2020年江蘇高考數(shù)學(xué)試題及答案

絕密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)Ⅰ注意事項考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求1．本試卷共4頁，均為非選擇題(第1題~第20題，共20題)。本卷滿分為160分，考試時間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4．作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.參考公式：柱體的體積，其中是柱體的底面積，是柱體的高．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1.已知集合，則_____.2.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實部是_____.3.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則的值是_____.4.將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是_____.5.如圖是一個算法流程圖，若輸出的值為，則輸入的值是_____.6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線﹣=1(a＞0)的一條漸近線方程為y=x，則該雙曲線的離心率是____.7.已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，，則f(8)的值是____.8.已知=，則的值是____.9.如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.10.將函數(shù)y=的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是____.11.設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是_______．12.已知，則的最小值是_______．13.在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是________．14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點，滿足，則△PAB面積的最大值是__________．二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點．（1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．16.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．17.某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上、橋AB與MN平行，為鉛垂線(在AB上).經(jīng)測量，左側(cè)曲線AO上任一點D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關(guān)系式；右側(cè)曲線BO上任一點F到MN的距離(米)與F到的距離b(米)之間滿足關(guān)系式.已知點B到的距離為40米.（1）求橋AB的長度；（2）計劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點).橋墩EF每米造價k(萬元)、橋墩CD每米造價(萬元)(k>0).問為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低?18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點B．（1）求△AF1F2的周長；（2）在x軸上任取一點P，直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點Q，求的最小值；（3）設(shè)點M在橢圓E上，記△OAB與△MAB的面積分別為S1，S2，若S2=3S1，求點M的坐標(biāo)．19.已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．20.已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ–k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ–1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項公式；（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ–3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．[選修42：矩陣與變換]21.平面上點在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點．（1）求實數(shù)，的值；（2）求矩陣的逆矩陣．B．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在極坐標(biāo)系中，已知點在直線上，點在圓上（其中，）．（1）求，的值（2）求出直線與圓的公共點的極坐標(biāo)．C．[選修45：不等式選講]23.設(shè)，解不等式．【必做題】第24題、第25題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．24.在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點．（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．25.甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn與2pn1+qn1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示)．答案解析

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1.已知集合，則_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合交集即可計算.【詳解】∵,∴故答案為：.【點睛】本題考查了交集及其運算，是基礎(chǔ)題型．2.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實部是_____.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，化簡即可求得實部的值.【詳解】∵復(fù)數(shù)∴∴復(fù)數(shù)的實部為3.故答案為：3.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則的值是_____.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的公式進行求解即可．【詳解】∵數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4∴，即.故答案為：2.【點睛】本題主要考查平均數(shù)的計算和應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．4.將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是_____.【答案】【解析】【分析】分別求出基本事件總數(shù)，點數(shù)和為5的種數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．【詳解】根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為個.點數(shù)和為5的基本事件有，，，共4個.∴出現(xiàn)向上的點數(shù)和為5的概率為.故答案為：.【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．5.如圖是一個算法流程圖，若輸出的值為，則輸入的值是_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷出，由此求得的值.【詳解】由于，所以，解得.故答案為：【點睛】本小題主要考查根據(jù)程序框圖輸出結(jié)果求輸入值，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線﹣=1(a＞0)的一條漸近線方程為y=x，則該雙曲線的離心率是____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程求得，由此求得，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線，故.由于雙曲線的一條漸近線方程為，即，所以，所以雙曲線的離心率為.故答案為：【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.7.已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，，則f(8)的值是____.【答案】【解析】【分析】先求，再根據(jù)奇函數(shù)求【詳解】，因為為奇函數(shù)，所以故答案為：【點睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8.已知=，則的值是____.【答案】【解析】【分析】直接按照兩角和正弦公式展開，再平方即得結(jié)果.【詳解】故答案為：【點睛】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9.如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.【答案】【解析】【分析】先求正六棱柱體積，再求圓柱體積，相減得結(jié)果.【詳解】正六棱柱體積為圓柱體積為所求幾何體體積為故答案為：【點睛】本題考查正六棱柱體積、圓柱體積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10.將函數(shù)y=的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是____.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)圖象變換得解析式，再求對稱軸方程，最后確定結(jié)果.【詳解】當(dāng)時故答案為：【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換、正弦函數(shù)對稱軸，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.11.設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是_______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列前項和公式的特點，分別求得的公差和公比，由此求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項和公式為，等比數(shù)列的前項和公式為，依題意，即，通過對比系數(shù)可知，故.故答案為：【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和公式，屬于中檔題.12.已知，則的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得，可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】∵∴且∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.∴的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.13.在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)，結(jié)合與三點共線，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】∵三點共線，∴可設(shè)，∵，∴，即，若且，則三點共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設(shè)，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長度為.當(dāng)時，，重合，此時的長度為，當(dāng)時，，重合，此時，不合題意，舍去.故答案為：0或.【點睛】本題考查了平面向量知識的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運算能力，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出．14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點，滿足，則△PAB面積的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件得,再用圓心到直線距離表示三角形PAB面積，最后利用導(dǎo)數(shù)求最大值.【詳解】設(shè)圓心到直線距離為，則所以令（負值舍去）當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此當(dāng)時，取最大值，即取最大值為，故答案為：【點睛】本題考查垂徑定理、利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點．（1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．【答案】（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析.【解析】【分析】（1）通過證明，來證得平面.（2）通過證明平面，來證得平面平面.【詳解】（1）由于分別是的中點，所以.由于平面,平面，所以平面.（2）由于平面，平面，所以.由于，所以平面,由于平面，所以平面平面.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，屬于中檔題.16.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.（2）根據(jù)的值，求得的值，由（1）求得的值，從而求得的值，進而求得的值.【詳解】（1）由余弦定理得，所以.由正弦定理得.（2）由于，，所以.由于，所以，所以所以.由于，所以.所以.【點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等變換，屬于中檔題.17.某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上、橋AB與MN平行，為鉛垂線(在AB上).經(jīng)測量，左側(cè)曲線AO上任一點D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關(guān)系式；右側(cè)曲線BO上任一點F到MN的距離(米)與F到的距離b(米)之間滿足關(guān)系式.已知點B到的距離為40米.（1）求橋AB的長度；（2）計劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點).橋墩EF每米造價k(萬元)、橋墩CD每米造價(萬元)(k>0).問為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低?【答案】（1）120米（2）米【解析】【分析】（1）根據(jù)A,B高度一致列方程求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意列總造價的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求最值，即得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得米（2）設(shè)總造價為萬元，，設(shè)，(0舍去)當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此當(dāng)時，取最小值，答：當(dāng)米時，橋墩CD與EF的總造價最低.【點睛】本題考查實際成本問題、利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查基本分析求解能力，屬中檔題.18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點B．（1）求△AF1F2的周長；（2）在x軸上任取一點P，直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點Q，求的最小值；（3）設(shè)點M在橢圓E上，記△OAB與△MAB的面積分別為S1，S2，若S2=3S1，求點M的坐標(biāo)．【答案】（1）6；（2）4；（3）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓定義可得，從而可求出的周長；（2）設(shè)，根據(jù)點在橢圓上，且在第一象限，，求出，根據(jù)準(zhǔn)線方程得點坐標(biāo)，再根據(jù)向量坐標(biāo)公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可出最小值；（3）設(shè)出設(shè)，點到直線的距離為，由點到直線的距離與，可推出，根據(jù)點到直線的距離公式，以及滿足橢圓方程，解方程組即可求得坐標(biāo).【詳解】（1）∵橢圓的方程為∴,由橢圓定義可得：.∴的周長為（2）設(shè)，根據(jù)題意可得.∵點在橢圓上，且在第一象限，∴∵準(zhǔn)線方程為∴∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.∴的最小值為.（3）設(shè)，點到直線的距離為.∵，∴直線的方程為∵點到直線的距離為，∴∴∴①∵②∴聯(lián)立①②解得，.∴或.【點睛】本題考查了橢圓的定義，直線與橢圓相交問題、點到直線距離公式的運用，熟悉運用公式以及根據(jù)推出是解答本題的關(guān)鍵.19.已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．【答案】（1）；（2）；（3）證明詳見解析【解析】【分析】（1）求得與的公共點，并求得過該點的公切線方程，由此求得的表達式.（2）先由，求得的一個取值范圍，再由，求得的另一個取值范圍，從而求得的取值范圍.（3）先由，求得的取值范圍，由方程的兩個根，求得的表達式，利用導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.【詳解】（1）由題設(shè)有對任意的恒成立.令，則，所以.因此即對任意的恒成立，所以，因此.故.（2）令，.又.若，則在上遞增，在上遞減，則，即，不符合題意.當(dāng)時，，符合題意.當(dāng)時，在上遞減，在上遞增，則，即，符合題意.綜上所述，.由當(dāng)，即時，在為增函數(shù)，因為，故存在，使，不符合題意.當(dāng)，即時，，符合題意.當(dāng)，即時，則需，解得.綜上所述，的取值范圍是.（3）因為對任意恒成立，對任意恒成立，等價于對任意恒成立.故對任意恒成立令，當(dāng)，，此時，當(dāng)，，但對任意的恒成立.等價于對任意的恒成立.的兩根為，則，所以.令，則.構(gòu)造函數(shù)，，所以時，，遞減，.所以，即.【點睛】本小題主要考查利用的導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.20.已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ–k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ–1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項公式；（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ–3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，【答案】（1）1（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)定義得，再根據(jù)和項與通項關(guān)系化簡得，最后根據(jù)數(shù)列不為零數(shù)列得結(jié)果；（2）根據(jù)定義得，根據(jù)平方差公式化簡得，求得，即得；（3）根據(jù)定義得，利用立方差公式化簡得兩個方程，再根據(jù)方程解的個數(shù)確定參數(shù)滿足的條件，解得結(jié)果【詳解】（1）（2），（3）假設(shè)存在三個不同的數(shù)列為數(shù)列.或或∵對于給定的，存在三個不同的數(shù)列為數(shù)列，且或有兩個不等的正根.可轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，則有兩個不等正根，設(shè).①當(dāng)時，，即，此時，，滿足題意.②當(dāng)時，，即，此時，，此情況有兩個不等負根，不滿足題意舍去.綜上，【點睛】本題考查數(shù)列新定義、由和項求通項、一元二次方程實根分步，考查綜合分析求解能力，屬難題.數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．[選修42：矩陣與變換]21.平面上點在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點．（1）求實數(shù)，的值；（2）求矩陣的逆矩陣．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)變換寫出具體的矩陣關(guān)系式，然后進行矩陣的計算可得出實數(shù)的值；（2）設(shè)出逆矩陣，由定義得到方程，即可求解.【詳解】（1）∵平面上點在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點∴∴，解得（2）設(shè)，則∴，解得∴【點睛】本題考查矩陣變換的應(yīng)用，考查逆矩陣的求法，解題時要認(rèn)真審題，屬于基礎(chǔ)題．B．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在極坐標(biāo)系中，已知點在直線上，點在圓上（其中，）．（1）求，的值（2）求出直線與圓的公共點的極坐標(biāo)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)將A,B點坐標(biāo)代入即得結(jié)果；（2）聯(lián)立直線與圓極坐標(biāo)方程，解得結(jié)果.【詳解】（1）以極點為原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，，因為點為直線上，故其直角坐標(biāo)方程為，又對應(yīng)的圓的直角坐標(biāo)方程為：，由解得或，對應(yīng)的點為，故對應(yīng)的極徑為或.（2），，當(dāng)時；當(dāng)時，舍；