2018-2023年高考數(shù)學真題匯編：函數(shù)的應用（附答案解析）

2018-2023年高考數(shù)學真題知識點分類匯編：函數(shù)的應用

選擇題（共12小題）

COS（2兀χ-2兀a）x<a

1.（2021?天津）設OCR,函數(shù)/（x）=\，若函數(shù)/（x）在

.X2-2（a+l）x+a2+5x≥a

區(qū)間（0,+8）內(nèi)恰有6個零點，則”的取值范圍是（）

A.(2,?U($,?B.(工,2]U(?,?

424424

C.(2,?U[lλ,3)D.(工,2)U[lλ,3)

4444

2.（2021?北京）某一時段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水

平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：機機）.24〃降雨量的等級劃分如下:

等級24〃降雨量（精確到0.1）

..........

小雨0.1-9.9

中雨10.0-24.9

大雨25.0-49.9

暴雨50.0-99.9

..........

在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200〃〃"，高為300〃"〃的圓錐形雨量器.

若一次降雨過程中，該雨量器收集的24%的雨水高度是150〃?"？（如圖所示），則這24力

降雨量的等級是（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

3.（2021?甲卷）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用

第1頁（共39頁）

五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)產(chǎn)滿

足Z=5+∕g匕已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)

據(jù)約為()(1Vio七1.259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

’3?∩

4.(2020?天津)已知函數(shù)/(x)=JX'XbU，若函數(shù)g(χ)=f(x)-∣A√-2χ∣(?∈R)

-X,x<0.

恰有4個零點，則上的取值范圍是()

A.(-8,-?)U(2√2)+8)B.(-8,-?)U(0,2√2)

22

C.(-∞,0)U(0,2√2)D.(-∞,0)U(2√2.+8)

5.(2020?山東)基本再生數(shù)R)與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)

指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺

炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/(/)=/描述累計感染病例數(shù)/C)隨時間f(單

位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率『與Ho,T近似滿足Ro=I+".有學者基于已有數(shù)據(jù)

估計出Ro=3.28,T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需

要的時間約為()(∕∏2≈O.69)

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

6.(2019?新課標∏)設函數(shù)/G)的定義域為R,滿足/(x+l)=2fCx)f且當x∈(0,1]

時，/(x)=X(X-1).若對任意XC(-8,機],都有/(χ)>-?,則WJ的取值范圍

是()

A.(-∞,?B.(-∞,工]C.(-8,旦D.(-8,?]

4323

7.(2019?新課標HI)函數(shù)/(x)=2Sitlr-Sin2x在[0,2π]的零點個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

f2?[x,0≤x≤1,

8.(2019?天津)已知函數(shù)/(x)=11、若關(guān)于X的方程/(x)=-L+α

一,x>1.4

IX

(a∈R)恰有兩個互異的實數(shù)解，則α的取值范圍為()

A.[?,?B.(?,?

c(]u{1},卻⑴

4444?flDG

9.(2019?新課標∏)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟

著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)

第2頁(共39頁)

問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲

橋沿著圍繞地月拉格朗日C2點的軌道運行.上點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設

地球質(zhì)量為Ml,月球質(zhì)量為"2,地月距離為心〃點到月球的距離為廠，根據(jù)牛頓運動

MMM

定律和萬有引力定律，廠滿足方程：——+-4=(R+r)-4-.

(R-??)2r2R3

345

設α=工.由于a的值很小，因此在近似計算中a。_±3a..：a..~33,則『的近似值

tχ

R(l+a)2

為()

(M7ΠΓ-O[3M7of‰^

A..?-RB.,—≤-/?C.?―JRD.力一JR

M?2M1?M1y3Mi

'x,x<C0,

10.(2019?浙江)設a,?∈R,函數(shù)/(x)=Ilq1,s9、八若函數(shù)y

yx3-y(a+l)x2+ax,x>0.，

=∕(x)-QX-b恰有3個零點，則()

A.a<-1,?<0B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0D.a>-1,?>0

11.(2018?新課標I)設函數(shù)/(x)=I2X，x<0,則滿足/(X+1)</(2x)的X的取

1?x>0

值范圍是()

A.(-∞,-1]B.(0,+8)C.(-L0)D.(-8,0)

θ

12.(2018?新課標I)已知函數(shù)f(X)=<'''°,g(χ)-J-(X)+χ+a.若g(X)

lnx,x>0

存在2個零點，則a的取值范圍是()

A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)

二.填空題(共13小題)

Iog(x+l)>x>0

13.(2023?上海)已知函數(shù)/(x)=2'x+l,且g(x)=J92,則方程g

.f(-χ),X<O

(x)—2的解為.

14.(2022?天津)設aCR,對任意實數(shù)x,記/(x)=min{?x?-2,x2-ax+3a-5}.若f(x)

至少有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為

第3頁(共39頁)

a2χ-1x<O

15.(2022?上海)若函數(shù)/(x)=<χ+ax>0>為奇函數(shù)，求參數(shù)〃的值為

,0X=O

-X2+2,x≤1,

16.(2022?浙江)己知函數(shù)/(x)=(?則/(/(1))=______；若當Xaα,

X÷JL-1>X>1?2

X

句時，Ig(X)≤3,貝IJb-α的最大值是.

17.(2020?上海)設α∈R,若存在定義域為R的函數(shù)/(x)同時滿足下列兩個條件：

(1)對任意的XoeR，f(xo)的值為Xo或x()2；

(2)關(guān)于X的方程/(x)=α無實數(shù)解，

則a的取值范圍是.

18.(2019?上海)已知/(x)=|2-旬(χ>1,α>0),f(x)與X軸交點為4,若對于/

X-I

(x)圖象上任意一點P,在其圖象上總存在另一點0(尸、。異于/),滿足

且MPl=I4。|,貝!∣α=.

19.(2019?江蘇)設/(x),g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù)，/(x)的周期為4,g(X)

的周期為2,且f(x)是奇函數(shù).當Xe(0,2］時，/(x)=χ-l)''g(X)=

k(X+2)?0<x<l,

-1其中4>0.若在區(qū)間(0,9］上，關(guān)于X的方程/(x)=g(x)

因

有8個不同的實數(shù)根，則人的取值范圍是.

T2+2aX+aQ

20.(2018?天津)已知α>0,函數(shù)/(x)=.'.若關(guān)于X的方程/(x)

-χ2+2aχ-2a,x〉0

=αx恰有2個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍是.

21.(2018?新課標In)函數(shù)/(x)=Cos(3x+2L)在［0,用的零點個數(shù)為.

6

22.(2018?浙江)我國古代數(shù)學著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢

五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一.凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”

x+y+z=100

設雞翁，雞母，雞雛個數(shù)分別為x,y,z,貝41,當z=8l時，x=_______,

5x+3y+-τ-z=100

O

y=-

2

23.(2018?新課標I)已知函數(shù)/(x)=Iog2(x+a),若/(3)=1,則α=.

第4頁(共39頁)

'χ-4,x》λ

24.(2018?浙江)已知入CR,函數(shù)/(x)=JC，當入=2時，不等式/G)

lχ2-4x+3,X<λ

Vo的解集是,若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則人的取值范圍是.

25.(2018?上海)設.>0,函數(shù)/(X)=x+2(1-x)sin(ax),x∈(0,1),若函數(shù)y=2x

-1與y=∕(x)的圖象有且僅有兩個不同的公共點，則α的取值范圍是

=.解答題(共6小題)

F

26.(2023?上海)為了節(jié)能環(huán)保、節(jié)約材料，定義建筑物的“體形系數(shù)"S=―上，其中FO

vo

為建筑物暴露在空氣中的面積(單位：平方米)，匕為建筑物的體積(單位：立方米).

(1)若有一個圓柱體建筑的底面半徑為尺高度為“，暴露在空氣中的部分為上底面和

側(cè)面，試求該建筑體的“體形系數(shù)”S；(結(jié)果用含我、，的代數(shù)式表示)

τ2

(2)定義建筑物的“形狀因子”為f=J其中/為建筑物底面面積，L為建筑物底面

A

周長，又定義T為總建筑面積，即為每層建筑面積之和(每層建筑面積為每一層的底面

面積).設〃為某宿舍樓的層數(shù)，層高為3米，則可以推導出該宿舍樓的“體形系數(shù)”為

S=J早+《一?當/=18,7=10000時，試求當該宿舍樓的層數(shù)〃為多少時.，”體形系

數(shù)”S最小.

27.(2022?乙卷)已知函數(shù)/(x)—In(l+x)+axex.

(1)當。=1時，求曲線y=/(x)在點(0,/(O))處的切線方程；

(2)若/(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+8)各恰有一個零點，求α的取值范圍.

28.(2022?上海)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,現(xiàn)有兩種對/(x)變換的操作：(P變換：

f(χ)-f(χ-r)；3變換：If(x+f)-f(%)|,其中f為大于0的常數(shù).

(1)設/(x)-2x,t-?,g(x)為/(x)做φ變換后的結(jié)果，解方程：g(X)=2：

(2)設/(x)—X2,h(x)為/(x)做3變換后的結(jié)果，解不等式：f(x)(%)；

(3)設/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，/(x)先做φ變換后得到"(x),u(x)再做

3變換后得到用(x);/(x)先做3變換后得到V(x),V(X)再做φ變換后得到/72(X).若

Al(x)=比(X)恒成立，證明：函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增.

29.(2021?上海)已知一企業(yè)今年第一季度的營業(yè)額為1.1億元，往后每個季度增加0.05

億元，第一季度的利潤為0.16億元，往后每一季度比前一季度增長4%.

(1)求今年起的前20個季度的總營業(yè)額；

第5頁(共39頁)

(2)請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%?

30.(2020?上海)在研究某市交通情況時，道路密度是指該路段上一定時間內(nèi)通過的車輛數(shù)

除以時間，車輛密度是該路段一定

時間內(nèi)通過的車輛數(shù)除以該路段的長度，現(xiàn)定義交通流量為V=旦，X為道路密度，q為

X

'_80_

車輛密度，交通流量f(X)=<100-135?g)X，0<x<40

-k(χ-40)+85,40≤x≤80

(1)若交通流量u>95,求道路密度X的取值范圍；

(2)已知道路密度x=80時，測得交通流量v=50,求車輛密度q的最大值.

31.(2020?新課標I)已知函數(shù)/(x)=∣3A÷1∣-2∣X-1|.

(1)畫出N=∕^(x)的圖象；

(2)求不等式/(x)>∕(r+l)的解集.

第6頁(共39頁)

2018-2023年高考數(shù)學真題知識點分類匯編：函數(shù)的應用

參考答案與試題解析

一.選擇題(共12小題)

COS(2兀χ-2兀a)x<a

I.(2021?天津)設《€R,函數(shù)/(x)={,若函數(shù)/(x)在

,x2-2(a+l)x+a'+5x≥a

區(qū)間（0,+8）內(nèi)恰有6個零點，則”的取值范圍是（）

A.(2,?U($,-??.]B.(?,2]U(Σ,.?l]

424424

C.(2,?U[11,3)D.(L2)U[-?l,3)

4444

【考點】分段函數(shù)的應用.

【專題】函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學抽象.

【分析】分x<α,Xea兩種情況討論，當XVa時，且時，/?）有4個零

點，/（X）有5個零點，與L<χ4苧，/（χ）有6個零點，當x>“時，

即2VaW$,/（x）有兩個零點，當-2α+5<0時，即q>?∑,/（X）有1個零點，當a

22

=2時，/（x）有一個零點，綜合兩種情況，即可求解.

【解答】解：?.?∕（x）在區(qū)間（0,+8）內(nèi)恰有6個零點

又；二次函數(shù)最多有兩個零點，

當X<<7時，/（X）=0至少有四個根，

V/（x）=COS（2πχ-2ιτα）=cos[2π（X-4）],

Ir

令/（X）=0,即2兀（x-a）h^-+k兀AeZ,

XVxe(0,+∞),

?0≤^^+^^+a≤a,即9，

①當XVa時,-5≤-2α-∕<-4,/(X)有4個零點，BP∑<a≤-θ,

-6≤-2a--^-?≤-5>f(χ)有5個零點，即[■<

244

第7頁（共39頁）

^7W-2a--<-6,f(X)有6個零點，即a^--r^,

244

②當x》a時，f(x)-X2-2(α+l)x+a2+5.

Λ?=?2-4αc=4(α+l)2-4(α2+5)=8α-16=0,解得a=2,

當α<2時，△<0,y(X)無零點,

當α=2時，A=0,7(X)有1個零點，

當a>2時，f(α)—a2-2a(α+l)+a2+5--2a+5,

V∕(x)的對稱軸x=α+l,即/(α)在對稱軸的左邊，

.?.當-2α+520時，即2<a≤-∣,/(x)有兩個零點，

當-2α+5<0時，即ɑ>-∣.,f(x)有1個零點，

綜合①②可得，若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)恰有6個零點，則需滿足:

l<<A2<<ll

aa∩1?廣j?

4%444或4<a<4,

或,

2<a^ya>^∣^或a=2a<2

解得“e(2,且U(?,?.

424

故選：A.

【點評】本題考查了余弦函數(shù)和二次函數(shù)，需要學生掌握分類討論的思想，且本題綜合

性強，屬于難題.

2.(2021?北京)某一時段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水

平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量(單位：，〃〃?).24〃降雨量的等級劃分如下:

等級24〃降雨量(精確到0.1)

..........

小雨0.1~9.9

中雨10.0—24.9

大雨25.0-49.9

暴雨50.0—99.9

..........

在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200""〃，高為300""〃的圓錐形雨量器.

第8頁(共39頁)

若一次降雨過程中，該雨量器收集的24〃的雨水高度是150〃"〃（如圖所示），則這24〃

降雨量的等級是（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】利用圓錐內(nèi)積水的高度是圓錐總高度的一半，求出圓錐內(nèi)積水部分的半徑，求

出圓錐的體積，求出平面上積水的厚度，由題意即可得到答案.

【解答】解：圓錐的體積為g∣Sh[r2兀h，

因為圓錐內(nèi)積水的高度是圓錐總高度的一半，

所以圓錐內(nèi)積水部分的半徑為3×-i-×200=50WW,

將r=50,/1=150代入公式可得P=125000π（mm3）,

圖上定義的是平地上積水的厚度，即平地上積水的高，

平底上積水的體積為M=S〃，且對于這一塊平地的面積，即為圓錐底面圓的面積，

所以S=兀.弓X200）2=10000兀（加2），

則平地上積水的厚度〃=125000兀=（OTWJ）,

10000πU'Q

因為10<12.5<25,

由題意可知，這一天的雨水屬于中雨.

故選：B.

【點評】本題考查了空間幾何體在實際生活中的應用，解題的關(guān)鍵是掌握錐體和柱體體

積公式的應用，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于中檔題.

3.（2021?甲卷）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用

五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)乙和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)/滿

第9頁（共39頁）

足L=5+∕g%已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)

據(jù)約為()(1Vio≈?1.259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】應用題：方程思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【分析】把L=4.9代入L=5+∕gk中，直接求解即可.

【解答】解：在Z=5+∕gk中，￡=4.9,所以4.9=5+∕g%BPIgV=-0.L

解得r≈ιoo?'=——T-T-=------=——=——QO.8,

100?11‰1.259

所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.

故選：C.

【點評】本題考查了對數(shù)與指數(shù)的互化問題，也考查了運算求解能力，是基礎題.

3

4.(2020?天津)已知函數(shù)/(x)=,若函數(shù)g(x)=/(X)-∣AX2-2%∣(?∈R)

-X,x<0.

恰有4個零點，則左的取值范圍是()

A.(-8,--L)U(2^2,+8)B.(-8,-?)U(0,2√2)

22

C.(-8,0)U(0,2√2)D.(-∞,0)U(2√2,+8)

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】數(shù)形結(jié)合；分類討論；函數(shù)思想;數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；邏輯推理.

【分析】問題轉(zhuǎn)化為/(x)=∣?x2-2x∣有四個根，=＞y=f(%)與y=h(x)=IiX2-2x∣有

四個交點，再分三種情況當Z=O時，當左＜0時，當左＞0時，討論兩個函數(shù)是否能有4

個交點，進而得出左的取值范圍.

【解答】解：若函數(shù)g(x)=/(X)-IfcV2-加(左∈R)恰有4個零點,

則/G)=IAx2-2x∣有四個根，

即y=∕(x)與Cx)=∣Λ√-2x∣有四個交點，

當Z=O時，y—f(x)與y=∣-2x∣=2∣x∣圖象如下:

第10頁(共39頁)

兩圖象只有兩個交點，不符合題意，

當aVO時,y=∣fcc2-2x∣與X軸交于兩點Xl=0,X2=-（x2<x?）

當X=工時，函數(shù)V=-X的函數(shù)值為-工，

kk

所以兩圖象有4個交點，符合題意，

當%>0時，

y=∣?%2-2χ∣與X軸交于兩點χ]=o,X2=-（x2>x↑）

k

在[0,2）內(nèi)兩函數(shù)圖象有兩個交點，所以若有四個交點，

k

只需y=χ3與y=foc2-2X在（2,+8）還有兩個交點，即可,

k

32

即Λ=?X-2X在（2,+∞）還有兩個根，

k

第11頁（共39頁）

即k=x+2在（2,+8）還有兩個根，

Xk

函數(shù)V=X+2N2√L（當且僅當χN?,即X=&時，取等號）,

XX

所以0<2<如，且%>2&,

k

所以%>2&,

綜上所述，k的取值范圍為（-8,O）U（2&,+∞）.

故選：D.

【點評】本題考查函數(shù)的零點，參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵利用分類討論思想，分析函數(shù)的

交點，屬于中檔題.

5.（2020?山東）基本再生數(shù)R）與世代間隔7是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)

指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺

炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/（f）=e”描述累計感染病例數(shù)/C）隨時間f（單

位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率「與火0,7近似滿足RO=I+".有學者基于已有數(shù)據(jù)

估計出Ro=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需

要的時間約為（）（歷280.69）

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)所給模型求得r=0.38,令f=0,求得/,根據(jù)條件可得方程e°?3M=2,然后

第12頁（共39頁）

解出,即可.

3il

【解答】解:把Ro=3.28,7=6代入∕?=1+”,可得廠=0.38,；./⑺=eP,

當/=O時,I(0)=1,則e°?38∕=2,

兩邊取對數(shù)得0.38/=歷2,解得I=ln2/].8.

0.38

故選：B.

【點評】本題考查函數(shù)模型的實際運用，考查學生閱讀理解能力，計算能力，屬于中檔

題.

6.(2019?新課標∏)設函數(shù)[(x)的定義域為R,滿足/(x+l)=Zf(X),且當Xe(0,1]

時，/(x)=X(x-1).若對任意Xe(-8,機],都有/(χ)≥-?,則WJ的取值范圍

是()

A.(-8,旦]B.(-8,?]C.(-8,?]D.(-8,2]

4323

【考點】函數(shù)與方程的綜合運用.

【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應用.

【分析】因為/(x+l)^2f(x),.?.∕(x)=∕(χ-l),分段求解析式，結(jié)合圖象可得.

.?.x∈(1,2]時，X-1∈(0,1],/(x)=2f(χ-?)=2G-I)(X-2)∈[-?,0]；

Λχ∈(2,3]時，X-Ie(b2],/(x)≈2f(χ-l)=4(X-2)(χ-3)∈[-1,0],

第13頁(共39頁)

當x∈(2,3］時，由4(X-2)(X-3)=-反解得X=1或X=

933

若對任意x∈(-∞,m］f都有/'(x)，-旦，則工.

93

故選：B.

【點評】本題考查了函數(shù)與方程的綜合運用，屬中檔題.

7.(2019?新課標In)函數(shù)/(x)=2SinX-Sin2x在［O,2π］的零點個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】計算題；函數(shù)思想；方程思想；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學運算.

【分析】令f(x)=0,得SinX=O或cos%=1,再根據(jù)X的取值范圍，求出零點.

【解答】解：函數(shù)f(X)=2SirLY-Sin2x在［O,2π］的零點個數(shù)，

即方程2sinr-sin2x=0在區(qū)間［O,2π］的根個數(shù)，

即2sinx=sin2x=2sinxcosx在區(qū)間［0,2π］的根個數(shù)，

即SinX=O或cos%=1在區(qū)間［0,2π］的根個數(shù)，

解得X=O或X=TT或%=如.

所以函數(shù)/(x)=2simr-sin2x在［0,2π］的零點個數(shù)為3個.

故選：B.

【點評】本題考查了函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，考查了方程思想，屬于基礎題.

'2A∕X,0≤x≤1,

8.(2019?天津)已知函數(shù)f(x)=11.若關(guān)于X的方程/√x)=-L+α

一,x>1.4

IX

(α∈R)恰有兩個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍為()

A.［?,?B.(§,當C?q,爭3D?生下⑴

4444

【考點】分段函數(shù)的應用.

【專題】函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應用.

【分析】分別作出y=∕(x)和V=-工的圖象，考慮直線經(jīng)過點(1,2)和(1,1)時,

4

有兩個交點，直線與y=工在x>l相切，求得。的值，結(jié)合圖象可得所求范圍.

X

2y∕x,0≤x≤1,

【解答】解：作出函數(shù)/G)=，1、的圖象，

一,x>l.

Ix

第14頁(共39頁)

以及直線V=-亍的圖象，

關(guān)于X的方程/（x）=-L+α（"CR）恰有兩個互異的實數(shù)解,

4

即為V=/（X）和y=-Λχ?+α的圖象有兩個交點，

平移直線V=-亍，考慮直線經(jīng)過點（1,2）和（1,1）時，

有兩個交點，可得α=旦或α=5,

44

考慮直線與V=工在x>l相切，可得“χ-工2=],

由A=°2-l=0,解得α=l（-1舍去），

綜上可得α的范圍是[上，?U{1}.

44

故選：D.

1,

【點評】本題考查分段函數(shù)的運用，注意運用函數(shù)的圖象和平移變換，考查分類討論思

想方法和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

9.（2019?新課標II）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟

著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的?個關(guān)鍵技術(shù)

問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲

橋沿著圍繞地月拉格朗日乙2點的軌道運行.乙2點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設

地球質(zhì)量為Ml,月球質(zhì)量為河2,地月距離為R,上點到月球的距離為廠，根據(jù)牛頓運動

定律和萬有引力定律，尸滿足方程：—+?=（R+r）?.

（R?）2r2R3

ct3ct45

設α=三.由于a的值很小，因此在近似計算于B-t3二a_.3a3,則廠的近似值

R（l+a）2

為（)

第15頁（共39頁）

C.修尺D.瘧農(nóng)

]∣M1y3M1

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學抽象.

【分析】由α=二.推導出絲=3ct-r3a，.儼+"aS,由此能求出口R=

RH1（l+a）2

【解答】解：?.,a=E..?.r=a∕?,

R

MMM

廠滿足方程：——?1-+-?9=(R+r)-41-.

(R-?)2r2R3

+

----?一Γ'HI??MC=(1+工)M?,

2R

1+2-?r

把a4代入，得：--------7'M1-H??M9=(1+a)M，

R(1+a)2?a22

.?.Ja+a)-一L皿=1±±1二L=.jg?33區(qū)毯盟,

a2(ι+a)2(ι+a)21(ι+a)2

”=理2±%也，3a3,

HI(1+a)2

故選：D.

【點評】本題考查點到月球的距離的求法，考查函數(shù)在我國航天事業(yè)中的靈活運用，考

查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查運算求解能力，是中檔題.

'X,x<C0,

10.（2019?浙江）設a,b∈R,函數(shù)/（x）=IIql9、若函數(shù)》

方χ3號（a+l）χ2+ax,x≥0.，

L3乙

=∕（x）-aχ-b恰有3個零點，則（）

A.a<-?,b<0B.a<-?,h>0C.a>-1,?<0D.a>-I,?>0

【考點】函數(shù)與方程的綜合運用.

【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；分類討論；函數(shù)思想；方程思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性

質(zhì)及應用；導數(shù)的綜合應用.

第16頁（共39頁）

【分析】當XVO時?，y=/(X)-QX-6=χ-0r-b=(1-Q)X最多一個零點；當X

20時，y=f(X)-ax-b=-x3-—(a÷l)x1+ax-ax-b=-x3-—(α+I)X2-b,利

3232

用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得.

【解答】解：當x<0時，y=f(%)-ax-b=x-ax-b=(I-Q)X-6=0,得%=—^―；

l-a

y=f(x)-ax-b最多一個零點；

當x^O時，y=f(x)-ax-b=-x3--(α+l)x2+ax-ax-b=-x3-?(。+1)x2-b,

3232

yf=X2-(白+1)X,

當a+l≤0,即aW-1時，y,≥0,y=f(X)-ax-b在［0,+o°)上遞增，y=fCx)-

OX-b最多一個零點.不合題意；

當α+l>0,即α>-l時，令，>0得x∈(a÷l,+ɑ?),函數(shù)遞增，令j√Vo得x∈［0,

ɑ÷l),函數(shù)遞減；函數(shù)最多有2個零點；

根據(jù)題意函數(shù)y=∕(x)-〃X-b恰有3個零點Q函數(shù)y=∕(x)-OX-方在(-8,0)上

有一個零點，在［0,+8)上有2個零點，

如右圖：

'-b>0

Λ-?―<0KJ1QlD,，

l^a不(a+l)3-不(a+l)(a+l)2-b<0

解得6V0,1-α>0,b>-?(α+l)3.

6

Λ-?(α+l)3<b<0,-IVaVl

6

【點評】本題考查了函數(shù)與方程的綜合運用，屬難題.

第17頁(共39頁)

H.(2018?新課標I)設函數(shù)/(x)=J2X，x4°,則滿足/(x+l)<∕(2x)的X的取

1,x>0

值范圍是()

A.(-8,-1]B.(0,+8)C.(-1,0)D.(-8,0)

【考點】分段函數(shù)的應用.

【專題】計算題：數(shù)形結(jié)合：綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用.

【分析】畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：函數(shù)/(x)=I2X，x4°,的圖象如圖：

1,x>0

滿足/(x+l)<∕(2x),

可得：2x<0<x+l或2x<x+lW0,

解得x∈(-8,0).

【點評】本題考查分段函數(shù)的應用，函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的解法，考查計算能力.

12.(2018?新課標I)已知函數(shù)[(X)=<6'x4°,g(X)—f(χ)+χ+a.若g(x)

lnx,x>0

存在2個零點，則α的取值范圍是()

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+∞)

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用.

【分析】由g(x)=0得/(x)=-χ-a,分別作出兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象交點個

第18頁(共39頁)

數(shù)與函數(shù)零點之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：由g(x)=O得/(x)=-X-。，

作出函數(shù)/(x)和N=-X-α的圖象如圖：

當直線V=-X-α的截距-qWl,即“2-1時，兩個函數(shù)的圖象都有2個交點,

即函數(shù)g(%)存在2個零點，

故實數(shù)α的取值范圍是L1,+8),