普通高中學業(yè)水平考試高考數(shù)學模擬卷2

普通高中學業(yè)水平考試數(shù)學模擬卷(二)(時間:80分鐘,滿分:100分)一、單項選擇題(本大題共12小題,每小題3分,共36分.每小題列出的四個備選項中,只有一個是符合題目要求的,不選、多選、錯選均不得分)1.已知集合A={-1,0,1},集合B={x∈N|x2=1},那A∩B=()A.{1} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,1}2.設z=2+i1-i,則z的共軛復數(shù)的虛部為A.32 B.32i C.-32 D.3.在下列函數(shù)中,定義域為(0,+∞)的是()A.f(x)=ex B.f(x)=lnx C.f(x)=1x D.f(x)4.“θ=π6”是“cosθ=32”的(A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.如圖所示的電路圖,同時閉合兩個開關能形成閉合電路的概率是()A.13 B.23 C.126.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ為實數(shù),(a+λb)∥c,則λ=()A.14 B.12 C.1 D7.已知球O的體積為36π,則該球的表面積為()A.6π B.9π C.12π D.36π8.已知3a+27b=6,則a+3b的最大值是()A.23 B.6 C.2 D.229.函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結論正確的是()A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<010.若p:x<2;q:-1<x<2,則p是q成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11.如圖,O在△ABC的內(nèi)部,D為AB的中點,且OA+OB+2OC=0,則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為(A.3 B.4 C.5 D.612.如圖,矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直,BD=2,DE=1,點P是線段EF上的動點,則下列說法中錯誤的是()A.三棱錐A-CDE的外接球被平面ACF所截得的截面面積是9B.直線DP與BC所成角余弦值的取值范圍是0,105C.直線DP與平面ACF所成角的取值范圍是0,π4D.不存在點P,使得直線DP∥平面ACF二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.每小題列出的四個備選項中,有多個是符合題目要求的,全部選對得4分,部分選對且沒有錯選得2分,不選、錯選得0分)13.圖象經(jīng)過第三象限的函數(shù)是()A.y=x2 B.y=x3 C.y=x23 D.y=x14.設α,β是兩個不同的平面,m,n是兩條不同的直線,()A.若m⊥α,n⊥α,則m∥nB.若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥βC.若α∥β,m?α,n⊥β,則m⊥nD.若α⊥β,m⊥β,m?α,則m∥α15.在銳角三角形ABC中,有()A.sinA+sinB>sinC B.sin2A+sin2B>sin2CC.cosA+cosB>sinC D.cos2A+cos2B>sin2C16.函數(shù)f(x)=x2+a|x|(a∈R)的圖象可能是三、填空題(本大題共4小題,共15分)17.若a=log23,b=log34,則ab=,log2a+log2b=.

18.若f(x)=sinωx+π3+12(ω>0)在π,3π2上無零點,則ω的取值范圍為.

19.已知a>0,b>0,且a+2b=1,則12b+820.已知向量|a|=1,向量b滿足|a-b|+|a+b|=4,則|b|的最小值為.

四、解答題(本大題共3小題,共33分)21.(11分)某班進行了一次數(shù)學測試,并根據(jù)測試成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中m的值;(2)估計這次測試成績的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);(3)在測試成績位于區(qū)間[80,90)和[90,100]的學生中,采用分層抽樣,確定了5人,若從這5人中隨機抽取2人向全班同學介紹自己的學習經(jīng)驗,設事件A為“抽取的兩人的測試成績分別位于[80,90)和[90,100]”,求事件A的概率P(A).22.(11分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,點A1在平面ABC內(nèi)的投影D在線段AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.(1)證明:AC1⊥A1B;(2)設直線AA1與平面ABC所成角為60°,求二面角A1-AB-C的平面角的余弦值.23.(11分)已知函數(shù)f(x)=-1ax+1+x-1ax,(1)若f(x)是奇函數(shù),求a的值;(2)證明:f(x)在(0,+∞)內(nèi)有唯一的零點;(3)設f(x)在(0,+∞)內(nèi)的零點為x0,證明:x0-1>loga2-1a.

普通高中學業(yè)水平考試數(shù)學模擬卷(二)1.A解析由于B={x∈N|x2=1}={1},所以A∩B={1}.故選A.2.C解析因為z=2+i1-i=(2+i)(1+i)(1-i3.B解析對于A選項,函數(shù)f(x)=ex的定義域為R;對于B選項,函數(shù)f(x)=lnx的定義域為(0,+∞);對于C選項,函數(shù)f(x)=1x的定義域為{x|x≠對于D選項,函數(shù)f(x)=|x|的定義域為R.故選B.4.A解析當θ=π6時,cosθ=cosπ而當cosθ=32時,θ=π6+2kπ或θ=-π6+2kπ,k所以“θ=π6”是“cosθ=32”的充分不必要條件,故選5.B解析根據(jù)題意,閉合兩個開關所有的可能為(S1,S2),(S1,S3),(S2,S3),其中能形成閉合電路的為(S1,S2),(S1,S3),所以同時閉合兩個開關能形成閉合電路的概率為23.故選B6.B解析因為向量a=(1,2),b=(1,0),所以a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),因為(a+λb)∥c,c=(3,4),所以1+λ3=24,解得λ=7.D解析設球的體積為R,則由題可得43πR3=36π,解得R=3,則該球的表面積為4π×32=36π.故選D8.C解析由3a+27b=6有3a+27b=3a+33b≥23a·33b=23a+3b,當且僅當a=3b=1時,等號成立.所以6≥23a+3b,即36≥4×3a+3b,所以9≥3a+39.D解析由函數(shù)f(x)=ax-b的圖象可知,函數(shù)f(x)=ax-b在定義域上單調遞減,∴0<a<1,排除AB選項;函數(shù)f(x)=ax-b圖象是由y=ax向左平移所得,∴-b>0,∴b<0.故D選項正確.故選D.10.B解析由x<2不能推出-1<x<2,但-1<x<2可以推出x<2,所以p:x<2是q:-1<x<2的必要不充分條件.故選B.11.B解析∵D為AB的中點,∴OA+OB=2∵OA+OB+2OC=0,∴OC=-OD,∴O是CD∴S△AOC=S△AOD=12S△AOB=14S△ABC,故選12.D解析在△ACF中,AF=CF=BC2+BF2=3,顯然有FO⊥AC,sin∠FAC=FOAF=BO以DA,DC,DE為長、寬、高作長方體,如圖,則三棱錐A-CDE的外接球即為長方體的外接球,三棱錐A-CDE的外接球被平面ACF所截得的截面是△ACF的外接圓,其面積為πR2=9π8,故A因為平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,ED⊥BD,ED?平面BDEF,所以ED⊥平面ABCD,因為BF∥ED,所以BF⊥平面ABCD.因為AD,AB,BC,BD?平面ABCD,所以ED⊥AD,ED⊥BD,BF⊥AB,BF⊥BC,因為BD=2,DE=1,所以AD=2,EA=3,DF=5,AF=CF=3,又因為BC∥AD,所以直線DP與BC所成角為∠ADP(或其補角),因為DA·DP=DA·(DE+EP)=DA·(DE+λEF)=λDA·DB=22λcos45°而|DP|2=(DE+λEF)2=1+4λ2,|DA|=2,所以|DP|=1+4λ當λ=0時,cos∠ADP=DA·DP當0<λ≤1時,cos∠ADP=DA·綜上,0≤cos∠ADP≤105,故B正確設點D到平面ACF的距離為d,因為AF=FC=3,AC=BD=2,所以S△AFC=12AC·OF=12×2×2=2,又因為S△ABC=12AB由VB-AFC=VF-ABC=13dS△AFC=13FB·S△即2d=1,解得d=22,設直線DP與平面ACF所成角為θ取EF中點G,連接DG,令AC∩BD=O,連接FO,如圖,當點P與點G重合時,直線DP∥平面ACF,直線DP與平面ACF所成角θ=0,當點P由點G向點E,F運動時,θ變大,當運動到點E時,因為DE∥BF,所以sinθ=dBF=22,由0≤θ≤π2知當運動到點F時,sinθ=dDF綜上知,θ∈0,π4,故C正確;在正方形ABCD中,O為BD中點,而四邊形BDEF是矩形,則DO∥GF且DO=GF,即四邊形DGFO是平行四邊形,即有DG∥FO,而FO?平面ACF,DG?平面ACF,于是得DG∥平面ACF,當點P與點G重合時,直線DP∥平面ACF,故D錯誤;故選D.13.BD解析由冪函數(shù)的圖象可知,在選項A中,y=x2過第一、二象限;在選項B中,y=x3過第一、三象限;在選項C中,y=x23=3x2≥在選項D中,y=x-1過第一、三象限.故選BD.14.ACD解析對選項A,垂直于同一平面的兩條直線平行,正確;對選項B,當m∥n時結論未必成立,錯誤;對選項C,α∥β,n⊥β,故n⊥α,又m?α,故m⊥n,正確;對選項D,α⊥β,m⊥β,則m∥α或m?α,排除m?α,則m∥α,正確.故選ACD.15.ABC解析對于A,根據(jù)正弦定理,因為a+b>c可得sinA+sinB>sinC,故A正確;對于B,因為cosC=a2+b2-c22ab>0可得a2+b2>c2,再由正弦定理可得sin2A+sin2對于C,因為0<A,B<π2,所以0<sinA,sinB<1,所以cosA+cosB>cosAsinB+cosBsinA=sin(A+B)=sinC,故C正確對于D,當A=B=C=π3?cos2A+cos2B=12<34=sin2C,故D16.BCD解析∵f(-x)=(-x)2+a|-x|=x2+a|∴f(x)為偶函數(shù),當a=0時,f(x)=x2(x≠0),此時圖象與B相符;當a<0時,若x>0,則f(x)=x2+ax,此時f(x)單調遞增,由偶函數(shù)性質可知,f(x)在(-∞,0)內(nèi)單調遞減,圖象與C相符當a=1時,f(x)=x2+1|x|,函數(shù)圖象類似D,當x→+∞時,f(x)故圖象不可能為A.故選BCD.17.21解析由換底公式得a=log23=lg3lg2,b=lg4lg3=2lg2lg3,所以ab=lg3lg2·2lg2lg3=2,log2a+log2b=log2(18.0,59∪56,1∪32,179解析因為函數(shù)f(x)=sinωx+π3+12(ω>0)在π,3π2上無零點,所以12×2πω>3π2由f(x)=sinωx+π3+12=0,得sinωx+π3=-12,所以ωx+π3=7π6+2kπ(k∈Z)或ωx+π3=11π由ωx+π3=7π6由ωx+π3=11π6由ωx+π3=19π6,得x=17π6ω,因為函數(shù)f(x)=sinωx+π3+12(ω>0)在π,3π2上無零點,所以5π6ω>3π2或5π6ω<19.252解析12b+8a+b=12b+162a+2b=12b當且僅當2a+2b2b=32b2即12b+20.3解析由平行四邊形性質可得|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2),由基本不等式可得|a+b|2+|a-b|2≥(|a+b|+|a-b|)22,當且僅當|a+b|=|a-b|時,等號成立,所以2(|a|2+|b|2)≥(|a+b|+|a-b|)221.解(1)由頻率分布直方圖的性質,可得(0.004+0.006+0.020+0.030+0.024+m)×10=1,解得m=0.016.(2)根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式,這次測試成績的平均數(shù)為x=(0.004×45+0.006×55+0.020×65+0.030×75+0.024×85+0.016×95)×10=76.2(分).(3)測試成績位于[80,90)的頻率P1=0.024×10=0.24,位于[90,100]的頻率P2=0.016×10=0.16,因為P1∶P2=3∶2,所以確定的5人中成績在[80,90)內(nèi)的有3人,分別記為A1,A2,A2,成績在[90,100]上的有2人,分別記為B1,B2,從5人中隨機抽取2人的樣本空間Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)},共有10個樣本點,其中A={(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2)},即n(A)=6,所以概率為P(A)=61022.(1)證明因為A1D⊥平面ABC,A