北京市西城區(qū)三帆中學(xué)2022-2023學(xué)年下學(xué)期九年級開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年北京市西城區(qū)三帆中學(xué)九年級（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.一個不透明的盒子中裝有3個紅球，7個白球，這些球除顏色外，沒有任何其它區(qū)別，從這個盒子中隨機摸出1個球，摸到紅球的概率為(

)A.110 B.15 C.3102.如圖所示，△ADE∽△ACA.AD：BD=AE：AC

B.DE：BC=AD：3.二次函數(shù)y=(x?A.(?3,?4) B.(4.一元二次方程ax2+aA.有一個實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根 D.有兩個實數(shù)根可能相等，也可能不相等5.如圖所示，AB是圓O的一條弦.且AB=OA.則弦A.60°或120°

B.60°

C.30°或6.已知函數(shù)y=k(x?1A. B.

C. D.7.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M(0,5)，N(2,yN)，且A，B分別是OA.2個

B.3個

C.2個或3個

D.1個或2個

8.如圖所示在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD，A(6,3)，B，A.y=32x

B.y=18x

二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。9.請你寫出一個一元二次方程，該方程有相同的兩根，且根都為1______．10.一個底面半徑為2，母線長為10的圓錐的側(cè)面積是______．

11.已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(a,1)，B(b,2)，C(12.下列說法中正確的是______．

①若一個數(shù)的絕對值是1，則這個數(shù)為1“是必然事件；

②如圖，已知正方形ABCD，以A為圓心，AB長為半徑作⊙A，則“點C在⊙A外”是必然事件；

③在一定條件下，一件事情發(fā)生的頻率會隨著試驗次數(shù)發(fā)生改變，隨著大量重復(fù)性試驗次數(shù)增加概率也會發(fā)生改變；

④我們可以利用頻率估計概率的方法估算出圓周率的值；

⑤13.如圖，⊙O中M，N分別是弦AB，CD的中點，且AB=CD，AB和CD不平行，則

14.如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，若BC：AB：AD=3：4：6，且四邊形AB

15.在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y1=x?2m+2與y2=x2?mx16.△ABC中，AB=AC，∠A=α，點D在AB邊上(不與A，B重合)，過點D作DE/?/BC交AC于E，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)得到△AD′E′.下列結(jié)論一定正確的是______．

①△AD′E′∽△ABC

②只有當(dāng)β>α?xí)r，BD′

三、計算題：本大題共1小題，共5分。17.解方程：2x2?四、解答題：本題共11小題，共63分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.(本小題5分)

已知：a是方程x2?3x?19.(本小題5分)

已知關(guān)于x的方程mx2?(m+3)x+320.(本小題5分)

已知：直線l及直線l外一點A．

求作：直線AB，使得AB/?/l．

小銳同學(xué)的作法如下：

(1)在直線l上任取一點O；

(2)以點O為圓心，OA的長為半徑畫圓，⊙O交直線l于點C，D(點C在左側(cè))；

(3)作⊙O直徑AE，以點C為圓心，CE的長為半徑畫弧交⊙O于點B(點B與點A位于直線l同側(cè))；

(4)作直線AB，則直線AB即為所求．

請你依據(jù)小銳同學(xué)設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，完成下列問題．

(1)使用無刻度的直尺和圓規(guī)，根據(jù)小銳同學(xué)的作法完成作圖(保留作圖痕跡)；

(2)完成下面的證明：

證明：連接AC．

∵在⊙O中，OA=O21.(本小題5分)

甲、乙、丙三人玩“石頭、剪刀、布”猜拳游戲，游戲時的各方每次用一只手做“石頭”、“剪刀”、“布”三種手勢中的一種，規(guī)定“石頭”勝“剪刀”、“剪刀”勝“布”、“布”勝“石頭”.兩人游戲時，若出現(xiàn)相同手勢，則不分勝負(fù).三人游戲時，若三人的手勢都相同或互不相同，則不分勝負(fù)；若出現(xiàn)兩人手勢相同，則視為一種手勢與第三人所出手勢進(jìn)行對決，此時參照兩人游戲規(guī)則.例如甲、乙二人同時出石頭，丙出剪刀，則甲、乙獲勝.假設(shè)甲、乙、丙三人每次出這三種手勢的可能性相同．

(1)用畫樹狀圖或列表的方法表示甲和乙玩“石頭、剪刀、布”游戲，出第一次手勢時所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(其中石頭、剪刀、布分別用序號A、B、C表示)；

(222.(本小題6分)

如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象交于A(1,2)，B(n,?1)兩點，與23.(本小題6分)

如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊上任意一點(不與點C、D重合)，作AF⊥AE交CB的延長線于點F．

(1)求證：△ADE∽△AB24.(本小題6分)

如圖，△ABC中，AB=BC，點A在⊙O外，BC是⊙O的弦，DO⊥BC，連接OD.若AC交OD于點E，交OB于點F，滿足O25.(本小題5分)

如圖1是古代的一種遠(yuǎn)程投石機，其投出去的石塊運動軌跡是拋物線的一部分.其中蘊含了物理中的“杠桿原理”，在如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中，將投石機置于某山坡的底部(原點O處)，山坡橫截面可近似用拋物線C1：y=?1120x2+35x表示，石塊從投石機豎直方向上的點D處被投出，在山坡上的點A處建有垂直于水平面的城墻AB.已知，石塊運動軌跡所在拋物線C2的頂點坐標(biāo)是(40,20)，OD26.(本小題6分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx?3a經(jīng)過點A(?3,0)，

(1)求拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)；

(2)點M(27.(本小題7分)

如圖，在四邊形ABCD中，BC=CD，對角線AC，BD相交于點P，點M在AC上，連接BM，DM，∠ACD=∠CBM=∠ABD．

(128.(本小題7分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，存在一個圖形W，P為圖形W上任意一點，線段PO(點P與O不重合)繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PO′，延長PO′至點Q，使得PQ=2OP，若點M為線段PQ上一點(點M可與線段PQ端點重合)，則稱點M為圖形W的“二倍點”．

已知點A(0,1)、點B(0,2)．

(1)M1(1,1)，M2(3,1)，M3(1,2)，M4(1,4)答案和解析1.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可得：一個不透明的盒子中裝有3個紅球，7個白球，共10個，

摸到紅球的概率為：310．

故選：C．

根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．

此題考查了概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P2.【答案】D

【解析】解：A、由△ADE∽△ACB，得到AD：AC=AE：AB，故A不符合題意；

B、由△ADE∽△ACB，得到DE：BC=AD：AC，故B不符合題意；

C、由△ADE∽△A3.【答案】B

【解析】解：∵二次函數(shù)y=(x?5)(x?1)=x24.【答案】D

【解析】解：∵Δ=a2?4×a×(?a)=a2+4a2≥0，

5.【答案】B

【解析】解：∵AB=OA，OA=OB，

∴△AOB是等邊三角形，

∴∠AOB=60°，

∴A6.【答案】B

【解析】解：一次函數(shù)y=k(x?1)可化為：y=kx?k，(k≠0)，

A、y=kx?k過二、四象限，k<0；又y=kx?k與y軸負(fù)半軸相交，k>0，故A選項錯誤；

B、y=kx?k中k>0，y=?kx中k7.【答案】C

【解析】解：∵M(jìn)(0,5)，N(2,yN)，且A，B分別是ON，MN的中點，

∴A(1,yN2)，B(1,5+yN8.【答案】D

【解析】解：過A作AE⊥x軸于E，過C作CF⊥y軸于F，設(shè)BC與y軸交于G，

∵A(6,3)，

∴AE=3，OE=6，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD=AB=5，∠ABC=∠DCB=90°

∴BE=AB2?AE2=4，

∴OB=2，

過C作CH⊥x軸于H，

∵∠BOG=∠GCD=90°，∠CGD=∠BGO，

∴∠OBG=∠CDG，

∵∠ABE+∠GBO=∠BAE+∠ABE=90°，

∴9.【答案】(x?1【解析】解：該方程為(x?1)2=0，

故答案為：(10.【答案】20π【解析】解：根據(jù)題意得圓錐的側(cè)面積=12×2π×2×1011.【答案】c<【解析】解：∵A(a,1)，B(b,2)，C(c,?2)三個點在反比例函數(shù)y=2x的圖象上，

∴a=2，b=1，c=?1，

∴c12.【答案】②④【解析】解：①若一個數(shù)的絕對值是1，則這個數(shù)為1“是隨機事件，故錯誤；

②如圖，已知正方形ABCD，以A為圓心，AB長為半徑作⊙A，因為AC>AB，則“點C在⊙A外”是必然事件，故正確；

③在一定條件下，一件事情發(fā)生的頻率會隨著試驗次數(shù)發(fā)生改變，隨著大量重復(fù)性試驗次數(shù)增加概率不會發(fā)生改變，故錯誤；

④我們可以利用頻率估計概率的方法估算出圓周率的值，故正確；

⑤在一個袋子里有若干個紅球和黑球，隨意摸一個球，不是紅球，就是黑球，因為紅球和黑球的個數(shù)不一定相同，所以摸出紅球的概率不一定是0.5，故錯誤．

所以正確的是13.【答案】∠D【解析】解：連接ON，OM，

∵M(jìn)，N分別是弦AB，CD的中點，

∴ON⊥CD，OM⊥AB，

∴∠OND=∠OMA=90°，

∵AB=CD，

∴ON14.【答案】20

【解析】解：∵四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，

∴AB+CD=BC+AD，

∵BC：AB：AD=3：4：6，

∴設(shè)BC=3x，AB=4x，AD=6x，

∵4x+CD=3x+6x，

∴CD15.【答案】1<【解析】解：∵函數(shù)y1=x?2m+2與y2=x2?mx的圖象交于A(xA,yA)，B(xB,yB)兩點，

∴x?2m+2=x2?mx，

∴x2?(m+1)x+2m?2=0，

∴xA+xB=m+1，xA?xB=2m?2，

Δ16.【答案】①③【解析】①∵DE//BC．

∴∠ADE=∠ABC.∠ACB=∠ABD

∴△ADE∽△ABC．

∵AB=AC．

∴ADAE=ABAC=1，AD=AE．

由旋轉(zhuǎn)知：△ADE≌△AD′E′

∴△AD′E′∽△ABC.故①符合題意．

②∵∠DAE=∠D′AE′=∠BAC．

∴∠BAD′=∠CAE′

又AB=AC，AD′=AE′=AD=AE．

∴

∴△BAD′≌△CAE′(SAS)，

∴BD′=CE′與β無關(guān)．故②不符合題意．

③當(dāng)D與E′重合時，

∴AD′=AE，DD′=DE，AD=AD．

∴AD′=AEDD′=DEAD=AD．

∴△17.【答案】解：(x?2)(2x+1)=0，【解析】利用因式分解法把原方程化為x?2=0或2x+1=0，然后解兩個一次方程即可．

本題考查了解一元二次方程?18.【答案】解：∵a是方程x2?3x?1=0的一個根，

【解析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到a2?3a=19.【答案】(1)證明：∵m≠0，

Δ=(m+3)2?4m×3

=m2?6m+9

=(m?3)2，

而(m?3)2≥0，即△≥0，

【解析】(1)先計算判別式的值得到Δ=(m+3)2?4m×3=(m?3)2，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的值得到△≥20.【答案】等邊對等角

在同圓中，相等的弦所對的弧相等

在同圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等

【解析】(1)解：如圖所示．

(2)證明：連接AC．

∵在⊙O中，OA=OC，

∴∠ACD=∠CAE.(等邊對等角)

∵CB=CE，

21.【答案】解：(1)ABCA(((B(((C(((由表格可知，共有6種等可能出現(xiàn)的結(jié)果．

(2)畫樹狀圖如下：

共有27種等可能的結(jié)果，其中甲、乙、丙三人的手勢都相同或互不相同的結(jié)果有：(A,A,A)，(A,B,C)，(A,C,B)，(【解析】(1)列表即可得出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．

(222.【答案】解：(1)∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象交于A(1,2)，B(n,?1)兩點，

∴k=1×2=n×(?1)，

∴n=?2，k=2，

∴反比例函數(shù)解析式為：y=2x【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求出兩個函數(shù)解析式即可；

(2)求出點C坐標(biāo)得到線段OC長，根據(jù)S△AO23.【答案】(1)證明：在矩形ABCD中，∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，

∴∠ABF=∠D=90°，

∵AF⊥AE，

∴∠EAF=∠BAF+∠EAB=【解析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠DAB=∠ABC=∠24.【答案】(1)證明：∵OE=OF，

∴∠OEF=∠OFE，

∵∠OEF=∠CED，∠OFE=∠AFB，

∴∠CED=∠AFB，

∵AB=BC，

∴∠C=∠A，

∵DO⊥BC，

∴∠ODC=90°，

∴∠A+∠AFB=∠C+∠CED=90°，

∴∠A【解析】(1)由OE=OF，得∠OEF=∠OFE，則∠CED=∠AFB，由AB=BC，得∠C=∠A，則∠A+∠AFB=∠C+∠CED=9025.【答案】解：(1)∵石塊運動軌跡所在拋物線C2的頂點坐標(biāo)是(40,20)，OD=4，

∴石塊運動軌跡所在拋物線C2的解析式為y=a(x?40)2+20，

將(0,4)代入，得1600a+20=4，

解得a=?1100

∴拋物線C2的解析式為y【解析】(1)設(shè)石塊運行的函數(shù)關(guān)系式為y=a(x?40)2+20，用待定系數(shù)法求得a的值即可求得答案；

(2)把x=50代入拋物線C126.【答案】解：(1)A(?3,0)代入y=ax2+bx?3a，

0=9a?3b?3a，

∴b=2a

y=ax2+2ax?3a=a(x+1)2?4a．

拋物線對稱軸為：x=?1，

頂點坐標(biāo)為(?1,?4a)．

(2)①若a=?1，y=?x2?2x+3=?(x?1)(x+3)．

拋物線對稱軸為：x=?1，

n?1≤xM≤n+3

Ⅰ若n+3≤?1，即n≤?4，

則x=n+3時，p=?(n+3)2?2(n+3)+3=?n2?8n?12，

x=n?1時，q=?(n?1)2?2(n?1)+3=?n2+4，

∴p?q=?8n?16，

∵n≤?4，

∴p?q≥16．

Ⅱ若n?1≤?1<n+3，即?4<n≤0，

則p=4．【解析】(1)二次函數(shù)一般式，化為頂點式，可得到對稱軸和頂點坐標(biāo)．

(2)①a=?1，當(dāng)n=?2時，即一3≤x≤1時，p=4，q=27.【答案】(1)證明：∵∠CBM=∠ABD，

∴∠CBM+∠DBM=∠ABD+∠DBM，

即∠ABM=∠CBD，

∵∠ACD=∠ABD，∠APB=∠DPC，

∴∠BAC=∠CDB，

∵BC=CD，

∴∠CDB=∠CBD，

∴∠ABM=∠BAC，

∴AM=BM；

(2)證明：∵∠ACD=∠ABD，∠APB=∠DPC，

∴△APB∽△DPC，

【解析】(1)根據(jù)角的和差求出∠ABM=∠CBD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC=∠CDB