（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 專題7 不等式 52 不等式的綜合應(yīng)用 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

訓(xùn)練目標(biāo)鞏固不等式的基礎(chǔ)知識，提高不等式在解決函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、向量、幾何等方面的應(yīng)用能力，訓(xùn)練解題步驟的規(guī)范性.訓(xùn)練題型(1)求函數(shù)值域、最值；(2)解決與數(shù)列有關(guān)的不等式問題、最值問題；(3)解決恒成立問題、求參數(shù)范圍問題；(4)不等式證明.解題策略將問題中的條件進(jìn)行綜合分析、變形轉(zhuǎn)化，形成不等式“模型”，從而利用不等式性質(zhì)或基本不等式解決.1．(1)求函數(shù)y＝eq\f(\r(x－1),x＋3＋\r(x－1))的值域；(2)求函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(x2＋1,x－1)(x>1)的最小值．2．(2015·江蘇南通學(xué)情檢測)已知a，b，c均為正數(shù)，求證：eq\f(a,bc)＋eq\f(b,ca)＋eq\f(c,ab)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).3．(2015·福建長樂二中等五校期中聯(lián)考)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x)萬元，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時，C(x)＝eq\f(1,3)x2＋10x(萬元)；當(dāng)年產(chǎn)量不少于80千件時，C(x)＝51x＋eq\f(10000,x)－1450(萬元)．通過市場分析，若每件售價為500元時，該廠一年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部銷售完．(1)寫出年利潤L(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？4．已知n∈N*且an＝eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(nn＋1)，求證：eq\f(nn＋1,2)<an<eq\f(n＋12,2)對所有正整數(shù)n都成立．5．(2015·海口一模)已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(m,x)＋2(m為實常數(shù))．(1)若函數(shù)f(x)圖象上動點P到定點Q(0,2)的距離的最小值為eq\r(2)，求實數(shù)m的值；(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實數(shù)m的取值范圍；(3)設(shè)m<0，若不等式f(x)≤kx在x∈[eq\f(1,2)，1]時有解，求k的取值范圍．答案解析1．解(1)令t＝eq\r(x－1)≥0，則x＝t2＋1.所以y＝eq\f(t,t2＋1＋3＋t)＝eq\f(t,t2＋t＋4).當(dāng)t＝0，即x＝1時，y＝0.當(dāng)t>0，即x>1時，y＝eq\f(1,t＋\f(4,t)＋1)，因為t＋eq\f(4,t)≥2eq\r(4)＝4(當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時取等號)，所以y＝eq\f(1,t＋\f(4,t)＋1)≤eq\f(1,5)，即y的最大值為eq\f(1,5)(當(dāng)t＝2，即x＝5時取得最大值)．所以t>0時，y∈(0，eq\f(1,5)]．所以y∈[0，eq\f(1,5)]．(2)令t＝x－1，故x＝t＋1，因為x>1，所以t>0.則函數(shù)f(x)可化為y＝(t＋1)＋eq\f(t＋12＋1,t)＝2t＋eq\f(2,t)＋3，因為t>0，所以2t＋eq\f(2,t)≥2eq\r(2t×\f(2,t))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2t＝eq\f(2,t)，即t＝1，x＝2時取等號．所以2t＋eq\f(2,t)＋3≥4＋3＝7，即函數(shù)f(x)的最小值為f(2)＝7.2．證明因為a，b，c都是正數(shù)，所以eq\f(a,bc)＋eq\f(b,ca)＝eq\f(1,c)(eq\f(a,b)＋eq\f(b,a))≥eq\f(2,c).同理可得eq\f(b,ca)＋eq\f(c,ab)≥eq\f(2,a)，eq\f(c,ab)＋eq\f(a,bc)≥eq\f(2,b)，將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得eq\f(a,bc)＋eq\f(b,ca)＋eq\f(c,ab)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).3．解(1)當(dāng)0<x<80，x∈N*時，L(x)＝eq\f(500×1000x,10000)－eq\f(1,3)x2－10x－250＝－eq\f(1,3)x2＋40x－250；當(dāng)x≥80，x∈N*時，L(x)＝eq\f(500×1000x,10000)－51x－eq\f(10000,x)＋1450－250＝1200－(x＋eq\f(10000,x))，∴L(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋40x－2500<x<80，x∈N*，,1200－x＋\f(10000,x)x≥80，x∈N*.))(2)當(dāng)0<x<80，x∈N*時，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－60)2＋950，∴當(dāng)x＝60時，L(x)取得最大值L(60)＝950.當(dāng)x≥80，x∈N*時，L(x)＝1200－(x＋eq\f(10000,x))≤1200－2eq\r(x·\f(10000,x))＝1200－200＝1000，∴當(dāng)x＝eq\f(10000,x)，即x＝100時，L(x)取得最大值L(100)＝1000>950.綜上所述，當(dāng)x＝100時，L(x)取得最大值1000，即年產(chǎn)量為100千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大．4．證明因為eq\r(nn＋1)>eq\r(n2)＝n，所以an>1＋2＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，又eq\r(nn＋1)<eq\f(nn＋1,2)，所以an<eq\f(1＋2,2)＋eq\f(2＋3,2)＋…＋eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(2,3)＋eq\f(5,2)＋…＋eq\f(2n＋1,2)＝eq\f(n＋12,2)，綜合知結(jié)論成立．5．解(1)設(shè)P(x，y)，則y＝x＋eq\f(m,x)＋2，PQ2＝x2＋(y－2)2＝x2＋(x＋eq\f(m,x))2＝2x2＋eq\f(m2,x2)＋2m≥2eq\r(2)|m|＋2m＝2，當(dāng)m>0時，解得m＝eq\r(2)－1；當(dāng)m<0時，解得m＝－eq\r(2)－1.所以m＝eq\r(2)－1或m＝－eq\r(2)－1.(2)由題意知，任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2，則f(x2)－f(x1)＝x2＋eq\f(m,x2)＋2－(x1＋eq\f(m,x1)＋2)＝(x2－x1)·eq\f(x1x2－m,x1x2)>0.因為x2－x1>0，x1x2>0，所以x1x2－m>0，即m<x1x2.由x2>x1≥2，得x1x2>4，所以m≤4.所以m的取值范圍是(－∞，4]．(3)由f(x)≤kx，得x＋eq\f(m,x)＋2≤kx.因為x∈[eq\f(1,2)，1]，所以k≥eq\f(m,x2)＋eq\f(2,x)＋1.令t＝eq\f(1,x)，則t∈[1,2]，所以k≥mt2＋2t＋1.令g(t)＝mt2＋2t＋1，t∈[1,2]，于是，要使原不等式在x∈[eq\f(1,2)，1]時有解，當(dāng)且僅當(dāng)k≥[g(t)]min(t∈[1,2])．因為m<0，所以g(t)＝m(t＋eq\f(1,m))2＋1－eq\f(1,m)的圖象開口向下，對稱軸為直線t＝－eq\f(1,m)>0.因為t∈[1,2]，所以當(dāng)0<－eq\f(1,m)≤eq\f(