第12講 5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（解析版）

第12講5.7三角函數(shù)的應(yīng)用課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握三角函數(shù)的圖象與解析式之間的對(duì)應(yīng)問(wèn)題的處理方法。②能結(jié)合實(shí)際生產(chǎn)與生活中與三角函數(shù)之間的密切關(guān)系，用三角函數(shù)這一數(shù)學(xué)模式解決與之相關(guān)的問(wèn)題。③能處理三角函數(shù)相關(guān)學(xué)科之間的問(wèn)題，用三角函數(shù)這一重要工具解決與數(shù)學(xué)、物理學(xué)及其它學(xué)科與之相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題。④掌握數(shù)學(xué)建模的重要方法與步驟，并能嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽?yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題。掌握常見(jiàn)的三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的處理方法，了解并掌握數(shù)學(xué)建模的方法與步驟，能處理與三角函數(shù)相結(jié)合的數(shù)學(xué)問(wèn)題、物理問(wèn)題及與之相關(guān)的其它學(xué)科與生產(chǎn)、生活有密切聯(lián)系的問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)(,)中,各參數(shù)的物理意義振幅它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體離開(kāi)平衡位置的最大距離

周期它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需要的時(shí)間

頻率它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)相位時(shí)的相位稱為初相

知識(shí)點(diǎn)二：應(yīng)用三角函數(shù)模型解決問(wèn)題的一般程序應(yīng)用三角函數(shù)模型解決問(wèn)題,首先要把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題,通過(guò)分析它的變化趨勢(shì),確定它的周期,從而建立起適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型,解決問(wèn)題的一般程序如下:

(1)審題,先審清楚題目條件、要求、理解數(shù)學(xué)關(guān)系.(2)建模,分析題目特性,選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型.(3)求解,對(duì)所建立的三角函數(shù)模型進(jìn)行分析研究得到數(shù)學(xué)結(jié)論.(4)還原,把數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的解答.題型01三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用【典例1】（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置.我國(guó)第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1.由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開(kāi)平衡位置的位移和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，如圖2，若該阻尼器在擺動(dòng)過(guò)程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時(shí)間分別為，，，且，，則在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開(kāi)平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為（

）

A． B． C．1s D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，，所以，又，所以，則，由可得，所以，，所以，，故，所以在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開(kāi)平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為1s.故選：C.【典例2】（2023秋·高一單元測(cè)試）如圖是一個(gè)半徑為的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)秒，經(jīng)過(guò)秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，則下列敘述錯(cuò)誤的是（

）

A．、、B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到軸距離的最大值是C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減D．當(dāng)時(shí)，【答案】C【詳解】A選項(xiàng)：有題意，，，因從點(diǎn)出發(fā)，所以，代入得，得，因，所以，故A正確，選項(xiàng)B：由A得，，當(dāng)時(shí)，，所以，故點(diǎn)到軸距離的最大值是，B正確；選項(xiàng)C：因，令，，得，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是單調(diào)遞減的，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：當(dāng)，，故，，故D正確，故選：C【典例3】（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一根絕對(duì)剛性且長(zhǎng)度不變?質(zhì)量可忽略不計(jì)的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)沙漏.讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動(dòng)，沙漏擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移（單位：）與時(shí)間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為.

【答案】【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，解得，所以，又由，可得，解得因?yàn)椋?，所以，由區(qū)間的區(qū)間長(zhǎng)度為，即區(qū)間長(zhǎng)度為個(gè)周期，當(dāng)區(qū)間在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí)，不妨設(shè)，可得則，因?yàn)?，可得，?dāng)或時(shí)，取最小值；當(dāng)區(qū)間在不同一個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí)，不妨設(shè)，可得，此時(shí)函數(shù)在上先增后減，此時(shí)，不妨設(shè)，則，.綜上可得，最小值為.故答案為：.【典例4】（2023春·高一單元測(cè)試）已知質(zhì)點(diǎn)從開(kāi)始，沿以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度為ω弧度/秒()，經(jīng)過(guò)x秒，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y，令，將的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間及上的最值．【答案】(1)(2);．【詳解】（1）設(shè)，由知，．因?yàn)?，所以．又，所以．將的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后所得函數(shù)．因?yàn)榈膱D象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以，解得．又，所以當(dāng)時(shí)，，所以．（2）由（1）得，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【變式1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谥校┤鐖D，一根絕對(duì)剛性且長(zhǎng)度不變、質(zhì)量可忽略不計(jì)的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動(dòng)．若線長(zhǎng)為lcm，沙漏擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移s（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是，取，如果沙漏從離開(kāi)平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，則線長(zhǎng)約為（

）cm．（精確到0.1cm）A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7【答案】B【詳解】因?yàn)榫€長(zhǎng)為lcm，沙漏擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移（單位：cm）與時(shí)間（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是，，且取，又因?yàn)樯陈碾x開(kāi)平衡位置到下一次回到平衡位置恰用，所以函數(shù)的最小正周期為，即，解得，即線長(zhǎng)約為cm.故選：B.【變式2】（多選）（2023春·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）單擺是一種簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，擺球的運(yùn)動(dòng)情況可以用三角函數(shù)表達(dá)為，，，其中x表示時(shí)間（s），y表示位移（cm），A表示振幅，表示頻率，φ表示初相位.如圖甲某個(gè)小球做單擺運(yùn)動(dòng)，規(guī)定擺球向右偏移的位移為正，豎直方向?yàn)槠胶馕恢?圖乙表示該小球在秒運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移隨時(shí)間變化情況.根據(jù)秒表記錄有：當(dāng)時(shí)，小球第一次到平衡位置；當(dāng)時(shí)，小球的位移第一次到反向最大值.根據(jù)以上圖文信息，下列選項(xiàng)中正確的是（

）

A．頻率為B．初相位或C．振幅D．當(dāng)時(shí)，小球第三次回到平衡位置【答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)最小正周期為，據(jù)題意，頻率為，故A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，小球第一次到平衡位置，即是正弦函數(shù)減區(qū)間上的零點(diǎn)，且，所以，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，根據(jù)圖中的信息知在圖象上，所以，故C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，小球第一次到達(dá)平衡位置，當(dāng)時(shí)，小球第三次到達(dá)平衡位置，故D正確.故選：ACD．【變式3】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知某彈簧振子的位移（單位：cm）與時(shí)間（單位：s）滿足，初始時(shí)將彈簧振子下壓至后松開(kāi)，經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)彈簧振子每10s往復(fù)振動(dòng)5次，則在第45s時(shí)，彈簧振子的位移是cm.【答案】【詳解】由題意，且最小正周期，即，故，所以，且，即，不妨令，故，當(dāng)，則.故答案為：【變式4】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知掛在彈簧下方的小球上下振動(dòng)，小球在時(shí)間t（單位：s）時(shí)相對(duì)于平衡位置（即靜止時(shí)的位置）的距離h（單位：cm）由函數(shù)解析式?jīng)Q定，其部分圖像如圖所示(1)求小球在振動(dòng)過(guò)程中的振幅、最小正周期和初相；(2)若時(shí)，小球至少有101次速度為0cm/s，則的最小值是多少？【答案】(1)(2)【詳解】（1）由圖易知小球的振幅，最小正周期，所以，∴，∴代入可得，∴，即，又，∴初相（2）∵小球在振動(dòng)過(guò)程中位于最高、最低位置時(shí)的速度為0cm/s，∴小球有100次速度為0cm/s等價(jià)于函數(shù)有100次取得最值，∵函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)取得一次最大值、一次最小值，，∴函數(shù)經(jīng)過(guò)50個(gè)周期時(shí)小球有100次速度為0cm/s，∴時(shí)，小球有100次速度為0cm/s，又∵當(dāng)時(shí)，小球速度為0cm/s，∴的最小值為題型02三角函數(shù)模型在日常生活中的應(yīng)用【典例1】（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是清代的時(shí)鐘，以中國(guó)傳統(tǒng)的一日十二個(gè)時(shí)辰為表盤顯示，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)與普通機(jī)械鐘表的內(nèi)部結(jié)構(gòu)相似．內(nèi)部表盤為圓形，外部環(huán)形裝飾部分寬度為，此表掛在墻上，最高點(diǎn)距離地面的高度為，最低點(diǎn)距離地面的高度為，以子時(shí)為正向上方向，一官員去上早朝時(shí)，看到家中時(shí)鐘的指針指向寅時(shí)（指針尖的軌跡為表盤邊沿），若4個(gè)半時(shí)辰后回到家中，此時(shí)指針尖到地面的高度約為（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖所示：

由題意得：外圓的半徑為cm，內(nèi)圓的半徑為cm，，所以，則此時(shí)指針尖到地面的高度約為：cm，故選：C【典例2】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知某海濱浴場(chǎng)的浪高是時(shí)間（時(shí)）（）的函數(shù)，記作．下表是某日各時(shí)刻的浪高數(shù)據(jù).經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，可近似地看成是函數(shù)．/時(shí)036912151821241.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出該函數(shù)的周期、振幅及函數(shù)解析式；(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1m時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，試依據(jù)（1）的結(jié)論，判斷一天內(nèi)8：00至20：00之間有多長(zhǎng)時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)．【答案】(1)；(2)6個(gè)小時(shí).【詳解】（1）解：由表中數(shù)據(jù)可知，的最大值為1.5，最小值為0.5，所以，，，所以；（2）解：由（1）可知，由，得，所以，所以，因?yàn)?，所以，，所以一天?nèi)從上午9點(diǎn)天下午3點(diǎn)共有6個(gè)小時(shí)可以沖浪.【典例3】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋.下面給出了某港口在某天幾個(gè)時(shí)刻的水深.時(shí)刻水深/m時(shí)刻水深/m時(shí)刻水深/m0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:02.56:005.015:007.524:005.0(1)選用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，并給出在整點(diǎn)時(shí)的水深的近似數(shù)值；(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？(3)若船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m，該船在2:00開(kāi)始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3m的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？【答案】(1)，答案見(jiàn)解析(2)該船在0:24至5:36和12:24至17:36期間可以進(jìn)港(3)6:42時(shí)，該船必須停止卸貨，駛向較深的水域.【詳解】（1）以時(shí)間為橫坐標(biāo)，以水深為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中作出對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)，根據(jù)圖象可考慮用函數(shù)近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，

則由已知數(shù)據(jù)結(jié)合圖象可得，，，，故.由表中數(shù)據(jù)可知在0:00,6:00,9:00,12:00,15:00,18:00,21:00,24:00等時(shí)刻的水深分別是5.0m,7.5m,5.0m,2.5m,5.0m,7.5m,5.0m,2.5m,5.0m；在整點(diǎn)時(shí)的水深近似為；1:00，5:00，13:00，17:00為6.3m；2:00，4:00，14:00，16:00為7.2m；7:00，11:00，19:00，23:00為3.7m；8:00，10:00，20:00，22:00為2.8m.（2）由，得，畫出的圖象（如圖），

由圖象可得或.故該船在0:24至5:36和12:24至17:36期間可以進(jìn)港.（3）若，x時(shí)刻的吃水深度為，由，得.畫出和的圖象（如上圖），由圖象可知當(dāng)時(shí)，即6:42時(shí)，該船必須停止卸貨，駛向較深的水域.【變式1】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）時(shí)鐘花原產(chǎn)于南美洲熱帶，我國(guó)云南部分地區(qū)有引進(jìn)栽培．時(shí)鐘花的花開(kāi)花謝非常有規(guī)律，其開(kāi)花時(shí)間與氣溫密切相關(guān)，開(kāi)花時(shí)所需氣溫約為20℃，氣溫上升到約30℃開(kāi)始閉合，在花期內(nèi)，時(shí)鐘花每天開(kāi)閉一次．某景區(qū)種有時(shí)鐘花，該景區(qū)6時(shí)～16時(shí)的氣溫（℃）隨時(shí)間（時(shí)）的變化趨勢(shì)近似滿足函數(shù)，則在6時(shí)～16時(shí)中，賞花的最佳時(shí)段大致為（

）A．7.3時(shí)～11.3時(shí) B．8.7時(shí)～11.3時(shí)C．7.3時(shí)～12.7時(shí) D．8.7時(shí)～12.7時(shí)【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，，由，得，所以(時(shí))；由，得，所以(時(shí)).故在6時(shí)時(shí)中，觀花的最佳時(shí)段約為時(shí)時(shí).故選：B【變式2】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）一半徑為3m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，且當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.

(1)將點(diǎn)P距離水面的高度z（單位：m）表示為時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)；(2)點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？（參考數(shù)據(jù)：，，第二問(wèn)精確到）【答案】(1)(2)5.5s【詳解】（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)角（）是以為始邊，為終邊的角，由在內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的角為，可知以為始邊，為終邊的角為，故P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則，當(dāng)時(shí)，，可得，因?yàn)榍?，所以，故所求函?shù)關(guān)系式為；

（2）令，得，取，解得，故點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要5.5s.【變式3】（2023春·浙江溫州·高一校聯(lián)考期中）如圖，某公園摩天輪的半徑為，圓心距地面的高度為，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點(diǎn)的起始位置在最低點(diǎn)處．

(1)已知在時(shí)刻（單位：）時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度（其中，，），求函數(shù)解析式及時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度；(2)當(dāng)點(diǎn)P距離地面及以上時(shí)，可以看到公園的全貌，若游客可以在上面游玩，則游客在游玩過(guò)程中共有多少時(shí)間可以看到公園的全貌？【答案】(1)，(2)3【詳解】（1）由題意可知：，所以，又，得到，即，又摩天輪上的點(diǎn)的起始位置在最低點(diǎn)處，即，所以，即，又，所以，故，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度為85.（2）因?yàn)閺淖畹吞庨_(kāi)始到達(dá)高度為剛好能看著全貌，經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)再下降至?xí)r又能看著全貌，每個(gè)游客可游玩三個(gè)周期，由（1）知，得到，即，得到，所以在每個(gè)周期內(nèi)，，又，所以，游客在游玩過(guò)程中共有可以看到公園的全貌.題型03三角函數(shù)模型在圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中的應(yīng)用【典例1】（多選）（2023秋·四川綿陽(yáng)·高二四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖（1），筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中仍得到使用.如圖（2），一個(gè)筒車按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，筒車上的某個(gè)盛水筒到水面的距離為(單位：m)(在水下則為負(fù)數(shù))、與時(shí)間(單位：s)之間的關(guān)系是，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．筒車的半徑為3m，旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)60sB．筒車的軸心距離水面的高度為C．盛水筒出水后至少經(jīng)過(guò)20s才可以達(dá)到最高點(diǎn)D．時(shí)，盛水筒處于向上運(yùn)動(dòng)狀態(tài)【答案】AC【詳解】對(duì)于A，的振幅為筒車的半徑，筒車的半徑為；的最小正周期，旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)，A正確；對(duì)于B，，筒車的半徑，筒車的軸心距離水面的高度為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，，，解得：，又，當(dāng)時(shí)，，即盛水筒出水后至少經(jīng)過(guò)才可以達(dá)到最高點(diǎn)，C正確.對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，盛水筒處于處于向下運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，D錯(cuò)誤.故選：AC.【典例2】（多選）（2023秋·湖北武漢·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）摩天輪常被當(dāng)作一個(gè)城市的地標(biāo)性建筑，如武漢東湖的“東湖之眼”摩天輪，如圖所示，某摩天輪最高點(diǎn)離地面高度55米，轉(zhuǎn)盤直徑為50米，設(shè)置若干個(gè)座艙，游客從離地面最近的位置進(jìn)艙，開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)分鐘，當(dāng)時(shí)，游客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠(yuǎn)處.以下關(guān)于摩天輪的說(shuō)法中，正確的為（

）

A．摩天輪離地面最近的距離為5米B．若旋轉(zhuǎn)分鐘后，游客距離地面的高度為米，則C．存在，，使得游客在該時(shí)刻距離地面的高度均為20米D．若在，時(shí)刻游客距離地面的高度相等，則的最小值為20【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，由題意知，摩天輪離地面最近的距離為米，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，當(dāng)時(shí)，游客從離地面最近的位置進(jìn)艙，當(dāng)時(shí)，游客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠(yuǎn)處.所以，，，，又當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，又高度相等，函?shù)的對(duì)稱軸為，則關(guān)于對(duì)稱，則，則；令，解得，令，解得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在只有一個(gè)解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，周期，由余弦型函數(shù)的性質(zhì)可知，令，則，，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，若在，時(shí)刻游客距離地面的高度相等，則當(dāng)時(shí)，的最小值為10，的最小值為20.故D正確.故選：ABD.【變式1】（多選）（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的特征.如圖是一個(gè)半徑為的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.經(jīng)過(guò)秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足（，，），則下列敘述正確的是（

）

A．B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，的最大值為D．當(dāng)時(shí)，【答案】AD【詳解】由題意，，，所以，則，又點(diǎn)，此時(shí)代入可得，解得，又，所以，故A正確；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)先增后減，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，所以，則，則，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為，所以，故D正確；故選：AD【變式2】（多選）（2023秋·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置有48個(gè)座艙，開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min.游客甲坐上摩天輪的座艙，開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為.游客乙所在座艙與甲所在座艙間隔7個(gè)座艙.在運(yùn)行一周的過(guò)程中，甲、乙倆人距離地面的高度差.下述結(jié)論正確的是（

）

A． B．C．在運(yùn)行一周的過(guò)程中，的時(shí)間超過(guò)10min D．【答案】ACD【詳解】

由題意可得是關(guān)于的三角函數(shù)，如圖所示，以摩天輪軸心為原點(diǎn)，以與地面平行的直線為橫軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)摩天輪距地面最近點(diǎn)為P，則當(dāng)時(shí)，游客甲位于，以O(shè)P為終邊的角為，而轉(zhuǎn)一圈需要大約30min，可知角速度大約為，由題意可得：，即A正確；當(dāng)時(shí)，，即B錯(cuò)誤；，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得：，故，即高度超過(guò)90+2.5米時(shí)時(shí)間長(zhǎng)20-10=10min，顯然高度超過(guò)90米的時(shí)間長(zhǎng)超過(guò)10min，故C正確；甲乙所在位置分別設(shè)為A、B兩點(diǎn)，甲乙座艙差7個(gè)，則，故t分鐘后甲乙的高度分別為：，，其高度差為：，即D正確.故選：ACD.題型04數(shù)據(jù)擬合三角函數(shù)模型問(wèn)題【典例1】（2023春·四川綿陽(yáng)·高一綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表：時(shí)刻水深(米)經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系，可近似用函數(shù)來(lái)描述．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)的表達(dá)式；(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為米，安全條例規(guī)定至少要有米的安全間隙(船底與洋底的距離)，該船在一天內(nèi)何時(shí)能進(jìn)入港口？【答案】(1)(2)該船可以在或進(jìn)入港口【詳解】（1），，，；的最小正周期，；，，解得：，又，，.（2）由題意知：，即，，，解得：，，或，該船可以在或進(jìn)入港口.【典例2】（2023春·上海寶山·高一上海交大附中校考期中）在月亮和太陽(yáng)的引力作用下，海水水面發(fā)生的周期性漲落現(xiàn)象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影響，港口的水深也會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化．下圖記錄了某港口某一天整點(diǎn)時(shí)刻的水深y（單位：米）與時(shí)間x（單位：時(shí)）的大致關(guān)系：假設(shè)4月份的每一天水深與時(shí)間的關(guān)系都符合上圖所示．(1)請(qǐng)運(yùn)用函數(shù)模型，根據(jù)以上數(shù)據(jù)寫出水深y與時(shí)間x的函數(shù)的近似表達(dá)式；(2)根據(jù)該港口的安全條例，要求船底與水底的距離必須不小于3.5米，否則該船必須立即離港．一艘船滿載貨物，吃水（即船底到水面的距離）6米，計(jì)劃明天進(jìn)港卸貨．①求該船可以進(jìn)港的時(shí)間段；②該船今天會(huì)到達(dá)港口附近，明天0點(diǎn)可以及時(shí)進(jìn)港并立即開(kāi)始卸貨，已知卸貨時(shí)吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度勻速減少，卸完貨后空船吃水3米．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)卸貨方案，在保證嚴(yán)格遵守該港口安全條例的前提下，使該船明天盡早完成卸貨（不計(jì)?？看a頭和駛離碼頭所需時(shí)間）．【答案】(1)；(2)①0點(diǎn)到4點(diǎn)以及12點(diǎn)到16點(diǎn)進(jìn)入港口；②該船在0點(diǎn)進(jìn)港開(kāi)始卸貨，5點(diǎn)暫時(shí)駛離港口，11點(diǎn)返回港口繼續(xù)卸貨，16點(diǎn)完成卸貨任務(wù).【詳解】（1）觀察圖形知，，解得，，，解得，顯然函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，即，又，因此，所以函數(shù)表達(dá)式為.（2）①依題意，，整理得，即有，即，解得或，所以該船可以在0點(diǎn)到4點(diǎn)以及12點(diǎn)到16點(diǎn)進(jìn)入港口.②由①的結(jié)論知，該船明日0點(diǎn)即可進(jìn)港開(kāi)始卸貨，設(shè)自0點(diǎn)起卸貨小時(shí)后，該船符合安全條例的最小水深為，如圖，函數(shù)與的圖像交于點(diǎn)，即卸貨5小時(shí)后，在5點(diǎn)該船必須暫時(shí)駛離港口，此時(shí)該船的吃水深度為4.5米，令，即，，解得，顯然，該船在11點(diǎn)可返回港口繼續(xù)卸貨，5小時(shí)后完成卸貨，此時(shí)為16點(diǎn)，綜上所述，方案如下：該船在0點(diǎn)進(jìn)港開(kāi)始卸貨，5點(diǎn)暫時(shí)駛離港口，11點(diǎn)返回港口繼續(xù)卸貨，16點(diǎn)完成卸貨任務(wù).【變式1】（2023春·江西吉安·高一校聯(lián)考期中）某港口水深（米是時(shí)間（，單位：小時(shí)）的函數(shù)，下表是水深數(shù)據(jù)：（小時(shí)）03691215182124（米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)的圖象.

(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出的表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？（忽略離港所用的時(shí)間）【答案】(1)(2)16小時(shí).【詳解】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，，，，，，函數(shù)的表達(dá)式為；（2）由題意，水深，即，，，，1，或；所以，該船在至或至能安全進(jìn)港，若欲于當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)16小時(shí).【變式2】（2023春·四川眉山·高一?？计谥校┖Ｋ苋赵碌囊?，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表：時(shí)刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深（米）7.55.02.55.07.55.02.55.0經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系，可近似用函數(shù)來(lái)描述．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)的表達(dá)式；(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4.25米，安全條例規(guī)定至少要有2米的安全間隙（船底與洋底的距離），該貨船在一天內(nèi)什么時(shí)間段能安全進(jìn)出港口？【答案】(1)；(2)在0時(shí)至4時(shí)或12時(shí)至16時(shí)進(jìn)出港.【詳解】（1）由表格知，，則，，函數(shù)的周期，則，即有，又，即，而，則，所以．（2）貨船需要的安全水深為米，則當(dāng)時(shí)就可以進(jìn)港，由，得，解得，即，而，因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以貨船應(yīng)在0時(shí)至4時(shí)或12時(shí)至16時(shí)進(jìn)出港.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）福州新港江陰港區(qū)地處福建最大海灣興化灣西北岸，全年全日船泊進(jìn)出港不受航道及潮水的限制，是迄今為止“我國(guó)少有、福建最佳”的天然良港.如圖，是港區(qū)某個(gè)泊位一天中6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】C【詳解】從圖象可以看出，函數(shù)最小值為-2，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即，解得：，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為8m.故選：C2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）智能主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理是通過(guò)耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過(guò)主動(dòng)降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來(lái)抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相為，則通過(guò)主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相為，可得，，，所以噪聲的聲波曲線的解析式為，所以通過(guò)主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為.故選D．3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示的是一個(gè)單擺，以平衡位置OA為始邊、OB為終邊的角θ(-π<θ<π)與時(shí)間t(s)滿足函數(shù)關(guān)系式θ=sin，則當(dāng)t=0時(shí)，角θ的大小及單擺的頻率是（

）A．， B．2， C．，π D．2，π【答案】A【詳解】當(dāng)t=0時(shí)，θ=sin，由函數(shù)解析式易知單擺的周期為=π，故單擺的頻率為.故選：A.4．（2023春·安徽六安·高一六安市裕安區(qū)新安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在自然界中，存在著大量的周期函數(shù)，比如聲波，若兩個(gè)聲波隨時(shí)間的變化規(guī)律分別為：，則這兩個(gè)聲波合成后即的振幅為（

）A． B．8 C．4 D．【答案】A【詳解】利用函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的振幅為：故選：5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈的模型波動(dòng)（x為月份），已知3月份達(dá)到最高價(jià)9千元，7月份價(jià)格最低為5千元，根據(jù)以上條件可確定的解析式為A．B．C．D．【答案】A【詳解】因?yàn)?月份達(dá)到最高價(jià)9千元，7月份價(jià)格最低為5千元，所以半周期，故，所以，又，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，，.，故選A.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，某港口某天從到的水深（單位：m）與時(shí)間（單位：h）之間的關(guān)系可用函數(shù)近似刻畫，據(jù)此可估計(jì)當(dāng)天的水深為（

）

A． B．4mC． D．【答案】A【詳解】由題圖可得，，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，解得，∵函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，∴，又，則，所以，∴，∴．當(dāng)時(shí)，，即估計(jì)當(dāng)天的水深為．故選：A.7．（2023春·貴州遵義·高二校考階段練習(xí)）彈簧振子的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng).下表給出了振子在完成一次全振動(dòng)的過(guò)程中的事件t與位移s之間的測(cè)量數(shù)據(jù)，那么能與這些數(shù)據(jù)擬合的振動(dòng)函數(shù)的解析式為（

）t0123456789101112s0.110.31.720.017.710.30.1A．， B．C． D．，【答案】D【詳解】設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的解析式為，其中由表格可知：振幅，周期，過(guò)點(diǎn)，由周期，且，可得，由過(guò)點(diǎn)，可得，即，則，可得，所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的解析式為.故選：D.8．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖為函數(shù)，的圖象，則函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）

A．9個(gè) B．8個(gè) C．7個(gè) D．5個(gè)【答案】C【詳解】由題圖得，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以令，故或或或或或或，解得?個(gè)值，故的圖象與直線在此區(qū)間上有7個(gè)交點(diǎn)．故選：C二、多選題9．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖所示的是一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)周期為0.7sB．該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5cmC．該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度為零D．該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度為零【答案】BC【詳解】由題圖可知，運(yùn)動(dòng)周期為，故A錯(cuò)誤；該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5cm，B正確；由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)知，在0.1s和0.5s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度為零，質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度最大，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：BC．10．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）如圖（1）是一段依據(jù)正弦曲線設(shè)計(jì)安裝的過(guò)山車軌道.建立平面直角坐標(biāo)系如圖（2），（單位：m）表示在時(shí)間（單位：s）時(shí).過(guò)山車（看作質(zhì)點(diǎn)）離地平面的高度.軌道最高點(diǎn)距離地平面50m.最低點(diǎn)距離地平面10m.入口處距離地平面20m.當(dāng)時(shí)，過(guò)山車到達(dá)最高點(diǎn)，時(shí)，過(guò)山車到達(dá)最低點(diǎn).設(shè)，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為12B．C．時(shí)，過(guò)山車距離地平面40mD．一個(gè)周期內(nèi)過(guò)山車距離地平面低于20m的時(shí)間是4s【答案】ACD【詳解】由題意可知，周期滿足，得，所以，得，又，解得，.所以，又，即，得，因?yàn)椋?，所?對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，由，得，即，，，解得，，所以一個(gè)周期內(nèi)過(guò)山車距離底面低于20m的時(shí)間是，D正確.故選：ACD.三、填空題11．（2023秋·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）如圖點(diǎn)為做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的平衡位置，取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為，周期為，且物體向左運(yùn)動(dòng)到平衡位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，則物體對(duì)平衡位置的位移和時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式為．

【答案】【詳解】依題意設(shè)，則，周期，又，解得，所以.故答案為：.12．（2023春·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，摩天輪的直徑為，最高點(diǎn)距離地面的高度為，摩天輪按逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，且每轉(zhuǎn)一圈．若游客甲在最低點(diǎn)坐上摩天輪座艙，則在開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為m．【答案】/【詳解】由題意可知，距離地面的高度與時(shí)間所滿足的關(guān)系式為，因?yàn)槟μ燧喌闹睆綖椋罡唿c(diǎn)距離地面的高度為，所以，解得，因?yàn)槊哭D(zhuǎn)一圈，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以可取，所以，所以當(dāng)時(shí)，故答案為：四、解答題13．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng)，它在ts時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度h（單位：cm）由關(guān)系式確定．以t為橫坐標(biāo)，h為縱坐標(biāo)，畫出這個(gè)函數(shù)在一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象，并回答下列問(wèn)題：

(1)小球在開(kāi)始振動(dòng)（即）時(shí)的位置在哪里？(2)小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)與平衡位置的距離分別是多少？(3)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間小球往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次？(4)每秒鐘小球能往復(fù)振動(dòng)多少次？【答案】(1)平衡位置上方處(2)；(3)秒(4)次.【詳解】（1）作出函數(shù)在一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象如圖，

當(dāng)時(shí)，即小球在開(kāi)始振動(dòng)（即）時(shí)的位置在處，即平衡位置上方處；（2）的最大值為2，最小值為，則小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)與平衡位置的距離都是；（3）由于，故經(jīng)過(guò)小球往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次；（4）每秒鐘小球能往復(fù)振動(dòng)次.14．（2023春·福建廈門·高一?？计谥校┙ㄔO(shè)生態(tài)文明是關(guān)系人民福祉?關(guān)乎民族未來(lái)的長(zhǎng)遠(yuǎn)大計(jì).某市通宵營(yíng)業(yè)的大型商場(chǎng)，為響應(yīng)國(guó)家節(jié)能減排的號(hào)召，在氣溫低于時(shí)，才開(kāi)放中央空調(diào)，否則關(guān)閉中央空調(diào).如圖是該市冬季某一天的氣溫（單位：）隨時(shí)間（，單位：小時(shí)）的大致變化曲線，若該曲線近似滿足關(guān)系.(1)求的表達(dá)式；(2)請(qǐng)根據(jù)（1）的結(jié)論，求該商場(chǎng)的中央空調(diào)在一天內(nèi)開(kāi)啟的時(shí)長(zhǎng).【答案】(1)(2)8小時(shí)【詳解】（1）如圖，因?yàn)閳D像上最低點(diǎn)坐標(biāo)為，與之相鄰的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，又，所以，所以.（2）根據(jù)題設(shè)，由（1）得，即，由的圖像得，解得，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以或,所以該商場(chǎng)的中央空調(diào)應(yīng)在一天內(nèi)開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)為8小時(shí).B能力提升1．（2023春·陜西西安·高一?？计谥校┕糯鷶?shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中