（江蘇專用）高考數(shù)學一輪復習 第十二章 推理與證明、算法初步、復數(shù)階段回扣練 理-人教版高三數(shù)學試題

一、填空題1.將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少1名，則不同的分配方案共有________種.解析先將4名大學生分成3組，共Ceq\o\al(2,4)種分法，再將3組分到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，共Aeq\o\al(3,3)種安排方法，所以總分配方案共Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝36(種).答案362.設二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))eq\s\up12(6)(a>0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項為B，若B＝4A，則a的值是________.解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))eq\s\up12(6)展開式的通項Tr＋1＝(－a)rCeq\o\al(r,6)x6－eq\f(3,2)r∴A＝(－a)2Ceq\o\al(2,6)，B＝(－a)4Ceq\o\al(4,6)，由B＝4A，得(－a)4Ceq\o\al(4,6)＝4(－a)2Ceq\o\al(2,6)，解之得a＝±2.又a>0，所以a＝2.答案23.(2015·北京海淀區(qū)模擬)若X～B(n，p)，且E(X)＝6，V(X)＝3，則P(X＝1)的值為________.解析∵E(X)＝np＝6，V(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝eq\f(1,2)，n＝12，則P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,12)·eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(11)＝3·2－10.答案3·2－104.甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是________(用數(shù)字作答).解析當每個臺階上各站1人時有Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(3,7)種站法，當兩個人站在同一個臺階上時有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,6)種站法，因此不同的站法種數(shù)有Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,6)＝210＋126＝336(種).答案3365.已知隨機變量X的概率分布為：X12345P0.10.20.40.20.1若Y＝2X－3，則P(1<Y≤5)＝________.解析1<Y≤5，即1<2X－3≤5，所以2<X≤4，故P(1<Y≤5)＝P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.4＋0.2＝0.6.答案0.66.從5張100元，3張200元，2張300元的奧運會門票中任選3張，則選取的3張中至少有2張價格相同的概率為________.解析基本事件的總數(shù)是Ceq\o\al(3,10)，在三種門票中各自選取一張的方法是Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)，故隨機事件“選取的3張中價格互不相同”的概率是eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(5×3×2,120)＝eq\f(1,4)，故其對立事件“選取的3張中至少有2張價格相同”的概率是1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).答案eq\f(3,4)7.有10件產品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取到次品的個數(shù)，則E(X)等于________.解析法一X＝1時，P＝eq\f(Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,10))；X＝2時，P＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))，∴E(X)＝1×eq\f(Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,10))＋2×eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(7×3＋2×3,Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(3,5).法二依題意X～eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,10)))，∴E(X)＝2×eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)8.(2016·泰州調研)盒中裝有10只乒乓球，其中6只新球，4只舊球，不放回地依次取出2個球使用，在第一次摸出新球的條件下，第二次也取到新球的概率為________.解析法一第一次摸出新球記為事件A，則P(A)＝eq\f(3,5)，第二次取到新球記為事件B，則P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，∴P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,3),\f(3,5))＝eq\f(5,9).法二所求概率P＝eq\f(Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(1,9))＝eq\f(5,9).答案eq\f(5,9)9.袋中裝有大小完全相同，標號分別為1，2，3，…，9的九個球.現(xiàn)從袋中隨機取出3個球.設ξ為這3個球的標號相鄰的組數(shù)(例如：若取出球的標號為3，4，5，則有兩組相鄰的標號3，4和4，5，此時ξ的值是2)，則隨機變量ξ的均值E(ξ)為________.解析依題意得，ξ的所有可能取值是0，1，2.且P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,12)，P(ξ＝0)＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,12)＝eq\f(5,12)，因此E(ξ)＝0×eq\f(5,12)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,12)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)10.甲、乙、丙、丁四名義工到三個不同的社區(qū)參加公益活動，若每個社區(qū)至少有一名義工，則甲、乙兩人被分配到不同社區(qū)的概率為________.解析因為甲、乙兩人被分到同一個社區(qū)的情況有6種，而將四名義工分配到三個不同的社區(qū)，每個社區(qū)至少分到一名義工的情況有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝36種，故甲、乙兩人被分配到不同社區(qū)的情況共有36－6＝30種，故所求概率為eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).答案eq\f(5,6)11.設整數(shù)m是從不等式x2－2x－8≤0的整數(shù)解的集合S中隨機抽取的一個元素，記隨機變量ξ＝m2，則ξ的數(shù)學期望E(ξ)＝________.解析不等式x2－2x－8≤0的整數(shù)解的集合S＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，列出相關分布列：S－2－101234m241014916peq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)E(ξ)＝eq\f(1,7)×0＋eq\f(2,7)×1＋eq\f(2,7)×4＋eq\f(1,7)×9＋eq\f(1,7)×16＝5.答案512.將6位志愿者分成4個組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人.分赴世博會的四個不同場館服務，不同的分配方案種數(shù)有________種.解析將6位志愿者分為2名，2名，1名，1名四組，有eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4),Aeq\o\al(2,2))＝eq\f(1,2)×15×6＝45種分組方法.將四組分赴四個不同場館有Aeq\o\al(4,4)種方法.∴根據分步乘法計數(shù)原理，不同的分配方案有45·Aeq\o\al(4,4)＝1080種方法.答案108013.(2016·邯鄲模擬)一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標有數(shù)字0，兩個面上標有數(shù)字1，一個面上標有數(shù)字2.將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學期望是________.解析隨機變量X的取值為0，1，2，4，P(X＝0)＝eq\f(3,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,9)，P(X＝2)＝eq\f(1,9)，P(X＝4)＝eq\f(1,36)，因此E(X)＝eq\f(4,9).答案eq\f(4,9)14.節(jié)日期間，某種鮮花的進貨價是每束2.5元，銷售價是每束5元，節(jié)后賣不出的鮮花以每束1.6元處理.根據前五年的銷售情況預測，節(jié)日期間這種鮮花的需求量X服從如下表所示的概率分布X200300400500P0.200.350.300.15若進這種鮮花500束，則期望的利潤是________元.解析節(jié)日期間鮮花預售的量E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340，則期望的利潤Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，∴E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元).答案706二、解答題15.(2015·四川卷節(jié)選)某市A，B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦了3名男生、2名女生，B中學推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學生一起參加集訓.由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人.女生中隨機抽取3人組成代表隊.(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率.(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設X表示參賽的男生人數(shù)，求X的概率分布.解(1)由題意，參加集訓的男、女生各有6名，參賽學生全從B中學抽取(等價于A中學沒有學生入選代表隊)的概率為eq\f(Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,100)，因此，A中學至少有1名學生入選代表隊的概率為1－eq\f(1,100)＝eq\f(99,100).(2)根據題意，X的可能取值為1，2，3，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(4,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(4,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(4,6))＝eq\f(1,5)，所以X的概率分布為X123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)16.(2015·蘇北四市調研)某品牌汽車4S店經銷A，B，C三種排量的汽車，其中A，B，C三種排量的汽車依次有5，4，3款不同車型.某單位計劃購買3輛不同車型的汽車，且購買每款車型等可能.(1)求該單位購買的3輛汽車均為B種排量汽車的概率；(2)記該單位購買的3輛汽車的排量種數(shù)為X，求X的概率分布及數(shù)學期望.解(1)設該單位購買的3輛汽車均為B種排量汽車為事件M，則P(M)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(1,55).所以該單位購買的3輛汽車均為B種排量汽車的概率為eq\f(1,55).(2)隨機變量X的所有可能取值為1，2，3.P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(3,44)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(3,11)，P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝eq\f(29,44).所以X的概率分布為X123Peq\f(3,44)eq\f(29,44)eq\f(3,11)數(shù)學期望E(X)＝1×eq\f(3,44)＋2×eq\f(29,44)＋3×eq\f(3,11)＝eq\f(97,44).17.某同學參加3門課程的考試.假設該同學第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率是eq\f(4,5)，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p，q(p>q)，且不同的課程取得的成績相互獨立.記ξ為該同學取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其概率分布為：ξ0123Peq\f(6,125)abeq\f(24,125)(1)求該同學至少有1門課程取得優(yōu)秀的概率；(2)求p，q的值；(3)求數(shù)學期望E(ξ).解設事件Ai表示“該同學第i門課程取得優(yōu)秀成績”，i＝1，2，3，由題意可知P(A1)＝eq\f(4,5)，P(A2)＝p，P(A3)＝q.(1)由于事件“該同學至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“ξ＝0”是對立的，所以該同學至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是1－P(ξ＝0)＝1－eq\f(6,125)＝eq\f(119,125).(2)由題意可知P(ξ＝0)＝P(A1A2A3)＝eq\f(1,5)(1－p)(1－q)＝eq\f(6,125)，P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝eq\f(4,5)pq＝eq\f(24,125)，整理得pq＝eq\f(6,25)，p＋q＝1，由p>q可得p＝eq\f(3,5)，q＝eq\f(2,5).(3)由題意可知a＝P(ξ＝1)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝eq\f(4,5)(1－p)(1－q)＋eq\f(1,5)p(1－q)＋eq\f(1,5)(1－p)q＝eq\f(37,125)，b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝eq\f(58,125)，E(ξ)＝0×P(ξ＝0)＋1÷P(ξ＝1)＋2÷P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝0×eq\f(6,125)＋1×eq\f(37,125)＋2×eq\f(58,125)＋3×eq\f(24,125)＝eq\f(9,5).18.甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束.除第五局甲隊獲勝的概率是eq\f(1,2)外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是eq\f(2,3)，假設各局比賽結果相互獨立.(1)分別求甲隊以3∶0，3∶1，3∶2勝利的概率；(2)若比賽結果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結果為3∶2，則勝利方得2分，對方得1分.求乙隊得分X的概率分布及數(shù)學期望.解(1)記“甲隊以3∶0勝利”為事件A1，“甲隊以3∶1勝利”為事件A2，“甲隊以3∶2勝利”為事件A3.由題意，各局比賽結果相互獨立.則P(A1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，P(A2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，P(A3)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(4,27).所以甲隊以3∶0勝利，以3∶1勝利的概率都為eq\f(8,27)，以3∶2勝利的概率為eq\f(4,27).(2)設“乙隊以3∶2勝利”為事件A4，由題意，各局比賽結果相互獨立，所以P(A4)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(4,27).由題意，隨機變量X的所有可能的取值為0，1，2，3，根據事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(16,27)，又P(X＝1)＝P(A3)＝eq\f(4,27)，P(X＝2)＝P(A4)＝eq\f(4,27)，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－(X＝2)＝eq\f(3,27)，∴X的概率分布為X0123Peq\f(16,27)eq\f(4,27)eq\f(4,27)eq\f(3,27)∴E(X)＝0×eq\f(16,27)＋1×eq\f(4,27)＋2×eq\f(4,27)＋3×eq\f(3,27)＝eq\f(7,9).19.某投資公司在2017年初準備將1000萬元投資到“低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇：項目一：新能源汽車.據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為eq\f(7,9)和eq\f(2,9)；項目二：通信設備.據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為eq\f(3,5)，eq\f(1,3)和eq\f(1,15).針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.解若按“項目一”投資，設獲利為X1萬元.則X1的概率分布為X1300－150Peq\f(7,9)eq\f(2,9)∴E(X1)＝300×eq\f(7,9)＋(－150)×eq\f(2,9)＝200(萬元).若按“項目二”投資，設獲利X2萬元，則X2的概率分布為：X2500－3000Peq\f(3,5)eq\f(1,3)eq\f(1,15)∴E(X2)＝500×eq\f(3,5)＋(－300)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,15)＝200(萬元).V(X1)＝(300－200)2×eq\f(7,9)＋(－150－200)2×eq\f(2,9)＝35000，V(X2)＝(500－200)2×eq\f(3,5)＋(－300－200)2×eq\f(1,3)＋(0－200)2×eq\f(1,15)＝140000.所以E(X1)＝E(X2)，V(X1)<V(X2)，這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩(wěn)妥.