新教材數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案4-3-1對數(shù)的概念

4．3對數(shù)【素養(yǎng)目標(biāo)】1．理解對數(shù)的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．能夠進行對數(shù)式與指數(shù)式的互化．(邏輯推理)3．知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)．(數(shù)學(xué)運算)4．理解對數(shù)的運算性質(zhì)．(邏輯推理)5．理解對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的取值范圍．(數(shù)學(xué)運算)6．掌握對數(shù)的基本性質(zhì)及對數(shù)恒等式．(邏輯推理)【學(xué)法解讀】在本節(jié)學(xué)習(xí)中，利用實例使學(xué)生由指數(shù)式向?qū)?shù)式的轉(zhuǎn)化，從而引出對數(shù)的概念．學(xué)生應(yīng)由指數(shù)式與對數(shù)式的互化，進而推導(dǎo)出對數(shù)的運算性質(zhì)，提升運算能力及邏輯推理能力．4．3.1對數(shù)的概念必備知識·探新知基礎(chǔ)知識知識點1對數(shù)的概念(1)若ax＝N(a>0，且a≠1)，則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．(2)ax＝N?x＝logaN．(3)常用對數(shù)：以10為底，記作lgN．自然對數(shù)：以無理數(shù)e≈2.71828…為底，記作lnN．思考1：(1)式子logmN中，底數(shù)m的范圍是什么？(2)對數(shù)式logaN是不是loga與N的乘積？提示：(1)m>0，且m≠1.(2)不是，logaN是一個整體，是求冪指數(shù)的一種運算，其運算結(jié)果是一個實數(shù)．知識點2對數(shù)的基本性質(zhì)(1)負數(shù)和0沒有對數(shù)．(2)loga1＝0．(3)logaa＝1．思考2：請你利用對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系證明(1)(2)這兩個結(jié)論．提示：(1)由logaN＝x，得N＝ax，當(dāng)a>0且a≠1時，ax>0，∴N>0，∴負數(shù)和0沒有對數(shù)．(2)設(shè)loga1＝x(a>0且a≠1)，則ax＝1，∴x＝0，即loga1＝0.設(shè)logaa＝x，則ax＝a，∴x＝1，即logaa＝1.知識點3對數(shù)恒等式alogaN＝N．思考3：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N是如何推出來的？提示：a0＝1?loga1＝0，a1＝a?logaa＝1，x＝logaN代入ax＝N得alogaN＝N.基礎(chǔ)自測1．將ab＝N化為對數(shù)式是(B)A．logba＝N B．logaN＝bC．logNb＝a D．logNa＝b[解析]根據(jù)對數(shù)定義知ab＝N?b＝logaN，故選B．2．若log8x＝－eq\f(2,3)，則x的值為(A)A．eq\f(1,4) B．4C．2 D．eq\f(1,2)[解析]∵log8x＝－eq\f(2,3)，∴x＝－eq\s\up6(\f(2,3))＝2－2＝eq\f(1,4)，故選A．3．對數(shù)式loga8＝3改寫成指數(shù)式為(D)A．a(chǎn)8＝3 B．3a＝8C．83＝a D．a(chǎn)3＝8[解析]根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化可知，把loga8＝3化為指數(shù)式為a3＝8，故選D．4．若log2eq\f(x－1,2)＝1，則x＝5．[解析]∵log2eq\f(x－1,2)＝1，∴eq\f(x－1,2)＝2，∴x＝5.5．把下列指數(shù)式寫成對數(shù)式，對數(shù)式寫成指數(shù)式：(1)23＝8；(2)eeq\r(3)＝m；(3)27－eq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(1,3).[解析](1)log28＝3；(2)lnm＝eq\r(3)；(3)log27eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3).關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一對數(shù)的定義例1(1)在對數(shù)式y(tǒng)＝log(x－2)(4－x)中，實數(shù)x的取值范圍是2<x<4且x≠3．(2)將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式．①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④logeq\r(5)125＝6.[分析](1)底數(shù)大于0且不等于1，真數(shù)大于0，對數(shù)式才有意義．(2)由指、對數(shù)式互化的方法進行互化．[解析](1)由題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x>0，,x－2>0，,x－2≠1，))解得2<x<4且x≠3，所以2<x<4，且x≠3.(2)①由54＝625，得log5625＝4.②由log216＝4，得24＝16.③由10－2＝0.01，得lg0.01＝－2.④由logeq\r(5)125＝6，得(eq\r(5))6＝125.[歸納提升]1.指數(shù)式與對數(shù)式互化的方法技巧(1)指數(shù)式化為對數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對數(shù)，底數(shù)不變，寫出對數(shù)式．(2)對數(shù)式化為指數(shù)式：將對數(shù)式的真數(shù)作為冪，對數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式．2．互化時應(yīng)注意的問題(1)利用對數(shù)式與指數(shù)式間的互化公式互化時，要注意字母的位置改變．(2)對數(shù)式的書寫要規(guī)范：底數(shù)a要寫在符號“l(fā)og”的右下角，真數(shù)正常表示．【對點練習(xí)】?將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式：(1)3－2＝eq\f(1,9)；(2)(eq\f(1,5))－3＝125；(3)logeq\s\do9(\f(1,3))27＝－3；(4)logeq\r(x)64＝－6(x>0，且x≠1)．[解析](1)log3eq\f(1,9)＝－2.(2)logeq\s\do9(\f(1,5))125＝－3.(3)(eq\f(1,3))－3＝27.(4)(eq\r(x))－6＝64.題型二對數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用例2求下列各式中的x：(1)log3(log2x)＝0； (2)log3(log7x)＝1；(3)lg(lnx)＝1; (4)lg(lnx)＝0.[分析]利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化進行解答．[解析](1)由log3(log2x)＝0得log2x＝1，∴x＝2.(2)log3(log7x)＝1，log7x＝31＝3，∴x＝73＝343.(3)lg(lnx)＝1，lnx＝10，∴x＝e10.(4)lg(lnx)＝0，lnx＝1，∴x＝e.[歸納提升]對數(shù)性質(zhì)在計算中的應(yīng)用(1)對數(shù)運算時的常用性質(zhì)：logaa＝1，loga1＝0.(2)使用對數(shù)的性質(zhì)時，有時需要將底數(shù)或真數(shù)進行變形后才能運用；對于多重對數(shù)符號的，可以先把內(nèi)層視為整體，逐層使用對數(shù)的性質(zhì)．【對點練習(xí)】?求下列各式中x的值：(1)x＝logeq\s\do9(\f(1,2))16； (2)log8x＝－eq\f(1,3)；(3)log(eq\r(2)－1)eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x.[解析](1)∵x＝logeq\s\do9(\f(1,2))16，∴(eq\f(1,2))x＝16，即2－x＝24.∴－x＝4，即x＝－4.(2)∵log8x＝－eq\f(1,3)，∴x＝8－eq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(1,\r(3,8))＝eq\f(1,2).(3)∵log(eq\r(2)－1)eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x，∴(eq\r(2)－1)x＝eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝eq\f(1,\r(（\r(2)＋1）2))＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1，∴x＝1.題型三對數(shù)恒等式的應(yīng)用例3計算：(1)71－log375；(2)4eq\s\up7(\f(1,2))(log29－log25)；(3)alogab·logbc(a、b均為不等于1的正數(shù)，c＞0)．[解析](1)原式＝eq\f(7,7log75)＝eq\f(7,5).(2)原式＝2log29－log25＝eq\f(2log29,2log25)＝eq\f(9,5).(3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.[歸納提升]運用對數(shù)恒等式時注意事項(1)對于對數(shù)恒等式alogaN＝N要注意格式：①它們是同底的；②指數(shù)中含有對數(shù)形式；③其值為對數(shù)的真數(shù)．(2)對于指數(shù)中含有對數(shù)值的式子進行化簡，應(yīng)充分考慮對數(shù)恒等式的應(yīng)用．【對點練習(xí)】?求下列各式的值：(1)5log54；(2)3log34－2；(3)24＋log25.[解析](1)設(shè)5log54＝x，則log54＝log5x，∴x＝4.(2)∵3log34＝4，∴3log34－2＝3log34×3－2＝4×eq\f(1,9)＝eq\f(4,9).(3)∵2log25＝5，∴24＋log25＝24×2log25＝16×5＝80.課堂檢測·固雙基1．下列說法：①零和負數(shù)沒有對數(shù)；②任何一個指數(shù)式都可以化成為對數(shù)式；③以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)；④以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)．其中正確命題的個數(shù)為(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①正確；②底數(shù)小于0的指數(shù)式不可以化成對數(shù)式；③④正確，故選C．2．在b＝log(a－2)(5－a)中，實數(shù)a的取值范圍是(B)A．a(chǎn)>5或a<2 B．2<a<3或3<a<5C．2<a<5 D．3<a<4[解析]由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2>0,a－2≠1,5－a>0))，∴2<a<5且a≠3，故選B．3．將(eq\f(1,3))－2＝9寫成對數(shù)式，正確的是(B)A．log9eq\s\do9(\f(1,3))＝－2 B．logeq\s\do9(\f(1,3))9＝－2C．logeq\s\do9(\f(1,3))(－2)＝9 D．log9(－2)＝eq\f(1,3)[解析]將(eq\f(1,3))－2＝9寫成對數(shù)式為logeq\s\do9(\f(1,3))9＝－2，故選B．4．若log2(log3x)＝0，則x＝3．[解析]由題意得log3x＝1，∴x＝3.5．完成以下指數(shù)式、對數(shù)式的互化．(1)(eq\f(2,3))－2＝eq\f(9,4)；(2)8eq\s\up6(\f(1,2))＝2eq\r(2)；(3)logeq\s\do9(\f(1,4))16＝－2；(4)lnx＝eq\f(1,3).[解析](1)∵(