數(shù)學(xué)人教A版高中必修二（2019新編）10-2事件的關(guān)系和運算（學(xué)案）

第02講事件的關(guān)系和運算目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀結(jié)合具體的事例理解事件的包含關(guān)系與相等關(guān)系；結(jié)合具體事例能進行隨機事件的并、交的運算；通過具體事例理解隨機事件的互斥與對立關(guān)系；通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握隨機事件間的關(guān)系，能進行事件的交、并運算.知識精講知識精講知識點1.事件的關(guān)系定義符號圖示包含關(guān)系一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，則稱事件A與事件B相等A＝B2.交事件與并事件定義符號圖示并事件(或和事件)一般地，事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(或積事件)一般地，事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)3.互斥事件和對立事件定義符號圖示互斥事件一般地，如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝?，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)A∩B＝?對立事件一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么稱事件A與事件B互為對立，事件A的對立事件記為eq\x\to(A)A∪B＝ΩA∩B＝?4.事件的關(guān)系或運算的含義及符號表示事件的關(guān)系或運算含義符號表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω【微點撥】定義多個事件的和事件以及積事件.對于三個事件A、B、C，A∪B∪C(或A+B+C)發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C中至少一個發(fā)生，A∩B∩C(或ABC)發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C同時發(fā)生.【即學(xué)即練1】許洋說：“本周我至少做完三套練習(xí)題．”設(shè)許洋所說的事件為A，則A的對立事件為（

）A．至多做完三套練習(xí)題 B．至多做完兩套練習(xí)題C．至多做完四套練習(xí)題 D．至少做完兩套練習(xí)題【答案】B【解析】【分析】兩個事件互為對立事件，是指它們的交集為空集，并集為全集.由對立事件的概念可快速求解.【詳解】至少做完3套練習(xí)題包含做完3，4，5，6，…套練習(xí)題，故它的對立事件為做完0，1，2套練習(xí)題，即至多做完2套練習(xí)題．故選：B.【即學(xué)即練2】拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：“向上的點數(shù)為”，其中，“向上的點數(shù)為偶數(shù)”，則下列說法正確的是（

）A． B． C．與互斥 D．與對立【答案】C【解析】【分析】對于選項中的事件，分別寫出對應(yīng)的基本事件構(gòu)成的集合，依次分析，即可【詳解】對于A，，，∴，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，與不能同時發(fā)生，是互斥事件，故C正確；對于D，，，與是互斥但不對立事件，故D錯誤；故選：C【即學(xué)即練3】從裝有2個白球和3個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么下列事件中是互斥而不對立的事件是（）A．“恰有兩個白球”與“恰有一個黑球”B．“至少有一個白球”與“至少有一個黑球”C．“都是白球”與“至少有一個黑球”D．“至少有一個黑球”與“都是黑球”【答案】A【解析】對于A，事件：“恰有兩個白球”與事件：“恰有一個黑球”不能同時發(fā)生，但從口袋中任取兩個球時還有可能兩個都是黑球，∴兩個事件是互斥事件但不是對立事件，∴A正確；對于B，事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有一個白球”可以同時發(fā)生，如：一個白球一個黑球，∴這兩個事件不是互斥事件，∴B不正確；對于C.“都是白球”與“至少有一個黑球”不能同時發(fā)生，且對立，故C錯誤；對于D，“至少有一個黑球”與“都是黑球”可以同時發(fā)生，故不互斥.故選：A.【即學(xué)即練4】如果事件A，B互斥，那么（

）A．A∪B是必然事件B．A的對立事件與B的對立事件的和事件是必然事件C．A的對立事件與B的對立事件是互斥事件D．A的對立事件與B的對立事件不是互斥事件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的含義判斷.【詳解】A.因為事件A，B互斥，若對立，則A∪B是必然事件，若不對立，則A∪B不是必然事件，故錯誤；B.A的對立事件與B的對立事件的和事件是必然事件，故正確；C.若事件A，B互斥，不對立，則A的對立事件與B的對立事件不是互斥事件，故錯誤；D.若事件A，B互斥，且對立，則A的對立事件與B的對立事件是對立事件，故錯誤；故選：B【即學(xué)即練5】抽查10件產(chǎn)品，設(shè)試驗的樣本空間為Ω，A＝“至多有1件次品”，B＝“至少有兩件次品”，則（

）A．A?BB．B?AC．A∩B≠?D．A∩B＝?，且A∪B＝Ω【答案】D【解析】【分析】分析事件A、B包含的基本事件，判斷二者的關(guān)系.【詳解】A＝“至多有1件次品”，包含：0件次品和1件次品；B＝“至少有兩件次品”包含：2件次品、3件次品、4件次品、5件次品、6件次品、7件次品、8件次品、9件次品和10件次品、故A∩B＝?，且A∪B＝Ω.故選：D【點睛】判斷兩個事件是否互斥（對立）：①定義法；②直接法：利用生活常識直接判斷；③集合法：把事件A、B對應(yīng)的基本事件用集合表示，根據(jù)兩個集合的交集為空集，可判斷A、B互斥；若兩個集合的交集為空集，同時二者的并集為全集，則A、B為對立事件.【即學(xué)即練6】對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝“兩次都擊中飛機”，B＝“兩次都沒擊中飛機”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機”，下列關(guān)系不正確的是（

）A．A?DB．B∩D＝C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪D【答案】D【解析】【分析】按照事件間的互斥關(guān)系和包含關(guān)系分析求解即可.【詳解】“恰有一枚炮彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一枚炮彈擊中”包含兩種情況：恰有一枚炮彈擊中，兩枚炮彈都擊中．故A?D，A∪C＝DB，D為互斥事件，B∩D＝；A∪B＝“兩個飛機都擊中或者都沒擊中”，B∪D為必然事件，這兩者不相等故選：D【即學(xué)即練7】已知100件產(chǎn)品中有5件次品，從這100件產(chǎn)品中任意取出3件，設(shè)表示事件“3件產(chǎn)品

全不是次品”，表示事件“3件產(chǎn)品全是次品”，表示事件“3件產(chǎn)品中至少有1件是

次品”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與互斥 B．與互斥但不對立C．任意兩個事件均互斥 D．與對立【答案】D【解析】【分析】列出基本事件，再結(jié)合互斥事件，對立事件的定義即可判斷.【詳解】設(shè)1表示取到正品,0表示取到次品，所有事件則故與不互斥，故A,C錯故與互斥且對立,故B錯，D正確故選：D【即學(xué)即練8】（多選）下列命題中為真命題的是（

）A．若事件與事件互為對立事件，則事件與事件為互斥事件B．若事件與事件為互斥事件，則事件與事件互為對立事件C．若事件與事件互為對立事件，則事件為必然事件D．若事件為必然事件，則事件與事件為互斥事件【答案】AC【解析】根據(jù)互斥與對立事件的定義逐個辨析即可.【詳解】對于A,對立事件首先是互斥事件,故A為真命題.對于B,互斥事件不一定是對立事件,如將一枚硬幣拋擲兩次,共出現(xiàn)（正,正）,（正,反）,（反,正）,（反,反）四種結(jié)果,事件“兩次出現(xiàn)正面”與事件“只有一次出現(xiàn)反面”是互斥事件,但不是對立事件,故B為假命題.對于C,事件為對立事件,則在一次試驗中一定有一個發(fā)生,故C為真命題.對于D,事件表示事件至少有一個要發(fā)生,不一定互斥,故D為假命題.故選：AC【點睛】本題主要考查了互斥事件與對立事件的辨析.【即學(xué)即練9】在隨機拋擲一顆骰子的試驗中，事件“出現(xiàn)不大于4的偶數(shù)點”，事件“出現(xiàn)小于6的點數(shù)”，則事件的含義為______，事件的含義為___.【答案】

出現(xiàn)點

出現(xiàn)點【解析】分析事件的基本事件再判斷即可.【詳解】易知“出現(xiàn)6點”,則“出現(xiàn)點”,“出現(xiàn)點”.故答案為：(1).出現(xiàn)點

(2).出現(xiàn)點【點睛】本題主要考查了事件的基本運算,屬于基礎(chǔ)題.【即學(xué)即練10】電路如圖所示.用A表示事件“電燈變亮”，用B，C，D依次表示“開關(guān)Ⅰ閉合”“開關(guān)Ⅱ閉合”“開關(guān)Ⅲ閉合”，則A＝____________.(用B，C，D間的運算關(guān)系式表示)【答案】(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)【解析】【分析】燈亮必須形狀開關(guān)I閉合，開關(guān)II和III中至少有一個閉合，由此可得．【詳解】燈亮必須形狀開關(guān)I閉合，開關(guān)II和III中至少有一個閉合，因此．故答案為：．也可寫成：．【即學(xué)即練11】在10件產(chǎn)品中有8件一級品，2件二級品，從中任取3件，若記“3件都是一級品”為事件A，則A的對立事件是___________.【答案】3件至多有2件一級品【解析】【分析】根據(jù)對立事件的定義即可得到答案.【詳解】“3件都是一級品”為事件A，則A的對立事件為“3件不都是一級品”，即為“3件至多有2件一級品”.故答案為：3件至多有2件一級品.【即學(xué)即練12】拋擲3枚硬幣，試驗的樣本點用(x，y，z)表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，則M＝________________________________________________________________________．【答案】（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）.【解析】【分析】根據(jù)試驗結(jié)果，直接寫出事件包含的基本事件即可求解.【詳解】拋擲3枚硬幣，試驗的樣本點用(x，y，z)表示,其中分別表示正反，則（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）.故答案為：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）.【即學(xué)即練13】某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對立事件．(1)恰有1名男生與恰有2名男生；(2)至少有1名男生與全是男生；(3)至少有1名男生與全是女生；(4)至少有1名男生與至少有1名女生．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)答案見解析；(4)答案見解析【分析】判別兩個事件是否互斥，就要考察它們是否能同時發(fā)生；判別兩個互斥事件是否對立，就要考察它們是否必有一個發(fā)生．【解析】(1)因為“恰有1名男生”與“恰有2名男生”不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件；當(dāng)恰有2名女生時它們都不發(fā)生，所以它們不是對立事件．(2)因為恰有2名男生時“至少有1名男生”與“全是男生”同時發(fā)生，所以它們不是互斥事件．(3)因為“至少有1名男生”與“全是女生”不可能同時發(fā)生，所以它們互斥；由于它們必有一個發(fā)生，所以它們是對立事件．(4)由于選出的是1名男生1名女生時“至少有1名男生”與“至少有1名女生”同時發(fā)生，所以它們不是互斥事件．【即學(xué)即練14】擲一枚骰子，給出下列事件：“出現(xiàn)奇數(shù)點”，“出現(xiàn)偶數(shù)點”，“出現(xiàn)的點數(shù)小于3”.求：（1），；（2），.【答案】（1），“出現(xiàn)2點”.（2）“出現(xiàn)1，2，3，4，5或6點”，“出現(xiàn)1，2，4或6點”.【解析】根據(jù)題意表示出集合，再求（1），；（2），即可.【詳解】由題意知：“出現(xiàn)奇數(shù)點”，“出現(xiàn)偶數(shù)點”，“出現(xiàn)的點數(shù)小于3”，（1），出現(xiàn)2點”；（2）“出現(xiàn)1，2，3，4，5或6點”，“出現(xiàn)1，2，4或6點”.【點睛】本題主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的運算.能力拓展能力拓展考法01事件的關(guān)系判斷：1.判斷事件間的包含關(guān)系，交事件、并事件關(guān)系要以定義為標(biāo)準(zhǔn)來判斷.2.判斷兩個事件是否為互斥事件，主要看它們在一次試驗中能否同時發(fā)生，若不能同時發(fā)生，則這兩個事件是互斥事件，若能同時發(fā)生，則這兩個事件不是互斥事件；判斷兩個事件是否為對立事件，主要看在一次試驗中這兩個事件是否同時滿足兩個條件：一是不能同時發(fā)生；二是必有一個發(fā)生.這兩個條件同時成立，那么這兩個事件是對立事件，只要有一個條件不成立，那么這兩個事件就不是對立事件.【典例1】同時拋擲兩枚硬幣，“向上面都是正面”為事件M，“至少有一枚的向上面是正面”為事件N，則有（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】列出事件N包含的結(jié)果再分析與事件M的關(guān)系即可.【詳解】事件N包含兩種結(jié)果：“向上面都是正面”和“向上面是一正一反”.所以當(dāng)M發(fā)生時,事件N一定發(fā)生,則有.故選：A.【點睛】本題主要考查了事件的包含關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題型.【典例2】從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，與事件“至少有1個白球”相等的事件是（

）A．全是紅球 B．至少有1個紅球C．至多有1個紅球 D．1個紅球，1個白球【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，寫出事件“至少有1個白球”所包含的基本事件，根據(jù)選項即可判斷和選擇.【詳解】從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，若至少有1個白球，則其包含的基本事件是：個白球個紅球，個白球；又至多有1個紅球包含的基本事件也是：個白球個紅球，個白球.故選：.【典例3】抽查10件產(chǎn)品，設(shè)A={至多有1件次品}，則事件A的對立事件是（

）A．{至多有2件正品} B．{至多有1件次品}C．{至少有1件正品} D．{至少有2件次品}【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對立事件的定義，結(jié)合題意，即可寫出事件的對立事件.【詳解】因為抽查10件產(chǎn)品，設(shè)A={至多有1件次品}，故事件的對立事件是：{至少有2件次品}.故選：.【典例4】．從裝有3個紅球和4個白球的口袋中任取3個小球，則下列選項中的兩個事件是互斥事件的為（

）A．“都是紅球”與“至少1個紅球”B．“恰有2個紅球”與“至少1個白球”C．“至少1個白球”與“至多1個紅球”D．“2個紅球，1個白球”與“2個白球，1個紅球”【答案】D【解析】【分析】分析每個選項中的兩個事件是否有共同的基本事件判斷并作答.【詳解】對于A選項：“至少1個紅球”的事件中含有“都是紅球”這一事件，即兩個事件可以同時發(fā)生，A中的兩個事件不互斥；對于B選項：“恰有2個紅球”和“至少1個白球”的事件中都含有“兩紅球，一白球”的事件，B中的兩個事件不互斥；對于C選項：“至少1個白球”與“至多1個紅球”的事件中都含有“三白球”與“一紅球，兩白球”的兩個事件，C中的兩個事件不互斥；對于D選項，3個球中“2個紅球，1個白球”的事件與“2個白球，1個紅球”的事件不可能同時發(fā)生，是互斥事件，所以兩個事件是互斥事件的為D.故選：D【典例5】某人打靶時，連續(xù)射擊兩次，事件A＝“至少有一次中靶”，B＝“兩次都不中靶”，則（

）A．A?B B．B?AC．A∩B＝? D．∩B＝?【答案】C【解析】【分析】列舉射擊2次的基本事件，分析A、B的關(guān)系.【詳解】連續(xù)射擊兩次，用，（x、y取0,1，取0表示射中，取1表示未射中）表示基本事件，包括：其中故A∩B＝?，其他都不對.故選：C【點睛】判斷兩個事件是否互斥（對立）：①定義法；②直接法：利用生活常識直接判斷；③集合法：把事件A、B對應(yīng)的基本事件用集合表示，根據(jù)兩個集合的交集為空集，可判斷A、B互斥；若兩個集合的交集為空集，同時二者的并集為全集，則A、B為對立事件.【典例6】拋擲相同硬幣3次，記“至少有一次正面向上”為事件A，“一次正面向上，兩次反面向上”為事件B，“兩次正面向上，一次反面向上”為事件C，“至少一次反面向上”為事件D，“3次都正面向上”為事件E.(1)試判斷事件A與事件B，C，E的關(guān)系；(2)試求AD，B+C所包含的樣本點，并判斷AD與B+C的關(guān)系.【答案】(1)B?A，C?A，E?A，A=B+C+E(2)AD={有正面向上，也有反面向上}，B+C={一次正面向上或兩次正面向上}，AD=B+C【分析】（1）寫出事件A所包含的基本事件，可以看出是事件B，事件C和事件E的和，故可以得到答案；（2）寫出事件D所包含的基本事件，與事件A進行比較，得到AD所包含的樣本點，再寫出B+C所包含的樣本點，可得到AD與B+C的關(guān)系.【解析】(1)事件A為“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，兩次反面向上”，“兩次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三個基本事件，所以B?A，C?A，E?A，A=B+C+E.(2)“至少一次反面向上”為事件D，包含“一次正面向上，兩次反面向上”，“兩次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三個基本事件，可以看出事件A與事件D有相同的兩個基本事件，即“一次正面向上，兩次反面向上”，“兩次正面向上，一次反面向上”，故AD={一次正面向上或兩次正面向上}，B+C={一次正面向上或兩次正面向上}，所以AD=B+C.【典例7】某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報”，事件C為“至多訂一種報”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報也不訂”．判斷下列事件是不是互斥事件，如果是，判斷它們是不是對立事件．（1）A與C；（2）B與E；（3）B與D；（4）B與C；（5）C與E.【答案】答案見解析.【解析】【分析】（1）若只訂甲報，則事件A與事件C有可能同時發(fā)生，從而可判斷;(2)由事件B“至少訂一種報”與事件E“一種報也不訂”是不可能同時發(fā)生的，事件B和事件E必有一個發(fā)生，從而可判斷.(3)若只訂乙報，則事件B與事件D可能同時發(fā)生，從而可判斷;（4）寫出事件B“至少訂一種報”可能結(jié)果和事件C“至多訂一種報”的所有可能結(jié)果，從而可判斷;（5）由事件E“一種報也不訂”僅僅是事件C的一種可能，從而可判斷;【詳解】（1）由于事件C“至多訂一種報”中可能只訂甲報，即事件A與事件C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥事件．（2）事件B“至少訂一種報”與事件E“一種報也不訂”是不可能同時發(fā)生的，故事件B與E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一個發(fā)生，故B與E也是對立事件．（3）事件B“至少訂一種報”中有可能只訂乙報，即有可能不訂甲報，也就是說事件B發(fā)生，事件D也可能發(fā)生，故B與D不是互斥事件．(4)事件B“至少訂一種報”中有3種可能：“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”．事件C“至多訂一種報”中有3種可能：“一種報也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”．即事件B與事件C可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事件．(5)由(4)的分析可知，事件E“一種報也不訂”僅僅是事件C的一種可能，事件C與事件E可能同時發(fā)生，故C與E不是互斥事件．考法02事件的交、并運算：事件間運算方法(1)利用事件間運算的定義.列出同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進行事件間的運算.(2)利用Venn圖.借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進行運算.【典例8】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“出現(xiàn)的點數(shù)是1或2”，事件“出現(xiàn)的點數(shù)是2或3或4”，則事件“出現(xiàn)的點數(shù)是2”可以記為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)事件和事件，計算，，根據(jù)結(jié)果即可得到符合要求的答案.【詳解】由題意可得：，，，.故選B.【點睛】本題主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的運算，集合與集合的關(guān)系來解決，是基礎(chǔ)題.【典例9】設(shè)A，B是兩個任意事件，下面關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】根據(jù)事件的運算法則逐個分析即可.【詳解】若,則,故A錯誤；由題知,,B正確；∵當(dāng)事件A、B都不發(fā)生時,發(fā)生,但A不發(fā)生,不是A的子集,C錯誤；,,D正確.故選：BD.【點睛】本題主要考查了事件的基本運算,屬于基礎(chǔ)題型.【典例10】拋擲一枚骰子，觀察擲出的點數(shù)，若事件，事件，求事件，.【答案】，.【解析】【分析】利用隨機事件的運算，求，.【詳解】由題設(shè)，，.【典例11】生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要2道工序，設(shè)事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，用A，B，，表示下列事件：“產(chǎn)品合格”，“產(chǎn)品不合格”．【答案】C=AB；.【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用事件的運算即可列式作答.【詳解】要使得產(chǎn)品合格，需要第一道工序和第二道工序加工都合格，即事件A，B同時發(fā)生，所以C=AB；產(chǎn)品不合格，就是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，所以，.考法03事件的關(guān)系和運算的綜合應(yīng)用：【典例12】如圖所示，事件A＝“甲元件正?！?，B＝“乙元件正?！保珻＝“丙元件正?！保畡tA∪B∪C表示的含義為________，∩∩表示的含義為________．【答案】

電路工作正常

電路工作不正?！窘馕觥俊痉治觥拷Y(jié)合事件的關(guān)系和運算即可.【詳解】表示甲、乙、丙元件至少有一個正常，即電路工作正常；表示甲、乙、丙元件都不正常，即電路工作不正常.故答案為：電路工作正常；電路工作不正常.【典例13】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，則事件M的含義是______________________．【答案】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，向上點數(shù)之和為8【解析】【分析】根據(jù)事件可歸納出M的含義.【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次,事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，歸納可知，事件M的含義是：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，向上點數(shù)之和為8的事件.故答案為：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，向上點數(shù)之和為8.【典例14】從裝有5個紅球、5個白球的袋中任意取出3個球，判斷下列每對事件是不是互斥事件，是不是對立事件．(1)“取出3個紅球”與“取出3個球中至少有1個白球”；(2)“取出2個紅球和1個白球”與“取出3個紅球”；(3)“取出3個紅球”與“取出的球中至少有1個紅球”．【答案】(1)是互斥事件，也是對立事件；(2)是互斥事件，但不是對立事件；(3)既不是互斥事件，也不是對立事件.【分析】根據(jù)題意，求得從裝有5個紅球、5個白球的袋中任意取出3個球所有的基本事件，再寫出每個事件中包含的基本事件，即可判斷.【解析】(1)從裝有5個紅球、5個白球的袋中任意取出3個球，從顏色的角度出發(fā)，包含如下基本事件：個白球，個白球個紅球，個白球個紅球，個紅球.事件“取出3個球中至少有1個白球”，包括：個白球，個白球個紅球，個白球個紅球，故該事件與“取出3個紅球”是互斥事件，也是對立事件.(2)根據(jù)（1）中所求，顯然：“取出2個紅球和1個白球”與“取出3個紅球”是互斥事件，但不是對立事件.(3)“取出的球中至少有1個紅球”包括基本事件：個白球個紅球，個白球個紅球，個紅球，故該事件與“取出3個紅球”不是互斥事件，因為有共同的基本事件：個紅球；同時，也不是對立事件.【典例15】設(shè)A，B，C表示三個隨機事件，試將下列事件用A，B，C表示出來.（1）三個事件都發(fā)生；（2）三個事件至少有一個發(fā)生；（3）A發(fā)生，B，C不發(fā)生；（4）A，B都發(fā)生，C不發(fā)生；（5）A，B至少有一個發(fā)生，C不發(fā)生；（6）A，B，C中恰好有兩個發(fā)生.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【解析】【分析】由互斥事件和對立事件的定義、事件的間的關(guān)系求解即可【詳解】解：（1）三個事件都發(fā)生表示為；（2）三個事件至少有一個發(fā)生表示為；（3）A發(fā)生，B，C不發(fā)生表示為；（4）A，B都發(fā)生，C不發(fā)生表示為；（5）A，B至少有一個發(fā)生，C不發(fā)生表示為；（6）A，B，C中恰好有兩個發(fā)生表示為.【典例16】記某射手一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)分別為事件，，，，指出下列事件的含義：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）射中10環(huán)或9環(huán)或8環(huán).（2）射中9環(huán).（3）射中10環(huán)或6環(huán)或5環(huán)或4環(huán)或3環(huán)或2環(huán)或1環(huán)或0環(huán).【解析】（1）根據(jù)意義即可得到；（2）先求出，即可得出；（3）先求出，即可得出.【詳解】（1）=射中10環(huán)，=射中9環(huán)，=射中8環(huán)，射中10環(huán)或9環(huán)或8環(huán).（2）=射中8環(huán)，射中環(huán)數(shù)不是8環(huán)，則射中9環(huán).（3）射中9環(huán)或8環(huán)或7環(huán)，則射中10環(huán)或6環(huán)或5環(huán)或4環(huán)或3環(huán)或2環(huán)或1環(huán)或0環(huán).【點睛】本題主要考查的是交事件（積事件）與并事件（和事件）的理解和應(yīng)用以及對互斥事件、對立事件的概念理解，以及集合間的基本運算，是基礎(chǔ)題.【典例17】一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有有2個紅色球（標(biāo)號為1和2），2個綠色球（標(biāo)號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設(shè)事件=“第一次摸到紅球”，=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個球顏色相同”，N=“兩個球顏色不同”.（1）用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；（2）事件R與，R與G，M與N之間各有什么關(guān)系？（3）事件R與事件G的并事件與事件M有什么關(guān)系？事件與事件的交事件與事件R有什么關(guān)系？【答案】（1）詳見解析（2）事件包含事件R；事件R與事件G互斥；事件M與事件N互為對立事件（3）事件M是事件R與事件G的并事件；事件R是事件與事件的交事件.【解析】（1）所有的試驗結(jié)果如圖所示,用數(shù)組表示可能的結(jié)果,是第一次摸到的球的標(biāo)號,是第二次摸到的球的標(biāo)號,則試驗的樣本空間事件=“第一次摸到紅球”,即或2,于是；事件=“第二次摸到紅球”,即或2,于是.同理,有,,,.（2）因為,所以事件包含事件R；因為,所以事件R與事件G互斥；因為,,所以事件M與事件N互為對立事件.（3）因為,所以事件M是事件R與事件G的并事件；因為,所以事件R是事件與事件的交事件.【典例18】在擲骰子的試驗中，可以定義許多事件．例如，事件C1＝{出現(xiàn)1點}，事件C2＝{出現(xiàn)2點}，事件C3＝{出現(xiàn)3點}，事件C4＝{出現(xiàn)4點}，事件C5＝{出現(xiàn)5點}，事件C6＝{出現(xiàn)6點}，事件D1＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于1}，事件D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}，事件D3＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于5}，事件E＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于7}，事件F＝{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}，事件G＝{出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)}，請根據(jù)上述定義的事件，回答下列問題：(1)請舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件；(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件．【答案】（1）見解析；（2）事件D2，D3，E，F(xiàn)，G為和事件.【解析】(1)若事件C1，C2，C3，C4發(fā)生，則事件D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.同理可得，事件D2包含事件C4，C5，C6；事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.易知事件C1與事件D1相等，即C1＝D1.(2)因為事件D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點或出現(xiàn)5點或出現(xiàn)6點}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.故事件D2，D3，E，F(xiàn)，G為和事件．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．一個射手進行一次射擊，事件A:命中環(huán)數(shù)大于8;事件B:命中環(huán)數(shù)大于5，則（

）A．A與B是互斥事件 B．A與B是對立事件C．A?B D．A?B【答案】C【解析】【分析】列出事件、的樣本點，即可判斷；【詳解】解：事件A:命中環(huán)數(shù)大于8即命中9或10環(huán);事件B:命中環(huán)數(shù)大于5即命中6或7或8或9或10環(huán)，故A?B.故選：C2.從1，2，3，…，7這7個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中：①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù).上述事件中，是對立事件的是（

）A．① B．②④ C．③ D．①③【答案】C【解析】【分析】列舉出從1~7中任取兩個數(shù)根據(jù)取到數(shù)的奇偶性可共有三件事件：“兩個都是奇數(shù)”“一奇一偶”“兩個都是偶數(shù)”，再由對立事件的定義即可得出選項.【詳解】解析：③中“至少有一個是奇數(shù)”即“兩個奇數(shù)或一奇一偶”，而從1~7中任取兩個數(shù)根據(jù)取到數(shù)的奇偶性可認(rèn)為共有三件事件：“兩個都是奇數(shù)”“一奇一偶”“兩個都是偶數(shù)”，故“至少有一個是奇數(shù)”與“兩個都是偶數(shù)”是對立事件，其余都不是對立事件.故選：C3.從一批產(chǎn)品(既有正品也有次品)中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A={三件產(chǎn)品全不是次品}，B={三件產(chǎn)品全是次品}，C={三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品}，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．A與C互斥 B．B與C互斥C．任何兩個都互斥 D．任何兩個都不互斥【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的定義進行判斷即可【詳解】由題意知事件A，B，C兩兩不可能同時發(fā)生，因此兩兩互斥.故答案選：D4.打靶次，事件表示“擊中發(fā)”，其中、、、.那么表示（

）A．全部擊中 B．至少擊中發(fā)C．至少擊中發(fā) D．以上均不正確【答案】B【解析】【分析】利用并事件的定義可得出結(jié)論.【詳解】所表示的含義是、、這三個事件中至少有一個發(fā)生，即可能擊中發(fā)、發(fā)或發(fā).故選：B.5.某產(chǎn)品分為甲、乙、丙三級，其中甲級為正品，乙、丙兩級均屬次品．從等級分別為甲、乙、丙的三件產(chǎn)品中任取一件，抽到甲、乙、丙三級產(chǎn)品分別為事件A，B，C，則抽得次品為（

）A．A B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)事件的運算逐個判斷即可.【詳解】事件A為抽到一件正品，故A錯誤.事件為抽到乙的反面，即抽到正品，故B錯誤.事件為抽到丙的反面，即抽到正品，故C錯誤.事件為抽取甲級產(chǎn)品的反面，即抽到次品，故D正確.故選：D.6.從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（

）A．至少有一個白球與都是紅球 B．恰好有一個白球與都是紅球C．至少有一個白球與都是白球 D．至少有一個白球與至少一個紅球【答案】B【解析】【分析】列舉每個事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可.【詳解】解：對于A，事件：“至少有一個白球”與事件：“都是紅球”不能同時發(fā)生，但是對立，故A錯誤；對于B，事件：“恰好有一個白球”與事件：“都是紅球”不能同時發(fā)生，但從口袋內(nèi)任取兩個球時還有可能是兩個都是白球，所以兩個事件互斥而不對立，故B正確；對于C，事件：“至少有一個白球”與事件：“都是白球”可以同時發(fā)生，所以這兩個事件不是互斥的，故C錯誤；對于D，事件：“至少有一個白球”與事件：“至少一個紅球”可以同時發(fā)生，即“一個白球，一個紅球”，所以這兩個事件不是互斥的，故D錯誤.故選：B.7.某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列各對事件中是互斥事件的有（

）①恰有一名男生和全是男生；②至少有一名男生和至少有一名女生；③至少有一名男生和全是男生；④至少有一名男生和全是女生.A．①③④ B．②③④ C．②③ D．①④【答案】D【解析】【分析】按互斥事件的概念逐個判斷即可.【詳解】由互斥事件的概念可知，①④中的兩個事件是互斥事件，②③兩個事件不是互斥事件.故選：D.【點睛】本題主要考查利用互斥事件的概念判斷兩個事件是否互斥，屬基礎(chǔ)題.8.拋擲一枚骰子，“向上的點數(shù)是1或2”為事件，“向上的點數(shù)是2或3”為事件，則（

）A．B．C．表示向上的點數(shù)是1或2或3D．表示向上的點數(shù)是1或2或3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，可得，求得，即可求解．【詳解】由題意，可知，則，∴表示向上的點數(shù)為1或2或3．故選：C.【點睛】本題主要考查了隨機事件的概念及其應(yīng)用，其中解答中正確理解拋擲一枚骰子得到基本事件的個數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9.把電影院的4張電影票隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得4排1號”與事件“乙分得4排1號”是（

）A．對立事件 B．不可能事件 C．互斥但不對立事件 D．以上答案都不對【答案】C【解析】【分析】事件“甲分得4排1號”與事件“乙分得4排1號”不可能同時發(fā)生，故它們是互斥事件.事件“甲分得4排1號”與事件“乙分得4排1號”可能都不發(fā)生，故它們不是對立事件.【詳解】由題意知，事件“甲分得4排1號”與事件“乙分得4排1號”不可能同時發(fā)生.由互斥事件的定義可知，它們是互斥事件.又事件“丙分得4排1號”與事件“丁分得4排1號”其中一個可能發(fā)生，即事件“甲分得4排1號”與事件“乙分得4排1號”可能都不發(fā)生.由對立事件的定義知，它們不是對立事件.故選：.【點睛】本題考查互斥事件和對立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題.10.甲、乙兩個元件構(gòu)成一串聯(lián)電路，設(shè)=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，則表示電路故障的事件為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，可知串聯(lián)電路中，甲元件故障或者乙元件故障，都會造成電路故障，根據(jù)并事件的定義，即可得出答案.【詳解】解：由題意知，甲、乙兩個元件構(gòu)成一串聯(lián)電路，=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，根據(jù)串聯(lián)電路可知，甲元件故障或者乙元件故障，都會造成電路故障，所以電路故障的事件為：.故選：A.【點睛】本題考查對并事件的理解，屬于基礎(chǔ)題.11.從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字中任取兩個數(shù)，分別有下列事件：①恰有一個是奇數(shù)和恰有一個是偶數(shù)；②至少有一個是奇數(shù)和兩個數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個是奇數(shù)和兩個數(shù)都是偶數(shù)；④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù).其中，為互斥事件的是（

）A．① B．②④ C．③ D．①③【答案】C【解析】根據(jù)互斥事件的定義，逐一分析四個答案中的兩個事件的關(guān)系，可得答案.【詳解】①恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù)是相同的事件，故①不是互斥事件；②至少有一個是奇數(shù)包含兩個數(shù)都是奇數(shù)的情況，故②不是互斥事件；③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)不能同時發(fā)生，故③是互斥事件；④至少有一個是奇數(shù)和至少有一-個是偶數(shù)可以同時發(fā)生，故④不是互斥事件.故選：.【點睛】本題考查互斥事件的判斷，解題時要認(rèn)真審題，是基礎(chǔ)題.12.口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次取出2張卡片，給出以下事件：①2張卡片都不是紅色；

②2張卡片中恰有1張紅色；③2張卡片中至少有1張紅色；

④2張卡片都為綠色.其中與事件“2張卡片都為紅色”互斥但不對立的事件是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【解析】根據(jù)互斥與對立事件的定義,分析所有的基本事件再逐個辨析即可.【詳解】從6張卡片中一次取出2張卡片的所有情況有“2張都為紅色”“2張都為綠色”“2張都為藍色”“1張紅色、1張綠色”“1張紅色、1張藍色”“1張綠色、1張藍色”,則給出的事件中,與事件“2張卡片都為紅色”互斥但不對立的事件為“2張卡片都不是紅色”“2張卡片中恰有1張紅色”“2張卡片都為綠色”,即①②④滿足條件.故選：A【點睛】本題主要考查了互斥與對立事件的辨析,屬于基礎(chǔ)題.13.某產(chǎn)品外為甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，從等級為甲、乙、丙的三件產(chǎn)品中任取一件，抽到甲、乙、丙三級產(chǎn)品分別為事件A、B、C，則抽取一件抽得次品為（

）A．A B．BC C． D．【答案】D【解析】根據(jù)事件的運算逐個判斷即可.【詳解】事件A為抽到一件正品,故A錯誤.事件BC為同時抽到BC,不滿足題意,故B錯誤.事件為抽到丙的反面,故C錯誤.事件為抽取甲級產(chǎn)品的反面,即抽到次品,故D正確.故選：D.【點睛】本題主要考查了對事件及其運算的理解,屬于基礎(chǔ)題型.14.一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品.并給出以下結(jié)論：①；②是必然事件；③；④.其中正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②③【答案】A【解析】根據(jù)事件的關(guān)系逐個判斷即可.【詳解】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正確；事件,③不正確；事件：至少有兩件次品或至多有一件次品,包括了所有情況,所以②正確；事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正確.故選：A【點睛】本題主要考查了事件的基本關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題型.題組B能力提升練1.（多選題）若甲、乙、丙三個人站成一排，則下列是互斥事件的有（

）A．“甲站排頭”與“乙站排頭”B．“甲站排頭”與“乙不站排尾”C．“甲不站排頭和排尾”與“乙不站排頭和排尾”D．“甲站排頭”與“乙站排尾”【答案】AC【解析】【分析】把“甲乙丙三個人站成一排”按照“排頭、排中，排尾”進行分類，結(jié)合互斥事件的概念，即可求解.【詳解】按照站排頭可分為三種情況：甲在排頭、乙在排頭、丙在排頭，所以A正確，B錯誤；“甲不站排頭和排尾”與“乙不站排頭和排尾”等價于“甲站排中”與“乙站排中”是互斥的，所以C正確；“甲站排頭”包括“乙站排尾”，所以D錯誤.故選：AC.2.(多選題)拋擲一枚骰子，觀察擲出的點數(shù)，設(shè)事件A＝{出現(xiàn)奇數(shù)點}，事件B＝{出現(xiàn)2點}，事件C＝{出現(xiàn)奇數(shù)點或2點}，則下列成立的是（

）A．A?C B．A∩B＝?C．A∪B＝C D．B∩C＝?【答案】ABC【解析】【分析】寫出事件，判斷即可.【詳解】{出現(xiàn)點數(shù)為1,3,5}，{出現(xiàn)2點}，{出現(xiàn)點數(shù)為1,2,3,5}.所以，，，.所以選項A、B、C正確，選項D不正確．故選：ABC.3.(多選題)下列結(jié)論正確的有（）A．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，恰有一個黑球與至少有一個紅球不是互斥事件B．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在時結(jié)冰為隨機事件C．若一組數(shù)據(jù)，，，的眾數(shù)是，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為D．某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為的樣本進行調(diào)查.若該校一、二、三、四年級本科生人數(shù)之比為，則應(yīng)從四年級中抽取名學(xué)生【答案】AD【解析】A.分別寫出兩個事件，根據(jù)互斥事件的概念判斷；B.根據(jù)自然知識之間判斷選項；C.根據(jù)眾數(shù)和平均數(shù)公式計算結(jié)果；D.根據(jù)分層抽樣的計算公式，計算結(jié)果.【詳解】A.恰有一個黑球包含的事件是“一黑一紅”，至少有一個紅球包含的事件是“一紅一黑”和“兩個紅球”，兩個事件有公共事件，所以不是互斥事件，故A正確；B．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在時結(jié)冰為不可能事件，故B不正確C.眾數(shù)是2，所以，平均數(shù)，故C不正確；D.由條件可知名學(xué)生，故D正確.故選：AD4.(多選題)設(shè)，，為三個事件，下列各式意義表述正確的是（）A．表示事件不發(fā)生且事件和事件同時發(fā)生 B．表示事件，，中至少有一個沒發(fā)生 C．表示事件，至少有一個發(fā)生 D．表示事件，，恰有一個發(fā)生【答案】ACD【解答】根據(jù)題意，依次分析選項：對于，表示事件不發(fā)生且事件和事件同時發(fā)生，正確，對于，表示事件、、至少一個發(fā)生，則表示事件都沒有發(fā)生，錯誤，對于，表示事件，至少有一個發(fā)生，正確，對于，表示事件、不發(fā)生且事件發(fā)生，事件、不發(fā)生且事件發(fā)生，事件、不發(fā)生且事件發(fā)生，則表示事件，，恰有一個發(fā)生，故選：ACD．5.(多選題)不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件有（

）A．2張卡片不全為紅色 B．2張卡片恰有一張紅色C．2張卡片至少有一張紅色 D．2張卡片都為綠色【答案】BD【解析】【分析】本題先寫出所有情況：“2張都為紅色”、“2張都為綠色”、“2張都為藍色”、“1張為紅色1張為綠色”、“1張為紅色1張為藍色”、“1張為綠色1張為藍色”，再根據(jù)選項選擇互斥而不對立的事件即可.【詳解】6張卡片中一次取出2張卡片的所有情況有：“2張都為紅色”、“2張都為綠色”、“2張都為藍色”、“1張為紅色1張為綠色”、“1張為紅色1張為藍色”、“1張為綠色1張為藍色”，選項中給出的四個事件中與“2張都為紅色”互斥而非對立“2張恰有一張紅色”“2張都為綠色”，其中“2張至少一張為紅色”包含事件是“2張都為紅色”二者并非互斥，“2張不全為紅色”是對立事件．故選：BD.【點睛】本題考查互斥事件、對立事件.6.一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個事件:事件A:恰有一件次品.事件B:至少有兩件次品.事件C:至少有一件次品.事件D:至多有一件次品.并給出以下結(jié)論:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.其中正確結(jié)論的序號是__________.【答案】①②【解析】【分析】由并事件與交事件的概念逐個分析判斷即可【詳解】事件A∪B:至少有一件次品，即事件C，所以①正確;事件A∩B=?，③不正確;事件D∪B:至少有兩件次品或至多有一件次品，包括了所有情況，所以②正確;事件A∩D:恰有一件次品，即事件A，所以④不正確.故答案為：①②C培優(yōu)拔尖練1.擲一枚骰子，下列事件：A=“出現(xiàn)奇數(shù)點”，B=“出現(xiàn)偶數(shù)點”，C=“點數(shù)小于3”，D=“點數(shù)大于2”，E=“點數(shù)是3倍數(shù)”.求：（1）A∩B，BC；（2）A∪B，B+C；（3）記為事件H的對立事件，求.【答案】（1）A∩B=，BC={2}；（2）A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}；（3）={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.【解析】【分析】（1）A∩B表示同時發(fā)生，BC表示同時發(fā)生；（2）A∪B表示至少有一個事件發(fā)生，表示至少有一個事件發(fā)生；（3）表示的對立事件；等價于同時發(fā)生；等價于至少有一個事件發(fā)生；等價于的對立事件與的對立事件至少有一個事件發(fā)生.【詳解】∵，，，，∴，，，∴（1）A∩B=，BC={2}；（2）A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}；（3）={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.2.從40張撲克牌(紅桃?黑桃?方塊?梅花，點數(shù)從1~10各1張)中，任取一張.（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”.判斷上面給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由.【答案】（1）是互斥事件，不是對立事件，理由見解析；（2）既是互斥事件，又是對立事件，理由見解析；（3）不是互斥事件，也不是對立事件，理由見解析.【解析】【分析】利用互斥事件和對立事件的定義分別判斷即可【詳解】（1）是互斥事件，不是對立事件.理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件.同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件.（2）既是互斥事件，又是對立事件.理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個事件不可能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件.（3）不是互斥事件，也不是對立事件.理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得牌點數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件.3.某連鎖火鍋城開業(yè)之際，為吸引更多的消費者，開展抽獎活動，前20位顧客可參加如下活動：搖動如圖所示的游戲轉(zhuǎn)盤(上面扇形的圓心角都相等)，顧客可以免費獲得按照指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字10倍金額的店內(nèi)菜品或飲品，最高120元，每人只能參加一次這個活動．記事件A：“獲得不多于30元菜品或飲品”．（1）求事件A包含的基本事件；（2）寫出事件A的對立事件，以及一個事件A的互斥事件．【答案】（1）{獲得10元菜品或飲品}，{獲得20元菜品或飲品}，{獲得30元菜品或飲品}；（2）事件A的對立事件是＝“獲得多于30元但不多于120元菜品或飲品”，事件A的一個互斥事件為：“獲得40元菜品或飲品”(答案不唯一)．【解析】【分析】（1）金額不多于30元的有10元，20元，30元三種；（2）除10元，20元，30元三種外的所有可能放在一起，即金額多于30元且不多于120元，其中任何一個或幾個組成的事件都是與事件A互斥．【詳解】（1）事件A包含的基本事件有：{獲得10元菜品或飲品}，{獲得20元菜品或飲品}，{獲得30元菜品或飲品}；（2）事件A是獲得不多于30元菜品或飲品，它的對立事件獲得多于30元但不多于120元的菜品或飲品，即＝“獲得多于30元但不多于120元菜品或飲品”，在獲利的菜品或飲品不多于120元且多于30元中的任何一個都是與事件A互斥，如事件A的一個互斥事件為：“獲得40元菜品或飲品”．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查互斥事件作對立事件的定義，掌握它們的定義是解題關(guān)鍵．對立事件是非此即彼的關(guān)系，互斥事件是不同發(fā)生的事件，但它們都包含在所研究的事件空間中．4.用紅、黃、藍三