第07講拋物線練習(xí)（解析版）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新教材新高考）

第07講拋物線（精練）

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.拋物線y=gχ2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

【答案】C

由題意，拋物線∕=1y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

4I16J

故選：C

2.若拋物線V=8x上的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3,則點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是（）.

A.7B.6C.5D.4

【答案】C

拋物線丁=8%的焦點(diǎn)F（2,0）,準(zhǔn)線為χ=-2,由P的橫坐標(biāo)為3,

所以P到準(zhǔn)線的距離為5,

故點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是5.

故選：C.

3.直線y=x-l過拋物線（?：丫2=2。武0>0）的焦點(diǎn)/，且與C交于AB兩點(diǎn)，則IABl=（）

A.6B.8C.2D.4

【答案】B

因?yàn)閽佄锞€Uyj2px（p>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為嗚，。），

又直線y=XT過拋物線C:y2=2px（p>0）的焦力:F,所以P=2,拋物線C的方程為丁=4x,由|，

[y=4x

得V-6χ+l=0,所以羽+/=6,所以IABl=XA+J?+P=6+2=8.

故選：B

4.已知拋物線C：V=i6x的焦點(diǎn)F、M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若AORM的

外接圓。與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則圓。與直線x-√5y-2=0相交得到的弦長(zhǎng)為（）

A.2√3B.4C.2√6D.4√3

【答案】D

因?yàn)閊OFM的外接圓與拋物線C:y2=16x的準(zhǔn)線X=T相切，

所以AORW的外接圓的圓心到準(zhǔn)線/的距離等于圓的半徑，

又因?yàn)閳A心在。尸的垂直平分線上，∣0Fl=I=4,

所以圓的半徑為6,圓心的橫坐標(biāo)為2,所以圓心的縱坐標(biāo)為±√^N=±4√Σ,

所以圓心到直線的距離d=R-4、T=2底,

2

所以圓O與直線x-√33'-2=0相交得到的弦長(zhǎng)為2j36-24=4⑺.

故選：D.

5.已知點(diǎn)F是拋物線V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為拋物線上的任意一點(diǎn)，P(3,l)為平面上定點(diǎn)，貝∣J∣Λ∕P∣+∣"F∣

的最小值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

由題意得F(LO)，準(zhǔn)線方程為x=T,設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為￡>,

根據(jù)拋物線的定義可知IMFl=I⑷，

要求IMPl+1”rI取得最小值，即求I網(wǎng)+∣MD∣取得最小，

當(dāng)￡>,M,P三點(diǎn)共線時(shí)IMPl+1Ma最小，即為3-(-1)=4.

所以∣Λ∕P∣+∣Λ∕F∣的最小值為4.

故選：B.

6.已知拋物線C：犬=2Py(P>0)焦點(diǎn)為F,M(m,2)是拋物線C上一點(diǎn)，且點(diǎn)加到拋物線的準(zhǔn)線的距離

為3,點(diǎn)尸在拋物線C上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線/：X-y-2=0的最小距離是()

.萬

A.?B.√2C.1D.?

22

【答案】D

拋物線的準(zhǔn)線為y=-?^,由M到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3,知2-1-5j=3,p=2,所以拋物線C的方程

X2=4y.

設(shè)點(diǎn)p[g∣,點(diǎn)P到直線/：X—y-2=0的距離為d,z-J^2^∣(r-2)2+4∣,當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)，

(；4√2

點(diǎn)尸到直線八χ-y-2=o的距離有最小值受.

2

故選：D.

7.己知點(diǎn)M是拋物線∕=4y上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，C是圓(X-I)2+(y-5)2=l的圓心，則IMFI+1MCl

的最小值為()

A.7B.6C.5D.4

【答案】B

解：設(shè)拋物線爐=”的準(zhǔn)線方程為1:y=-l,C為圓(x+l)2+(y-2)2=l的圓心，

所以C的坐標(biāo)為(-1,2),

過M作/的垂線，垂足為E,根據(jù)拋物線的定義可知IMFl=IMEI,

所以問題求I歷/I+1MCI的最小值，就轉(zhuǎn)化為求IMEl+1歷。I的最小值，

由平面幾何的知識(shí)可知，當(dāng)C,M,E在一條直線上時(shí)，此時(shí)CEjL/,iME∣+∣MC∣有最小值，最小值為

CE=5-(-l)=6,

故選:B.

y

8.已知過拋物線C:V=4x的焦點(diǎn)F且傾斜角為60的直線交C于A,B兩點(diǎn)(A在B的右邊)，P為C上一

點(diǎn)，SAB=SQB,則IPFl+1PQl的最小值為()

A.3B.—C.—D.5

33

【答案】A

由題意，拋物線C:y、4x,可得焦點(diǎn)尸(1,0),

乂因?yàn)橹本€的傾斜角為60,可得斜率α=tan60=6，

故直線AB的方程為y=6(χ-l),

聯(lián)立方程組卜：6(XT),整理得3χ2-10χ+3=0,

y=4x

設(shè)Aa,yj,3(χ2,%),解得χ∣=3,W=；，

因?yàn)?AB=8Q8,所以55-x∣)=8(々-x°)

可得??=2,

過點(diǎn)P作PH垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)H,根據(jù)拋物線的定義，得IPFI+|尸。=IpM+|「。,

當(dāng)QBH三點(diǎn)共線且與X軸平行時(shí)，∣PF∣+IPQl有最小值，最小值IQM=2+1=3,

所以∣PF∣+∣PQ∣的最小值為3.

故選：A.

二、多選題

9.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，拋物線V=6x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,P為拋物線上一點(diǎn)，PAVl,A為垂

足.若直線AF的斜率k=-√L則下列結(jié)論正確的是()

【答案】BC

由拋物線方程為V=6x,

二焦點(diǎn)坐標(biāo)尸(∣,θ),準(zhǔn)線方程為x=-∣,A錯(cuò)B對(duì);

直線4尸的斜率為-G,

???直線AF的方程為y=-?

'vlX=-5時(shí)，y=3-73,

PA±l,A為垂足，

???點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為36，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為仁，3g),C對(duì)；

根據(jù)拋物線的定義可知IPFI=Ipλi=∣-[-∣)=6?D錯(cuò).

故選:BC.

10.拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M(1,2),Aa,乂),8(0月)都在拋物線上，HFA+Ffi+FM=O>

則下列結(jié)論正確的是()

A.拋物線方程為丁=4x

B.尸是一ABM的重心

C.∣E4∣+∣FM∣+∣FB∣=3

D.S&AFO+SNBFO+SAMFO=?

【答案】ABD

對(duì)于A,由M(L2)在拋物線上可得4=2p,即拋物線方程為V=4x,正確；

對(duì)于B,分別取A3,AM的中點(diǎn)E,則以+序=2防，F(xiàn)M=-2FD-即F在中線MD上，同理可得F也

在中線BE上，所以F是,.ASM的電心，正確；

∣uu'∣IUUirIIiiu`I

對(duì)于C,由拋物線的定義可得?用=用+1,/叫=2,『8卜々+1，

IUirUinrUir∣

所以網(wǎng)+1FM∣+∣FB∣=XI+X2+4.

由∕7(l,0)是a/WM的重心，所以*+；+1=1,即x∣+%=2,

IUirUUiruur∣

所以IE4∣+∣FMI+|月?卜玉+々+4=6,不正確；

對(duì)于D,SΔAR=TloFlEI,5%*0=；城=玉；

同理S=BFO=；丫；=芍，S葭MFO=1>

所以S&FO+S4BFO+SZ?MFO=占+W+I=3,IE確.

故選：ABD.

三、填空題

11.位于德國(guó)東部薩克森州的萊科勃克橋(如圖所示)有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地看成拋物線的

一部分.該橋的高度為。米，跨徑為/米，則橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為米.(結(jié)果

用肌/表示)

團(tuán)力

/2

【答案】—

8/2

如圖所示，以橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，橋形的對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系XOy,

結(jié)合題意可知，該拋物線Y=-2Py(P>0)經(jīng)過點(diǎn)C,則，=2p〃，解得P=J故橋形對(duì)應(yīng)的拋物線

的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p=??

/?

故答案為：—.

8〃

12.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C:y2=2pMp>0）的焦點(diǎn)為尸，戶為C上一點(diǎn)，PF與X軸垂直，。為X軸

上一點(diǎn)，且PQ，。尸，若忻^=4,則C的準(zhǔn)線方程為.

【答案】X=-I

拋物線CV=2px（p>0）的焦點(diǎn)嗚,0）,

P為C上一點(diǎn)，PF_Lx軸，所以4=與，將與=^代入拋物線的方程可得力=±。，

不妨設(shè)P（I,P），因?yàn)镼為X軸上一點(diǎn)，WPQ^OP,所以Q在F的右側(cè).

又“FQI=Xo-?∣=4,得XQ=￡+4,即點(diǎn)。（4+§0）,所以，PQ=（4,—p）,

因?yàn)镻QLOP,所以PQ?OP=5x4-p2=0,p>0,:.p=2,

所以拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=T.

故答案為：x=-l.

四、解答題

13.若A（3,2）,尸為拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，尸為拋物線上任意一點(diǎn)，求|即+仍尸|的最小值及取得最小值

時(shí)的戶的坐標(biāo).

【答案】最小值為：，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,2）.

解：將χ=3代入拋物線方程）2=2X,得y=±#，

因?yàn)椴?gt;2,所以點(diǎn)A（3,2）在拋物線內(nèi)部，

設(shè)拋物線上的點(diǎn)尸到準(zhǔn)線/：x=-；的距離為d,

由拋物線的定義可得∣R4∣+∣PF∣=∣%∣+",

由圖可知，當(dāng)時(shí)，∣P4∣+d最小，最小值為此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2,

代入V=2x,得X=2,所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,2）.

14.圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在/時(shí)，拱頂離水面2m,水面寬4m?水面下降Im后，水面寬多少？(精

確到0.1m,參考數(shù)據(jù)卡a2.450).

解：建立如圖所示的坐標(biāo)系,

設(shè)拋物線解析式為y=0rt

將點(diǎn)A(2,-2)代入，得：4a=-2,

解得：a=-：，

12

???--?，

當(dāng)y=τ時(shí)，有_3=_gd,

解得：X=±5/6，

，水面的寬度為2遙=4.9m.

B能力提升

1.已知拋物線C：V=j,的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,點(diǎn)P在C上，直線尸產(chǎn)交X軸于點(diǎn)。，若赤=3∕?,則

點(diǎn)尸到準(zhǔn)線/的距離為（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

解：如圖，過點(diǎn)尸作X軸的垂線，垂足為N,由題知尸（0,1）,即∣O尸|=1

FbIOFll

因?yàn)檗k=3用，所以屆=網(wǎng)=K

所以IPNI=4,所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線/的距離為IPM+1=5.

故選：B

2.已知拋物線C:V=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為拋物線C上一點(diǎn)，點(diǎn)4（2,2）,則IPAl+1PH的最小值為（）

A.√5B.2C.√iθD.3

【答案】D

拋物線Uy2=4x的準(zhǔn)線/：x=-l,顯然點(diǎn)A在拋物線C內(nèi)，過A作AML/于M,交拋物線C于P,如圖,

在拋物線C上任取不同丁點(diǎn)P的點(diǎn)P'，過P'作P于點(diǎn)N,連PF,AN,PAFF,

由拋物線定義知，?PA?+?PF?=?PA?+?PM?^AM?<]AN?<]PA?+?P'NHP'A?+?P'F?,

于是得(I尸川+1P尸1)?向=IAM∣=2-(-l)=3,即點(diǎn)P是過A作推線/的垂線與拋物線C的交點(diǎn)時(shí)，∣PAl+∣PM

取最小值，

所以IPH+1PFl的最小值為3.

故選：D

3.已知點(diǎn)M(0,4),點(diǎn)P在曲線f=8y上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓=1上運(yùn)動(dòng)，則華魯?shù)淖钚≈凳?/p>

I

()

A.√3B.√5C.4D.6

【答案】C

拋物線∕=8y的焦點(diǎn)坐標(biāo)網(wǎng)0,2),該點(diǎn)就是V+(y-2)2=l的圓心，設(shè)PjX,f],

I8√

要使耨^最小，則IpQl取得最大附+1=1+3,

2

?-4

∣PM∣2?R^+2

旖r的最小值即一的最小值，令土+3=f,fe[3,+8）

8

I'≤÷3

8

即產(chǎn)8-24+（一7）2=7_&+25=,+”_6力后_6=4，

ttt

當(dāng)f=5時(shí)取得最小值，此時(shí)上+3=5/2=16.

8

故選：C

C綜合素養(yǎng)

1.已知拋物線V=4x,P是拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M(見0)(加cR),求IPMl的最小值，并指出此時(shí)點(diǎn)P

的坐標(biāo).

【答案】見解析.

22

設(shè)P(Λ0,%),因?yàn)锳f(W,0),〃?€/?,所以IPM2=(m-Λ0)+γ0,

又%?=4ΛO(XO≥O,>?O∈/?),

222t

所以IPM*=(w-x0)+4J?=[Λ?+(2-∕H)]-(2-∕n)+nt(x0≥0),

2

當(dāng)初<2時(shí)，=^m-xny+4x0=[x0+(2-w)]^—(2—∕n)+nΓ{xa≥0),

在[0,e)上是增函數(shù)，所以當(dāng)Xi)=O時(shí)，|尸”|最小值為舊I，此時(shí)p(o,o);

22

當(dāng)mN2時(shí)，∣PΛ∕∣-=(m-?)^+4x0=[?+(2-m)]^-(2-w)+m(x0≥0),

在[0,m-2)上是減函數(shù)，在(〃L2,+OO)是增函數(shù)，

所以當(dāng)超=機(jī)-2時(shí)，IPM最小值為2√^=T,此時(shí)P(,”-2,±2√^).

2.已知橢圓。：4+4=l(α>?>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸/、F2,其中尸2也是拋物線C2：V=4x的焦點(diǎn)，

ab

M是C/與C2在第一象限的交點(diǎn)，且IMF2∣=*

⑴求橢