《3.1.2函數(shù)的表示法》教案、導學案與同步練習

《第三章函數(shù)的概念與性質》《3.1.2函數(shù)的表示法》教案【教材分析】課本從引進函數(shù)概念開始就比較注重函數(shù)的不同表示方法：解析法，圖象法，列表法．函數(shù)的不同表示方法能豐富對函數(shù)的認識，幫助理解抽象的函數(shù)概念．特別是在信息技術環(huán)境下，可以使函數(shù)在形與數(shù)兩方面的結合得到更充分的表現(xiàn)，使學生通過函數(shù)的學習更好地體會數(shù)形結合這種重要的數(shù)學思想方法．因此，在研究函數(shù)時，要充分發(fā)揮圖象的直觀作用．在研究圖象時，又要注意代數(shù)刻畫以求思考和表述的精確性．課本將映射作為函數(shù)的一種推廣，這與傳統(tǒng)的處理方式有了邏輯順序上的變化．這樣處理，主要是想較好地銜接初中的學習，讓學生將更多的精力集中理解函數(shù)的概念，同時，也體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過程．【教學目標與核心素養(yǎng)】課程目標1、明確函數(shù)的三種表示方法；2、在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；3、通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用.數(shù)學學科素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：函數(shù)解析法及能由條件求出解析式；2.邏輯推理：由條件求函數(shù)解析式；3.數(shù)學運算：由函數(shù)解析式求值及函數(shù)解析式的計算；4.數(shù)據(jù)分析：利用圖像表示函數(shù)；5.數(shù)學建模：由實際問題構建合理的函數(shù)模型?！窘虒W重難點】重點：函數(shù)的三種表示方法，分段函數(shù)的概念.難點：根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，什么才算“恰當”？分段函數(shù)的表示及其圖象．【教學方法】：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練?！窘虒W過程】一、情景導入初中已經(jīng)學過函數(shù)的三種表示法：列表法、圖像法、解析法，那么這三種表示法定義是？優(yōu)缺點是？要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本67-68頁，思考并完成以下問題1.表示兩個變量之間函數(shù)關系的方法有幾種？分別是什么？2.函數(shù)的各種表示法各有什么特點？3.什么是分段函數(shù)？分段函數(shù)是一個還是幾個函數(shù)？4.怎樣求分段函數(shù)的值？如何畫分段函數(shù)的圖象？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1．函數(shù)的表示法列表法圖像法解析法定義用表格的形式把兩個變量間的函數(shù)關系表示出來的方法用圖像把兩個變量間的函數(shù)關系表示出來的方法一個函數(shù)的對應關系可以用自變量的解析式表示出來的方法優(yōu)點不必通過計算就能知道兩個變量之間的對應關系，比較直觀可以直觀地表示函數(shù)的局部變化規(guī)律，進而可以預測它的整體趨勢能叫便利地通過計算等手段研究函數(shù)性質缺點只能表示有限個元素的函數(shù)關系有些函數(shù)的圖像難以精確作出一些實際問題難以找到它的解析式2.分段函數(shù)(1)分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應關系的函數(shù)．(2)分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．[點睛](1)分段函數(shù)雖然由幾部分構成，但它仍是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)．(2)分段函數(shù)的“段”可以是等長的，也可以是不等長的．如y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，－2≤x≤0，,x，0＜x≤3，))其“段”是不等長的．四、典例分析、舉一反三題型一函數(shù)的定義例1某種筆記本的單價是5元，買x(x∈{1，2，3，4，5})個筆記本需要y元．試用三種表示法表示函數(shù)y=f(x)．【答案】見解析【解析】這個函數(shù)的定義域是數(shù)集{1，2，3，4，5}.用解析法可將函數(shù)y=f（x）表示為y=5x,x∈{1，2，3，4，5}用列表法可將函數(shù)y=f(x)表示為用圖像法可將函數(shù)y=f(x)表示為解題技巧：（表示函數(shù)的注意事項）1.函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；2.解析法：必須注明函數(shù)的定義域；3.圖象法：是否連線；4.列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征．跟蹤訓練一1．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出．x123f(x)211x123g(x)321則f(g(1))的值為________；當g(f(x))＝2時，x＝________.【答案】11【解析】由于函數(shù)關系是用表格形式給出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.題型二分段函數(shù)求值例2已知函數(shù)f(x)＝(1)求ffx(2)若f(x)＝13，求x【答案】(1)eq\f(4,13)(2)±eq\r(2)【解析】(1)因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))－2＝－eq\f(3,2)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2)＝eq\f(4,13).(2)f(x)＝eq\f(1,3)，若|x|≤1，則|x－1|－2＝eq\f(1,3)，得x＝eq\f(10,3)或x＝－eq\f(4,3).因為|x|≤1，所以x的值不存在；若|x|>1，則eq\f(1,1＋x2)＝eq\f(1,3)，得x＝±eq\r(2)，符合|x|＞1.所以若f(x)＝eq\f(1,3)，x的值為±eq\r(2).解題技巧：(分段函數(shù)求值問題)1.求分段函數(shù)的函數(shù)值的方法（1）確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.（2）代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當出現(xiàn)f(f(x02.求某條件下自變量的值的方法先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后相應求出自變量的值，切記代入檢驗.跟蹤訓練二1.【答案】－eq\r(6)或10【解析】解析：當x0≤2時，f(x0)＝xeq\o\al(2,0)＋2＝8，即xeq\o\al(2,0)＝6，∴x0＝－eq\r(6)或x0＝eq\r(6)(舍去)；當x0>2時，f(x0)＝eq\f(4,5)x0，∴x0＝10.綜上可知，x0＝－eq\r(6)或x0＝10.題型三求函數(shù)解析式例3(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x(2)已知f(x)是二次函數(shù),且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;(3)已知函數(shù)f(x)對于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).【答案】見解析【解析】(1)(方法一)令x+1=t,則x=t-1.將x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+得f(t)=t-12-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=x2(方法二)∵f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=x+12-5(x+1)+6,∴f(x)=x2-(2)設所求的二次函數(shù)為f(x)=ax2+bx+c(a≠0)∵f(0)=1,∴c=1,則f(x)=ax2+bx+1∵f(x+1)-f(x)=2x對任意的x∈R都成立,∴ax+12+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2即2ax+a+b=2x,由恒等式的性質,得2a=2∴a=1,b=-1.∴所求二次函數(shù)為f(x)(3)∵對于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,∴將x替換為-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,聯(lián)立方程組消去f(-x),可得f(x)=-3x-23解題技巧：（求函數(shù)解析式的四種常用方法）1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接將g(x)代入即可.2.待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型,可用待定系數(shù)法求解,即由函數(shù)類型設出函數(shù)解析式,再根據(jù)條件列方程(或方程組),通過解方程(組)求出待定系數(shù),進而求出函數(shù)解析式.3.換元法(有時可用“配湊法”):已知函數(shù)f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用換元法(或“配湊法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),從而求出f(x).4.解方程組法或消元法:在已知式子中,含有關于兩個不同變量的函數(shù),而這兩個變量有著某種關系,這時就要依據(jù)兩個變量的關系,建立一個新的關于兩個變量的式子,由兩個式子建立方程組,通過解方程組消去一個變量,得到目標變量的解析式,這種方法叫做解方程組法或消元法.跟蹤訓練三1.已知f(x)是一次函數(shù),且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式;2.已知f(x+1)=x+2x,求f(x)的解析式;3.設函數(shù)f(x)滿足f(x)+2f1x=x(x≠0),求f(x)【答案】見解析【解析】(1)∵f(x)為一次函數(shù),∴可設f(x)=ax+b(a≠0).∵f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=2x-1.∴a2=2故f(x)=2x+1-2或f(x)=-2x+1+2.(2)(方法一)f(x+1)=(x)2+2x+1-1=(x+1)2-1,其中x+1≥1,故所求函數(shù)的解析式為f(x)=x2-1,其中x≥1.(方法二)令x+1=t,則x=(t-1)2,且t≥1,函數(shù)f(x+1)=x+2x可化為f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,故所求函數(shù)的解析式為f(x)=x2-1,其中x≥1.(3)因為對任意的x∈R,且x≠0都有f(x)+2f1x=x成立所以對于1x∈R,且1x≠0,有f1x+2f(x)兩式組成方程組f②×2-①得,f(x)=13題型四函數(shù)的圖像及應用例41.函數(shù)f(x)＝|x－1|的圖象是()2.給定函數(shù)fx=x+1,g(1)在同一直角坐標系中畫出函數(shù)fx（2）?Mx=maxfx【答案】1.B2.見解析【解析】1.法一：函數(shù)的解析式可化為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥1，,1－x，x＜1.))畫出此分段函數(shù)的圖象，故選B.法二：由f(－1)＝2，知圖象過點(－1,2)，排除A、C、D，故選B.2.（1）同一直角坐標系中函數(shù)fx（2）結合Mx的定義，可得函數(shù)M由x+12=x+1,得由圖易知MxMx=解題方法（函數(shù)圖像問題處理措施）（1）若y=f（x）是已學過的基本初等函數(shù)，則描出圖象上的幾個關鍵點，直接畫出圖象即可，有些可能需要根據(jù)定義域進行取舍.（2）若y=f（x）不是所學過的基本初等函數(shù)之一，則要按：①列表；②描點；③連線三個基本步驟作出y=f（x）的圖象.（3）作分段函數(shù)的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏.跟蹤訓練四1．已知函數(shù)f(x)的圖象如右圖所示，則f(x)的解析式是________．2．若定義運算a⊙b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a≥b，,a，a＜b.))則函數(shù)f(x)＝x⊙(2－x)的值域為________．【答案】1.f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，－1≤x＜0，,－x，0≤x≤1))2.(－∞，1]【解析】1.由圖可知，圖象是由兩條線段組成，當－1≤x＜0時，設f(x)＝ax＋b，將(－1,0)，(0,1)代入解析式，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋b＝0，,b＝1.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1.))當0≤x≤1時，設f(x)＝kx，將(1，－1)代入，則k＝－1.2.由題意得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥1，,x，x＜1，))畫出函數(shù)f(x)的圖象得值域是(－∞，1]．題型五函數(shù)的實際應用例5下表是某校高一（1）班三位同學在高一學年度幾次數(shù)學測試的成績及班級及班級平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班平均分88．278．385．480．375．782．6請你對這三們同學在高一學年度的數(shù)學學習情況做一個分析．【答案】見解析【解析】從表可以知道每位同學在每次測試中的成績，但不太容易分析每位同學的成績變化情況。如果將每位同學的“成績”與“測試序號”之間的函數(shù)關系分別用圖象（均為6個離散的點）表示出來，如圖3.1-6，那么就能直觀地看到每位同學成績變化的情況，這對我們的分析很有幫助.從圖3.1-6可以看到，王偉同學的數(shù)學學習成績始終高于班級平均水平，學習情況比較穩(wěn)定而且成績優(yōu)秀.張城同學的數(shù)學學習成績不穩(wěn)定，總是在班級平均水平上下波動，而且波動幅度較大.趙磊同學的數(shù)學學習成績低于班級平均水平，但表示他成績變化的圖象呈上升趨勢，表明他的數(shù)學成績在穩(wěn)步提高.五、課堂小結讓學生總結本節(jié)課所學主要知識及解題技巧六、板書設計七、作業(yè)課本72頁習題3.1【教學反思】理解函數(shù)的三種表示方法，在具體的實際問題中能夠選用恰當?shù)谋硎痉▉肀硎竞瘮?shù)，注意分段函數(shù)的表示方法及其圖象的畫法．《3.1.2函數(shù)的表示法》導學案【學習目標】1、明確函數(shù)的三種表示方法；2、在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；3、通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用.【重點與難點】重點：函數(shù)的三種表示方法，分段函數(shù)的概念.難點：根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，什么才算“恰當”？分段函數(shù)的表示及其圖象．【學習過程】一、預習導入閱讀課本67-68頁，填寫。1．函數(shù)的表示法列表法圖像法解析法定義用表格的形式把兩個變量間的函數(shù)關系表示出來的方法用圖像把兩個變量間的函數(shù)關系表示出來的方法一個函數(shù)的對應關系可以用自變量的解析式表示出來的方法優(yōu)點不必通過計算就能知道兩個變量之間的對應關系，比較直觀可以直觀地表示函數(shù)的局部變化規(guī)律，進而可以預測它的整體趨勢能叫便利地通過計算等手段研究函數(shù)性質缺點只能表示有限個元素的函數(shù)關系有些函數(shù)的圖像難以精確作出一些實際問題難以找到它的解析式2.分段函數(shù)(1)分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的的函數(shù)．(2)分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的；各段函數(shù)的定義域的交集是．[點睛](1)分段函數(shù)雖然由幾部分構成，但它仍是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)．(2)分段函數(shù)的“段”可以是等長的，也可以是不等長的．如y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，－2≤x≤0，,x，0＜x≤3，))其“段”是不等長的．【小試牛刀】1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)任何一個函數(shù)都可以同上述三種方法表示．()(2)函數(shù)f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．()(3)函數(shù)的圖象一定是定義區(qū)間上一條連續(xù)不斷的曲線．()(4)分段函數(shù)由幾個函數(shù)構成．()(5)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>1))是分段函數(shù)．()2.函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，則f(x)的定義域是()A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)3．已知反比例函數(shù)f(x)滿足f(3)＝－6，f(x)的解析式為________．【自主探究】題型一函數(shù)的定義例1某種筆記本的單價是5元，買x(x∈{1，2，3，4，5})個筆記本需要y元．試用三種表示法表示函數(shù)y=f(x)．跟蹤訓練一1．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出．則f(g(1))的值為________；當g(f(x))＝2時，x＝________.題型二分段函數(shù)求值例2已知函數(shù)f(x)＝(1)求ffx(2)若f(x)＝13，求x跟蹤訓練二1.題型三求函數(shù)解析式例3(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x(2)已知f(x)是二次函數(shù),且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;(3)已知函數(shù)f(x)對于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).跟蹤訓練三1.已知f(x)是一次函數(shù),且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式;

2.已知f(x+1)=x+2x,求f(x)的解析式;3.設函數(shù)f(x)滿足f(x)+2f1x=x(x≠0),求f(x)題型四函數(shù)的圖像及應用例41.函數(shù)f(x)＝|x－1|的圖象是()2.給定函數(shù)fx=x+1,g(1)在同一直角坐標系中畫出函數(shù)fx（2）?Mx=maxfx跟蹤訓練四1．已知函數(shù)f(x)的圖象如右圖所示，則f(x)的解析式是________．2．若定義運算a⊙b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a≥b，,a，a＜b.))則函數(shù)f(x)＝x⊙(2－x)的值域為________．題型五函數(shù)的實際應用例5下表是某校高一（1）班三位同學在高一學年度幾次數(shù)學測試的成績及班級及班級平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班平均分88．278．385．480．375．782．6請你對這三們同學在高一學年度的數(shù)學學習情況做一個分析．【課堂檢測】1.若f(x)=x-3,x≥10A.8 B.9 C.10 D.112.已知f1-x1+x=x,則A.x+1x-1 B.1-3.若f(x)對于任意實數(shù)x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,則f(x)=()A.x+1 B.x-1C.2x+1 D.3x+34.函數(shù)f(x)=2x,0≤xA.R B.[0,+∞)C.[0,3] D.[0,2]∪{3}5.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則f(-5)=,f(f(2))=.6.已知f(x)為二次函數(shù),其圖象的頂點坐標為(1,3),且過原點,求f(x)的解析式.7.某商場新進了10臺彩電,每臺單價3000元,試求售出臺數(shù)x與銷售額y之間的函數(shù)關系,分別用列表法、圖象法、解析法表示出來.答案小試牛刀1．（1）×（2）√（3）×（4）×（5）√2．C3．y＝－eq\f(18,x)自主探究例1【答案】見解析【解析】這個函數(shù)的定義域是數(shù)集{1，2，3，4，5}.用解析法可將函數(shù)y=f（x）表示為y=5x,x∈{1，2，3，4，5}用列表法可將函數(shù)y=f(x)表示為用圖像法可將函數(shù)y=f(x)表示為跟蹤訓練一【答案】11【解析】由于函數(shù)關系是用表格形式給出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.例2【答案】(1)eq\f(4,13)(2)±eq\r(2)【解析】(1)因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))－2＝－eq\f(3,2)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2)＝eq\f(4,13).(2)f(x)＝eq\f(1,3)，若|x|≤1，則|x－1|－2＝eq\f(1,3)，得x＝eq\f(10,3)或x＝－eq\f(4,3).因為|x|≤1，所以x的值不存在；若|x|>1，則eq\f(1,1＋x2)＝eq\f(1,3)，得x＝±eq\r(2)，符合|x|＞1.所以若f(x)＝eq\f(1,3)，x的值為±eq\r(2).跟蹤訓練二【答案】－eq\r(6)或10【解析】解析：當x0≤2時，f(x0)＝xeq\o\al(2,0)＋2＝8，即xeq\o\al(2,0)＝6，∴x0＝－eq\r(6)或x0＝eq\r(6)(舍去)；當x0>2時，f(x0)＝eq\f(4,5)x0，∴x0＝10.綜上可知，x0＝－eq\r(6)或x0＝10.例3【答案】見解析【解析】(1)(方法一)令x+1=t,則x=t-1.將x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+得f(t)=t-12-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=x2(方法二)∵f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=x+12-5(x+1)+6,∴f(x)=x2-(2)設所求的二次函數(shù)為f(x)=ax2+bx+c(a≠0)∵f(0)=1,∴c=1,則f(x)=ax2+bx+1∵f(x+1)-f(x)=2x對任意的x∈R都成立,∴ax+12+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2即2ax+a+b=2x,由恒等式的性質,得2a=2∴a=1,b=-1.∴所求二次函數(shù)為f(x)(3)∵對于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,∴將x替換為-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,聯(lián)立方程組消去f(-x),可得f(x)=-3x-23跟蹤訓練三【答案】見解析【解析】(1)∵f(x)為一次函數(shù),∴可設f(x)=ax+b(a≠0).∵f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=2x-1.∴a2=2故f(x)=2x+1-2或f(x)=-2x+1+2.(2)(方法一)f(x+1)=(x)2+2x+1-1=(x+1)2-1,其中x+1≥1,故所求函數(shù)的解析式為f(x)=x2-1,其中x≥1.(方法二)令x+1=t,則x=(t-1)2,且t≥1,函數(shù)f(x+1)=x+2x可化為f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,故所求函數(shù)的解析式為f(x)=x2-1,其中x≥1.(3)因為對任意的x∈R,且x≠0都有f(x)+2f1x=x成立所以對于1x∈R,且1x≠0,有f1x+2f(x)兩式組成方程組f②×2-①得,f(x)=13例4【答案】1.B2.見解析【解析】1.法一：函數(shù)的解析式可化為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥1，,1－x，x＜1.))畫出此分段函數(shù)的圖象，故選B.法二：由f(－1)＝2，知圖象過點(－1,2)，排除A、C、D，故選B.2.（1）同一直角坐標系中函數(shù)fx（2）結合Mx的定義，可得函數(shù)M由x+12=x+1,得由圖易知MxMx=跟蹤訓練四【答案】1.f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，－1≤x＜0，,－x，0≤x≤1))2.(－∞，1]【解析】1.由圖可知，圖象是由兩條線段組成，當－1≤x＜0時，設f(x)＝ax＋b，將(－1,0)，(0,1)代入解析式，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋b＝0，,b＝1.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1.))當0≤x≤1時，設f(x)＝kx，將(1，－1)代入，則k＝－1.2.由題意得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥1，,x，x＜1，))畫出函數(shù)f(x)的圖象得值域是(－∞，1]．例5【答案】見解析【解析】從表可以知道每位同學在每次測試中的成績，但不太容易分析每位同學的成績變化情況。如果將每位同學的“成績”與“測試序號”之間的函數(shù)關系分別用圖象（均為6個離散的點）表示出來，如圖3.1-6，那么就能直觀地看到每位同學成績變化的情況，這對我們的分析很有幫助.從圖3.1-6可以看到，王偉同學的數(shù)學學習成績始終高于班級平均水平，學習情況比較穩(wěn)定而且成績優(yōu)秀.張城同學的數(shù)學學習成績不穩(wěn)定，總是在班級平均水平上下波動，而且波動幅度較大.趙磊同學的數(shù)學學習成績低于班級平均水平，但表示他成績變化的圖象呈上升趨勢，表明他的數(shù)學成績在穩(wěn)步提高.當堂檢測 1-4．ABAD5．326．【答案】∴f(x)=-3x2+6x.【解析】(方法一)由于函數(shù)圖象的頂點坐標為(1,3),則設f(x)=a(x-1)2+3(a≠0).∵函數(shù)圖象過原點(0,0),∴a+3=0,∴a=-3.故f(x)=-3(x-1)2+3.(方法二)設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),依題意得-即b=-∴f(x)=-3x2+6x.7.【答案】見解析【解析】(1)列表法如下:x(臺)12345y(元)3000600090001200015000x(臺)678910y(元)1800021000240002700030000(2)圖象法:如圖所示.(3)解析法:y=3000x,x∈{1,2,3,…,10}.《3.1.2函數(shù)的表示法》分層同步練習一鞏固基礎1.小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是()2．已知f(x)是一次函數(shù)，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，則f(x)＝ ()A．3x＋2 B．3x－2C．2x＋3 D．2x－33.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x∈[－1，0]，,x2＋1，x∈0，1]，))則函數(shù)f(x)的圖象是()4.已知函數(shù)y＝f(x)的對應關系如下表，函數(shù)y＝g(x)的圖象是如圖的曲線ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，則f[g(2)]的值為()A．3B．2C．1D．05.函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2))的值域是()A.RB.[0，＋∞)C.[0,3]D.{x|0≤x≤2或x＝3}6.設f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,1，x＝0，,－1，x<0，))則f(f(0))等于()A.1B.0C.2D.－17．已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，則a的值為________．8．已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．9．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)＝0，且對任意x∈R總有f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．10(1)已知f(x＋eq\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)，求f(x)的解析式．(2)已知f(x)滿足2f(x)＋f(eq\f(1,x))＝3x，求f(x)的解析式．(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式．綜合應用11．如果feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，則當x≠0,1時，f(x)等于()A.eq\f(1,x)B.eq\f(1,x－1)C.eq\f(1,1－x)D.eq\f(1,x)－112．已知x≠0時，函數(shù)f(x)滿足f(x－eq\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)，則f(x)的表達式為()A．f(x)＝x＋eq\f(1,x)(x≠0)B．f(x)＝x2＋2(x≠0)C．f(x)＝x2(x≠0)D．f(x)＝(x－eq\f(1,x))2(x≠0)13.已知函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤0，,－2x，x>0，))則使函數(shù)值為5的x的值是()A.－2或2 B.2或－eq\f(5,2)C.－2 D.2或－2或－eq\f(5,2)14.若f(x)是一次函數(shù)，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，則f(x)＝()A．3x＋2B．3x－2C．2x＋3D．2x－315．已知f(x－1)＝x2，則f(x)的解析式為()A．f(x)＝x2＋2x＋1 B．f(x)＝x2－2x＋1C．f(x)＝x2＋2x－1 D．f(x)＝x2－2x－116.已知f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－3，n≥10，,ffn＋5，n<10，))則f(8)＝________.17．已知函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＝2f(eq\f(1,x))＋x，則f(x)的解析式為________．已知函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(|x|－x,2)(－2<x≤2).(1)用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)；(2)畫出該函數(shù)的圖象；(3)寫出該函數(shù)的值域.19．設f(x)是R上的函數(shù)，且滿足f(0)＝1，并且對任意實數(shù)x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．【參考答案】C解析先分析小明的運動規(guī)律，再結合圖象作出判斷．距學校的距離應逐漸減小，由于小明先是勻速運動，故前段是直線段，途中停留時距離不變，后段加速，直線段比前段下降的快，故應選C.B解析設f(x)＝kx＋b(k≠0)，∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－b＝5,k＋b＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝3,b＝－2))，∴f(x)＝3x－2.3.A解析當x＝－1時，y＝0，排除D；當x＝0時，y＝1，排除C；當x＝1時，y＝2，排除B.B解析由函數(shù)g(x)的圖象知，g(2)＝1，則f[g(2)]＝f(1)＝2.5.D解析當0≤x≤1時，f(x)∈[0,2]，當1<x<2時，f(x)＝2，當x≥2時，f(x)＝3，∴值域是{x|0≤x≤2或x＝3}.6.C7.5解析∵f(2x＋1)＝3x－2＝eq\f(3,2)(2x＋1)－eq\f(7,2)，∴f(x)＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,2)，∴f(a)＝4，即eq\f(3,2)a－eq\f(7,2)＝4，∴a＝5.8.解設f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不論x為何值都成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＋5a＝17，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝7，))∴f(x)＝2x＋7.9.解設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝c＝0，∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(1,2).))∴f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x.解(1)∵f(x＋eq\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)＝(x＋eq\f(1,x))2－2，且x＋eq\f(1,x)≥2或x＋eq\f(1,x)≤－2,∴f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．(2)∵2f(x)＋f(eq\f(1,x))＝3x，①把①中的x換成eq\f(1,x)，得2f(eq\f(1,x))＋f(x)＝eq\f(3,x).②,①×2－②得3f(x)＝6x－eq\f(3,x)，∴f(x)＝2x－eq\f(1,x)(x≠0)．(3)以－x代x得：f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.與f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x聯(lián)立得：f(x)＝eq\f(1,3)x2－2x.11.B解析令eq\f(1,x)＝t，則x＝eq\f(1,t)，代入feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，則有f(t)＝eq\f(\f(1,t),1－\f(1,t))＝eq\f(1,t－1)，故選B.12.B解析∵f(x－eq\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)＝(x－eq\f(1,x))2＋2，∴f(x)＝x2＋2(x≠0)．13.CB解析設f(x)＝ax＋b，由題設有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22a＋b－3a＋b＝5，,20·a＋b－－a＋b＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－2.))所以選B.15.A解析令x－1＝t，則x＝t＋1，∴f(t)＝f(x－1)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，∴f(x)＝x2＋2x＋1.16.7解析因為8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))，即f(8)＝f(f(13))；因為13>10，所以代入f(n)＝n－3，得f(13)＝10，故得f(8)＝f(10)＝10－3＝7.17.f(x)＝－eq\f(x2＋2,3x)(x≠0)解析∵f(x)＝2f(eq\f(1,x))＋x，①∴將x換成eq\f(1,x)，得f(eq\f(1,x))＝2f(x)＋eq\f(1,x).②由①②消去f(eq\f(1,x))，得f(x)＝－eq\f(2,3x)－eq\f(x,3)，即f(x)＝－eq\f(x2＋2,3x)(x≠0)．18.解(1)①當0≤x≤2時，f(x)＝1＋eq\f(x－x,2)＝1；②當－2<x<0時，f(x)＝1＋eq\f(－x－x,2)＝1－x.所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，0≤x≤2，,1－x，－2<x<0.))(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.(3)由函數(shù)f(x)的圖象知，f(x)在(－2,2]上的值域為[1,3).19.解因為對任意實數(shù)x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，所以令y＝x，有f(0)＝f(x)