（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 統(tǒng)計、概率 第5講 幾何概型練習(xí) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

1.在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上隨機取一個數(shù)x，cosx的值介于0到eq\f(1,2)之間的概率為________.解析若cosx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，利用三角函數(shù)性質(zhì)解得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上隨機取一個數(shù)是等可能的，結(jié)合幾何概型的概率公式可得所求概率為P＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3))),\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))))＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)2.(2016·東北三省三校聯(lián)考)實數(shù)m是[0，6]上的隨機數(shù)，則關(guān)于x的方程x2－mx＋4＝0有實根的概率為________.解析方程x2－mx＋4＝0有實根，則Δ＝m2－4×4≥0，∴m≥4或m≤－4，又m∈[0，6]，∴4≤m≤6，∴關(guān)于x的方程x2－mx＋4＝0有實根的概率為eq\f(6－4,6－0)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)3.在長為12cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為________.解析設(shè)AC＝xcm，0＜x＜12，則CB＝(12－x)cm，要使矩形面積大于20cm2，只要x(12－x)＞20，則x2－12x＋20＜0，解得2＜x＜10，所求概率為P＝eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)4.若將一個質(zhì)點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是________.解析設(shè)質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，則P(A)＝eq\f(陰影面積,長方形面積)＝eq\f(\f(1,2)π×12,1×2)＝eq\f(π,4).答案eq\f(π,4)5.如圖，大正方形的面積是34，四個全等直角三角形圍成一個小正方形，直角三角形的較短邊長為3，向大正方形內(nèi)拋撒一枚幸運小花朵，則小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為________.解析∵大正方形的面積是34，∴大正方形的邊長是eq\r(34)，由直角三角形的較短邊長為3，得四個全等直角三角形的直角邊分別是5和3，則小正方形邊長為2，面積為4，∴小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為P＝eq\f(4,34)＝eq\f(2,17).答案eq\f(2,17)6.如圖，在邊長為1的正方形中隨機撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為________.解析設(shè)陰影部分的面積為S，由題意知eq\f(S,S正方形)＝eq\f(180,1000)，解得S＝0.18.答案0.187.在區(qū)間[－2，4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________.解析由|x|≤m，得－m≤x≤m.當m≤2時，由題意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，矛盾，舍去.當2＜m＜4時，由題意得eq\f(m－（－2）,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.即m的值為3.答案38.一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為________.解析由已知條件，可知蜜蜂只能在一個棱長為1的小正方體內(nèi)飛行，結(jié)合幾何概型，可得蜜蜂“安全飛行”的概率為P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).答案eq\f(1,27)9.在區(qū)間[1，5]和[2，4]上分別各取一個數(shù)，記為m和n，則方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦點在x軸上的橢圓的概率是________.解析∵方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，∴m>n.如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點Q(m，n)，點Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線m＝n恰好將矩形平分，∴所求的概率為P＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)10.(2016·南通質(zhì)檢)在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機取兩個數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點的概率為________.解析建立如圖所示的平面直角坐標系，則試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為正方形ABCD及其內(nèi)部.要使函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點，則必須有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的區(qū)域為圖中陰影部分.故所求概率P＝eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f(3π2,4π2)＝eq\f(3,4).答案eq\f(3,4)11.(2016·宿遷測試)設(shè)不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2≥0，,x≤4，,y≥－2))表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到直線y＋2＝0的距離不小于2的概率是________.解析作出平面區(qū)域D，可知平面區(qū)域D是以A(4，3)，B(4，－2)，C(－6，－2)為頂點的三角形區(qū)域，當點在△AED區(qū)域內(nèi)時，點到直線y＋2＝0的距離不小于2.所以P＝eq\f(S△AED,S△ABC)＝eq\f(\f(1,2)×6×3,\f(1,2)×10×5)＝eq\f(9,25).答案eq\f(9,25)12.(2015·蘇州調(diào)研)在邊長為2的正方形ABCD內(nèi)部任取一點M，則滿足∠AMB>90°的概率為________.解析如圖，以AB為直徑作圓，則圓在正方形ABCD內(nèi)的區(qū)域為半圓，其面積S＝eq\f(1,2)×π×12＝eq\f(π,2)，滿足條件∠AMB>90°的點M在半圓內(nèi)，故所求概率P＝eq\f(S陰影,S正方形ABCD)＝eq\f(\f(π,2),22)＝eq\f(π,8).答案eq\f(π,8)13.(2016·南京質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝kx＋1，其中實數(shù)k隨機選自區(qū)間[－2，1].?x∈[0，1]，f(x)≥0的概率是________.解析由?x∈[0，1]，f(x)≥0得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）≥0，,f（1）≥0，))解得－1≤k≤1，所以所求概率為eq\f(1－（－1）,1－（－2）)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)14.(2015·南京調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4，0≤c≤4.記函數(shù)f(x)滿足條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（2）≤12，,f（－2）≤4))為事件A，則事件A發(fā)生的概率為________.解析由題意，得eq\b\lc\{(\a