正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)（分層練習(xí)10大題型）（解析版）

5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)分層練習(xí)題型一五點(diǎn)法作正（余）函數(shù)圖象1．用“五點(diǎn)法”作y＝2sinx的圖象時(shí)，首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】與對應(yīng)五點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，則五點(diǎn)法對應(yīng)五點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故選：A．2．用“五點(diǎn)法”作的圖象，首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由“五點(diǎn)法”作圖知：令，，，，，解得，即為五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo).故選：B.3．用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)的簡圖.（1），；（2），.【答案】（1）圖象見解析；（2）圖象見解析【解析】（1）列表：描點(diǎn)、連線、繪圖，如圖所示.（2）列表：1－1描點(diǎn)連線如圖.4．用“五點(diǎn)法”作，的圖象.【答案】圖象見解析【解析】（1）取值列表：0－1010－1（2）描點(diǎn)連線，如圖所示.題型二求正（余）弦函數(shù)的周期性1．若函數(shù)的表達(dá)式，則．【答案】【解析】的最小正周期，.2．求下列函數(shù)的最小正周期．（1），；（2），；（3），．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期為；（2）因?yàn)椋院瘮?shù)的最小正周期為；（3）因?yàn)椋院瘮?shù)的最小正周期為.3．求下列函數(shù)的周期：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以，的最小正周期?（2）因?yàn)?，所以，的最小正周期?4．求下列函數(shù)的周期：（1），；（2），；（3），．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由題意知：，所以：的周期為：，故所求周期為：.（2）由題意知：，所以：的周期為：，故所求周期為：.（3）由題意可得：，根據(jù)函數(shù)周期的定義可得：的周期為.又的圖象可以看成將在軸下方的圖象翻折到軸上方得到的，故其最小正周期為，故所求周期為：.題型三求正（余）弦函數(shù)的奇偶性1．下列函數(shù)具有奇偶性的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對A，函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對稱，無奇偶性，故A錯(cuò)誤；對B，函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，無奇偶性；故B錯(cuò)誤；對C，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，故為奇函?shù)，故C正確；對D，函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，無奇偶性，故D錯(cuò)誤．故選：C．2．函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù)D．是奇函數(shù)【答案】C【解析】選項(xiàng)A:因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，又，所以是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B:因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，又，所以是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C:因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，又，所以是奇函數(shù)，故C正確；選項(xiàng)D:因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，又，所以是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.3．下列函數(shù)中，最小正周期為的偶函數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】對于A，定義域?yàn)?，因?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)榈膱D象是由的圖象在軸下方的關(guān)于軸對稱后與軸上方的圖象共同組成又的最小正周期為，所以的最小正周期為，故A正確；對于B：為最小正周期為的奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C：定義域?yàn)?，，即為偶函?shù)，又，所以為的周期，故C錯(cuò)誤；對于D：為最小正周期為的偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：A4．（多選）若函數(shù)是偶函數(shù)，則的值不可能為（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由函數(shù)是偶函數(shù)，可得，即，則，解得，當(dāng)時(shí)，可得，無論取何值，都不可能等于或或．故選：ABD．5．已知函數(shù)，則是為奇函數(shù)的（）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】時(shí)，可得，定義域?yàn)镽，此時(shí)，故為奇函數(shù)，故充分性成立，而當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，得，故不一定為，故必要性不成立，是為奇函數(shù)的充分不必要條件.故選：B6．若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對于函數(shù)，有，解得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即對任意的恒成立，所以，，所以，，解得，.故選：D.題型四求正（余）弦函數(shù)的對稱性1．函數(shù)的一條對稱軸為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函數(shù)的對稱軸滿足，解得，令，則，故選：A.2．函數(shù)的圖象（）A．關(guān)于直線對稱B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于點(diǎn)對稱D．關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】B【解析】A.，所以函數(shù)不關(guān)于直線對稱，故A錯(cuò)誤；B.，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，故B正確；C.，所以函數(shù)不關(guān)于點(diǎn)對稱，故C錯(cuò)誤；D.，所以函數(shù)不關(guān)于點(diǎn)對稱，故D錯(cuò)誤；故選：B3．函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若圖象的一條對稱軸的方程為，結(jié)合余弦函數(shù)圖像，整體代入得：，所以，經(jīng)驗(yàn)證，只有，當(dāng)時(shí)，符合條件，故選：A.4．函數(shù)的圖象（）A．關(guān)于x軸對稱B．關(guān)于原點(diǎn)對稱C．關(guān)于點(diǎn)對稱D．關(guān)于直線對稱【答案】D【解析】對選項(xiàng)A：，不關(guān)于軸對稱，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B：當(dāng)和時(shí)，，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，故不關(guān)于點(diǎn)對稱，錯(cuò)誤.對選項(xiàng)D：當(dāng)，，因?yàn)槭堑膶ΨQ軸，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，正確；故選：D5．已知函數(shù)在區(qū)間恰有兩條對稱軸，則的取值范圍（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間恰有兩條對稱軸，所以，解得.故選：B6．若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，且，則，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，解得.故選：C.題型五求正（余）弦函數(shù)的單調(diào)性1．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令,所以，當(dāng)，由于，故D正確，ABC均錯(cuò)誤，故選：D2．同時(shí)具有以下性質(zhì)：“①最小正周期是，②在區(qū)間上是增函數(shù)”的一個(gè)函數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】對于A，的周期，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，正確；對于B，的周期，不符合題意；對于C，的周期，不符合題意；對于D，的周期，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上先增后減，不符合題意；故選：A3．若函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)樵趩握{(diào)，所以，∴，故選：D.4．已知函數(shù)（ω>0），對任意x∈R，都有≤，并且在區(qū)間上不單調(diào)，則ω的最小值是（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】對任意，都有，為函數(shù)的最大值，則，，得，，在區(qū)間，上不單調(diào)，，即，即，得，則當(dāng)時(shí)，最小.故選：B.5．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析【解析】（1）對于函數(shù)，令，，得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；令，，得，，所以的的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）對于，令，，得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；令，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.題型六比較正（余）函數(shù)值的大小1．下列各式中正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于在上遞增，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.由于在上遞減，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.，，所以，C選項(xiàng)正確.在上遞增，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C2．三個(gè)實(shí)數(shù)，，的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)椋趾瘮?shù)，在單調(diào)遞減，所以，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，故選：C.3．設(shè)，則A．B．C．D．【答案】A【解析】，，在上是減函數(shù)，，即，故選：．4．若，則的大小關(guān)系是A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且所以，即故選：A5．若為銳角三角形，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵為銳角三角形，∴，，∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴對于A，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，∵，，，∴，∴，∴，即，∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，由選項(xiàng)C中判斷，，∴，故選項(xiàng)D正確.故選：D.題型七解正（余）弦不等式1．實(shí)數(shù)x屬于下列哪個(gè)區(qū)間時(shí)，不等式恒成立？（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在同一坐標(biāo)系中，作出與，如圖：由圖可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?故選：D2．滿足的x的集合是（）A．B．C．D．或【答案】A【解析】，故，，解得：，，所以滿足的x的集合是.故選：A3．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】B【解析】由題知，即，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B4．不等式的解集為．【答案】【解析】畫出時(shí)，的圖象．令，，解得或又的周期為，所以的解集為．用代替解出．可得則的解集為.5．根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，寫出使下列不等式成立的x的取值范圍：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）;（2）（3）；（4）【解析】（1）

即，當(dāng)時(shí)，或，故由正弦函數(shù)的圖象可得解得.（2）即，當(dāng)時(shí)，或，故解得（3）即，故當(dāng)時(shí)，或，故，解得.（4）即，故當(dāng)時(shí)，或，故，解得題型八正（余）弦函數(shù)的最值問題1．函數(shù)在上的值域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】A【解析】由，可得，則.故選：A.2．函數(shù)的最小值為（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，在中，在中，，對稱軸：，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在處取最小值，，故選：B.3．函數(shù)的最小值是．【答案】【解析】函數(shù)，令，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸為，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值.4．已知函數(shù)，的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，設(shè)，，函數(shù)的對稱軸為且，，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間的值域?yàn)椋栽趨^(qū)間上能取得，但是不能小于0，所以.故選：C5．求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1），，，，故的值域?yàn)?（2），，，，，，，故的值域?yàn)?題型九正（余）弦函數(shù)識圖問題1．如圖所示，函數(shù)（且）的圖像是（）.A．B．C．D．

【答案】C【解析】，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，作出函數(shù)圖象如下圖所示，故選：C.2．函數(shù)的圖像大致為（）A．B．

C．D．

【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即函?shù)為奇函數(shù)，故CD錯(cuò)誤；由可知，C錯(cuò)誤，A正確；故選：A3．函數(shù)的圖象可能是（）A．B．

C．D．

【答案】D【解析】設(shè)，定義域?yàn)?，則有，所以函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，故選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤；因?yàn)椋赃x項(xiàng)B錯(cuò)誤；綜上知，選項(xiàng)D正確.故選：D.4．函數(shù)的圖象大致為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，所以函數(shù)的定義域是，關(guān)于原點(diǎn)對稱，由，所以為奇函數(shù)，可排除B、D；，，所以，故排除C.故選：A.5．函數(shù)的大致圖象是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)C，D；當(dāng)時(shí)，，所以，則，所以，排除B．故選：A.題型十與正（余）弦函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問題1．，的圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值從1遞減到，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值從遞增到1，函數(shù)在上的圖象，如圖，觀察圖象知，，的圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.故選：C2．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．【答案】7【解析】依題意求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，，如圖，對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在軸非負(fù)半軸上兩個(gè)函數(shù)圖像有4個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在軸負(fù)半軸上兩個(gè)函數(shù)圖像有3個(gè)交點(diǎn)，綜上，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7.3．已知函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【解析】由得，由題意，解得．4．已知函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【解析】由且，得，若在上無零點(diǎn)，則在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則，無解；若在上恰有1個(gè)零點(diǎn)，則在上恰有1個(gè)零點(diǎn)，則，解得；若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則在上無零點(diǎn)，則，無解，所以的取值范圍為