(gòu)表達(dá)為止，然后，對應(yīng)每一個(gè)小問題或子問題編寫出一個(gè)功能上相對獨(dú)立的程序模塊來，每個(gè)模塊各個(gè)擊破，最后再統(tǒng)一組裝，問題便可得到解決．【例4】高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到符號函數(shù)sgn(x)，其定義為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1x>0，,0x＝0，,－1x<0.))試編寫程序，輸入x的值，輸出y的值．【思路探究】由于此函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，對于輸入的x的值，應(yīng)根據(jù)x的取值范圍，選擇相應(yīng)的解析式代入求值，故要利用條件語句進(jìn)行處理．又因?yàn)閷?shí)數(shù)x的取值共分三個(gè)范圍，所以要用條件語句的嵌套．【解答】算法框圖如下圖所示．程序語言如下：輸入xIfx>0Theny＝1ElseIfx＝0Theny＝0Elsey＝－1EndIfEndIf輸出yEnd【規(guī)律方法】在編寫條件語句的嵌套中的“條件”時(shí)，要注意“If”與“EndIf”的配對，還可以用文字縮進(jìn)來表示嵌套的層次，以幫助對程序的閱讀和理解．給出30個(gè)數(shù)：1,2,4,7，…，其規(guī)律是：第1個(gè)數(shù)是1，第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)大1，第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大2，第4個(gè)數(shù)比第3個(gè)數(shù)大3，依此類推，要計(jì)算第30個(gè)數(shù)的大?。F(xiàn)在已給出了該問題算法的流程圖，如下圖所示．(1)請?jiān)趫D中判