第5講 導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性5種題型總結(jié)（解析版）-2024高考數(shù)學(xué)?？碱}型

第5講導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性5種題型總結(jié)【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：含參數(shù)單調(diào)性討論①先求函數(shù)定義域；②求導(dǎo)，化簡，通分，分解因式；③系數(shù)有未知數(shù)，先考慮系數(shù)的情況；再考慮情況，求出的根，判斷根與定義域，及根的大小關(guān)系，穿針引線，判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)，進(jìn)而判斷單調(diào)性；④若不能分解因式，若分子為二次函數(shù)則考慮討論判別式，若不是二次函數(shù)可以考慮二次求導(dǎo)【題型目錄】題型一：導(dǎo)函數(shù)為一次函數(shù)型題型二：導(dǎo)函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)型題型三：導(dǎo)函數(shù)為二次可分解因式型題型四：導(dǎo)函數(shù)為二次不可因式分解型題型五：導(dǎo)函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型【典型例題】題型一：導(dǎo)函數(shù)為一次函數(shù)型【例1】（2023河南·高三開學(xué)考試（文））已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞；當(dāng)時(shí)，數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，討論和兩種情況，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】（1）由題知函數(shù)的定義域?yàn)?，①?dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞；②當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞；當(dāng)時(shí)，數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；【例2】（2022·遼寧營口·高二期末）已知函數(shù)（其中a為參數(shù)）．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對分類求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1），，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；綜上：時(shí)，在上遞增，無減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；【例3】（2022·江西·二模（文））己知函數(shù)，討論的單調(diào)性?！窘馕觥?，①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增②當(dāng)時(shí)，令得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；【例4】（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性?！窘馕觥俊?，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【題型專練】1.已知函數(shù)，討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；【答案】見解析【解析】【分析】對進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)的取值范圍分類討論的單調(diào)性，（Ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，，在單調(diào)遞減（Ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，，在單調(diào)遞增（Ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減綜上所述，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減2.已知函數(shù)，其中，討論的單調(diào)性；【答案】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【分析】，討論或判斷的單調(diào)性；【解析】，當(dāng)時(shí)，當(dāng)恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．3.（2022·安徽·歙縣教研室高二期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分和兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】（1）解：由知定義域?yàn)椋尧贂r(shí)，在上，故在上單調(diào)遞增；②時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.題型二：導(dǎo)函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)型【例1】（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，對任意的，，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；【例2】（2022·河南安陽·高二期末（文））已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)見解析【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后，分和兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，(1)，．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【例3】（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，．令，解得，則有當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【題型專練】1.設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間．【答案】答案見解析【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，分成和兩種情況討論.【詳解】的定義域?yàn)?，．若，則，所以在上單調(diào)遞增．若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．2.已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】【分析】對求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)定義域，討論、時(shí)的符號，確定的單調(diào)區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，可得；令，可得，此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；3.已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.【答案】答案見解析﹒【解析】【分析】求f(x)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a的范圍討論導(dǎo)數(shù)正負(fù)，從而判斷f(x)單調(diào)性．，當(dāng)，即時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，由，得，由，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．題型三：導(dǎo)函數(shù)為二次可分解因式型【例1】（2022·天津·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】(1)當(dāng)時(shí)，

，故切線方程為：(2)，①當(dāng)時(shí)，，僅有單調(diào)遞增區(qū)間，其為：②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：綜上所述：當(dāng)時(shí)，僅有單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：【例2】（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)討論f（x）的單調(diào)性；【解析】(1)由題意得：f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)時(shí)，，∴在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得：∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【例3】（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測）函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，此時(shí)單調(diào)遞減，令，此時(shí)單調(diào)遞增.綜上可得：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.【例4】（2022·廣東·潮州市瓷都中學(xué)三模）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】若時(shí)，，在上單調(diào)遞增；若時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，若時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù).綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【例5】（2022·湖南·長沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)閯t：當(dāng)，時(shí)，恒成立，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得或(舍去)，令，，令，所以在上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增．綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)【例6】（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【解析】(1)解：當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，故在點(diǎn)處的切線方程是，即；(2)解：因?yàn)槎x域?yàn)?，所以，因?yàn)?，?dāng)，即當(dāng)時(shí)，由，解得或，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，由，解得或，綜上，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，；【題型專練】1.設(shè)函數(shù)，其中．討論的單調(diào)性.【答案】答案見解析【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分，兩種情況討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，由，有.此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.2.已知函數(shù)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；【答案】答案見解析【解析】【分析】求導(dǎo)數(shù)，然后對進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；解：求導(dǎo)可得①時(shí)，令可得，由于知；令，得∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②時(shí)，令可得；令，得或，由于知或；∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；④時(shí)，令可得；令，得或，由于知或∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；3.設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】討論過程見解析.【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合的不同取值分類討論進(jìn)行求解即可.由，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)一元二次方程兩根之間的大小關(guān)系分類討論是解題的關(guān)鍵.題型四：導(dǎo)函數(shù)為二次不可因式分解型【例1】（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】由得，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，即，①?dāng)，即時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，，的解或，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，同理在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【例2】（2022·天津南開·三模）已知函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)為討論的單調(diào)性；【解析】解：由已知可得，故可得．當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，解得，或，記，，則可知當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極大值極小值所以，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增．【例3】（2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學(xué)研究室二模（文））已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合，則，同時(shí)注意定義域?qū)ΩM(jìn)行取舍；（2）根據(jù)題意，分和兩種情況討論處理．【解析】(1)，令，得．因?yàn)?，則，即原方程有兩根設(shè)為，所以（舍去），．則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．【題型專練】1.已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合，則，同時(shí)注意定義域?qū)ΩM(jìn)行取舍；，令，得．因?yàn)?，則，即原方程有兩根設(shè)為，所以（舍去），．則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．2.已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】，令，其對稱軸為，令，則.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，對稱軸為，若，即，恒成立，所以，所以在上單調(diào)遞增；若時(shí)，設(shè)的兩根，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；若時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；3.已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；.【解析】的定義域?yàn)?，，對于函?shù)，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在恒成立．在恒成立，在為增函數(shù)；②當(dāng)，即或時(shí)，當(dāng)時(shí)，由，得或，，在為增函數(shù)，減函數(shù)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由在恒成立，在為增函數(shù)．綜上，當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，減函數(shù)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)．題型五：導(dǎo)函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型【例1】（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（理））設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性?！窘馕觥坑深}，①當(dāng)時(shí)，，令則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令則，：當(dāng)，即時(shí)，在當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，在當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【例2】（2022·全國·二模（理））已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【解析】設(shè)．當(dāng)時(shí)，則，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【例3】（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），其中．試討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，而，則當(dāng)時(shí)，即在R上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得或，則有或，由，解得，所以在上遞減，在和上遞增．【例4】（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【解析】定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【題型專練】1.已知函數(shù)，．若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】答案見解析【解析】【分析】求出函數(shù)f(x)定義域并求出其導(dǎo)數(shù)，分，兩類確定不等式、的解集即可.【詳解】解：，，當(dāng)時(shí)，令，得：；令，得；當(dāng)時(shí)，令，得：或，令，得；因此，當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減；當(dāng)時(shí)，在，遞減；在遞增．2.【2021年新高考2卷】已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；3.（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)