2023年高考數(shù)學一輪復習習題：第五章第1節(jié)　平面向量的概念及線性運算

第五章DIWUZHANG

5/平面向量與復數(shù)

第1節(jié)平面向量的概念及線性運算

考綱要求1.了解向量的實際背景；2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義；3.

理解向量的幾何表示；4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義；5.掌握向量數(shù)乘

的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義；6.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.

知識分類落實，回扣知識?夯實基礎

知識梳理

1.向量的有關概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的長度(或模).

(2)零向量：長度為O的向量,其方向是任意的.

(3)單位向量：長度等于1個單位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定:O與任一向量壬

行.

(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運算

向量運算定義法則(或幾何意義)運算律

^

(1)交換律：

求兩個向量和的運aa+h=h+a.

加法三角形法則

算(2)結合律：

a(a+h)+c=a+(b+c)

平行四邊形法則

減去一個向量相當

減法于加上這個向量的a~b=a+(~b)

相反向量三角形法則

⑴M=同⑷；

λ(fia)=λμa↑

求實數(shù)2與向量4(2)當2>0時，24的方向

數(shù)乘(λ+μ)a=λa+μa;

的積的運算與α的方向相同;當AVO

λ{a-?-b)=λa~?-λb

時，癡的方向與。的方向

相反;當2=0時，九Z=O

3.共線向量定理

向量”(q≠O)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ,使得b=λa.

?——常用結論與微點提醒

1.一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的

向量，即Ai/b+AzAs+AvUH-----?-An?An=MA,n特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的

向量和為零向量.

2.中點公式的向量形式：若P為線段A8的中點，。為平面內(nèi)任一點，則3>=/51+加).

3.OA^λOB+μOC(λ,μ為實數(shù)),若點A,B,C共線，則7+〃=1.

4.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的

方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.

診斷自測

??思考辨析

1.判斷下列結論正誤(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

⑴間與物是否相等與α,b的方向無關.()

(2)?ra//b,b∕∕c,則a〃c.()

(3)向量贏與向量而是共線向量，則A,B,C,力四點在一條直線上.()

(4)當兩個非零向量”,〃共線時，一定有6=筋，反之成立.()

答案(1)√(2)×(3)×(4)√

解析(2)若6=0,則α與C不一定平行.

(3)共線向量所在的直線可以重合，也可以平行，則A,B,C,。四點不一定在一條直線上.

〉教材衍化

2.給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；②若m6都是單位向量，則“=

b；③向量后與函相等.則所有正確命題的序號是()

A.①B.③C.①③D.①②

答案A

解析根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方

向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；向量施與的互為相反向量，故③

錯誤.

3.設M為AABC所在平面內(nèi)一點，且成?=3(5/,貝∣J()

B.AM=^AB~^AC

C.AM=^AB+^ACD.AM=^AB~^AC

答案A

,—?—?—?1—>■

解析由BC=3CM,得CM=]BC,

所以危=啟+CM=AC+jβC

=AC+j(βA+AC)=-JAB+JAC.

?■考題體驗

4.(2021-日照調(diào)研)若四邊形ABCD滿足病=攝2目」誦|=|的，則四邊形ABCD的形狀是

()

A.等腰梯形B.矩形

C.正方形D.菱形

答案A

---?1，-A---?”AAI>

解析因為AD=∕C,所以AO〃BC,且IADI=習BC∣,所以四邊形ABC力為以AO為上底邊，

BC為下底邊的梯形.

)L?AB?=?DC?,因此四邊形ABCO是等腰梯形.

5.(2021.長沙調(diào)硝己知點。為AABC的外接圓的圓心，且晶+??+G>=0,則4ABC的

內(nèi)角A等于()

A.30oB.45oC.60°D.90°

答案A

解析由后+3?+δ?=o,得宓+為=沆，

又O為AABC的外接圓的圓心，

根據(jù)加法的幾何意義，四邊形OACB為菱形，且Ne4。=60。，因此NCAB=30。.

6.(2020?哈爾濱質檢)設α與匕是兩個不共線向量，且向量。+勸與一3—24)共線，則4=

答案-?

解析由已知2α-bW0,依題意知向量與2a—b共線，設α+勸=42〃一力，則有(1

?-2k=0,

—2k)α+(k+2)6=0,因為α,b是兩個不共線向量，故。與Z?均不為零向量，所以彳

*+2=0,

解得％=；,4=一；

考點分層突破考點聚焦?題型剖析

考點一平面向量的概念自主演練

1.給出下列四個命題：

①若Ial=IbI,貝IIa=R

②若A,B,C,。是不共線的四點，則“贏=比”是“四邊形ABC。為平行四邊形”的充

要條件；

③若a—b,b—c,則a=c?,

④a=%的充要條件是IaI=I用且a∕∕h.

其中正確命題的序號是（）

A.②③B.①②C.③④D.②④

答案A

解析①不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.

②正確.：矗=比，.?.∣B∣=∣詼I且麗〃虎，又4,B,C,。是不共線的四點，；.四邊形

ABCo為平行四邊形；反之，若四邊形ABCo為平行四邊形，∣Jl∣]∣AB∣=∣DC∣,

贏〃公且筋，慶?方向相同，因此矗=比.

③正確.?.?α=Z>,.?.α,人的長度相等且方向相同，又匕=c,C的長度相等且方向相同，

c的長度相等且方向相同，故α=c.

④不正確.當α〃匕且方向相反時，即使同=依，也不能得到α=Z>,故同=|瓦且“〃人不是”

=匕的充要條件，而是必要不充分條件.

綜上所述，正確命題的序號是②③.

2.設α,垢都是非零向量，下列四個條件，使言=若成立的充要條件是（）

IalWl

A.a=bB.a=2b

C.?！η襂al=I例D.且方向相同

答案D

解析蕭表示。方向的單位向量，因此育=日的充要條件是。與》同向.

3.給出下列說法：

①非零向量a與b同向是a—b的必要不充分條件；

②若檢與病共線，則4,B,C三點在同一條直線上；

③α與》是非零向量，若α與6同向，則α與一匕反向；

④設九〃為實數(shù)，若λa=μb,則。與方共線.

其中錯誤說法的序號是.

答案④

解析根據(jù)向量的有關概念可知①②③正確，對于④，當2=〃=0時，“與6不一定共線，

故④錯誤.

感悟升華1.相等的向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而

平行向量未必是相等向量.

2.向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負數(shù)，可以比較大

小.向量可以平移，與起點無關，平移后的向量與原向量相等.

3.(1)單位向量的特征是長度都是1個單位.

(2)零向量的特征是長度是0,并規(guī)定零向量與任何向量平行.

考點二向量的線性運算多維探究

角度1平面向量的加、減運算的幾何意義

【例1】已知兩個非零向量4,6滿足∣n+例=Ia—句，則下列結論正確的是()

A.a//bB.aVb

C.Ia=IblD.a+h=a~h

答案B

解析由已知mb不共線，在口ABa)中，設B=α,AD=b,由∣α+臼=Ia—臼，知以石=

∣DB∣,從而A4BC。為矩形，gPABLAD,故LA

角度2向量的線性運算

【例2】(2021?成都七中診斷)如圖，A8是圓O的一條直徑，C,。為半圓弧的兩個三等分

點，則荏=()

?AC-AD

B.2AC-2AD

C.AD-AC

D.2AD-IAC

答案D

解析連接CD,VC,。是半圓弧的三等分點,

.?CD∕∕AB,且48=2CE>,

因此前=2δb=2(Ab-Ab)=2病一2證.

角度3利用向量的線性運算求參數(shù)

【例3】(2021?長春調(diào)研)在aABC中，延長BC至點M使得BC=2CM,連接AM,點N

為AM上一點且瓶=gK∕,^AN=λAB+μAC,貝!|2+〃=()

A.∣B.；C.—5D.—I

答案A

-*■1-?1-?―?1-A13■―1—?I-?-?

解析由題意，知4N=74M=Q(AB+8M)=QAB+Q><58C=748+5(AC—A8)

IfIf

=—τ0ΛB+τZAC,

又病=派+〃慶，

所以%=一卷,∕z=∣,貝!U+4=g.

感悟升華1.(1)解決平面向量線性運算問題的關鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能

熟練運用相反向量將加減法相互轉化.

(2)在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則

及三角形中位線定理、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為用已

知向量線性表示.

2.與向量的線性運算有關的參數(shù)問題，一般是構造三角形，利用向量運算的三角形法則進

行加法或減法運算，然后通過建立方程(組)即可求得相關參數(shù)的值.

【訓練1】(1)在AABC中，AQ為BC邊上的中線，E為AO的中點，則血=()

AtAB-yCB.%C

3-*,1—*1-?3?―*■

C.^AB+"^ACD.~^AB+^AC

(2)(2021?濟南質檢)在正六邊形ABCOE尸中，對角線80,C尸相交于點P.若贏=1+MA

則x+y=()

57

A.2B.2C.3D.5

答案(I)A(2)B

解析(I)YE是Ao的中點，；.西=一地，

：.EB=EA+AB=^-^AD+AB,

又知。是BC的中點，Λλb=∣(Aβ+AC),

因此￡8=—^(AB+AC)+AB=^AB—^AC.

(2)如圖，記正六邊形ABCOM的中心為點O,連接08,0D,易證四邊形OBCD為菱形,

且P恰為其中心，

--3-*3-*

于是產(chǎn)2=2尸。=]48,

-??3_?A—?

因^AP=AF+FP=^AB+AF,因為AP=XA5+yAF,

35

所以X=?且y=l,故x+y=].

考點三共線定理及其應用師生共研

【例4】(1)設e∣與及是兩個不共線向量，AB=3e↑+2e2^CB-ke?-?-eι,CD=3e?-2ke2,

若A,B,。三點共線，則攵的值為.

(2)(2021?合肥模擬)在平行四邊形ABC。中，若無=比，AE交BD于F,則嬴=()

C

?+B

J

AC.3AD

交案⑵D

口

解析(1)因為4,B,。三點共線，所以必存在一個實數(shù)人使得AB=2BD

又贏=3eι+2e2,CB=keι+e2,CD=3eι-2kez,

所以礪=詼一為=30一2履2—(她+㈤

=(3—A)eI—Qk+1)^2,

所以3eι+2e2=2(3—k)e↑-z(2?+1)^2,

3=2(3-?),

又6]與62不共線，所以，

2=-λ(2?+l),

解得攵=一充9

(2)如圖所示,

ED

"：DE=EC,

：.E為CZ)中點，

設A>=施

=z^AB+AO-∣AB^=∣ΛB+>AC>.

;2

又,：點、B,F,￡>共線，；.]+/=1,解得

→If2→

故AF=WA8+駛。.

感悟升華1.證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別

與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.

2.向量α,匕共線是指存在不全為零的實數(shù)九，λ2,使九4+226=0成立.

【訓練2】⑴已知α,b是不共線的向量,AB=λa+b,AC=a+μb,λ,∕z∈R,則A,B,

C三點共線的充要條件為()

A.2+〃=2B.λ―〃=1

C.λμ=~?D.λμ=l

(2)已知A,B,C是直線/上不同的三個點，點。不在直線/上，則使等式『"1+》無+證

=0成立的實數(shù)X的取值集合為.

答案(I)D(2){-l}

解析(1)因為A,B,C三點共線，所以初〃/，設贏=〃后(mW0),則〃+%=皿4+∕)),

[λ=m,

由于。與b不共線，所以所以M=L

[l=mμ,

(2)因為反?=又一加，

所以/51+入勵+灰1一協(xié)=0,

即02=一χ2后一(X-I)協(xié)，因為A,B,C三點共線，

所以一Λ2-(X-1)=1,即x2÷x=0,

解得X=O或X=-1.

當X=O時，A2OA+XOB+BC=0,此時B,C兩點重合，

不合題意，舍去.故X=-L

課后鞏固作業(yè)分層訓練?提升能力

A級基礎鞏固

一、選擇題

1.已知下列各式：@AB+BC+CA；②Q+訕+尻）+原；③為l+5h+應）+歷；@AB-

AC+BD-CD,其中結果為零向量的是（）

A.①B.②C.①③D.①④

答案D

解析利用向量運算，易知①，④的結果為零向量.

2.已知贏=α+5Z>,BC=-3a+6h,CD=4a~h,貝∣J（）

A.A,B,。三點共線B.A,B,C三點共線

C.B,C,。三點共線D.A,C,力三點共線

答案A

解析由題意得彷=病+而=α+5人=祐，又詬、前有公共點8,所以A,B,。三點共

線.故選A.

3.設α是非零向量，％是非零實數(shù)，下列結論中正確的是（）

A.。與2α的方向相反B.。與下”的方向相同

C.?~λa?^?a?D.?-λa?^?λ?-a

答案B

解析當Λ>0時，。與2。的方向相同，A錯，”與產(chǎn)α的方向相同，B正確；當∣2∣<I時，

?-λa?<?a?,C錯；LM=I2M∣,D錯，故選B.

4.在AABC中，G為重心，記壽=α,AC^b,則??=（）

1212

\挈一寸B.乎+?

2I21

C^a—^bD.

答案A

解析因為G為AABC的重心，

,一Iff11

所以AG=W（A8+AC）=孕Z+Q6,

一一一fill?

所以CG=CA+AG=夢一］〃.

5.（2021?衡水調(diào)研）如圖所示，在正方形ABC。中，E為8C的中點，尸為AE的中點，則赤

=()

A.—^AB÷∣ADB.^AB+∣Λ∕)

1-→?1-→If3→

C.^AB—2ADD.2AB—^AD

答案D

解析DF=AF-AD,

AE=AB+BE.

二七為BC的中點，F(xiàn)為AE的中點,

.?.AF=∣AE,BE=^BC,

-A-A-A1-A-A1-?-A-A

：.DF=AF-AD=^AE-AD=^(AB+BE)-AD

1―?1-?—*

=2^B+~^BC~AD,

義的=心,：.DF=^AB~IAD.

6.(2021?東北三省三校聯(lián)考)如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，尸為。E的中

點，若4F=x贏+1AZλ貝∣Jx=()

答案C

解析連接AE,因為尸為。E的中點，所以?>=∕(Q)+?b,

—?-?-A—?1―?—?1―?

而AE=4B+BE=AB+2BC=A8+pO,

所以崩=；(AI)+嬴)=XA￡>+48+44￡)

=^AB+^AD,

-*f3~1

又4尸=尤48+14。，所以x=2?

7.如圖所示，設。是AABC內(nèi)部一點，且萬1+夭=一2無，則AABC與AAOC的面積之

比為（）

A.4：1

C.3：2D.4：3

答案B

解析取AC的中點。，連接0D,

則醇+沆=2δb,

所以無=一麗，

所以。是AC邊上的中線8。的中點，

所以S4ABC=2SAOAC,

所以aABC與AAOC面積之比為2：L

8.在△?!BC中，點。在線段BC的延長線上，且證=3而，點0在線段C。上（與點C,D

不重合），若Ab=A篇+（I—尤）而，則X的取值范圍是（）

答案D

解析設左>=)E?,因為Ab=/+Q=n+.yE?

=AC+χΛC-Aβ)=-yΛβ+(l+γ)AC.

因為后?=3δb,.?cb=3ycb,0<3><l,

點O在線段CD上(與點C,。不重合)，

所以y∈(θ,；),因為43=1+(1-X)/，

所以x=-y,所以χ∈(-0).

二、填空題

9.設向量g,b不平行，向量筋+/?與α+2b平行，則實數(shù)2=.

答案I

解析:向量。不平行，.?.α+2b≠0,又向量筋+b與α+2b平行，則存在唯一的實數(shù)

A=∕z,1

μ,使]q+b="(α+2Z?)成立，即九/+/?=〃〃+2〃b,則得彳解得∕i=4=5?

1=2∕GZ

10.已知S是AABC所在平面外一點，。是SC的中點，若彷=X贏+)公+養(yǎng)，則x+y

+z=.

答案0

解析依題意得渲)=Ab—檢=3(五+最尸油=-A?+/啟+/無，因此x+y+z=—l+g

+；=o.

11.若點。是AABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足I協(xié)一次∣=∣m+?b-2?λ∣,則AABC的

形狀為.

答案直角三角形

解析OB+OC-2OA^(OB-OA)+(OC-OA)^AB+AC,OB-OC^CB=AB-AC,

Λ∣Aβ+AC∣=[Afi-AC∣.

故A,B,C為矩形的三個頂點，AABC為直角三角形.

12.在aAOB中，AC=∣AB,。為OB的中點，若慶'=∕l3λ+〃加，則川的值為.

箕案——

U案25

-AI-A-?1-?-?

解析因為AC=弓43,所以AC=5(08—。4),

因為。為08的中點，所以歷=g(?,

—?―?—?1—?―?―?

所以力C=Do+0C=-EoB+(OA+AC)

=—∣0B+5A+∣(0B-OA)=^OA-?

436

所以2=亍〃=-T5，則AU的值為一天.

B級能力提升

13.(多選題)(2021?濟南調(diào)研)下列命題正確的是()

A.若A,B,C,。四點在同一條直線上，且A8=C0,則魂=而

B.在AABC中，若。點滿足晶+為+無=0,則。點是BC的重心

C.若4=(1,1),把〃向右平移2個單位，得到的向量的坐標為(3,1)

D.在AABC中，若無=24+4，則P點的軌跡經(jīng)過AABC的內(nèi)心

UCAlICBlJ

答案BD

解析如圖，

III___]

AHDC

A,B,C,。四點滿足條件，但麗#而，故A錯誤；

對于B,設BC的中點為。，當8+初+