8.5.1-8.5.2 直線與直線、直線與平面平行（解析版）

8.5.1-8.5.2直線與直線、直線與平面平行【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一基本事實(shí)4文字語言平行于同一條直線的兩條直線平行圖形語言符號語言直線a，b，c，a∥b，b∥c?a∥c作用證明兩條直線平行說明基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性考點(diǎn)二空間等角定理1.定理文字語言如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)符號語言O(shè)A∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°圖形語言作用判斷或證明兩個角相等或互補(bǔ)2.推廣如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.考點(diǎn)三直線與平面平行的判定定理文字語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，,b?α，,a∥b))?a∥α圖形語言考點(diǎn)四直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行符號語言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語言【題型歸納】題型一：判斷線面平行1．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面其中正確的命題（

）①，；②，；③，；④，；

⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤【答案】A【分析】分析各直線，平面的關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，①，，故，故正確；②，，則與有可能平行、相交、異面，故錯誤；③，則或，故錯誤；④，；則與可能平行或相交，故錯誤；⑤，，，由線面平行的判定定理可得，故正確.故選：A.2．（2022春·浙江·高一期中）下列命題中正確的是（

）A．如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行B．平面內(nèi)有不共線的三個點(diǎn)A，B，C到平面的距離相等，則C．，，則D．，，，則【答案】D【分析】根據(jù)線面平行的判斷和性質(zhì)理解辨析.【詳解】對于A：若一條直線與一個平面平行，這條直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，但不是任意一條，A錯誤；對于B：由題意可得：或與相交，B錯誤；對于C：根據(jù)題意可得：或，C錯誤；對于D：∵，則，使得，則∴∴，D正確；故選：D.3．（2021春·湖北·高一校聯(lián)考期末）如圖，在下列四個正方體中，為正方體的兩個頂點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線與平面平行的有（

）個①．

②．③．④．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用線面平行的判定方法逐個分析判斷即可【詳解】對于①，如圖取底面中心，連接，由于為棱的中點(diǎn)，所以由三角形中位線定理可得∥，因?yàn)榕c平面相交，所以與平面相交，對于②，如圖連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)椤危浴?，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，對于③，如圖，連接，則∥，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，所以由三角形中位線定理可得∥，所以∥，因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面，對于④，如圖，連接，則∥，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，所以由三角形中位線定理可得∥，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，所以直線與平面平行的有3個，故選：C題型二：直線與平面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點(diǎn)所在位置4．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱錐P—ABC中，點(diǎn)D，E分別為棱PB，BC的中點(diǎn).若點(diǎn)F在線段AC上，且滿足AD平面PEF，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】連接，交于，連接，由平面，得到，由點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，得到是的重心，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：連接，交于，連接，如圖，平面，平面平面，，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)．是的重心，．故選：C．5．（2022春·河南周口·高一太康縣第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)、分別是棱，的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，則線段長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別取棱、的中點(diǎn)、，連接，易證平面平面，由題意知點(diǎn)必在線段上，由此可判斷在或處時最長，位于線段中點(diǎn)處時最短，通過解直角三角形即可求得．【詳解】如下圖所示，分別取棱，的中點(diǎn)、，連，，，，，分別為所在棱的中點(diǎn)，則，，，又平面，平面，平面.，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面，又，平面平面.是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，點(diǎn)必在線段上.在中，.同理，在中，可得，為等腰三角形.當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時，，此時最短；點(diǎn)位于、處時，最長.，.線段長度的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)、線、面間的距離問題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力及推理轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題，解決本題的關(guān)鍵是通過構(gòu)造平行平面尋找點(diǎn)位置．6．（2022春·湖北黃岡·高一校考階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，交于點(diǎn)O，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)在上，，∥平面，則的值為（

）A．1 B． C．3 D．2【答案】C【分析】根據(jù)，得到，利用平面，得到，結(jié)合比例式的性質(zhì)，得到，即可求解.【詳解】解：設(shè)與交于點(diǎn)，連接，如圖所示，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，由四邊形是菱形，可得，則，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，所?故選：C.題型三：證明線面平行7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，已知M、N、P、Q分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．求證：(1)四邊形是平行四邊形；(2)平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用中位線性質(zhì)及平行四邊形的判定即可證結(jié)論；（2）由中位線性質(zhì)得，再應(yīng)用線面平行的判定即可證結(jié)論.【詳解】（1）由M、N、P、Q分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，所以且，所以為平行四邊形.（2）由M、N分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，所以，由（1）知面，且面，故面，即平面.8．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點(diǎn)，且PA＝AD＝2．(1)求證：平面PEC；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取PC的中點(diǎn)G，由題可得，然后根據(jù)線面平行的判定定理即得；（2）根據(jù)錐體的體積公式結(jié)合條件即得.【詳解】（1）取PC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，且PA＝AD＝2，四邊形ABCD是正方形，所以三棱錐的體積為：＝．9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn).(1)證明：AF平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，并給出必要的證明.【答案】(1)證明見解析(2)存在，證明見解析【分析】（1）取中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形即可；（2）設(shè)，取中點(diǎn)，先證明平面，即可證明點(diǎn)在線段靠近端的三等分點(diǎn)時符合題意.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，在中，為的中點(diǎn)，.為的中點(diǎn)，，即四邊形為平行四邊形，.平面平面平面.（2）設(shè)，取中點(diǎn)，連接，則在中，分別是的中點(diǎn)，平面平面，平面.與相似，且相似比為，為的三等分點(diǎn).在點(diǎn)位置時滿足平面.即點(diǎn)在線段靠近端的三等分點(diǎn)時符合題意.題型四：直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）點(diǎn)是所在平面外一點(diǎn)，是中點(diǎn)，在上任取點(diǎn)，過和作平面交平面于．證明：．【答案】證明見詳解【分析】連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，可推得，進(jìn)而得到平面.然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得．【詳解】證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以是的中點(diǎn).又是中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?又平面平面，平面，所以．11．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為，且平面.(1)若平面與平面的交線為，求證：平面；(2)求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）結(jié)合線面平行的判定定理和性質(zhì)定理證得：平面.（2）結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理和三角形重心的知識證得：.【詳解】（1）∵，平面平面，∴平面.∵平面，平面平面，∴.∵平面平面，

∴平面.（2）連接，設(shè)，，連接，∵平面平面，平面平面，∴，∵，，所以，∴，∴點(diǎn)是的重心，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴.12．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為長方形，平面ABCD，，，點(diǎn)E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)．設(shè)平面平面．(1)證明：平面PBE；(2)證明：；(3)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，由條件可證明，從而可得線面平行；（2）根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可證明；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）取PB中點(diǎn)，連接FG，EG，因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)所以，，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為長方形，所以，且，所以，，所以四邊形DEGF為平行四邊形，所以因?yàn)槠矫鍼BE，平面PBE，平面PBE（2）由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面所以（3）因?yàn)槠矫鍭BCD，所以PD為三棱錐的高，所以．題型五：直線和平面的位置關(guān)系綜合問題13．（2022春·新疆烏魯木齊·高一烏市一中校考期末）如圖，四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).（1）證明：平面ACE；（2）設(shè)，，直線PB與平面ABCD所成的角為，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】(1)連接交于點(diǎn)，連接，由三角形的中位線定理可知，結(jié)合線面平行的判定定理可證明平面.(2)由題意可知，再運(yùn)用錐體體積公式可求得四棱錐的體積.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接.在中，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，平面，則平面.（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，所以就是直線PB與平面ABCD所成的角，所以，又，，所以，所以四棱錐的體積，所以四棱錐的體積為.14．（2021春·黑龍江雞西·高一雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，AA1=AB=2，BC=3.（1）求證：AB1平面BC1D；（2）求AB1與BD所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）利用三角形中位線定理證明ODAB1，再用線面平行的判定定理證明AB1平面BC1D；（2）先判斷出∠ODB（或其補(bǔ)角）為AB1與BD所成的角，再解三角形求出余弦值.【詳解】（1）證明：如圖，連接B1C，設(shè)B1C與BC1相交于點(diǎn)O，連接OD．∵四邊形BCC1B1是平行四邊形．∴點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)．∵D為AC的中點(diǎn)，∴OD為△AB1C的中位線，∴OD∥AB1．∵OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（2）解：由（1）可知，∠ODB為AB1與BD所成的角或其補(bǔ)角，∵AA1＝AB＝2，∴AB1＝2，OD，在Rt△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，則BD，同理可得，OB，在△OBD中，cos∠ODB∴AB1與BD所成角的余弦值為．【點(diǎn)睛】立體幾何解答題的基本結(jié)構(gòu)：(1)第一問一般是幾何關(guān)系的證明，用判定定理；(2)第二問是計算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離），通?？梢杂脦缀畏?，也可以用向量法計算．15．（2021春·河北滄州·高一肅寧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知是所在平面外一點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）設(shè)平面平面，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明；（2）利用線面平行的性質(zhì)定理證明；【詳解】證明：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，可以證得且，所以四邊形是平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)椋矫?，平面，所以平?又因?yàn)槠矫嫫矫?，所?【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題16．（2022春·安徽合肥·高一校考階段練習(xí)）已知三條直線a，b，c和兩個平面，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)線線、線面位置關(guān)系，結(jié)合平面基本性質(zhì)判斷A、B、C；根據(jù)平面基本性質(zhì)知且，由線面平行的判定、性質(zhì)有，即可判斷D.【詳解】A：，則或，錯誤；B：，則或，錯誤；C：，則可能相交或平行，錯誤；D：由為兩個平面且、，故且，由，則，又，，，則，所以，正確.故選：D17．（2017·高一課時練習(xí)）下列四個正方體圖形中，，為正方體的兩個頂點(diǎn)，，，分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形的序號是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【答案】C【分析】用面面平行的性質(zhì)判斷①的正確性.利用線面相交來判斷②③的正確性，利用線線平行來判斷④的正確性.【詳解】對于①，連接如圖所示，由于，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知平面平面，所以平面.對于②，連接交于，由于是的中點(diǎn)，不是的中點(diǎn)，所以在平面內(nèi)與相交，所以直線與平面相交.對于③，連接，則，而與相交，即與平面相交，所以與平面相交.對于④，連接，則，由線面平行的判定定理可知平面.綜上所述，能得出平面的圖形的序號是①④.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的判定，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.18．（2021·高一課時練習(xí)）一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示，在正方體中，設(shè)的中點(diǎn)為M，的中點(diǎn)為N，下列結(jié)論正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】C【解析】根據(jù)題意，得到正方體的直觀圖及其各點(diǎn)的標(biāo)記字母，取FH的中點(diǎn)O,連接ON,BO，可以證明MN‖BO,利用BO與平面ABE的關(guān)系可以判定MN與平面ABE的關(guān)系，進(jìn)而對選擇支A作出判定；根據(jù)MN與平面BCF的關(guān)系，利用面面平行的性質(zhì)可以判定MN與平面ADE的關(guān)系，進(jìn)而對選擇支B作出判定；利用線面平行的判定定理可以證明MN與平面BDE的平行關(guān)系，進(jìn)而判定C；利用M,N在平面CDEF的兩側(cè)，可以判定MN與平面CDE的關(guān)系，進(jìn)而對D作出判定.【詳解】根據(jù)題意，得到正方體的直觀圖及其各點(diǎn)的標(biāo)記字母如圖所示，取FH的中點(diǎn)O,連接ON,BO，易知ON與BM平行且相等，四邊形ONMB為平行四邊形，MN‖BO,∵BO與平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN與平面ABE相交，故A錯誤；∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M,∴MN與平面ADE相交，故B錯誤；∵BO?平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN?平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正確；顯然M,N在平面CDEF的兩側(cè)，所以MN與平面CDEF相交，故D錯誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查從面面平行的判定與性質(zhì)，涉及正方體的性質(zhì)，面面平行，線面平行的性質(zhì)，屬于小綜合題，關(guān)鍵是正確將正方體的表面展開圖還原，得到正方體的直觀圖及其各頂點(diǎn)的標(biāo)記字母，并利用平行四邊形的判定與性質(zhì)找到MN的平行線BO.19．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，則（

）A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能【答案】B【分析】直接利用線面平行的性質(zhì)分析解答.【詳解】∵M(jìn)N∥平面PAD，MN?平面PAC，平面PAD∩平面PAC=PA，∴MN∥PA.故選：B20．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，，為不同的直線，，，為不同的平面，則下列結(jié)論中正確的有（

）①若，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，則．A．①③ B．②④ C．②③ D．②【答案】A【分析】由平行的傳遞性、線面關(guān)系及線面平行的性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】由平行的傳遞性知①正確；若，，可能平行，也可能相交或異面，②錯誤；由線面平行的性質(zhì)知③正確；若，，則或，④錯誤.故選：A.21．（2022春·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期中）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計算證明；（Ⅱ）可以將平面擴(kuò)展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計算；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算求解.【詳解】（Ⅰ）[方法一]：幾何法如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；[方法二]:空間向量坐標(biāo)法以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：幾何法延長到，使得，連接，交于，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,連接，作,垂足為,連接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直線平面,又∵直線平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直線上,∴直線為直線在平面中的射影，∠為直線與平面所成的角，根據(jù)直線直線，可知∠為直線與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長為2，則,,∴,∴,∴,即直線與平面所成角的正弦值為.[方法二]：向量法接續(xù)（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.[方法三]：幾何法+體積法如圖，設(shè)的中點(diǎn)為F，延長，易證三線交于一點(diǎn)P．因?yàn)?，所以直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角．設(shè)正方體的棱長為2，在中，易得，可得．由，得，整理得．所以．所以直線與平面所成角的正弦值為．[方法四]：純體積法設(shè)正方體的棱長為2，點(diǎn)到平面的距離為h，在中，，，所以，易得．由，得，解得，設(shè)直線與平面所成的角為，所以．【整體點(diǎn)評】（Ⅰ）的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明；（II）第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學(xué)生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計算論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計算較為簡潔；方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進(jìn)行計算，省卻了輔助線和幾何的論證，不失為一種優(yōu)美的方法.22．（2022春·湖北武漢·高一華中師大一附中校考階段練習(xí)）如圖,四邊形為矩形,且平面,,為的中點(diǎn).（1）求證:；（2）求三棱錐的體積；（3）探究在上是否存在點(diǎn),使得平面，并說明理由.【答案】（1）見解析;（2）;（3）見解析.【分析】(1)連結(jié),由幾何體的空間結(jié)構(gòu)可證得,利用線面垂直的定義可知.(2)由(1)知為腰長為1的等腰直角三角形,結(jié)合題意轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)可得.(3)在上存在中點(diǎn),使得.取的中點(diǎn),連結(jié).易證得四邊形EGHC是平行四邊形,所以EG//CH,結(jié)合線面平行的判斷定理可知EG//平面PCD.【詳解】(1)連結(jié),∵為的中點(diǎn),,∴為等腰直角三角形,則,同理可得,∴,∴,又,且,∴,

又∵,∴,又,∴.(2)由(1)知為腰長為1的等腰直角三角形,∴,而是三棱錐的高,∴.(3)在上存在中點(diǎn),使得.理由如下:取的中點(diǎn),連結(jié).∵是的中點(diǎn),∴,且,

又因?yàn)镋為BC的中點(diǎn),且四邊形ABCD為矩形,所以EC//AD,且EC=AD,所以EC//GH,且EC=GH,所以四邊形EGHC是平行四邊形,所以EG//CH,又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG//平面PCD.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判斷定理，線面垂直的判斷定理，棱錐的體積公式，立體幾何中探索問題的處理方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.23．（2020·浙江杭州·高一期末）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，、分別為、的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）求證：平面.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.【分析】（1）欲證，只需證明即可；（2）先證平面，再證平面平面；（3）取中點(diǎn)，連接，證明，則平面.【詳解】（Ⅰ）∵，且為的中點(diǎn)，∴.∵底面為矩形，∴，∴；（Ⅱ）∵底面為矩形，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴.又，，、平面，平面，∵平面，∴平面平面；（Ⅲ）如圖，取中點(diǎn)，連接.∵分別為和的中點(diǎn)，∴，且.∵四邊形為矩形，且為的中點(diǎn)，∴，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.【點(diǎn)睛】證明面面關(guān)系的核心是證明線面關(guān)系，證明線面關(guān)系的核心是證明線線關(guān)系.證明線線平行的方法：（1）線面平行的性質(zhì)定理；（2）三角形中位線法；（3）平行四邊形法.證明線線垂直的常用方法：（1）等腰三角形三線合一；（2）勾股定理逆定理；（3）線面垂直的性質(zhì)定理；（4）菱形對角線互相垂直.24．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知在長方體中，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn).(1)求證：平面EBD；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1），證明，然后由線面平行的判定定理可得線面平行；（2）用換底法求三棱錐的的體積．【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，且，則O為AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，則，∵平面EBD，平面EBD，因此，平面EBD；（2）在長方體中，平面，因此，.【高分突破】一、單選題25．（2022春·河北張家口·高一張北縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖是正方體的平面展開圖．關(guān)于這個正方體，以下判斷不正確的是（

）A． B．平面C．與所成的角為 D．【答案】A【分析】由正方體的平面展開圖還原正方體，可直接判斷A、D的正誤；根據(jù)且可證，可得平面；可證，在等邊三角形△中分析與所成的角．【詳解】如圖：由正方體的平面展開圖還原正方體根據(jù)圖形顯然不平行，，A不正確，D正確；∵且，則為平行四邊形∴平面，平面則平面，B正確；連接∵且，則為平行四邊形∴又∵，即△為等邊三角形∴與所成的角為，C正確；故選：A．【點(diǎn)睛】26．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，是空間兩個不同的平面，，是空間兩條不同的直線，下列說法中正確的是（

）A．，則B．，，則C．平面內(nèi)的不共線三點(diǎn)到平面β的距離相等，則與平行D．如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與此平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行【答案】D【分析】，則或，判斷選項(xiàng)A，，，則或，判斷選項(xiàng)B，當(dāng)兩個面相交時，可以在平面內(nèi)找到的不共線三點(diǎn)到平面β的距離相等，判斷選項(xiàng)C，根據(jù)平行的傳遞性判斷選項(xiàng)D.【詳解】，則或，故選項(xiàng)A錯誤；，，則或，故選項(xiàng)B錯誤；當(dāng)平面與平面相交時，可以在平面內(nèi)找到不共線三點(diǎn)到平面β的距離相等，故選項(xiàng)C錯誤；如果一條直線與一個平面平行，那么平面內(nèi)必有一條直線與給定直線平行，而平面內(nèi)與一條直線平行的直線有無數(shù)條，根據(jù)平行的傳遞性，這些直線都與給定直線平行，所以有無數(shù)條，故選項(xiàng)D正確.故選：D.27．（2022春·山西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，M，N，P分別是，BC，的中點(diǎn)，有下列四個結(jié)論中，正確的個數(shù)是（

）①AP與CM是異面直線

②AP，CM，相交于一點(diǎn)

③

④平面A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用異面直線的概念，以及線面平行的判定定理和性質(zhì)定理逐個分析判斷【詳解】對于①，連接，，則，∥，因?yàn)镸，P分別是，的中點(diǎn)，所以∥，，所以∥，，所以AP與CM是相交直線，所以①錯誤，對于②，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面，且與是相交直線，所以AP，CM，相交于一點(diǎn)，所以②正確，對于③④，令，因?yàn)镸，N分別是，BC的中點(diǎn)，所以∥∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面，所以③錯誤，④正確，故選：B28．（2022春·全國·高一期末）已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，,則C．若,，，，則D．若，，，則【答案】B【分析】利用直線和平面平行的判定定理和直線與平面平行的性質(zhì)定理即可求解.【詳解】對于選項(xiàng),由直線和平面的性質(zhì)定理可知，直線只能和過這條直線的任意平面與平面的交線平行，則直線和不一定平行，則不正確；對于選項(xiàng)，利用直線與平面平行的判定定理可知選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)，平面和平面可能相交，則選項(xiàng)不正確，對于選項(xiàng)，直線和直線可能相交或異面，則不正確；故選：.29．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對角線交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的個數(shù)為（

）①平面PBC

②平面PCD

③平面PDA④平面PBAA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】證明，即可證明②③正確；平面，故①錯誤，平面，故④錯誤．【詳解】對于①，平面，故①錯誤；對于②，由于為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，平面，平面，則平面，故②正確；對于③，由于，平面，平面，則平面，故③正確；對于④，由于平面，故④錯誤．故選：B30．（2019春·天津紅橋·高一統(tǒng)考期末）下列正方體中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出直線AB∥平面MNP的圖形的序號是（

）A．①③ B．①②C．①④ D．②③【答案】A【分析】運(yùn)用線面平行的判定、面面平行及線面相交、面面平行的性質(zhì)，并結(jié)合圖形即可判斷結(jié)論在各圖中是否正確【詳解】圖①，如圖，作//，連接，得平面，平面?//平面即//平面，故①項(xiàng)正確；圖②，如圖，連結(jié)由已知可得平面//平面；∵和平面相交，∴不平行于平面，故②項(xiàng)錯誤；圖③，如圖，連接由已知可得//，而//，可得//，∵平面/平面，又∵平面∴//平面，故③項(xiàng)正確；④項(xiàng)，如圖，由//，平面，若//平面，又則平面//平面而由圖可知，平面不可能平行平面∴不平行于平面，故④項(xiàng)錯誤.綜上，①③符合題意.故選：A二、多選題31．（2022春·廣東韶關(guān)·高一?？计谥校┤鐖D，在正方體中，，分別是的中點(diǎn)，則（

）A．四點(diǎn)，，，共面B．C．平面D．若，則正方體外接球的表面積為【答案】BD【分析】連接和，由此可知點(diǎn)，，在平面中，而點(diǎn)不在平面中，即可判斷選項(xiàng)；由已知得為△的中位線，利用中位線的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)；由已知得點(diǎn),,都在平面,與平面相交，即可判斷選項(xiàng)；由即可求得正方體的棱長為，則可以求出正方體外接球的半徑，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對于選項(xiàng)，連接和，由此可知點(diǎn)，，在平面中，點(diǎn)平面，則四點(diǎn)，，，不共面，即選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)結(jié)合條件可知，分別是的中點(diǎn)，所以,又因?yàn)?所以，即選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)，點(diǎn),,都在平面,所以與平面相交，即選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)，因?yàn)闉椤鞯闹形痪€，且，所以正方體的棱長為，設(shè)正方體外接球的半徑為,則,即，則外接球的表面積為,即選項(xiàng)正確；故選：.32．（2022春·湖北隨州·高一隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列滿足平面ABC的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)線面平行的判定定理或面面平行的性質(zhì)定理，即可得解．【詳解】解：對于A，如圖所示，點(diǎn)，為正方體的兩個頂點(diǎn)，則，所以、、、四點(diǎn)共面，同理可證，即、、、四點(diǎn)共面，平面，故A錯誤；對于B，如圖所示，為正方體的一個頂點(diǎn)，則，，平面，平面，所以平面，同理可證平面又，、平面，平面平面，又平面，平面，故B正確；選項(xiàng)C，如圖所示，為正方體的一個頂點(diǎn)，則平面平面，平面，平面，故C正確；對于D，連接，則，，，，四點(diǎn)共面，平面，與平面相矛盾，故D錯誤．故選：BC．33．（2022春·廣東江門·高一臺山市華僑中學(xué)校考期中）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且，則（

）A．平面EGHF B．平面ABCC．平面EGHF D．直線GE，HF，AC交于一點(diǎn)【答案】AD【分析】由條件可得，F(xiàn)H與AC為相交直線，即可判斷ABC，EG與FH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M，然后可證明，即可判斷D正確.【詳解】因?yàn)?，所?又E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以，且，則.易知平面EGHF，F(xiàn)H與AC為相交直線，即A正確，B，C錯誤.因?yàn)镋FHG為梯形，所以EG與FH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M，所以平面ABC，平面ACD，則M是平面ABC與平面ACD的一個交點(diǎn)，所以，即直線GE，HF，AC交于一點(diǎn)，即D正確.故選：AD34．（2022春·全國·高一期末）如圖，在直四棱柱中，，，，，點(diǎn)P，Q，R分別在棱，，上，若A，P，Q，R四點(diǎn)共面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．任意點(diǎn)P，都有B．存在點(diǎn)P，使得四邊形APQR為平行四邊形C．存在點(diǎn)P，使得平面APQRD．存在點(diǎn)P，使得△APR為等腰直角三角形【答案】AC【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)，結(jié)合假設(shè)法逐一判斷即可.【詳解】對于A：由直四棱柱，，所以平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，故A正確；對于B：若四邊形為平行四邊形，則，而與不平行，即平面與平面不平行，所以平面平面，平面平面，直線與直線不平行，與矛盾，所以四邊形不可能是平行四邊形，故B不正確；對于C：當(dāng)時，為時，滿足平面，故C正確.對于D：假設(shè)存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，令，過點(diǎn)作，則，在線段上取一點(diǎn)使得，連接，則四邊形為矩形，所以，則，，顯然，若，則，此時，解得，不合題意；若由，則且四邊形為平行四邊，所以，無解，故D錯誤；故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用假設(shè)法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.35．（2022春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期中）如圖，正四棱柱中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱CD，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有(

)A．與FG共面 B．AE與異面C．平面AEF D．該正四棱柱外接球的表面積為【答案】ABC【分析】證明即可判斷；連接，證明與分別是兩個互相平行的平面里面的不平行直線即可判斷；取的中點(diǎn)為，連接，連接，證明即可判斷；根據(jù)長方體外接球球心為體對角線中點(diǎn)即可計算長方體外接球半徑，從而計算其外接球表面積，從而判斷D．【詳解】①，且是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，，且，四邊形是平行四邊形，與共面，故A正確；②連接四邊形為平行四邊形，，，故與不平行，而平面平面，平面面，和互為異面直線，故B正確；③取的中點(diǎn)為，連接，連接.是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，，且四邊形是平行四邊形，是的中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，在中，．是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，，平面平面平面，故C正確．④設(shè)該四棱柱外接球半徑為，則，故該正四棱柱外接球的表面積為，故D錯誤．故選：ABC.36．（2022春·吉林長春·高一長春十一高?？茧A段練習(xí)）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點(diǎn)（不與各邊的端點(diǎn)重合），且AE:EB=AH:HD=m，CF:FB=CG:GD=n，AC⊥BD，AC=4，BD=6.則下列結(jié)論正確的是（

）A．E，F(xiàn)，G，H一定共面B．若直線EF與GH有交點(diǎn)，則交點(diǎn)一定在直線AC上C．AC∥平面EFGHD．當(dāng)m=n時，四邊形EFGH的面積有最大值6【答案】ABD【分析】A根據(jù)等比例的性質(zhì)可得；B、C由題設(shè)得、，若易得直線EF與GH有交點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)、線、面的關(guān)系判斷交點(diǎn)位置即可確定正誤；D由B、C的分析知EPGH為平行四邊形，結(jié)合有EFGH為矩形，設(shè)并得到EFGH面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，由二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可判斷.【詳解】因?yàn)椋瑒t，又，則.所以，即四點(diǎn)共面，A正確；因?yàn)椋?，同?當(dāng)時又，此時四邊形EFGH為梯形，即直線EF與GH有交點(diǎn)，交點(diǎn)在面ABC內(nèi)，又在面ADC內(nèi)，而面面，所以直線EF與GH的交點(diǎn)在直線AC上，B正確，C錯誤；因?yàn)榧暗茫?，四邊形EPGH為平行四邊形，又，所以，故平行四邊形EFGH為矩形.設(shè)，因?yàn)椋?，而，所以，所以，則矩形EFGH的面積，可得，D正確.故選：ABD三、填空題37．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足條件：________時，平面.【答案】答案表述不唯一)【分析】當(dāng)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)時，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可判斷，從而可得平面，由此可得出點(diǎn)滿足條件的結(jié)論.【詳解】連接交于O，連接OE，平面平面，平面平面，.又底面為平行四邊形，為對角線與的交點(diǎn)，故為的中點(diǎn),為的中點(diǎn)，故當(dāng)滿足條件:時，面.故答案為:答案表述不唯一)38．（2022·高一課時練習(xí)）已知a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，則下列說法中正確的序號為________．①若α//β，a?α，b?β，則a與b是異面直線；②若α//β，a?α，則a//β；③若α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交．【答案】②【分析】①③可舉出反例，②可以從線面平行的判定進(jìn)行判斷【詳解】①中直線a與b沒有交點(diǎn)，所以a與b可能異面也可能平行，故①錯誤；②由面面平行得a與β沒有公共點(diǎn)，故②正確；③中直線a與平面β有可能平行，故③錯誤．故答案為：②39．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，長方體的底面是正方形.其側(cè)面展開圖是邊長為4的正方形，E、F分別是側(cè)棱上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在棱上，且，若平面，則的長=___________.【答案】【分析】連接AC與BD交于點(diǎn)O，取PQ=AP=1，連接QC，得到，再由平面，利用線面平行的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到求解.【詳解】解：因?yàn)殚L方體的底面是正方形，其側(cè)面展開圖是邊長為4的正方形，所以底面邊長為，高為，如圖所示：連接AC與BD交于點(diǎn)O，取PQ=AP=1，連接QC，則，因?yàn)槠矫?，且平面，平面平面，所以，則，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，故答案為：40．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，過三棱臺上底面的一邊，作一個平行于棱的截面，與下底面的交線為DE．若D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，則______．【答案】【分析】證得，然后結(jié)合棱臺與棱柱的體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠矫?，且平面平面，所以，又因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，且E分別是BC的中點(diǎn)，所以，同理，因此，設(shè)上底面的面積為，高為，則下底面的面積為，所以，故答案為：.41．（2022·高一課時練習(xí)）已知l，m，n是互不相同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列命題：①若l與m為異面直線，l?α，m?β，則αβ；②若αβ，l?α，m?β，則lm；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，lγ，則mn.其中所有真命題的序號為________.【答案】③【分析】①利用平面的位置關(guān)系判斷；②利用直線與直線的位置關(guān)系判斷；③利用線面平行的性質(zhì)定理判斷.【詳解】①若l與m為異面直線，l?α，m?β，則αβ或α與β相交；②若αβ，l?α，m?β，則lm或直線l與m異面；③因?yàn)棣痢搔拢絣，β∩γ＝m，lγ，所以ml，同理可證ln，所以mn.故答案為：③42．（2022春·江西贛州·高一贛州市贛縣第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BC，的中點(diǎn)，P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），若平面AEF，則線段長度的取值范圍是_________.【答案】【分析】分別取棱的中點(diǎn)，通過證明平面可得必在線段上，進(jìn)而可求得長度的取值范圍.【詳解】如下圖所示，分別取棱的中點(diǎn)，連接，連接，因?yàn)闉樗诶獾闹悬c(diǎn)，所以，所以，又平面平面，所以平面；因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面，因?yàn)槭莻?cè)面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，則必在線段上，在直角中，，同理，在直角中，求得，所以為等腰三角形，當(dāng)在中點(diǎn)時，，此時最短，位于處時最長，，，所以線段長度的取值范圍是.故答案為：.四、解答題43．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面ABC，，D為AC的中點(diǎn)，，.(