2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第五章平面向量與復(fù)數(shù)

第五章DlWUZHANG

5/平面向量與復(fù)數(shù)

第1節(jié)平面向量的概念及線性運算

考綱要求1.了解向量的實際背景；2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義；3.

理解向量的幾何表示；4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義；5.掌握向量數(shù)乘

的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義；6.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.

知識分類落實，回扣知識?夯實基礎(chǔ)

知識梳理

I.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的長度(或模).

(2)零向量：長度為O的向量,其方向是任意的.

(3)單位向量：長度等于1個單位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定:O與任一向量壬

行.

(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運算

向量運算定義法則(或幾何意義)運算律

^

(1)交換律：

求兩個向量和的運a

加法三角形法則

算(2)結(jié)合律：

am+h)+c=α+S+c)

平行四邊形法則

減去一個向量相當(dāng)

減法于加上這個向量的a-b=a+{-b)

相反向量三角形法則

(l)∣Aα∣=∣λ∣∣α∣;

求實數(shù)7與向量4(2)當(dāng)A>0時，2。的方向

數(shù)乘(2+4)α=2α+"α;

的積的運算與〃的方向相同;當(dāng)AVO

λ{a'?~b)=λa~?~λb

時，曲的方向與。的方向

相反;當(dāng)A=O時，λa=O

3.共線向量定理

向量43≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)九使得b=λa.

?——常用結(jié)論與微點提醒

1.一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的

向量，即---?-A,,-?A,l=A?An,特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的

向量和為零向量.

2.中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，。為平面內(nèi)任一點，則稱=；(昂+而).

3.醇=4勵+〃灰設(shè)，〃為實數(shù))，若點A,B,C共線，則2+M=1.

4.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的

方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.

診斷自測

??思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(I)IaI與依是否相等與α,人的方向無關(guān).()

(2)若α〃匕,b//c,則a〃c.()

(3)向量矗與向量而是共線向量，則A,B,C,力四點在一條直線上.()

(4)當(dāng)兩個非零向量”,b共線時，一定有Z?=茄，反之成立.()

答案(1)√(2)×(3)×(4)√

解析(2)若人=0,則。與C不一定平行.

(3)共線向量所在的直線可以重合，也可以平行，則A,B,C,。四點不一定在一條直線上.

〉教材衍化

2.給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的：②若mh都是單位向量，則a=

b；③向量矗與或相等.則所有正確命題的序號是()

A.①B.③C.①③D.①②

答案A

解析根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方

向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；向量晶與心互為相反向量，故③

錯誤.

3.設(shè)M為AABC所在平面內(nèi)一點，且病=3屈，貝∣J()

A..AM——∣Aβ+∣ACB.AΛ∕=∣Aβ-^AC

C.AM=^AB+^ACD.AM=^AB~^AC

答案A

解析由詼=3說，得說=舸乙

―?―?―?—>1-A

所以AM=AC+CM=AC+gBC

=AC+；（BA+AC）=B+^AC.

?■考題體驗

4.（2021-日照調(diào)研）若四邊形ABCD滿足屐）反;且IQl=I的，則四邊形ABCD的形狀是

（）

A.等腰梯形B.矩形

C.正方形D.菱形

答案A

解析因為弱=2的所以國）〃病，K∣λb∣=∣∣BCl,所以四邊形ABC。為以Ao為上底邊,

BC為下底邊的梯形.

又|嬴|=|的，因此四邊形ABa）是等腰梯形.

5.（2021?長沙調(diào)研）己知點。為BC的外接圓的圓心，且殖+協(xié)+δ?=0,則448C的

內(nèi)角A等于（）

A.30oB.45°C.60oD.90°

答案A

解析由δλ+m+δ?=o,得晶+為=沆，

又O為AABC的外接圓的圓心，

根據(jù)加法的幾何意義，四邊形OACB為菱形，且NCAO=60。，因此NCAB=30。.

6.（2020?哈爾濱質(zhì)檢）設(shè)“與6是兩個不共線向量，且向量α+動與一（b-24）共線，則i=

答案V

解析由已知2q—b≠0,依題意知向量。+勸與2〃一共線，設(shè)。+勸=氏（2〃一人），則有（1

[I-2?=O,

—2%）α+（%+NM=0,因為。”是兩個不共線向量，故〃與匕均不為零向量，所以一，C

[k+λ=O,

解得%=；,2=—1.

考點分層突破考點聚焦?題型剖析

考點一平面向量的概念自主演練

1.給出下列四個命題：

①若⑷=依，貝!]α=6

②若A,B,C,。是不共線的四點，則“后=虎”是“四邊形ABa）為平行四邊形”的充

要條件；

③若α=6,b—c,則a=c；

@a=h的充要條件是Ial=I例且a∕∕h.

其中正確命題的序號是（）

A.②③B.①②C.③④D.②④

答案A

解析①不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.

②正確.：油=比，贏I=I的且?！ㄔ湥諥,B,C,。是不共線的四點，；.四邊形

ABC。為平行四邊形；反之，若四邊形ABC。為平行四邊形，則IBI=I的，

瀛〃歷且靠，虎方向相同，因此B=比.

③正確.?.Z=6,二4,人的長度相等且方向相同，又匕=c,.?.8,c的長度相等且方向相同，

：.a,C的長度相等且方向相同，故α=c.

④不正確.當(dāng)α〃力且方向相反時，即使Ial=I6|,也不能得到α=b,故Ial=I且α〃"不是α

=〃的充要條件，而是必要不充分條件.

綜上所述，正確命題的序號是②③.

2.設(shè)α,6都是非零向量，下列四個條件，使啟=卷成立的充要條件是（）

A.CI=ZbB.Cl=^2b

C.α〃力且IaI=步ID.Q〃/?且方向相同

答案D

解析含表示。方向的單位向量，因此言=東的充要條件是“與6同向.

3.給出下列說法：

①非零向量a與b同向是a=b的必要不充分條件；

②若嘉與正共線，則4,B,。三點在同一條直線上；

③〃與匕是非零向量，若。與匕同向，則。與一/?反向；

④設(shè)九"為實數(shù)，若入a=μb,則。與/?共線.

其中錯誤說法的序號是.

答案④

解析根據(jù)向量的有關(guān)概念可知①②③正確，對于④，當(dāng)a="=0時，。與6不一定共線，

故④錯誤.

感悟升華1.相等的向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而

平行向量未必是相等向量.

2.向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負數(shù)，可以比較大

小.向量可以平移，與起點無關(guān)，平移后的向量與原向量相等.

3.(1)單位向量的特征是長度都是1個單位.

(2)零向量的特征是長度是0,并規(guī)定零向量與任何向量平行.

考點二向量的線性運算多維探究

角度1平面向量的加、減運算的幾何意義

【例1】已知兩個非零向量4,人滿足∣α+加=Ia則下列結(jié)論正確的是()

A.a//bB.a±?

C.Ial=I勿D.a+b=a~b

答案B

解析由已知α,b不共線，在Q48CQ中，設(shè)B=4,AD=b,由∣a+b∣=Ia—臼，知IAa=

?DB?,從而。ABC。為矩形，即AB_LAZ),故LA

角度2向量的線性運算

【例2】(2021?成都七中診斷)如圖，A8是圓O的一條直徑，C,。為半圓弧的兩個三等

分點，則B=()

A.AC-AO

B.2AC-2AD

C.AD-AC

D.2AD-2AC

答案D

解析連接CD,。是半圓弧的三等分點,

.?CD∕∕AB,?AB=2CD,

因此贏=2劭=2(曲一最?)=2屐)一2元.

角度3利用向量的線性運算求參數(shù)

【例3】(2021?長春調(diào)研)在AABC中，延長BC至點M使得8C=2CM,連接AM,點N

為AM上一點且俞=/氤^AN=λAB+μAC,則2+〃=()

A.∣B.IC.-gD.—I

答案A

解析由題意，知AN=；AM=:(A3+前)=gi4B+gxg詼=1?超+；(4C—魂)

1-?1—?

=—%A4+]AC,

又病=楊+說:，

所以2=一1,"=；,則/l+〃=g.

感悟升華1.(1)解決平面向量線性運算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能

熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.

(2)在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則

及三角形中位線定理、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已

知向量線性表示.

2.與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進

行加法或減法運算，然后通過建立方程(組)即可求得相關(guān)參數(shù)的值.

【訓(xùn)練1】⑴在aABC中，AO為BC邊上的中線，E為AO的中點，則EB=()

A.%8一；ACB.^AB~^AC

D.%B+]c

(2)(2021?濟南質(zhì)檢)在正六邊形ABCoEF中，對角線BO,CF相交于點P.若淳=x0+)#,

則x+y=()

57

A.2B.2C.3D.2

答案(I)A(2)B

解析(I)YE是AC的中點，；.血=一地，

.?EB=EA+AB=-^AD+AB,

又知。是8C的中點，J.M)=^AB+AC),

—?1―?—?―?3-A1―?

因此￡8=-^AB+AQ+AB=^AB-^AC.

(2)如圖，記正六邊形ABCf>EF的中心為點O,連接。8,OD,易證四邊形OBC。為菱形,

且P恰為其中心,

Tf3-3f

于是尸尸=2/O=]A8,

—>—?-?3~?-?―?—?-?

因此AP=AF+FP=]AB+AF,因為AP=X4B+y4F,

35

所以X=]且y=l,故x+y=,

考點三共線定理及其應(yīng)用師生共研

【例4】⑴設(shè)eι與e2是兩個不共線向量，AB=3e∣+2e2,CB=ke?+eι,CD=3e∣-2?>

若A,B,。三點共線，則&的值為.

(2)(2021?合肥模擬)在平行四邊形ABCo中，^DE=EC,AE交BD于F,則λ>=()

B.^AB-^AD

D.∣AB÷∣AD

9

答案(1)一^(2)D

解析(1)因為A,B,。三點共線，所以必存在一個實數(shù)L使得贏=2而.

又AB=3eι+2e2,CB=keτ+e2,CD=3e?-2keι,

所以訪=詼一@=3白一2履2一(履i+及)

=(3—k)e↑—(2k-?~l)e2,

所以3eι+2c2="3-Z)eι-42A:+1)-

3=A(3-?),

又約與62不共線，所以‘

2=-2(2)1+1),

解得仁七9

(2)如圖所示,

CED

'：DE=EC,

：.E為CQ中點，

設(shè)由'=施

=∕^AB+AD-^AB^=^AB+}AD.

χ2

又?：點、B,F9Z)共線，.?.∕+2=l,解得入=].

一1-*2?→

故人尸=鏟8+鏟。.

感悟升華1.證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別

與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.

2.向量〃，〃共線是指存在不全為零的實數(shù)九，λ2f使2口+石/?=0成立.

【訓(xùn)練2】(I)已知“，匕是不共線的向量，AB=λa+h,AC=a+μb,λ,"∈R,貝∣JA,B,

C三點共線的充要條件為()

A.2+〃=2B.λ—〃=1

C.λjLi——1D.λp,=1

⑵已知A,B,C是直線/上不同的三個點，點。不在直線/上，則使等式爐殖+入痂+詼

=O成立的實數(shù)X的取值集合為.

答案(I)D(2){-l}

解析⑴因為A,B,C三點共線，所以贏〃/，設(shè)贏正(mW0),則4r+%=皿α+曲)，

由于。與b不共線，所以"所以M=L

II=WjU,

(2)因為正=沆一為，

所以χ2jX+χ加+詼一協(xié)=0,

即沆1=—/宓一(χ-i)3正因為A,B,C三點共線，

所以一χ2-(χ-l)=l,即Λ2+X=0,

解得X=O或X=-L

當(dāng)X=O時，Λ2OA+XOB+BC=0,此時B,C兩點重合，

不合題意，舍去.故X=-L

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.已知下列各式：ΦΛB+BC+CA;（2）AB+MB+B?+δ?;③萬1+/+肋+歷；④贏一

AC+BD-CD,其中結(jié)果為零向量的是（）

A.①BSC.①③D.①④

答案D

解析利用向量運算，易知①，④的結(jié)果為零向量.

2.已知祐=4+5b,8C=-3a+6b,CD=4a-b,則（）

A.A,B,。三點共線B.A,B,C三點共線

C.B,C,。三點共線D.A,C,。三點共線

答案A

解析由題意得詬=正+而=。+56=贏，又礪、贏有公共點B,所以A,B,。三點共

線.故選A.

3.設(shè)。是非零向量，4是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.”與九!的方向相反B.α與Qa的方向相同

C.|一訓(xùn)冽D.?~λa?^?λ??a

答案B

解析當(dāng)，＞0時，。與兒Z的方向相同，A錯，。與心。的方向相同，B正確；當(dāng)囚＜1時，

?-λa?＜?a?9C錯；?-λa?=?λ??a?,D錯,故選B.

4.在aABC中，G為重心，記靠=mAC=b,則％=（）

1212

A?]"一予B.鏟+?/?

2121

C孕一§"D?

答案A

解析因為G為aABC的重心，

一fIf-11

所以AG=g（A3+AC）=?〃+]〃，

__A_A]][2

所以CG=CA+AG=-b+1α+16=]α-]0.

5.（2021?衡水調(diào)研）如圖所示，在正方形ABC。中，E為BC的中點，尸為AE的中點，則而

=()

B.^AB+^AD

D.^AB—^AD

答案D

解析DF=AF-AD,

AE=AB+BE.

?.?E為3C的中點,F為AE的中點,

—?1—?

.'.AF=2AE,BE=^BC,

-A-?—A1—?—?1—?—?-A

：.DF=AF-AD=^AE-AD=^AB+BE)-AD

-^AB+^BC~AD,

又就'=Ab,.?.DF=∣AB-∣Ab.

6.(2021?東北三省三校聯(lián)考)如圖，在平行四邊形A8C。中，E為BC的中點，尸為OE的中

點,^AF=XAB+^AD9貝UX=()

答案C

解析連接AE,因為F為。E的中點，所以赤=；（覆）+崩）,

—?—?—?—?1-A-A1-?

而Λε=A3+BE=A8+產(chǎn)=A3+1AZ),

所以還=￡應(yīng))+危)=莖AD+48+/。)

1-3->

=-^AB+~^ADi

f—3?→“，1

又4b=x48+aAO,所以x=y

7.如圖所示，設(shè)。是AABC內(nèi)部一點，且?λ+歷=-2?k則AABC與aAOC的面積之

比為（）

答案B

解析取AC的中點。，連接。。,

則δλ+歷=2歷，

所以勵=一而，

所以。是AC邊上的中線8。的中點，

所以SAABC=2SAOAC,

所以aABC與AAOC面積之比為2：1.

8.在AABC中，點。在線段BC的延長線上，且病=3?b,點。在線段C。上（與點C,D

不重合），若Ab=抵+（1—x）比，則X的取值范圍是（）

答案D

解析設(shè)C=），就，因為Xb=/+Gd=Zb+）反'

=AC+χAC-ΛB）=-γAβ+（l+>?）AC.

因為反'=3而，.?C0=3yCb,（X3j<l,

點O在線段C。上（與點C,O不重合），

所以y∈（θ,；）,因為Q=χZ?+（I-X）而，

所以X=-y,所以X∈（-*0）.

二、填空題

9.設(shè)向量α,6不平行，向量北+6與α+26平行，則實數(shù)2=.

答案?

解析?.?向量4,b不平行，.?.α+2b≠0,又向量2α+8與〃+2。平行，則存在唯一的實數(shù)

?λ=μ,J

μ,使2α+b=∕∕(4+20)成立，即筋+/?=*?+2〃b,則得，解得2="=不

11=2〃，2

10.已知S是AABC所在平面外一點，。是SC的中點，若由J=X靠+)n+示，則x+y

+z=.

答案0

、—?—?—??—?—?—?—?1—?1—?!

解析依題意得BZ)=A。-AB=I(AS+AC)-AB=-AB+∕AC+∕AS,因此x+y+z=-l+]

÷∣=0.

11.若點。是AABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足∣δh—而=|協(xié)+日7—2蘇|,則448C的

形狀為?

答案直角三角形

解析0B+0C-20A=(0B-0A)+(0C-0A)=AB+AC,OB-OC=CB=AB-AC,

Λ∣AB+AC∣=lAβ-AC∣.

故A,B,C為矩形的三個頂點，^ABC為直角三角形.

12.在AAOB中，AC=∣Aβ,。為OB的中點，若次=2晶+“加，則川的值為.

答案4

解析因為啟=/嬴，所以彳一萬1),

因為。為03的中點，所以歷=；。及

-A?-?1―?-?-A

所以O(shè)C=OO+OC=—5。B+(O4+A0

=—^?B÷OA+1(OB—5A)=^OA—

436

所以2=g,〃=一正，則M的值為一天.

B級能力提升

13.(多選題)(2021?濟南調(diào)研)下列命題正確的是()

A.若A,B,C,。四點在同一條直線上，且AB=C。，則而=而

B.在AABC中，若。點滿足d+??+及'=O,則。點是AABC的重心

C.若α=（l,l）,把。向右平移2個單位，得到的向量的坐標(biāo)為（3,1）

D.在AABC中，若δ>=2工&+磔，則P點的軌跡經(jīng)過AABC的內(nèi)心

l∣CA∣ICBJ

答案BD

解析如圖，

III__]

AHDC

A,B,C,。四點滿足條件，但贏≠eb,故A錯誤；

對于B,設(shè)BC的中點為。，當(dāng)jλ+拉?+52=0時，能得到殖=一（而+覺），所以萬I=

-2OD,所以。是AABC的重心，故B正確.

對于C,向量由向量的方向和模確定，平移不改變這兩個量，故C錯誤.

—?A

對于D,根據(jù)向量加法的幾何意義知，以.，必為鄰邊所得到的平行四邊形是菱形，點

∣C^IICBI

P在該菱形的對角線上，由菱形的對角線平分一組對角，得P點在N4CB的平分線所在直

線上，故D正確.

14.（2021?河南名校聯(lián)考）在AABC中，D,E分別為BC,AC邊上的點，且麗=2方乙若在

=λAB+^AD9則A=（）

5C4C4n3

A.-4B?-?C.-?D.F

答案A

解析如圖，設(shè)矗=嬴,則雄=贏一贏=/一A?=x（Ab+歷）一贏=1（國）+；麗一贏

=xAb+^(AD-AB)-AB

=-(方+I)A8+當(dāng)4D

，-→—3->

因為BE=ZAB+?。，

331

所以m=］，解得X=,

因此λ=_(]+1)=-∣.

15.直線/上有不同的三點A,B,C,。是直線/外一點，對于向量為i=(l-CoSa)加+

Sina(元?是銳角)總成立，貝IJa=.

答案45°

解析因為直線/上有不同的三點A,B,C,所以存在實數(shù)九使得函=2證，

所以蘇一勵=，無?一0?),

即溫=(I-幻為+4拉7,

f1-A=I-COS?,

所以T所以Sina=COsα,

μ=sina,

因為α是銳角，所以。=45。.

16.(2020?蘭州診斷)在直角梯形ABCQ中，NA=90。，NB=30。，AB=2√3,BC=2,點、E

在線段co上，若靠=由)+再，則〃的取值范圍是.

答案[o,2

解析由已知AO=I,CD=?所以祐=2方七

因為點E在線段C。上，

所以注=4而O≤∕iwi).

因為Zk=Q)+m=4b+>ι慶'=?b+芻通，

又第=Ab+“A3,所以〃=，.

因為0W4W1,所以O(shè)W〃W,

第2節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

考綱要求1.了解平面向量的基本定理及其意義;2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；

3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算；4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條

件.

知識分類落實回扣知識?夯實基礎(chǔ)

知識梳理

1.平面向量的基本定理

如果eι,C2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量。，有且只有

一對實數(shù)九，λz,使α=九e1+<l2e2.

其中，不共線的向量e∣,僅叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2.平面向量的正交分解

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

3.平面向量的坐標(biāo)運算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模

設(shè)α=(x∣,%),b-(x2,y2)>貝IJ

α+1=(xι+x2,y∣+v2),4-I=(Xl-X2,必一丫2)，λa=(λxj,λyι),?a?=y∣x↑+y^.

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(XI,%),B(X2，>'2)>則48=(及—Xl,丫2-yi)，?AB?=-?∕(X2-^Xl)2+(y2-?yi)2.

4.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)α=(XI,y∣)>b=(X2,y2),則(XHbOχ∣V2—X2V1=O?

?—常用結(jié)論與微點提醒—

1.平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然.

2.若a與b不共線，λa-l-∕z?=0,則2=〃=0.

3.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系.兩個相等的向量，

無論起點在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.

診斷自測

〉思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“J"或"X")

(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底.()

(2)設(shè)”,匕是平面內(nèi)的一組基底,若實數(shù)/，Ml,42,M2滿足為4+M必=義2"+〃2'則九=義2,

=〃2.()

若∣，則&的充要條件可以表示成)

(3)α=(xι,y),b=(x2,m)Λ2yj2

(4)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變.()

答案(I)X(2)√(3)×(4)√

解析(1)共線向量不可以作為基底.

(3)若6=(0,0),則曹=尚無意義.

〉教材衍化

2.若P∣(l,3),22(4,0),且P是線段P1P2的一個三等分點(靠近點Pi),則點P的坐標(biāo)為()

A.(2,2)B.(3,-1)

C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)

答案A

解析由題意得n>=3n>2且R>2=(3,-3),

設(shè)尸(x,y),則(X—1,y—3)=(1,—1),

所以x=2,y=2,則點P(2,2).

3.已知向量α=(—1,3),?=(2,1),則34-2%=()

A.(-7,7)B.(-3,-2)

C.(6,2)D.(4,-3)

答案A

解析3a-2ft=(-3,9)-(4,2)=(-7,7).

>考題體驗

4.(2021?南陽調(diào)研)已知向量a=?！?)，b=(3,機-2),則機=3是a〃b的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件

D.充要條件

答案A

解析Va=(m,l),b=(3,m-2),

若a〃b,則垃(〃?-2)—3=0,

得m=3或m=-1,

所以“機=3”是“a"b”的充分不必要條件.

5.(2020?合肥質(zhì)檢)設(shè)向量α=(—3,4),向量b與向量。方向相反,且例=10,則向量b的

坐標(biāo)為()

A(TI)b?(-6,8)C.仔-∣jD.(6,-8)

答案D

解析因為向量〃與“方向相反，則可設(shè)6=茄=(-32,42),z<0,則⑸+⑹2=512|

=10,.,.2=-2,b=(6,—8).

6.(2021?貴陽模擬)如圖，在平行四邊形ABCn中，尸是BC的中點，CE=-IDE,若赤=

xAB+yAD,則x+y=()

A

11

-

A6C-a

B.63

答案C

解析因為四邊形ABCZ)是平行四邊形，

所以贏=比,AD=BC,

,一A,,1A-?]一A]?

因為CE=-2DE,所以EO=-WoC=-1AB,

連接AF,在AAE尸中，

所以辦=麗+#=而―Ab+矗+矯

=-^AB~AD+AB+^BC=^AB-^AD,

又因為雄=X崩+)疝，

2II

所以X=W，y=~2>故χ+y=w?

考點分層突破考點聚焦?題型剖析

考點一平面向量的坐標(biāo)運算自主演練

1.已知四邊形ABCO的三個頂點A(0,2),B(-l,-2),C(3,l),且病=血，則頂點。的

坐標(biāo)為()

A(2,?

B.2,C.(3,2)D.(1,3)

答案A

X=2,

4=2x,

解析設(shè)Q(X,y),病=(x,y-2),病=(4,3),又於=2屐),所以,

解得■T，

3=2。-2),

故選A.

2.向量α,h,C在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若C=茄+/仍(九"∈R),貝/=()

A.1B.D.4

答案D

解析以向量。和b的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個小正方形邊長為

1),則A(l,-D,B(6,2),C(5,

Λα=AO=(-1,1),b=OB=(6,2),C=BC=(—1,—3),

c=λa-?-μb.*.(—1,—3)=2(—l,l)+"(6,2),

A=-2,

—z+6jw=-1,

3,解得〃=弓

?一

224

)?μ~j^?

~2

3.(2021?西安調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，OA=,若5λ繞點。逆時

針旋轉(zhuǎn)60。得到向量加，則??=()

A.(0,1)B.(1,0)

D.

答案A

解析；醇=曾，J,...5λ與無軸的夾角為30。,

依題意，向量無與X軸的夾角為90。,

則點8在y軸正半軸上，^.?OB?=?OA?=?,

二點8(0,1),則??=(0,l).

4.(2021?衡水檢測)如圖，原點。是Be內(nèi)一點，頂點4在X軸上，ZAOB=150%NBoC

=90。，I麗=2,I麗=1,∣δq=3,若歷=∕iδλ+〃蘇則￡=()

A.一坐B.乎C.—√3D.√3

答案D

解析由三角函數(shù)定義，易知A(2,0),一坐,，，C(3cos240o,3sin240°),

即C一鳴，

因為歷=高λ+〃協(xié)，

所以(一|,一歲］=2(2,0)+/(—坐，5，

所以￡=小.

感悟升華1.向量的坐標(biāo)表示把點與數(shù)聯(lián)系起來，實際上是向量的代數(shù)表示，即引入平面向

量的坐標(biāo)可以使向量運算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化

為我們熟知的數(shù)量運算.

2.向量的坐標(biāo)運算主要是利用向量的加、減、數(shù)乘運算法則進行計算.若已知有向線段兩

端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運用.

考點二平面向量基本定理及其應(yīng)用師生共研

【例1】如圖所示，已知在aOCB中，A是CB的中點，。是將帥分成2：1的一個內(nèi)分

點，CC和OA交于點E,設(shè)次l=4,OB=h.

B

(1)用。和6表示向量比，DC；

(2)若麗=%?λ求實數(shù)％的值.

解(1)依題意，A是8C的中點，

,?2OA=OB+OC,即女=2?λ-δ?=2α-A

->■~*--?-?2~*?

DC=OC-OD=OC-^OB

25

=2a-b—?/?=2a一秒

(2)設(shè)無=疝(0<kl),

則凄：=無一沆=2〃一(2〃一。)=(71-2)4+。

,/無與比共線，

二.存在實數(shù)%,使δk=&慶`,

(λ~2)a+b=k(2a-,解得％=2.

感悟升華1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則

進行向量的加、減,或數(shù)乘運算.

2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和

結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.

【訓(xùn)練1】(2021.銀川調(diào)研)在AABC中，M,N分別是邊AB,AC的中點，點。是線段

MN上異于端點的一點，且滿足2晶+3拉?+4歷=0q≠0),則4=.

答案7

解析法一由已知得蘇=一5而-4沆，①

AZ

由M,0,N三點共線，知m?∈R,使麗=廊,

故2?K∕=2fON,故?λ+為=∕(OA+OC),

整理得以=7?協(xié)+士女，②

t—11-t

4

-

-一3

對比①②兩式的系數(shù)，得,解-

Z

→1——

法二因為M是AB的中點，所以O(shè)M=I(O4+03),

于是為=2痂一流，同理沆=2加一5Z

將兩式代入，萬1+3無+4詼=0,

整理得Q-7)d+6血+8蘇=0,

因為M,O,N三點共線，?3p∈R,使得(?=p赤，

于是(2-7)5λ+(6p+8)蘇=0,

顯然?λ,赤不共線，故2-7=6p+8=0,故2=7.

考點三平面向量共線的坐標(biāo)表示多維探究

角度1利用向量共線求向量或點的坐標(biāo)

【例2】已知點Λ(4,0),8(4,4),C(2,6),O為坐標(biāo)原點，則AC與OB的交點P的坐標(biāo)為

答案(3,3)

解析法一由O,P,8三點共線，^Γ?δ>=zδβ=(4λ,41),則布一晶=(47-4,42).

又啟=沆_5λ=(_2,6),

由能與公共線，得(42-4)X6-42X(-2)=0,

3→3—

解得2=不所以O(shè)P=IoB=(3,3),

所以點P的坐標(biāo)為(3,3).

-A-A-A-A?*V

法二設(shè)點P(x,y),則OP=(X,>'),因為。B=(4,4),且。尸與OB共線，所以即x=y.

又麗=(X-4,y),AC=(-2,6),且亦與就共線，

所以(χ-4)X6—yX(-2)=0,解得x=y=3,

所以點尸的坐標(biāo)為(3,3).

角度2利用向量共線求參數(shù)

【例3】(1)已知向量a=(l,2),6=(2,—2),c=(l,λ).若c〃(2a+b),則4=,

(2)(2021?福州八校聯(lián)考)設(shè)向量萬1=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),其中O為坐標(biāo)

12

原點，且α>0,?>0,若A,B,C三點共線，貝聽+1的最小值為()

A.8B.9C.6D.4

答案(l)?(2)A

解析⑴由題意得2α+6=(4,2),因為c=(l,2),且C〃(勿+h),所以42—2=0,即

(2)由題意知Q=為一5λ=(α-l,l),AC=OC-OA={-b-1,2).

因為A,B,C三點共線，設(shè)B=/，

則(〃-1,1)=%(—〃-1,2).

∫t∕-l=λ(-?-l),

[1=24,得2α+b=L

又〃>0,?>0,則:+於弓+孤〃+力=2+2+工+與24+24|^=8,當(dāng)且僅當(dāng)華,

即α=+B='時,等號成立.

12

??言+忘的最小值為8.

感悟升華1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若α=(xι,y∣),b=(x2,丫2),則。

//b的充要條件是XIy2—X2)l=0;

(2)若?！ɑ?≠0),則α=勸.

2.向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均

非零時，也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例來求解.

【訓(xùn)練2】(1)(2021?太原聯(lián)考)已知向量e∣=(l,l),e2=(O,l),若α=e1+λe2與b=-(2eι

-3e2)共線，則實數(shù)4=.

(2)(2021?安徽江南十校調(diào)研)在直角坐標(biāo)系XOy中，已知點A((U)和點8(—3,4),若點C在N

Ao8的平分線上，?∣δC∣=3√10,則向量詼的坐標(biāo)為

3

答案(1)-5(2)(-3,9)

解析(1)由題意知〃=C]+Ze2=(l,l+2),

6=—(24一3/)=(-2,1).

3

由于α〃仇所以1X1+2(1+/1)=0,解得％=—/.

(2)因為點C在NAOB的平分線上，

所以存在％∈(0,+∞),使得定=2*?+0^.

UOAlIoBU

/.?C=2(0,1)+z(^—])=(一%‘給’

χ∣δq=3√io,

所以(一切2+信)2=(3迎)2,解得4=5.

故向量詼=(一3,9).

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.設(shè)4(0,1),B(l,3),C(-l,5),D(0,-1),則恭+啟等于()

A.-2ADB.2ADC.~3ADD.3AO

答案C

解析由題意得法=(1,2),AC=(-1,4).Ab=(0,-2),所以B+啟=(0,6)=—3(0,

-2)=-3AD.

2.己知向量。=(2/)，6=(3,4),c=(l,m),若實數(shù)2滿足α+6=Q,則，+機等于()

A.5B.6C.7D.8

答案B

解析由平面向量的坐標(biāo)運算法則可得q+%=(5,5),

4=5,

λc-(λ,λm),據(jù)此有J解得力=5,,"=1,ΛΛ+∕TJ=6.

Um=5,

3.(2021?鄭州質(zhì)檢)已知向量贏=(1,4),反■=(,”，-1),^AB∕∕AC,則實數(shù)，”的值為()

AB.-4C.4D.—4

答案D

解析:向量B=