2023年河北省石家莊市高三高考三模數(shù)學(xué)試卷含答案

石家莊市2023屆高中畢業(yè)年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(三)

數(shù)學(xué)

(時(shí)間120分鐘，滿分150分)

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題的答案后，用2B鉛筆把答題卡上的對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).

3.在答題卡上與題號(hào)相對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)答題，寫在試卷、草稿紙上或答題卡非題號(hào)對(duì)應(yīng)的答題

區(qū)域的答案一律無效.不得用規(guī)定以外的筆和紙答題，不得在答題卡上做任何標(biāo)記.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.如圖，集合48均為U的子集，(6A)C3表示的區(qū)域?yàn)?)

CX2)〉0,則函

.已知函數(shù)同時(shí)滿足性質(zhì)：/(力；②對(duì)于

2/(x)①F(T)=-?X1,Λ?∈(0,1),

數(shù)/(χ)可能是()

AJ(X)=eyB."*)=/

C.f(x)=sin4xD.∕(X)=X2

3.3.觀察下列四幅殘差圖，滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定的是()

4.18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉研究調(diào)和級(jí)數(shù)得到了以下的結(jié)果：當(dāng)〃很大時(shí)，1+'+』++i=lnn+y

（常數(shù)

23n

1

/=0.577）.利用以上公式，可以估計(jì)------------1--------------FH--的----值-----為-（)

200012000230000

AJnlO4B.ln3+ln2C.ln3-ln2D.1∏2

5.已知函數(shù)/（x）=2Sin（S+0）（0＞（）,。＜0＜乃）的部分圖像如圖所示，則/（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是

6.已知加,“是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，其中下列命題正確的是（）

A.若加〃則〃?〃a

B.若mUa,αc∕?=J_〃，則加

C.若加Ua6，則a_L6

D.若α_L￡,/n-La,則/〃〃4

7.已知直線2x+3y-l=0經(jīng)過圓（X-加［+⑶一〃）2=1的圓心，其中機(jī)＞0且〃∈（-l,0）,則----------

m+2nn

的最小值為（）

A.9B.5+2√5C.lD.5+√5

8.中國(guó)結(jié)是一種盛傳于民間的手工編織工藝品，它原本是舊石器時(shí)代的縫衣打結(jié)，后推展至漢朝的儀禮記

事，再演變成今日的裝飾手藝.中國(guó)結(jié)顯示的精致與智慧正是中華民族古老文明中的一個(gè)側(cè)面.已知某個(gè)中國(guó)結(jié)

的主體部分可近似地視為由一個(gè)大正方形（內(nèi)部是16個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形）和16個(gè)半圓所組成，如圖，

A、C是中國(guó)結(jié)主體部分上的定點(diǎn)，點(diǎn)8是16個(gè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，則AC?4B的最大值為（）

3B

A.66+6√Γ7B.66+4√Γ7C.66+2√Γ7D.18√Π

二.多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分

9.已知復(fù)數(shù)z∣=l+2i,復(fù)數(shù)Z滿足IZ-Zll=2,則()

A.z1?z1=5

B.√5-2<∣z∣<√5+2

C.復(fù)數(shù)4在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,2)

D.復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(x,y),則(X-I)2+(y-2)2=4

10.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/Go≠0)是/(x)的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是()

A.Vx∈R,∕(Λ)≤∕(Λ0)B.是/(一X)的極大值點(diǎn)

C.X0是-/(X)的極小值點(diǎn)D.一玉)是-/(-X)的極大值點(diǎn)

11.已知函數(shù)/(x)圖象上的點(diǎn)(XM都滿足卜3_5*+力°"+/。23=4%7一/，則下列說法中正確的有

()

AJ(X)=-X3+4X

B.若直線/與函數(shù)/(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)A,3,C,且滿足IABl=忸C∣=則直線AC的斜率為3.

C.若函數(shù)g(x)=/(X)-Or2-4x+α(αw0)在X=Xo處取極小值0,則°=#1.

D.存在四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)/(x)的圖象上的正方形，且這樣的正方形有兩個(gè).

12.已知曲線CHX-4y3=4,P(xo,%)為。上一點(diǎn)，則()

A.mτneR,x-2y+機(jī)=O與曲線C有四個(gè)交點(diǎn)

B.x：+y；的最小值為1

c.∣?-2y0+的取值范圍為（J3,2√2+√3]

D.過點(diǎn)卜2枝,-2挺）的直線與曲線C有三個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

（2Y

13.X1-^=的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

、yχ>

14.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為q=〃-1,數(shù)列也｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則

aa

ι,l+h2++%=.

15.己知正四面體A—BCD的棱長(zhǎng)為6,P是二AjBC外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q是四面體A-BS內(nèi)切球球面上的

動(dòng)點(diǎn)，則?PQ?的取值范圍是.

16.我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，?∏1035=IxlO3+0×102+3×lθ'+5×100.表示十進(jìn)制的數(shù)要用0~9這10

個(gè)數(shù)字.而電子計(jì)算機(jī)用的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，只需0和1兩個(gè)數(shù)字，如四位一進(jìn)制的數(shù)

32o

l∞lω=l×2+O×2+O×2'+l×2,等于十進(jìn)制的數(shù)9,現(xiàn)有一組十進(jìn)制表示的數(shù)列

n2023m

xi,x2,,x2023,（x,?∈N*,Z=1,2,,2023）,定義a=口玉+"?xz,"=1,2,?,2022（口6表示

i=lj=n+?k=?

?，《"的乘積），若將偽，打，,4022表示成二進(jìn)制數(shù)，其中有1011個(gè)數(shù)末位是0,若將外,工2…,％2023

表示成二進(jìn)制數(shù)，則末位是0的數(shù)至多有個(gè).

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）已知一ABC中，角48,。的對(duì)邊長(zhǎng)分別是。,4。3114=4411。以《3,且c=2.

（1）證明：tanB=3tanC;

（2）若匕=2代，求..ABC外接圓的面積

18.（本小題滿分12分）如圖，在AAQB中，/498=5，。8=豆,。4=1,。為03的中點(diǎn)，將AOB繞

2τr

OB所在的直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至一BOD形成如圖所示的兒何體Γ,ZAOD=—.

(1)求幾何體r的體積；

(2)求直線A8與平面AC。所成角的正弦值.

19.(本小題滿分12分)已知M,N為拋物線。：丁=2.工5>0)上不同兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

OMLON,過。作LMN于H，且點(diǎn)H(2,2).

(1)求直線MN的方程及拋物線C的方程；

(2)若直線/與直線MN關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，。為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，求。到直線/的距離最短時(shí)，Q點(diǎn)的坐

標(biāo).

20.(本小題滿分12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛α,J滿足q=3,%+%=36,數(shù)列??｝的前〃項(xiàng)和

2

2

S11,滿足3Sn+n=3nbll+n,bl=—.

(1)求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

(2)若存在正整數(shù)〃，使得27"-8M420成立，求實(shí)數(shù)M的取值范圍.(正a14ln3=1.1).

21.(本小題滿分12分)肝臟疾病是各種原因引起的肝臟損傷，是一種常見的危害性極大的疾病，研究表明

有八成以上的肝病，是由乙肝發(fā)展而來，身體感染乙肝病毒后，病毒會(huì)在體內(nèi)持續(xù)復(fù)制，肝細(xì)胞修復(fù)過程中

形成纖維化，最后發(fā)展成肝病.因感染乙肝病毒后身體初期沒有任何癥狀，因此忽視治療，等到病情十分嚴(yán)重

時(shí)，患者才會(huì)出現(xiàn)痛感，但已經(jīng)錯(cuò)過了最佳治療時(shí)機(jī)，對(duì)乙肝病毒應(yīng)以積極預(yù)防為主，通過接種乙肝疫苗可

以預(yù)防感染乙肝病毒、體檢是篩查乙肝病毒攜帶者最好的方法，國(guó)家在《中小學(xué)生健康體檢管理辦法》中規(guī)

定：中小學(xué)校每年組織一次在校學(xué)生健康體檢，現(xiàn)某學(xué)校有4000名學(xué)生，假設(shè)攜帶乙肝病毒的學(xué)生占，“％,

某體檢機(jī)構(gòu)通過抽血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)次數(shù)4000次.

為減輕化驗(yàn)工作量，統(tǒng)計(jì)專家給出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)按照人個(gè)人進(jìn)行分組，將各組A個(gè)人的血樣混合再

化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，說明這《個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈

陽性，就需對(duì)該組每個(gè)人血樣再分別化驗(yàn)一次.假設(shè)每人血樣化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽性相互獨(dú)立.

(1)若m=0.4,記每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為X,當(dāng)上取何值時(shí)，X的數(shù)學(xué)期望最小，并求化驗(yàn)總次數(shù)；

(2)若W=O.8,設(shè)每人血樣單獨(dú)化驗(yàn)一次費(fèi)用5元，氏個(gè)人混合化驗(yàn)一次費(fèi)用人4元.求當(dāng)后取何值時(shí)，每

人血樣化驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望最小，并求化驗(yàn)總費(fèi)用.

參考數(shù)據(jù)及公式：?/lθ≈3.16,(l+x)"≈l+nx(n∈N*,n≥2,∣x∣≤0.01

22.(本小題滿分12分)若定義在區(qū)間/上的函數(shù)y=∕(x),其圖象上存在不同兩點(diǎn)處的切線相互平行，則

稱函數(shù)y=/(x)為區(qū)間I上的“曲折函數(shù)”，"現(xiàn)已知函數(shù)/(X)=2a2?nx+x2(a>0).

(1)證明：y=∕(x)是(0,+8)上的“曲折函數(shù)”；

(2)設(shè)0</<α,證明：3xl∈(x0,6t),使得對(duì)于Vxe(Λpa),均有Ao)/'(x)-∕(α)+∕(Λo)<O.

石家莊市2023屆高中畢業(yè)年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(三)

數(shù)學(xué)答案

一、單選：

1-4DABC5-8DCAC

二、多選：

9.AD10.BC11.ACD12BCD

三、填空題：

13.8014.50215.[^,2√6]16.1012

四、解答題：(學(xué)生出現(xiàn)的其他解答方法，教研組商定給分)

17..解：(1)因?yàn)镾inA=4sinCcosB

所以Sin(JB+C)=4sinCcosB

SinBcosC+CosBsinC=4sinCcosB,SirLBCOSC=3sinCcosB

.,.tanB=3tanC

2

〃24-r_韜

(2)因?yàn)镾inA=4sinCbos8,所以α=4c-----------------,

2ac

a2÷2C2-2Z?2=0，又b=25c=2,;.a=4

/.c2+?2=a2,:.ZA=-

2

R=-a=2,.?S=4√T.

2

18.解：(1)依題意V=JX—x?xl2XJJ；

33

√3

=----71

9

(2)解法一：過。點(diǎn)作OMLQA,分別以O(shè)AoM,OB所在的直線為％,%z軸

,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則：

A(I,O,O),C∣^O,O,^,B(O,O,√3),D-?,?,o,

則AC=TOg,AD=-∣,^,0,Aβ=(-l,0,√3)

?J?/

設(shè)平面ACz)的法向量為"=(x,y,z),

-Aπ-----ZZ--UO

n?AC=O2

貝∣J,4=><

n?AD=O3工后C

----XH-------V=O

I22

令y=3,得〃=(6,3,2)

ABn

設(shè)直線AB與平面ACO所成角為6?,則Sine=

A訓(xùn)〃

所以直線AB與平面ACD所成角正弦值為B

8

解法二：

設(shè)AD的中點(diǎn)為E，點(diǎn)B到平面ACD的距離為h，

、2

AC=Co=IOCZ+ACP=+『=1

AD2=OA2+OD2-2。AOr)CoS丁=3,二AO="

CA=CD,:.CE±AD根據(jù)勾股定理得CE=1,

???SACD=LAD?CE=L?I=@

λcd222

C_1一-2

SAoD=

=kaod

B-ACD~B-AOD~^C-ΛOD?^?BC

??SACD?h=SAOD?BC

同?JLB,?.=B

2h42h4

B

設(shè)直線AB與平面ACo所成角為A.ch彳Br

0,sιn0=----=-r-=——

AB28

19.解：⑴由點(diǎn)H(2,2),得直線?！钡男甭蕿?,又OHLMN,則直線MN的斜率為-1,

故直線MN的方程為y-2=,整理得直線MN的方程為χ+y=4

設(shè)Ma,y),N(x2,M),

x+y=4.f?i+?=-2p

聯(lián)立《??,^y2+2py-8p=0,貝"…°,

J=2PXIMy2=-8P

由OMLQN,得OMoN=0，

即XlX2+X%=V?+MN2=0，因?yàn)閄y2工°，所以弘力=-4,2,

4p-

所以一4p2=—8p,解得P=2,故拋物線方程為V=4x

(2)設(shè)點(diǎn)A(X,〉)是直線/上任一點(diǎn)，則點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A(-x,-y)在直線MN上，所以

-Λ+(-γ)=4,

即直線/的方程為x+y=-4.

設(shè)點(diǎn)Q(??,%),則巾=4x0,點(diǎn)Q到直線/的距離d=%緩+'

—+y+4、2

二420(%+2)+12

√2—4后

當(dāng)先=-2時(shí)，〃的最小值是乎，此時(shí)，Q。,—2)

20.解：(1)設(shè)數(shù)列｛α,,｝公比為4,

由已知得3q+3q2=36,即/+g-12=0,解得4=3或q=-4(舍),

所以4,,=3?3"τ=3".

因?yàn)?S“+〃2=3〃2+〃，所以，當(dāng)〃22時(shí)，3SAT+(〃-1)2=3(〃-1)?！癬|+〃-1

兩式作差得(3〃一3以=3(〃一1)%+2〃-2,

222

因?yàn)椤?2,所以即數(shù)列也｝是首項(xiàng)為不，公差為H的等差數(shù)列,

292

所以d

(2)27^-8Ma,,>0^M≤∣r,設(shè)％==r,則〃小于等于數(shù)列｛c,,｝的最大項(xiàng).

jQ

解法一：設(shè)〃=左時(shí)，C“最大，因?yàn)镃I=W,。2=A>G，所以攵>1

39

Ck-Ck-I,

由《

Ck≥或M

%?d)3≈3.5

左3≥3(%—1)3

即《3*—31即〈33

二>(k+l)33%3≥(%+l)3

3r-^r^≈2.5

即2.5≤左≤3.5(左∈Z),所以左=3

[3

故數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng)是03=/=1,所以M≤ι,即實(shí)數(shù)/的取值范圍是(y,i]

解法二設(shè)〃x)$r(X)=ElM?

當(dāng)XG(I?'+00)時(shí)，r(χ)<°'在/(χ)在區(qū)間(高，+QO)上單調(diào)遞減，

所以在〃≥3時(shí)，數(shù)列｛q,｝是遞減數(shù)列，

1Qo3

又q==x，G=1，所以數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng)是C3=F=I，所以M<l,

393'

即實(shí)數(shù)M的取值范圍是(一紇』.

21.解：(1)設(shè)每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為X,由題意若混合血樣呈陰性，則X=!，

若混合血樣呈陽性，則X=∕+l,P(X=B)=O?996?p(x=：+1]=]_0.9963.

所以E(X)=LXo.996'+[1+，)X(I-0.996')=1+，一0.9964,

k?k)k

=1+L-(1-0.004)i」+0.004攵

kk

令/(X)=L+0.004X,則/(X)在僅,5JiU)上單調(diào)遞減，在卜JW+“)為單調(diào)遞增，

A∈z,且"15)=W+0.004xl5≈0.1267,"16)=0.1265

.?M=16取得最小值，E(X)最小值為0.1265.

所以，按16人一組，每個(gè)人血樣化驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望最小

此時(shí)化驗(yàn)總次數(shù)為4000x0.1265=506次..

(2)設(shè)每組Z人，每組化驗(yàn)總費(fèi)用為y元，

若混合血樣呈陰性則丫=人+4,若混合血樣為陽性，則Y=6A+4,

且P(y=Z+4)=0.992?P(y=6Z+4)=1—0.992”,

所以E(Y)=(Z+4)χ0.992λ+(6?+4)(l-0.992t)=6?-5Λ×0.992%+4,

每個(gè)人血樣的化驗(yàn)費(fèi)用為：

^^=6-5×0.992A+-=6-5×(l-O.OO8/+-

kkk

44I4-

≈6-5×(l-0.008Z:)+-=l+0.04)l+->1+2/0.04/:--=1.8

kkNk

4

當(dāng)且僅當(dāng)0.04攵=丁，即Z=IO時(shí)取等號(hào)，所以10個(gè)人一組，每個(gè)人血樣化驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望最小,

k

化驗(yàn)總費(fèi)用為4000X1.8=7200元.

22.(1)解法一：要證y=∕(x)是(0,+8)上的曲折函數(shù)，

,

即證存在兩個(gè)不同的玉,尤2e(0,+∞)，使得f'M=∕(?)，

?2

令g(X)=r(X)=——+2x>

X

即證：使得

3Λ?,X2∈(0,+∞),XI≠X-1,g(χ)=g(w)?

任取m>4a,考慮方程g(x)=加的正數(shù)解的情況.

------h2x=ιτιu>2χ2—YYlX+2。~—O

X

判別式△=m2-{6a2>0，故方程有兩個(gè)不等實(shí)根%，

1

由韋達(dá)定理可知：xl+x2=^->0,xlx2=a>0,從而x∣,%2>0.

即g(X)=加有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解Λ1,X2,

所以g(玉)=g(%)，即y=∕(χ)是(0,+8)上的曲折函數(shù).

解法二.設(shè)Pa,χ),Q(w,%)是函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，X產(chǎn)W,r(x)=絲+2x,(x>0),

X

rα)=r(Λ2)等價(jià)于芋+2%=千+2%,

,(CT\

即2(玉_々)----'-Il=O(X尸4)，即Xl尤2=。2>0，

<x]x2)

即存在王,工2，使ra)=r(x2)，

所以y=∕(χ)是((),+8)上的曲折函數(shù).

(2)設(shè)函數(shù)/(X)=(a-∕)r(x)-/(α)+/(Xo)

代入廣(x)=絲+2X及/(X)=2a2?nx+x2,可得：

/?2、

2

/(X)=(Q-A0)------F2X—2βln-----礦+x；

IX√??

則：F(X)=UWJ(2/—2/),因?yàn)閤0<a,所以：

當(dāng)x∈(0,a)時(shí)，F(xiàn)(X)<0,當(dāng)x∈(a,+a?)時(shí)，F(xiàn),(x)>O,

故：E(X)在(O,a)上單調(diào)遞減，在(a,+⑹上單調(diào)遞增.

解法一：取X=XO代入函數(shù)y=E(x),可得：

222

F(xΛ^(a-x0](^+2x^-2a?n--a+x^a[^^-^+^-2?n--i

V?)?IXoa-a?

(12

令土=t,其中，>1,故∕7(xo)="2Z-3--y+——21nr

X。I廠t√

構(gòu)造函數(shù)"(f)=2r-3-,+T-21n∕Q>l)

227(f+l)

則”'(。=