2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第七章 7-3二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題

§7.3二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題

【考試要求】1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組2了解二元一次不等式的幾何意義，

能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)

題，并能加以解決.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域

不等式表示區(qū)域

Ax+By+OO直線Ar+8），+C=O某一側(cè)所有點(diǎn)不包括邊界

Λv+By+C>0組成的平面區(qū)域包括邊界

不等式組各個(gè)不等式表示的平面區(qū)域的公共部分

2.線性規(guī)劃中的基本概念

名稱(chēng)意義

約束條件由變量X,y組成的不等式（組廠

線性約束條件由X,V的一次不等式（或方程）組成的不等式組

目標(biāo)函數(shù)關(guān)于一），的函數(shù)解析式，如z=2x+3），等

線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于X,y的一次解析式

可行解滿(mǎn)足線性約束條件的解（x,y）

可行域所有可行解組成的集合

最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解

線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

⑴二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的交集.（√）

⑵不等式Ar+8y+O0表示的平面區(qū)域一定在直線Ar+8y+C=O的上方.（X）

（3）點(diǎn)（Xl,yI）,（X2,弊）在直線Ax+8），+C=O同側(cè)的充要條件是（AX1+Byi+C）（Ar2+By2+O>0,

在異側(cè)的充要條件是（AM+Byt+C）（AX2+gy2+C）<O.（√）

（4）目標(biāo)函數(shù)z="x+ay（b≠0）中，z的幾何意義是直線ax+外一z=0在y軸上的截距.（X）

【教材改編題】

1.某校對(duì)高三美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專(zhuān)業(yè)成績(jī)X不低于95分，文化課總分y高于380分,

體育成績(jī)Z超過(guò)45分，用不等式表示就是()

x≥95,XN95,

A.<y2380,B.,y>380,

、z>45、z245

x>95,Q95,

c?y>380,D.<y>380,

、z>45,z>45

答案D

解析“不低于”即，“高于”即“>"，“超過(guò)”即“>”，

.?.x295,y>380,z>45.

χ-y+1<0?

2.不等式組,'八表示的區(qū)域(陰影部分)是()

x+y—3^0

答案D

解析將點(diǎn)(0,0)代入X—y+1<0不成立，

則點(diǎn)(0,0)不在不等式x—y+l<0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，

將點(diǎn)(0,0)代入x+y-320不成立，

則點(diǎn)(0,0)不在不等式x+y-320所表示的平面區(qū)域內(nèi)，

所以表示的平面區(qū)域不包括原點(diǎn)，排除A,C；

χ-y+l<0不包括邊界，用虛線表示，x+)-320包括邊界，用實(shí)線表示，故選D.

x+y—3W0,

3.設(shè)變量x,y滿(mǎn)足約束條件：y2o，則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值為

j20,

答案

解析根據(jù)不等式組作出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示,

9

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)ZZ取最大值為5?

-探究核心題型

題型一二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域

x+yW2,

例1（1）（2022?新鄉(xiāng)模擬）不等式組?2%—表示的平面區(qū)域的面積為

j+1≥o

答案3

解析畫(huà)出可行域，如圖中陰影部分（含邊界）所示，

'x+y=2,x—\,

聯(lián)立解得即A(l,l),

^lχ-y=?,UI=I1,

2χ-y=I,x=0,

聯(lián)立解得,即8(0,-1),

)=7，I,

'χ+y=2,x=3,

聯(lián)立解得即C(3,-1),

尸一I，尸一1，

S?Aβc≈∣×∣3-0∣×∣l-(-l)∣=3.

χ-y÷l》0,

⑵已知不等式組,2χ-γ-2≤0,表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

.x>m

答案（一8,3）

解析根據(jù)題意，先作出不等式細(xì)一表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示,

2χ-j-2≤0

y=2χ-2,

由可得A(3,4),

J=x+?，

要使不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，只需，?lt;3,

所以機(jī)的取值范圍為(-8,3).

【教師備選】

已知點(diǎn)人(3,0),8(—3,2),若直線0r-y-l=O與線段AB總有公共點(diǎn),則a的取值范圍是()

A[fI

B.(-8,—?]Uβ,>+g)

D.(-8,-?U[l,+∞)

答案B

解析因?yàn)橹本€αχ-y-l=O與線段AB總有公共點(diǎn),

所以點(diǎn)A和點(diǎn)B不同在直線的一側(cè)，

所以(3。-0—1)(—3α-^2一1)≤0,

解得α≤-1或α≥∣.

即α的取值范圍是(一8,-1]U1,+8).

思維升華平面區(qū)域的形狀問(wèn)題主要有兩種題型

(1)確定平面區(qū)域的形狀，求解時(shí)先作出滿(mǎn)足條件的平面區(qū)域，然后判斷其形狀.

(2)根據(jù)平面區(qū)域的形狀求解參數(shù)問(wèn)題，求解時(shí)通常先作出滿(mǎn)足條件的平面區(qū)域，但要注意對(duì)

參數(shù)進(jìn)行必要的討論.

尤20,

跟蹤訓(xùn)練1(2022?西安模擬)若不等式組<x+y22,所表示的平面區(qū)域被直線y=fcr+2分

.3x+yW5

成面積相等的兩個(gè)部分，則實(shí)數(shù)Z的值為()

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分（含邊界）所示，B（0,5）,

因?yàn)橹本€y=fcr+2過(guò)定點(diǎn)C（0,2）,

所以C點(diǎn)在可行域內(nèi)，

要使直線y=fcr+2將可行域分成面積相等的兩部分,

則直線y=履+2必過(guò)線段AB的中點(diǎn)D.

x+y=2,

由

.3x+y=5,

3

所以AB的中點(diǎn)4一

將。的坐標(biāo)代入直線y=fcc+2,得卜取+2,解得Z=L

題型二求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題

命題點(diǎn)1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值

x+120,

例2（2021?浙江）若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足約束條件yW0,則Z=X一5的最小值是（）

.2x+3y-l≤0,

A.—2B.—IC.—[D.?jγj

答案B

解析作出可行域如圖中陰影部分（含邊界）所示，作出直線y=2t并平移，數(shù)形結(jié)合可知,

當(dāng)平移后的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)Z取得最小值.

'2x+3y-1=0,A^Ξ=-

得

x+1=0Lv=?.

所以A(—1,1),Zmin=-1-2=一]

命題點(diǎn)2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值

2%—y+220,

例3(1)如果點(diǎn)尸(x,y)在平面區(qū)域<x-2y+l≤0,上，則三1的取值范圍是()

x÷y-2≤0

A.[-2,-gB,-2,—

c[—2,?]?(-?2_

答案A

解析作出點(diǎn)P(x,y)所在的平面區(qū)域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，

√

J

∕2x-y+2=0

X≤+ι=o

x+y-2=O

士表示動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)。(2,—1)連線的斜率.

fχ-2y+l=0,[x=l,

聯(lián)立C八解得

1j

[x+y-2=09b=L

1+1

于?ICQE=]_廣_2,

0+11

%=干二=一5

y+11

0j?-2≤?-i

2χ-y≤0,

(2)若變量無(wú)，y滿(mǎn)足約束條件卜+y-3<0,

則(x—l)2+y2的最小值為()

、x20,

A.1B.,D.2

答案B

解析結(jié)合題意作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,如圖中陰影部分(含邊界)所示,

而（χ-l）2+y2的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與（1,0）的距離的平方，

2

又（1,0）到直線2x—y=0的距離為恐，

4

故1A+γ2的最小值為亍

命題點(diǎn)3求參數(shù)值或取值范圍

X—220,

例4已知fc>0,x,y滿(mǎn)足約束條件,x+y-3≤0,若z=2r+y的最小值為1,則攵等于（）

j2（x—3）,

A.3B.5C.；D./

答案A

解析由不等式組知可行域只能是圖中AABC內(nèi)部陰影部分（含邊界）所示，

x=2

?∣3I,v=?（x-3）

/∣?lΛ+V-3=0

作直線/:2x+y=0,平移直線/,只有當(dāng)/過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z=2v+y取得最小值，

易知B（2,—k）,

Λ4-?=l,解得A=3.

【教師備選】

χ-?NO,

1.（2022?六安模擬）已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足不等式組,y-2N0,則z=2x+y的最大值為（）

,x÷y-5≤0,

A.4B.5C.8D.10

答案C

解析不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分（含邊界）所示，

由z=2x+y,得y=—2x+z,

作出直線y--2x,

向上平移過(guò)點(diǎn)C時(shí)，z=2x+y取得最大值,

?y—2=0,\x=3,

'得即C(3,2),

?[x+y—5=0,Ly=2,

所以z=2x+y的最大值為2X3+2=8.

卜一y+220,

2.已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足不等式(2x+y-5W0,則z=f+V的最大值為_(kāi)_______

Lv≥l.

答案IO

X—y÷2≥0,

解析根據(jù)約束條件?2x+y—5W0,畫(huà)出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示,

Z=X2+)?是指可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)(0,0)之間的距離的平方,

由圖可知，

點(diǎn)尸到原點(diǎn)。的距離的平方最大,

X-y+2=0,

又因?yàn)?/p>

2x÷y-5=0,

即.

卜=3,

所以P(l,3),

故ZmaX=I?+32=10.

x+y^a,

3.設(shè)X,y滿(mǎn)足約束條件且Z=X+ay的最小值為7,則a=

χ-y≤—1>

答案3

解析作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分(含邊界)所示,

..A[2，2/

①當(dāng)a=0時(shí)，A(-；,3),X=Z無(wú)最小值，不滿(mǎn)足題意；

②當(dāng)α<0時(shí)，由z—x+ay得丫=一孑+小

1Z

要使Z最小，則直線V=-)+貫在)，軸上的截距最大，滿(mǎn)足條件的最優(yōu)解不存在;

③當(dāng)α>0時(shí)，由z=x+αy得y=—%+小

由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)4時(shí)直線在y軸上的截距最小，Z最小，此時(shí)，一!》一1，即

1

ll.a—1,a-?-1a-?-2a—1

此時(shí)z=-2-+a?-2-=----2----=7.

即a2+2a-15=0,

解得a=3或。=一5(舍).

思維升華常見(jiàn)的三類(lèi)目標(biāo)函數(shù)

(1)截距型：形如z=ax+by.

(2)距離型：形如Z=(A-cz)2+(y一份2.

(3)斜率型：形如z=^^.

x+y≤3,

跟蹤訓(xùn)練2⑴已知A(l,2),點(diǎn)3(x,y)的坐標(biāo)％,y滿(mǎn)足<2x—y—2W0,則后???的取值

范圍是?

答案[1,5]

CΛ+J≤3,

解析作不等式組y-2≤0,的可行域，如圖中陰影部分（含邊界）所示.

LrN1

設(shè)Z=OAOB,則z=x+2yf

將z=x+2y化為y=~2x~^~29

IZ

由圖象可得，當(dāng)直線），=—>+］過(guò)點(diǎn)A（l,2）時(shí)，z取最大值，最大值為5.

當(dāng)直線y=-5+彳過(guò)點(diǎn)C（1,O）時(shí)，z取最小值，最小值為1.

況?δh的取值范圍是［i,5］.

x÷y-5≤0,

（2）（2022?平頂山模擬）若實(shí)數(shù)X,y滿(mǎn)足約束條件,廠220,則Z=W^?J最小值是

.X—120,

5

答

案-

2

解析作出可行域，如圖中陰影部分（含邊界）所示,

.r+2y+3,2Cy+l)

=x+1=1+l^77「

其中表示可行域內(nèi)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)。（一1，一1）連線的斜率,

尸x+y2—5=0,得Ix=3,

由即C(3,2),

尸2,

由圖可得Imin=?C°=3+]=不

35

所以Zmin=I+2X]='

x+>—2≤0,

⑶（2022?金華模擬）已知X,y滿(mǎn)足<χ-2y-2≤0,若z^y-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,

.2χ-y+2>0,

則α的值為.

答案T或2

解析作出可行域，如圖中陰影部分（含邊界）所示,

作直線/：y-ax=0,在z=y-ax中，y=ax+z,a是斜率，Z是縱截距，直線向上平移，z

增大，

因此要使最大值的最優(yōu)解不唯一，則直線/與AB或AC平行，

所以a=-1或4=2.

題型三實(shí)際生活中的線性規(guī)劃問(wèn)題

例5（2022?新鄉(xiāng)模擬）快遞行業(yè)的高速發(fā)展極大地滿(mǎn)足了人們的購(gòu)物需求，也提供了大量的

就業(yè)崗位，出現(xiàn)了大批快遞員.某快遞公司接到甲、乙兩批快件，基本數(shù)據(jù)如下表：

體積（立方分米/件）重量（千克/件）快遞員工資（元/件）

甲批

20108

快件

乙批

102010

快件

快遞員小馬接受派送任務(wù)，小馬的送貨車(chē)載貨的最大容積為350立方分米，最大載重量為250

千克，小馬一次送貨可獲得的最大工資額為（）

A.150元B.170元

C.180元D.200元

答案B

解析設(shè)一次派送甲批快件X件、乙批快件y件，

"20x+10y≤350,

IoX+20yW250,

則x,y滿(mǎn)足〈x20，

y≥0,

、x,yeN,

2+yW35,

x÷2y≤25,

即〈x≥0,

y20,

<x,y∈N,

小馬派送完畢獲得的工資z=8x+10），（元），

畫(huà)出可行域，如圖中陰影部分（含邊界）所示,

[2x+y=35,

由《ICU解得X=I5,y=5,

[x+2y=25,

所以目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)M（15,5）處取得最大值，

故ZmaX=8X15+10X5=170（元）.

所以小馬一次送貨可獲得的最大工資額為170元.

【教師備選】

某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料

1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品8需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3

個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有

甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)

之和的最大值為（）

A.1800007CB.216000元

C.189000元D.256000元

答案B

解析設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A為X件，產(chǎn)品B為y件，獲利Z元.

,1.5Λ+0.5>'≤150,

x+0.3y≤90,

5x+3)W600,

?X∈N,y∈N,

目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y,

作出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示.

x+0.3v=90

將z=2100x+900,y化為y=

900,

由圖象可得，當(dāng)直線y=—/+盤(pán)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，在)，軸上的截距最大，即Z最大.

x÷0.3>,=90,

聯(lián)立得M(60,100),

.5x+3y=600,

???znm=2100×60+900×100=216OOO(X),

，利潤(rùn)最大為216000元.

思維升華解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟

(1)轉(zhuǎn)化——設(shè)元，寫(xiě)出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題；

(2)求解——解這個(gè)純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問(wèn)題；

(3)作答——將線性規(guī)劃問(wèn)題的答案還原為實(shí)際問(wèn)題的答案.

跟蹤訓(xùn)練3某企業(yè)在“精準(zhǔn)扶貧”行動(dòng)中，決定幫助一貧困山區(qū)將水果運(yùn)出銷(xiāo)售.現(xiàn)有8

輛甲型車(chē)和4輛乙型車(chē)，甲型車(chē)每次最多能運(yùn)6噸且每天能運(yùn)4次，乙型車(chē)每次最多能運(yùn)10

噸且每天能運(yùn)3次，甲型車(chē)每天費(fèi)用320元，乙型車(chē)每天費(fèi)用504元.若需要一天內(nèi)把180

噸水果運(yùn)輸?shù)交疖?chē)站，則通過(guò)合理調(diào)配車(chē)輛，運(yùn)送這批水果的費(fèi)用最少為()

A.2400元B.2560元

C.2816元D.4576TC

答案B

解析設(shè)甲型車(chē)X輛，乙型車(chē)y輛，運(yùn)送這批水果的費(fèi)用為Z元，

,0≤x≤8,

0≤y≤4,

ρι∣∣*

24x+30y2180,

?X∈N,y∈N

目標(biāo)函數(shù)z=320x+504y,

%∈N,y∈N,

O≤x≤8,

作出不等式組<一一所表示的平面區(qū)域，如圖所示的陰影部分（含邊界）.

OWyW4,

?24x+30yN180

作直線320x+504y=0,并平移，結(jié)合實(shí)際情況分析可得當(dāng)直線過(guò)整點(diǎn)(8,0)時(shí)，z取得最小值,

即Zmin=8X320+0X504=2560(元).

課時(shí)精練

C基礎(chǔ)保分練

x—2y+220,

1.將不等式組,'表示的平面區(qū)域記為凡則屬于F的點(diǎn)是()

,x+><0

A.(1,1)B.(-1,1)

C.(-1,-1)D.(1,-1)

答案C

[120,

解析將點(diǎn)(1,1)代入方程組得故不在區(qū)域尸內(nèi)，

[2>0,

將點(diǎn)代入方程組得L卜”故不在區(qū)域F內(nèi)，

lo=o,

]320,

將點(diǎn)(一1,一1)代入方程組得八故在區(qū)域尸內(nèi)，

—2<0,

將點(diǎn)3-D代入方程組得I(O52=0°,,故不在區(qū)域F內(nèi).

x—3W0,

2.（2022?合肥質(zhì)檢）不等式組,χ+y20,圍成的封閉圖形的面積是（）

χ-y^0

A.12B.6C.9D.15

答案C

解析作出可行域，如圖中陰影部分（含邊界）所示,

χ-3=0,

由八得A(3,3),

Ix-y=0

X—3=0,

由?得8(3,-3),

χ+y=θλ

所以可行域的面積為^X3X6=9.

x÷y≥4.

3.（2021?全國(guó)乙卷）若X,y滿(mǎn)足約束條件,x—yW2,則z=3x+y的最小值為（）

jW3,

A.18B.10C.6D.4

答案C

解析方法一（數(shù)形結(jié)合法）作出可行域，如圖中陰影部分（含邊界）所示，作出直線y=-3x,

并平移，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=-3x+z在y軸上的截距最小,

即Z最小.

工x+y=4得,x^=-?,

解方程組,'即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,3）.從而z=3x+y的最小值為3X1+3

J=3,

—6.

方法二（代點(diǎn)比較法）畫(huà)圖易知，題設(shè)不等式組對(duì)應(yīng)的可行域是封閉的三角形區(qū)域，所以只

需要比較三角形區(qū)域三個(gè)頂點(diǎn)處的Z的大小即可.

易知直線x+y=4與y=3的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）,直線x+y=4與χ-y=2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3』），

直線x-y=2與y=3的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5,3）,將這三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入z-3x+y可得Z的值

分別為6,10,18,所以比較可知Zmin=6.

方法三（巧用不等式的性質(zhì)）因?yàn)閤+y24,所以3x+3y?12.①

因?yàn)閥W3,所以一2y2一6.②

于是，由①+②可得3x+3y+（-2y）212+（—?6）,即3x+y26,

當(dāng)且僅當(dāng)x+y=4且y=3,即x=l,y=3時(shí)不等式取等號(hào)，易知此時(shí)不等式χ-yW2成立.

4.不等式（χ-2,y+I）（X+y-3）W0在直角坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域（用陰影部分表示），應(yīng)是下

列圖形中的（）

?x-2y+l=0

D

答案c

χ-2y÷l≥0,x~2y+1≤O,

解析(x—2y+l)(x+y-3)≤0等價(jià)于，Λ+>-3≤0或

320,

即不等式表示的區(qū)域是同時(shí)在兩直線的上方部分或同時(shí)在兩直線的下方部分，只有選項(xiàng)C符

合題意.

x+γ≥O,

5.（2022?長(zhǎng)沙模擬）若居y滿(mǎn)足,LyNO,貝1Jz=2Ly的取值范圍是（）

.x≤1,

A.[0,3]B.[1,3]

C.[-3,0]D.[-3,-1]

答案A

'x+y20,

解析作出，χ-y^O,表示的可行域，如圖中陰影部分（含邊界）所示,

Λ≤l

χ=1,X=1,

聯(lián)立?解得

.x+y=O,J=一

即8(1,-1),

化目標(biāo)函數(shù)z=2χ-y為y=2χ-z,

由圖可知，當(dāng)直線y=2χ-z過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距最大，Z有最小值，為2X0—0

=0；

當(dāng)直線y=2χ-z過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值，為2義1一（-1）=3,

：.z=2x-y的取值范圍是[0,3].

6.一小商販準(zhǔn)備用50元錢(qián)在某批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種小商品，甲每件進(jìn)價(jià)4元，乙每件

進(jìn)價(jià)7元，甲商品每賣(mài)出去1件可賺1元，乙商品每賣(mài)出去1件可賺1.8元.該商販若想獲

取最大收益，則購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為（）

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件

C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

答案D

解析設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別無(wú)，y件，利潤(rùn)為Z元，

∕4x+7yW50,

由題意jz=x+1.8y,

畫(huà)出可行域，如圖中陰影部分（含邊界）所示,

結(jié)合實(shí)際情況，顯然當(dāng)y=-∣x+"經(jīng)過(guò)整點(diǎn)42,6）時(shí)，z最大.

上一6W0,

7.設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件*+yT>0,則Z=目的最大值是（）

[2x—y+1NO,

12「I

Aa?TB?2

C.1D.2

答案A

解析作出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分（含邊界）所示,

y—1

Z=耳7表示可行域中的點(diǎn)a，y）與點(diǎn)尸（一1,1）的連線的斜率,

V-"^1

由圖可知z=?τ的最大值在A點(diǎn)取得,

IX—6=0,

由1,得4(6,13),

⑵一y+1=0,

所以ZmaX=6+]=^7^?

8.在某校冬季長(zhǎng)跑活動(dòng)中，學(xué)校要給獲得一、二等獎(jiǎng)的學(xué)生購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品，要求花費(fèi)總額不得超

過(guò)200元.已知一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)分別為20元、10元，一等獎(jiǎng)人數(shù)與二等獎(jiǎng)人數(shù)

的比值不得高于熱且獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)不能少于2人，那么下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A.最多可以購(gòu)買(mǎi)4份一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品

B.最多可以購(gòu)買(mǎi)16份二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品

C.購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品至少要花費(fèi)100元

D.共有20種不同的購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品方案

答案D

解析設(shè)獲得一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)的人數(shù)分別為尤，MX,yCN*）,

'2（k+lQy≤200,

由題意得<3x0,作出該不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分（含邊界）所示，

由圖可知，2≤x≤4,6≤y≤16,故X可取2,3,4,

故最多可以購(gòu)買(mǎi)4份一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品，最多可以購(gòu)買(mǎi)16份二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品，

購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品至少要花費(fèi)2X20+6X10=100（元），故A,B,C正確；

當(dāng)x=2時(shí)，y可取6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,共有11種,

當(dāng)x=3時(shí)，y可取9,10,11,12,13,14,共6種，

當(dāng)x=4時(shí)，y可取12,共1種，

故共有11+6+1=18（種），故D不正確.

9.已知點(diǎn)（1,1）在直線x+2y+b=0的下方，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

答案（一8,-3）

解析因?yàn)辄c(diǎn)（1,1）在直線x+2y+b=0的下方，

所以l+2+i><0,解得一3.

X-y≤0,

2?v

10.已知實(shí)數(shù)X,y滿(mǎn)足jx+y—2》0,則案的最小值為

.x-3y+6^0.

答案IO

解析畫(huà)出可行域，如圖中陰影部分（含邊界）所示,

令z=y-2x9則y=2x+zf

Z表示直線在y軸上的截距，

根據(jù)平移知，當(dāng)x=3,y=3時(shí)，z=y-2%有最小值為一3,

則余的最小值為2一3=".

*4o

f2x->,+4^0,

11.已知實(shí)數(shù)χ,y滿(mǎn)足卜+y-l>O,若直線y=∕(χ-l)將可行域分成面積相等的兩部分,

[x≤1,

則實(shí)數(shù)上的值為.

答案一4

解析畫(huà)出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示,

其中A(l,6),8(1,0),C(-l,2).

由于直線y=Z(χ-l)過(guò)定點(diǎn)8(1,0)且將可行域分成面積相等的兩部分，

所以當(dāng)直線y=%(χ-l)過(guò)線段AC的中點(diǎn)O(0,4)時(shí)，AABO和aBCO的面積相等，

4—0

此時(shí)k—kβυ~Q_?—-4.

12.現(xiàn)某小型服裝廠鎖邊車(chē)間有鎖邊工10名，雜工15名，有7臺(tái)電腦機(jī)，每臺(tái)電腦機(jī)每天

可給12件衣服鎖邊；有5臺(tái)普通機(jī)，每臺(tái)普通機(jī)每天可給10件衣服鎖邊.如果一天至少有

100件衣服需要鎖邊，用電腦機(jī)每臺(tái)需配鎖邊工1名，雜工2名，用普通機(jī)每臺(tái)需要配鎖邊

工1名，雜工1名，用電腦機(jī)給一件衣服鎖邊可獲利8元，用普通機(jī)給一件衣服鎖邊可獲利

6元，則該服裝廠鎖邊車(chē)間一天最多可獲利元.

答案780

解析設(shè)每天安排電腦機(jī)和普通機(jī)各X,y臺(tái)，

則一天可獲利z=12X8x+10X6y=96x+60)，，

rχ+y≤IO,

2x+y≤15,

線性約束條件為〈，c；C、C八畫(huà)出可行域(圖略)，

12x+10j≥100,

.0<r≤7,0<yW5,

可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)(5,5)時(shí)，zmaχ=780.

D技能提升練

卜一y_2W0,

13.(2022.鄭州模擬)已知M(X,y)是不等式組卜+y+2>0,所表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一

L?≤l

點(diǎn)，且M(x,y)滿(mǎn)足x2+y2Wα,則”的最小值為()

A.3B.4C.