人教版高中數(shù)學必修二教學設計全套

人教版高中數(shù)學必修二教學設計全套6.1平面向量的概念教學設計課題6.1平面向量的概念單元第六單元年級高一教材分析本節(jié)內(nèi)容是平面向量的概念，由物理中的路程和位移情境導入，學習平面向量的概念、表示以及平面向量之間的關系這些知識點，為平面向量的運算做鋪墊。教學目標與核心素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：利用位移和路程的相關情境將平面向量具體化；2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.3.數(shù)學建模：掌握平面向量的相關知識，為空間向量的學習打好基礎的同時，也能學習利用向量解決實際問題。4.直觀想象：通過有向線段直觀判斷平面向量之間的關系；5.數(shù)學運算:能夠正確判斷平面向量之間的關系；6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導過程—得出結(jié)論—例題講解—練習鞏固的過程，讓學生認識到數(shù)學知識的邏輯性和嚴密性。重點平面向量的概念；平面向量的表示；平面向量之間的關系。難點平面向量的表示；平面向量之間的關系。教學過程教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖導入新課情境導入：情境一：小船由A地航行15nmile到達B地。試問小船能到達B地嗎？情境二：小船由A地向東南方向航行15nmile到達B地。試問小船能到達B地嗎？

問:位移和距離這兩個量有什么不同？情境三：物體受到的重力是豎直向下的，物體的質(zhì)量越大，它受到的重力越大。情境四：物體在液體中受到的浮力是豎直向上的，物體浸在液體中的體積越大，它受到的浮力越大。問:你能通過這些物理量得出向量的概念嗎？學生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。設置問題情境，激發(fā)學生學習興趣，并引出本節(jié)新課。講授新課知識探究（一）：向量的概念定義：既有大小又有方向的量統(tǒng)稱為向量。把只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量，如年齡、身高、長度、面積、體積、質(zhì)量等。注：1.向量兩要素：大小，方向2.向量與數(shù)量的區(qū)別：①數(shù)量只有大小，可以比較大小。②向量有方向，大小雙重屬性，而方向是不能比較大小的，因此向量不能比較大小。知識鏈接：物理學中常稱向量為矢量，數(shù)量為標量。你還能舉出物理學中的一些向量和數(shù)量嗎？練習一：在質(zhì)量、重力、速度、加速度、身高、面積、體積這些量中，_____________是數(shù)量_______________是向量.練習二：1.身高是一個向量（）2．溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量（）3.坐標平面上的x軸和y軸都是向量。()知識探究（二）：向量的表示思考：對于一個實數(shù)，可以用數(shù)軸上的點表示，而且不同的點表示不同的數(shù)量。那么，該如何表示向量呢？思考：根據(jù)情景二，你發(fā)現(xiàn)位移是怎樣表示的？向量怎樣表示？幾何表示法：用有向線段表示向量，長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。有向線段三要素：起點、方向、長度。問：有向線段是向量，向量就是有向線段。這種說法對嗎？思考：你能用表示線段的方法表示向量嗎？向量的大小和方向怎樣表示？字母表示法：大寫字母和小寫字母。箭頭表示向量的方向，線段的長度表示大小。知識探究（三）：向量的模和兩類特殊向量思考：有什么含義？向量的模：向量的大小稱為向量的長度（或稱為模），記作||.兩類特殊向量：零向量和單位向量。思考：1.與0有區(qū)別嗎？為什么？2.零向量和單位向量的方向呢？3.平面直角坐標系內(nèi)，起點在原點的單位向量，它們的終點的軌跡是什么圖形？判斷1.向量的模是一個正實數(shù)。（）2.若|a|>|b|，則a>b。（）注:向量不能比較大小例1.如圖，分別用向量表示A地至B、C兩地的位移,并根據(jù)圖中的比例尺，求出A地至B,C兩地的實際距離（精確到1km）知識探究（四）：向量之間的關系思考：觀察圖象，探究發(fā)現(xiàn)平行向量。平行向量：方向相同或相反的叫做平行向量.記作//.共線向量：平行向量又稱為共線向量.思考：是相同的向量嗎？由此得出相等向量和相反向量的定義。1.若非零向量AB//CD，那么AB//CD嗎？2.若a//b,則a與b的方向一定相同或相反嗎？3.相等向量一定是平行向量嗎?平行向量一定是相等向量嗎?例2已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在圖中所標出的向量中：（1）寫出圖中的共線向量；

（2）分別寫出圖中與相等的向量；提升訓練1、回答下列問題：（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？（平行向量）（6）兩個非零向量相等的當且僅當什么？（7）共線向量一定在同一直線上嗎？2、在圖中的4×5方格紙中有一個向量，分別以圖中的格點為起點和終點作向量，其中與相等的向量有多少個？與長度相等的共線向量有多少個（除外）？3、D、E、F依次是等邊△ABC的邊AB、BC、CA的中點，在以A、B、C、D、E、F為起點或終點的向量中，(1)找出與向量DE相等的向量；(2)找出與向量DF共線的向量．學生根據(jù)兩個情境，探究平面向量的概念。學生根據(jù)環(huán)環(huán)相扣的思考題，探究平面向量的表示。學生根據(jù)動態(tài)變化圖，觀察探究的出向量之間的關系。利用例題引導學生掌握本節(jié)課知識,并能夠靈活運用.學生和教師共同探究完成3個練習題。利用兩個情境探究得出平面向量的概念,培養(yǎng)學生探索的精神.通過思考，培養(yǎng)學生探索新知的精神和能力.利用數(shù)形結(jié)合的思想，化抽象為具體，提高學生的抽象能力和邏輯思維能力。例題的3問三種類型，加深學生對基礎知識理解，并能夠靈活運用基礎知識解決具體問題。通過這3個題，鞏固基礎知識，發(fā)散學生思維，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和對數(shù)學的探索精神。課堂小結(jié)向量的概念向量的表示向量之間的關系學生回顧本節(jié)課知識點，教師補充。讓學生掌握本節(jié)課知識點，并能夠靈活運用。板書§6.1平面向量的概念一、情境導入2.向量的表示三、課堂小結(jié)二、探索新知3.向量之間的關系四、作業(yè)布置1.向量概念例1、2、6.2.1平面向量的加法運算教學設計課題6.2.1平面向量的加法運算單元第六單元學科數(shù)學年級高一教材分析本節(jié)內(nèi)容是平面向量的加法，由物理中的位移和力的合成導入，學習平面向量的加法法則以及加法的運算律這些知識點，為平面向量的減法做鋪墊。教學目標與核心素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：利用位移和力的合成將平面向量具體化；2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.3.數(shù)學建模：掌握平面向量加法法則，利用向量的運算解決實際問題。4.直觀想象：通過有向線段直觀判斷平面向量的加法運算；5.數(shù)學運算:能夠正確計算和判斷向量的加法運算；6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導過程—得出結(jié)論—例題講解—練習鞏固的過程，讓學生認識到數(shù)學知識的邏輯性和嚴密性。重點平面向量的三角形法則、平行四邊形法則、運算律。難點平面向量的三角形法則、平行四邊形法則、運算律。教學過程教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖導入新課情境導入：情景一：如圖，某人從A點走到B.然后從B點走到C.這個人所走過的位移是多少?向量的加法的定義：求兩個向量和的運算叫做向量的加法情景二：如圖，在光滑的平面上，一個物體同時受到兩個外力與的作用，你能作出這個物體所受的合力F嗎？學生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。設置問題情境，激發(fā)學生學習興趣，并引出本節(jié)新課。講授新課知識探究（一）：向量加法的三角形法則向量加法的三角形法則

（“作平移,首尾連,由起點指終點”）位移的合成可以看作向量加法的三角形法則的物理模型。

向量加法的平行四邊形法則

（“作平移,共起點,四邊形,對角線”）力的合成可以看作向量加法的平行四邊形法則的物理模型。

知識探究（二）：三角形法則與平行四邊形法則的異同思考1:向量加法的平行四邊形法則和三角形法則一致嗎？為什么？不一致。三角形法則通過平移首尾相接，平行四邊形法則通過平移起點相同。

知識探究（二）：非零共線向量的和的計算

思考2：對于兩個非零共線向量，能否求出他們的和向量？它們的加法與數(shù)的加法有什么關系？

兩個非零共線向量的和向量只需首尾相接

兩個非零共線向量的加法和數(shù)的加法運算法則是一致的。知識探究（二）：零向量與任一非零向量的和向量計算

思考3：零向量與任一非零向量，能否求出他們的和向量？因為零向量的模為0，方向任意，根據(jù)合位移的計算方法可得，零向量與任一非零向量的和等于該非零向量。知識探究（三）：n個向量加法的三角形法則

思考4：n個向量的和向量怎樣計算？

n個向量連加是將向量加法的三角形法則推廣為n個向量相加的多邊形法則:由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和.(注意:首尾相接)例題講解(一)

例1：如圖，已知向量a、b，求作向量a+b.

作法1：三角形法則

作法2：平行四邊形法則

知識探究（四）：向量和與向量的模的關系思考：當向量不共線時，和向量的長度與向量的長度和之間的大小關系如何？

知識探究（五）：平面向量加法的運算律

思考1：數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，向量的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律？

向量的加法交換律

向量的加法結(jié)合律例題講解：平面向量的加法運算

例2長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過進行輪渡運輸。如圖所示，一艘船從長江南岸A地出發(fā)，垂直于對岸航行，航行速度的大小為15千米每小時，同時江水的速度為向東6千米每小時。

（1）用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；

（2）求船實際航行的速度的大?。ńY(jié)果保留小數(shù)點后一位）與方向（用與江水速度間的夾角表示，精確到1度）。

提升訓練

1、求下列向量的和

3、如圖，O為正六邊形A1A2A3A4A5A6的中心，求出下列向量的和：（1）（2）（3）（4）（5）學生根據(jù)兩個情境，探究平面向量的加法法則。學生根據(jù)環(huán)環(huán)相扣的思考題，探究平面向量的運算律。學生例題，鞏固向量的加法法則以及運算律，并能夠靈活運用.學生和教師共同探究完成3個練習題。利用兩個情境探究得出平面向量的加法法則,培養(yǎng)學生探索的精神.通過思考，培養(yǎng)學生探索新知的精神和能力.利用數(shù)形結(jié)合的思想，化抽象為具體，提高學生的抽象能力和邏輯思維能力。通過這3個題，鞏固基礎知識，發(fā)散學生思維，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和對數(shù)學的探索精神。課堂小結(jié)向量的三角形法則向量的平行四邊形法則向量加法的運算律學生回顧本節(jié)課知識點，教師補充。讓學生掌握本節(jié)課知識點，并能夠靈活運用。板書§6.2.1平面向量的加法運算一、情境導入2.平行四邊形法則三、課堂小結(jié)二、探索新知3.向量加法運算律四、作業(yè)布置1.三角形法則例1、2、教學反思6.2.2向量的減法教學設計課題6.2.2向量的減法單元第六單元學科數(shù)學年級高一教材分析本節(jié)內(nèi)容是平面向量的減法，由數(shù)的減法運算導入，學習平面向量的減法法則以及減法的幾何意義這些知識點，將數(shù)量與向量結(jié)合起來。教學目標與核心素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：利用數(shù)量的減法運算抽象到平面向量的減法運算；2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.3.數(shù)學建模：掌握平面向量減法法則，利用向量的運算解決實際問題。4.直觀想象：通過有向線段直觀判斷平面向量的減法運算；5.數(shù)學運算:能夠正確計算和判斷向量的減法運算；6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導過程—得出結(jié)論—例題講解—練習鞏固的過程，讓學生認識到數(shù)學知識的邏輯性和嚴密性。重點相反向量，平面向量的減法及幾何意義難點平面向量的減法及幾何意義教學過程教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖導入新課舊知導入：問題一：你還能回想起實數(shù)的相反數(shù)是怎樣定義的嗎？

實數(shù)a的相反數(shù)記作-a。問題二：什么是相反向量？把大小相等方向相反的兩個向量叫做相反向量。問題三：兩個實數(shù)的減法運算可以看成加法運算嗎？

學生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。設置問題情境，激發(fā)學生學習興趣，并引出本節(jié)新課。講授新課新知探究：向量的減法運算定義問題四：你能根據(jù)實數(shù)的減法運算定義向量的減法運算嗎？由兩個向量和的定義已知即任意向量與其相反向量的和是零向量。求兩個向量差的運算叫做向量的減法。我們看到，向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進行：減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量。即新知探究（二）：向量減法的作圖方法知識探究（三）：向量減法的幾何意義問題六：根據(jù)問題五，思考一下向量減法的幾何意義是什么？

問題七：非零共線向量怎樣做減法運算？

問題八：非零共線向量怎樣做減法運算？1.共線同向2.共線反向小試牛刀判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個向量的差仍是一個向量。(√)(2)向量的減法實質(zhì)上是向量的加法的逆運算.(√)(3)向量a與向量b的差與向量b與向量a的差互為相反向量。(√)(4)相反向量是共線向量。(√)例題講解例1、已知向量，求作向量。作法：

在平面內(nèi)任取一點O，作

則注意：起點相同，連接終點，指向被減向量的終點。例2、已知平行四邊形例3、如圖，O為△ABC的外心，H為垂心．求證：證明：作直徑BD，連接DA，DC，則有又因為DA⊥AB，DC⊥BC，AH⊥BC，CH⊥AB，所以CH//DA，AH//DC.所以四邊形AHCD是平行四邊形，所以又所以提升訓練求下列向量的差（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、根據(jù)右圖，回答下列問題：

（1）當滿足什么條件時，與垂直？（2）當滿足什么條件時，？（3）與可能是相等向量嗎？不可能.因為平行四邊形的兩條對角線方向不同.學生根據(jù)環(huán)環(huán)相扣的問題進行思考，探究平面向量的減法定義和法則。學生根據(jù)例題，鞏固向量的減法法則，并能夠靈活運用.學生和教師共同探究完成3個練習題。利用問題探究得出平面向量的減法定義和法則,培養(yǎng)學生探索的精神.利用數(shù)形結(jié)合的思想，化抽象為具體，提高學生的抽象能力和邏輯思維能力。通過這3個題，鞏固基礎知識，發(fā)散學生思維，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和對數(shù)學的探索精神。課堂小結(jié)相反向量向量的減法定義向量減法的幾何意義學生回顧本節(jié)課知識點，教師補充。讓學生掌握本節(jié)課知識點，并能夠靈活運用。板書§6.2.2平面向量的減法運算一、情境導入2.減法作圖三、課堂小結(jié)二、探索新知3.減法幾何意義四、作業(yè)布置1.減法定義例1、2、3教學反思6.2.3向量的數(shù)乘運算教學設計課題6.2.3向量的數(shù)乘運算單元第六單元學科數(shù)學年級高一教材分析本節(jié)內(nèi)容是平面向量的數(shù)乘運算，由向量加法導入，學習平面向量的數(shù)乘運算以及運算律這些知識點，同時根據(jù)數(shù)乘運算探究得到平面向量共線基本定理。教學目標與核心素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：利用有向線段將平面向量的數(shù)乘運算具體化；2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.3.數(shù)學建模：掌握平面向量數(shù)乘運算，利用向量的運算解決實際問題。4.直觀想象：通過有向線段直觀判斷平面向量的數(shù)乘運算；5.數(shù)學運算:能夠正確計算和判斷向量的數(shù)乘運算；6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導過程—得出結(jié)論—例題講解—練習鞏固的過程，讓學生認識到數(shù)學知識的邏輯性和嚴密性。重點平面向量數(shù)乘運算、運算律以及平面向量共線基本定理。難點平面向量數(shù)乘運算、運算律以及平面向量共線基本定理。教學過程教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖導入新課舊知導入：思考1：如圖，已知向量a、b，求作向量a+b.

思考2：

思考3：

學生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。設置問題情境，激發(fā)學生學習興趣，并引出本節(jié)新課。講授新課知識探究（一）：數(shù)乘運算的定義規(guī)定：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘運算.記作

它的長度和方向規(guī)定如下：

知識探究（二）：數(shù)乘運算的幾何意義思考4：你能說明的幾何意義嗎？

知識探究（三）：數(shù)乘運算的運算律思考5：如果把非零向量的長度伸長到原來的3.5倍，方向不變得到向量，向量該如何表示？向量，之間的關系怎樣？

思考6：如果把思考4中的長度再伸長到原來的2倍，方向不變得到向量，向量該如何表示？向量，之間的關系怎樣？

數(shù)乘運算的運算律

特別地：

思考7：向量的加法、減法、數(shù)乘運算有什么共同點？向量的加法、減法、數(shù)乘運算的結(jié)果仍是向量。

向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算。

例題講解

例2：如圖小試牛刀

1、如圖，四邊形ABCD是一個梯形，eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(CD,\s\up16(→))且|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝2|eq\o(CD,\s\up16(→))|，M，N分別是DC，AB的中點，已知eq\o(AB,\s\up16(→))＝e1，eq\o(AD,\s\up16(→))＝e2，試用e1，e2表示下列向量．(1)eq\o(AC,\s\up16(→))＝________；(2)eq\o(MN,\s\up16(→))＝________.(1)因為eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(CD,\s\up16(→))，|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝2|eq\o(CD,\s\up16(→))|，所以eq\o(AB,\s\up16(→))＝2eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→)).eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝e2＋eq\f(1,2)e1.(2)eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(MD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(AN,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＝－eq\f(1,4)e1－e2＋eq\f(1,2)e1＝eq\f(1,4)e1－e2.方法總結(jié)用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法(2)方程法當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程．知識探究（四）：平面向量共線基本定理

思考：通過練習，你能發(fā)現(xiàn)實數(shù)與向量的積與原向量之間的位置關系嗎？

實數(shù)與向量的積與原向量共線

平面向量共線基本定理：

例題講解例3、如圖,已知任意兩個非零向量a,b,試作

你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎?并證明你的猜想。所以,A、B、C三點共線

例4：

小試牛刀判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)實數(shù)λ與向量a的積還是向量．(√)(2)3a與a的方向相同，－3a與a的方向相反．(√)(3)若ma＝mb，則a＝b.(×)(4)向量共線定理中，條件a≠0可以去掉．(×)提升訓練

1、化簡

（1）（2）（3）2、設e1，e2是兩個不共線向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，D三點共線，求k的值．解：∵BD→＝e1－4e2，而A，B，D三點共線，∴向量AB與向量BD共線，故存在實數(shù)λ，使得向量AB＝λBD即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，

得2＝λ，k＝－4λ，得k＝－8為所求．

方法總結(jié)向量共線定理的應用學生根據(jù)一連串的思考題，探究平面向量的數(shù)乘運算。學生根據(jù)環(huán)環(huán)相扣的思考題，探究平面向量的數(shù)乘運算運算律。學生例題，鞏固向量的數(shù)乘運算以及運算律，并能夠靈活運用.學生和教師共同探究完成2個練習題。利用兩個情境探究得出平面向量的數(shù)乘運算,培養(yǎng)學生探索的精神.通過思考，培養(yǎng)學生探索新知的精神和能力.利用數(shù)形結(jié)合的思想，化抽象為具體，提高學生的抽象能力和邏輯思維能力。通過這2個題，鞏固基礎知識，發(fā)散學生思維，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和對數(shù)學的探索精神。課堂小結(jié)數(shù)乘運算的定義數(shù)乘運算的運算律平面向量共線基本定理定理的應用（1）向量共線（2）三點共線（3）兩直線平行學生回顧本節(jié)課知識點，教師補充。讓學生掌握本節(jié)課知識點，并能夠靈活運用。板書§6.2.3向量的數(shù)乘運算一、舊知導入2.運算律三、課堂小結(jié)二、探索新知3.共線基本定理四、作業(yè)布置1.定義例1、2、3、4教學反思6.2.4向量的數(shù)量積教學設計課題6.2.4向量的數(shù)量積單元第六單元學科數(shù)學年級高一教材分析本節(jié)內(nèi)容是平面向量的數(shù)量積運算運算，由功的概念導入，學習平面向量的數(shù)量積運算以及運算律這些知識點，同時根據(jù)將向量的線性運算與向量的數(shù)量積運算進行對比分析。教學目標與核心素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：利用功的定義將平面向量的數(shù)量積運算具體化；2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力；3.數(shù)學建模：掌握平面向量數(shù)量積運算及其運算律；4.直觀想象：利用數(shù)的運算及運算律推導平面向量的數(shù)量積運算及運算律；5.數(shù)學運算:能夠正確計算和判斷向量的數(shù)量積；6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導過程—得出結(jié)論—例題講解—練習鞏固的過程，讓學生認識到數(shù)學知識的邏輯性和嚴密性。重點向量的夾角、投影定義，數(shù)量積定義、性質(zhì)以及運算律難點數(shù)量積定義、性質(zhì)以及運算律教學過程教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖導入新課情境導入：我們一起來看一下物理中功的概念：如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功思考1：前面我們學習了向量的加、減運算。類比數(shù)的運算，那么向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義？由功的概念可知，功是一個標量，它由力和位移兩個向量來確定。由此，我們引入“數(shù)量積”的概念。學生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。設置問題情境，激發(fā)學生學習興趣，并引出本節(jié)新課。講授新課知識探究（一）：向量的夾角已知特殊情況1

特殊情況2特殊情況3注意：

計算向量的夾角時，要將兩個向量起點放在一起.

小試牛刀知識探究（二）：數(shù)量積的定義

思考：根據(jù)功的定義，你能推導出數(shù)量積的定義嗎？它和向量的加、減以及數(shù)乘運算有什么區(qū)別？

數(shù)量積定義：規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

對比向量的線性運算，我們發(fā)現(xiàn)，向量線性運算的結(jié)果是一個向量，而兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，這個數(shù)量的大小與兩個向量的長度及其夾角有關。

例題講解

例1：例2：

知識探究（三）：投影(或射影)的定義

思考：

由此可得數(shù)量積的幾何意義：

小試牛刀如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D為BC的中點．(1)求eq\o(BA,\s\up16(→))在eq\o(CD,\s\up16(→))上的投影向量；(2)求eq\o(CD,\s\up16(→))在eq\o(BA,\s\up16(→))上的投影向量．總結(jié):求一個向量在另一個向量上的投影向量時，關鍵是作出恰當?shù)拇咕€，根據(jù)題意確定向量的模及兩向量的夾角．知識探究（四）：數(shù)量積的性質(zhì)

思考：思考：思考：

知識探究（五）：數(shù)量積的運算律

思考：數(shù)的乘法有相應的運算律，你能根據(jù)向量的線性運算的運算律得到數(shù)量積運算的運算律嗎？你能證明嗎？

以此類推，可得數(shù)量積運算的運算律如下：

數(shù)乘運算的運算律

思考：

不一定。

左右兩邊不一定相等，所以不一定成立。

例題講解例3：例4：

向量數(shù)量積的求法(1)求兩個向量的數(shù)量積，首先確定兩個向量的模及兩個向量的夾角，其中準確求出兩個向量的夾角是求數(shù)量積的關鍵．(2)根據(jù)數(shù)量積的運算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘法運算．知識拓展：向量的模的計算

方法總結(jié)：

例題講解

例5：求向量的模的常見思路及方法(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應用a2＝|a|2，勿忘記開方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)，可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化．提升訓練

1、判斷下列各題是否正確

2、如圖,邊長為1的等邊三角形ABC中,求：學生根據(jù)功的定義探究平面向量的夾角以及數(shù)量積運算。學生根據(jù)環(huán)環(huán)相扣的思考題，探究平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)。學生利用向量的投影推導并證明向量數(shù)量積的運算律。學生例題，鞏固向量的數(shù)量積運算以及運算律，并能夠靈活運用.學生和教師共同探究完成3個練習題。利用功的定義探究得出平面向量的夾角以及數(shù)量積運算,培養(yǎng)學生探索的精神.通過思考，培養(yǎng)學生探索新知的精神和能力.鞏固向量的投影，同時，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學態(tài)度和嚴密的邏輯思維。利用例題，化抽象為具體，提高學生的抽象能力和邏輯思維能力。通過這3個題，鞏固基礎知識，發(fā)散學生思維，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和對數(shù)學的探索精神。課堂小結(jié)向量的夾角數(shù)量積運算的定義投影的定義數(shù)量積運算性質(zhì)數(shù)量積運算運算律學生回顧本節(jié)課知識點，教師補充。讓學生掌握本節(jié)課知識點，并能夠靈活運用。板書§6.2.4向量的數(shù)量積運算一、情境導入2.定義三、課堂小結(jié)二、探索新知3.投影的定義四、作業(yè)布置1.向量夾角定義4.性質(zhì)5.運算律例1、2、3、4、56.3.1平面向量基本定理教學設計課題6.3.1平面向量基本定理單元第六單元學科數(shù)學年級高一教材分析本節(jié)內(nèi)容是平面向量基本定理，由平面向量共線定理導入，學習平面向量基本定理，為平面向量的坐標表示做鋪墊。教學目標與核心素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：利用平面向量共線定理將平面向量基本定理具體化；2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力；3.數(shù)學建模：掌握平面向量基本定理；4.直觀想象：利用平行四邊形法則推導并掌握平面向量基本定理；5.數(shù)學運算:能夠正確運用平面向量基本定理；6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導過程—得出結(jié)論—例題講解—練習鞏固的過程，讓學生認識到數(shù)學知識的邏輯性和嚴密性。重點平面向量基本定理難點平面向量基本定理教學過程教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖導入新課舊知導入：思考1：向量的加法運算是什么運算法則呢？三角形法則作平移,首尾連,由起點指終點

平行四邊形法則

作平移,共起點,四邊形,對角線思考2：平面中的非零共線向量該如何表示？

思考3：根據(jù)思考1和2，你有什么猜想？平面內(nèi)任一向量可以由同一平面內(nèi)的兩個不共線向量表示。我們知道：已知兩個力，可以求出它們的合力；反過來，一個力可以分解為兩個力。

思考4：物理中我們根據(jù)什么方法進行力的分解？

平行四邊形法則。

由此我們推斷出：可以通過作平行四邊形，用同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量表示平面內(nèi)任一向量。學生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。設置問題情境，回顧舊知，激發(fā)學生學習興趣，并引出本節(jié)新課。講授新課知識探究（一）：平面向量基本定理思考1：你能根據(jù)上述過程證明以下結(jié)論嗎?

思考2：根據(jù)上述討論你能得到什么結(jié)論?

平面向量基本定理：

思考3：

小試牛刀1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面向量的一個基底{e1，e2}中，e1，e2一定都是非零向量．(√)(2)在平面向量基本定理中，若a＝0，則λ1＝λ2＝0.(√)(3)在平面向量基本定理中，若a∥e1，則λ2＝0；若a∥e2，則λ1＝0.(√)(4)表示同一平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的．(×)2．做一做(1)設e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是(B)A．{e1，e2}B．{e1＋e2,3e1＋3e2}C．{e1,5e2}D．{e1，e1＋e2}(2)在△ABC中，D為BC邊上靠近點B的三等分點，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up16(→))＝___(用a，b表示)．例題講解

例1：思考4：

由此可得結(jié)論：

例2：

例3如圖所示，在△ABC中，點M是AB的中點，且eq\o(AN,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up16(→))，BN與CM相交于點E，設eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，試用基底{a，b}表示向量eq\o(AE,\s\up16(→)).[解]易得eq\o(AN,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)b，eq\o(AM,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)a，由N，E，B三點共線知存在實數(shù)m，滿足eq\o(AE,\s\up16(→))＝meq\o(AN,\s\up16(→))＋(1－m)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)mb＋(1－m)a.由C，E，M三點共線知存在實數(shù)n，滿足eq\o(AE,\s\up16(→))＝neq\o(AM,\s\up16(→))＋(1－n)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)na＋(1－n)b，所以eq\f(1,3)mb＋(1－m)a＝eq\f(1,2)na＋(1－n)b，由于{a，b}為基底，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝\f(1,2)n，,\f(1,3)m＝1－n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)，))所以eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b.例4設{e1，e2}是平面內(nèi)的一個基底，如果eq\o(AB,\s\up16(→))＝3e1－2e2，eq\o(BC,\s\up16(→))＝4e1＋e2，eq\o(CD,\s\up16(→))＝8e1－9e2，求證：A，B，D三點共線．[證明]∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝3e1－2e2，eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝15e1－10e2＝5(3e1－2e2)＝5eq\o(AB,\s\up16(→))，即eq\o(AD,\s\up16(→))＝5eq\o(AB,\s\up16(→))，∴eq\o(AD,\s\up16(→))與eq\o(AB,\s\up16(→))共線，又eq\o(AD,\s\up16(→))與eq\o(AB,\s\up16(→))有公共點A，∴A，B，D三點共線．(1)三點共線問題的解法一是利用平面向量基本定理、結(jié)合向量的線性運算表示有公共點的兩向量之間的共線關系．二是找直線外一點(任意一點也可)O，若存在唯一實數(shù)對λ，μ∈R使eq\o(OP,\s\up16(→))＝λeq\o(OA,\s\up16(→))＋μeq\o(OB,\s\up16(→))(λ＋μ＝1)．則P，A，B三點共線．(2)注意向量共線與平面向量基本定理放在一起思考解決是否共線問題．提升訓練

1、ABCD中，E、F分別是DC和AB的中點，試判斷AE,CF是否平行？

2、學生根據(jù)力的分解探究平面向量基本定理。學生根據(jù)環(huán)環(huán)相扣的思考題，探究平面向量基本定理。練一練學生例題，鞏固平面向量基本定理，并能夠靈活運用.學生和教師共同探究完成練習題。利用力的分解探究得出平面向量基本定理,培養(yǎng)學生探索的精神.通過思考，培養(yǎng)學生探索新知的精神和能力.鞏固掌握平面向量基本定理利用例題，化抽象為具體，提高學生的抽象能力和邏輯思維能力。通過這3個題，鞏固基礎知識，發(fā)散學生思維，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和對數(shù)學的探索精神。課堂小結(jié)平面向量基本定理學生回顧本節(jié)課知識點，教師補充。讓學生掌握本節(jié)課知識點，并能夠靈活運用。板書§6.3.1平面向量基本定理一、情境導入三、課堂小結(jié)二、探索新知例1、2四、作業(yè)布置1.定理6.3.2平面向量的坐標表示教學設計課題6.3.2平面向量的坐標表示單元第六單元學科數(shù)學年級高一教材分析本節(jié)內(nèi)容是平面向量的坐標表示，將平面向量與解析幾何有效結(jié)合，有助于解決很多實際問題。教學目標與核心素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：利用平面向量基本定理推導出平面向量的坐標表示及坐標運算；2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力；3.數(shù)學建模：掌握平面向量坐標表示及坐標運算；4.直觀想象：利用平面向量坐標運算解決一系列實際問題；5.數(shù)學運算:能夠正確運用平面向量坐標表示及坐標運算；6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導過程—得出結(jié)論—例題講解—練習鞏固的過程，讓學生認識到數(shù)學知識的邏輯性和嚴密性。重點平面向量坐標表示及坐標運算難點平面向量坐標表示及坐標運算教學過程教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖導入新課舊知導入：思考1：你還記得平面向量基本定理嗎？平面向量基本定理：學生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。設置問題情境，回顧舊知，激發(fā)學生學習興趣，并引出本節(jié)新課。講授新課知識探究（一）：平面向量的正交分解思考2：若兩個基底向量垂直，你能得到什么結(jié)論？

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解。舉例：如圖，重力G沿互相垂直的兩個方向分解就是正交分解。顯然，在平面上，選取互相垂直的向量作為基底向量互相垂直的兩個方向分解就是正交分解。

知識探究（二）：向量的坐標表示

思考1：在平面直角坐標系中，每一個點都可用一對有序?qū)崝?shù)（即它的坐標）表示。那么，如何表示直角坐標平面內(nèi)的一個向量呢？

知識探究（三）：向量的坐標與點的坐標之間的聯(lián)系

思考1：在平面直角坐標系中，向量的坐標與點的坐標之間有什么聯(lián)系？

例題講解

例1：

變式訓練已知O是坐標原點，點A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，(1)求向量eq\o(OA,\s\up16(→))的坐標；(2)若B(eq\r(3)，－1)，求eq\o(BA,\s\up16(→))的坐標．解：(1)設點A(x，y)，則x＝|eq\o(OA,\s\up16(→))|cos60°＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up16(→))|sin60°＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，所以eq\o(OA,\s\up16(→))＝(2eq\r(3)，6)．(2)eq\o(BA,\s\up16(→))＝(2eq\r(3)，6)－(eq\r(3)，－1)＝(eq\r(3)，7)．知識探究（四）：平面向量加、減運算的坐標表示

思考1：

兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）。

相等向量對應坐標相等。

相等向量對應坐標互為相反數(shù)。

例題講解

例2：知識探究（五）：任一向量的坐標與點的坐標的關系思考1：

由此可得：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。

例題講解

例3：綜合訓練已知點O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(AB,\s\up16(→)).(1)t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？點P在第二象限？(2)四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．解：(1)eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(AB,\s\up16(→))＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．若點P在x軸上，則2＋3t＝0，所以t＝－eq\f(2,3).若點P在y軸上，則1＋3t＝0，所以t＝－eq\f(1,3).若點P在第二象限，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋3t＜0，,2＋3t＞0，))所以－eq\f(2,3)＜t＜－eq\f(1,3).(2)eq\o(OA,\s\up16(→))＝(1，2)，eq\o(PB,\s\up16(→))＝(3－3t，3－3t)．若四邊形OABP為平行四邊形，則eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\o(PB,\s\up16(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－3t＝1，,3－3t＝2，))該方程組無解．故四邊形OABP不能為平行四邊形．知識探究（六）：平面向量數(shù)乘運算的坐標表示

思考1：

實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來的相應坐標。

例題講解

例4：

思考2：如何用坐標表示兩個向量共線的條件？

例題講解

例5：

變式訓練已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判斷eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(AC,\s\up16(→))是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？解：因為eq\o(AB,\s\up16(→))＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，eq\o(AC,\s\up16(→))＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，因為2×6－3×4＝0，所以eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(AC,\s\up16(→))，所以eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(AC,\s\up16(→))共線．又eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up16(→))，所以eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(AC,\s\up16(→))的方向相同．例6：

變式訓練設向量eq\o(OA,\s\up16(→))＝(k，12)，eq\o(OB,\s\up16(→))＝(4，5)，eq\o(OC,\s\up16(→))＝(10，k)，求當k為何值時，A，B，C三點共線．因為A，B，C三點共線，即eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(AC,\s\up16(→))共線，所以存在實數(shù)λ(λ∈R)，使得eq\o(AB,\s\up16(→))＝λeq\o(AC,\s\up16(→)).因為eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝(10－k，k－12)，所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－k＝λ（10－k），,－7＝λ（k－12），))解得k＝－2或k＝11.所以當k＝－2或k＝11時，A，B，C三點共線．

知識擴充

例7：

思考：

變式訓練已知向量eq\o(AB,\s\up16(→))＝(4,3)，eq\o(AD,\s\up16(→))＝(－3，－1)，點A(－1，－2)．(1)求線段BD的中點M的坐標；(2)若點P(2，y)滿足eq\o(PB,\s\up16(→))＝λeq\o(BD,\s\up16(→))(λ∈R)，求λ與y的值．解(1)設B(x1，y1)，因為eq\o(AB,\s\up16(→))＝(4,3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝4，,y1＋2＝3，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝3，,y1＝1，))所以B(3,1)．同理，可得D(－4，－3)，設BD的中點M(x2，y2)，則x2＝eq\f(3－4,2)＝－eq\f(1,2)，y2＝eq\f(1－3,2)＝－1.所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1)).(2)由eq\o(PB,\s\up16(→))＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，eq\o(BD,\s\up16(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，又eq\o(PB,\s\up16(→))＝λeq\o(BD,\s\up16(→))(λ∈R)，所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝－7λ，,1－y＝－4λ，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,7)，,y＝\f(3,7).))知識探究（七）：向量數(shù)量積運算的坐標表示

思考1：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和。

由此可得：

小試牛刀1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)向量的模等于向量坐標的平方和．(×)(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.(√)(3)若兩個非零向量的夾角θ滿足cosθ<0，則兩向量的夾角θ一定是鈍角．(×)2.若向量a＝(3，m)，b＝(2,1)，a·b＝0，則實數(shù)m的值為__-6___．3.已知a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2,0)，則|a＋b|＝_2__.例題講解

例8：

變式訓練設Oeq\o(A,\s\up16(→))＝(2，－1)，Oeq\o(B,\s\up16(→))＝(3,1)，Oeq\o(C,\s\up16(→))＝(m,3)．若Aeq\o(B,\s\up16(→))⊥Beq\o(C,\s\up16(→))，求實數(shù)m的值．解：Aeq\o(B,\s\up16(→))＝Oeq\o(B,\s\up16(→))－Oeq\o(A,\s\up16(→))＝(1,2)，Beq\o(C,\s\up16(→))＝Oeq\o(C,\s\up16(→))－Oeq\o(B,\s\up16(→))＝(m－3,2)．因為Aeq\o(B,\s\up16(→))⊥Beq\o(C,\s\up16(→))，所以Aeq\o(B,\s\up16(→))·Beq\o(C,\s\up16(→))＝0，即1×(m－3)＋2×2＝0，解得m＝－1.例9：

變式訓練已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a與b夾角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求實數(shù)λ的值．【解】(1)因為a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝eq\r(42＋32)＝5，|b|＝eq\r(（－1）2＋22)＝eq\r(5)，設a與b的夾角為θ，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2,5\r(5))＝eq\f(2\r(5),25).(2)因為a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝eq\f(52,9).例10：

提升訓練1、2、ABCD的頂點A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),則頂點D的坐標為(C)A(8,9)B(5,1)C(1,5)D(8,6)

3、4、學生根據(jù)力的分解探究平面向量的正交分解。學生根據(jù)環(huán)環(huán)相扣的思考題，探究平面向量坐標表示及坐標運算。學生例題，鞏固平面向量坐標表示及坐標運算，并能夠靈活運用.學生和教師共同探究完成4個練習題。利用力的分解探究得出平面向量正交分解,培養(yǎng)學生探索的精神.通過思考，培養(yǎng)學生探索新知的精神和能力.利用例題，化抽象為具體，提高學生的抽象能力和邏輯思維能力。通過這4個題，鞏固基礎知識，發(fā)散學生思維，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和對數(shù)學的探索精神。課堂小結(jié)學生回顧本節(jié)課知識點，教師補充。讓學生掌握本節(jié)課知識點，并能夠靈活運用。板書§6.3.2平面向量的坐標表示一、舊知導入4.加減運算坐標表示三、課堂小結(jié)二、探索新知5、數(shù)乘運算坐標表示四、作業(yè)布置1.正交分解6.數(shù)量積運算坐標表示2.坐標表示例1、2、3、4、5、63.向量坐標、7、8、9、10與點的坐標6.4平面向量的應用教學設計課題6.4平面向量的應用單元第六單元學科數(shù)學年級高一教材分析本節(jié)內(nèi)容是平面向量的應用，是在學習了平面向量概念及其運算的基礎上展開的,將平面向量與解析幾何有效結(jié)合，有助于解決很多實際問題。教學目標與核心素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：利用平面向量解決實際問題；2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力；3.數(shù)學建模：掌握平面向量的應用；4.直觀想象：利用平面向量解決一系列實際問題；5.數(shù)學運算:能夠正確運用平面向量解決實際問題；6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導過程—得出結(jié)論—例題講解—練習鞏固的過程，讓學生認識到數(shù)學知識的邏輯性和嚴密性。重點平面向量的應用難點平面向量的應用教學過程教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖導入新課舊知導入：思考：你還記得平面向量學習了哪些知識嗎？平面向量的定義；2、平面向量的加、減、數(shù)乘三種線性運算；3、平面向量的數(shù)量積運算；4、平面向量基本定理；5、平面向量的坐標表示及坐標運算；平面向量在解決數(shù)學和實際問題中有舉足輕重的作用，那么，接下來我們將借助向量的運算探索三角形邊長與角度的關系，把解直角三角形問題拓展到解任意三角形問題。學生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。設置問題情境，回顧舊知，激發(fā)學生學習興趣，并引出本節(jié)新課。講授新課知識探究（一）：平面幾何中的向量方法有了運算，向量的力量無限；沒有運算，向量就只是一個路標。

你能體會到這句話的含義嗎？我們一起用兩個具體實例來說明向量方法在平面幾何中的應用。

方法總結(jié)

用向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”：

（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；

（3）把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關系。

小試牛刀

1、已知正方形ABCD，P為對角線AC上任意一點，PE垂直AB于點E，PF垂直BC于點F，連接DP，EF。求證DP垂直EF。

2、如圖，平行四邊形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長．解設eq\o(AD,\s\up16(→))＝a，eq\o(AB,\s\up16(→))＝b，則eq\o(BD,\s\up16(→))＝a－b，eq\o(AC,\s\up16(→))＝a＋b，而|eq\o(BD,\s\up16(→))|＝|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(1＋4－2a·b)＝eq\r(5－2a·b)＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq\f(1,2).又|eq\o(AC,\s\up16(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝eq\r(6)，即AC＝eq\r(6).方法總結(jié)：向量在平面幾何中常見的應用(1)證明線段平行或點共線問題，以及相似問題，常用平行向量基本定理a∥b?a＝λb(λ∈R，b≠0)?x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))(2)證明線段垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(或線段)是否垂直等，常用向量垂直的條件：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))(3)求線段的長度或說明線段相等，常用公式：|a|=eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)(a＝(x，y))或AB＝|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)(A(x1，y1)，B(x2，y2))知識探究（二）：向量在物理中的應用舉例

下面，我們再來感受下向量在物理中的應用。

思考：小試牛刀

1、如圖，已知兩個力的大小和方向，則合力的大小為_____N；若在圖示坐標系中，用坐標表示合力，則合力的坐標為_____.

2、一個物體受到同一平面內(nèi)三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東45°的方向移動了8m，其中|F1|＝2N，方向為北偏東30°；|F2|＝4N，方向為北偏東60°；|F3|＝6N，方向為北偏西30°，求合力F所做的功．解：如圖建立坐標系，則F1＝(1，eq\r(3))，F(xiàn)2＝(2eq\r(3)，2)，F(xiàn)3＝(－3，3eq\r(3))，則F＝F1＋F2＋F3＝(2eq\r(3)－2，2＋4eq\r(3))．又位移s＝(4eq\r(2)，4eq\r(2))，故合力F所做的功為W＝F·s＝(2eq\r(3)－2)×4eq\r(2)＋(2＋4eq\r(3))×4eq\r(2)＝4eq\r(2)×6eq\r(3)＝24eq\r(6)(J)，所以合力F所做的功為24eq\r(6)J.力做的功是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，實質(zhì)是力和位移兩個向量的數(shù)量積，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ為F和s的夾角)．3、在風速為75(eq\r(6)－eq\r(2))km/h的西風中，飛機以150km/h的航速向西北方向飛行，求沒有風時飛機的航速和航向．解：設w＝風速，va＝有風時飛機的航行速度，vb＝無風時飛機的航行速度，vb＝va－w.如右圖所示．∴vb，va，w構(gòu)成三角形．設|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|va|，|eq\o(CB,\s\up16(→))|＝|w|，|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于點D，BE⊥AD于點E，則∠BAD＝45°.設|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝150，則|eq\o(CB,\s\up16(→))|＝75(eq\r(6)－eq\r(2))．∴|eq\o(CD,\s\up16(→))|＝|eq\o(BE,\s\up16(→))|＝|eq\o(EA,\s\up16(→))|＝75eq\r(2)，|eq\o(DA,\s\up16(→))|＝75eq\r(6).從而|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝150eq\r(2)，∠CAD＝30°.∴|vb|＝150eq\r(2)km/h，方向為北偏西60°.方法總結(jié)：向量在物理學中的應用一般涉及力或速度的合成與分解，充分借助向量的平行四邊形法則把物理問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，該題涉及解三角形，同時正確作圖是前提．知識探究（三）：余弦定理

思考1：我們知道，兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等。這說明，給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的。也就是說，三角形的其他邊、角都可以用這兩邊及其夾角來表示。那么，表示的公式是什么？

余弦定理：

三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即

利用余弦定理，我們可以從三角形已知的兩邊及其夾角直接求出第三邊。

思考3：余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系。應用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題，怎么確定呢？

由余弦定理可得如下推論：

利用推論，可以由三角形的三邊直接計算出三角形的三個角。

思考4：勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關系，余弦定理則指出了三角形的三邊與其中的一個角之間的關系。你能說說這兩個定理之間的關系嗎？

小試牛刀1、判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)余弦定理只適用于已知三邊和已知兩邊及其夾角的情況．(×)(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣．(√)(3)已知△ABC中的三邊，可結(jié)合余弦定理判斷三角形的形狀．(√)例7、在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角為120°，求此三角形的最大邊長．解：已知a－b＝4，且a>b，且a＝b＋4，又a＋c＝2b，則b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，則b>c，從而a>b>c，所以a為最大邊，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14.即此三角形的最大邊長為14.方法總結(jié)：(1)已知兩邊和兩邊夾角，直接應用余弦定理求出第三邊，然后根據(jù)邊角關系應用(2)已知三角形的三邊求角時，可先利用余弦定理求解出各角的大?。?3)若已知三角形三邊的比例關系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求解．在已知三邊求三個角時，一般先求小角后求大角．例8、在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，試確定△ABC的形狀．解：由2cosAsinB＝sinC，得2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0，又A與B均為△ABC的內(nèi)角，∴A＝B．由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，∴由余弦定理，得cosC＝eq\f(1,2)，C＝60°，∴△ABC為等邊三角形方法總結(jié)：利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(1)利用余弦定理(有時還要結(jié)合三角恒等變換等知識)把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關系，通過因式分解、配方等方法得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀．(2)統(tǒng)一成邊的關系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會出現(xiàn)漏解．知識探究（四）：正弦定理

思考1：余弦定理及其推論分別給出了已知兩邊及其夾角、已知三邊直接解三角形的公式。如果已知兩角和一邊，是否也有相應的直接解三角形的公式呢？

初中我們學過：

1、等邊對等角；2、大邊對大角，小邊對小角。

我們可以作如下轉(zhuǎn)化：

利用正弦定理，既可以解決“已知兩角和一邊，解三角形”的問題，還可以解決“已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形”的問題。

思考2：向量的數(shù)量積運算中出現(xiàn)了角的余弦，而我們需要的是角的正弦，如何實現(xiàn)轉(zhuǎn)化？

方法總結(jié)：已知三角形的兩角和任一邊解三角形的基本思路(1)當所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一角所對邊，由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，再由正弦定理求第三邊．(2)當所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，再由正弦定理求另外兩邊．思考3：例10中的C為什么有兩種情況？方法總結(jié)：已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值．(2)如果已知的角為大邊所對的角，由三角形中“大邊對大角，大角對大邊”的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角(唯一)．(3)如果已知的角為小邊所對的角，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求得兩個角，要分類討論．

知識探究（五）：余弦定理、正弦定理應用舉例

例11在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷三角形的形狀解：由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2.∴A＝eq\f(π,2)，B＋C＝eq\f(π,2).∵sinA＝2sinBcosC，即sinA＝2sinBcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，∴1＝2sin2B，∵B∈(0，π)，∴sinB＝eq\f(\r(2),2)，∴B＝eq\f(π,4)，∴△ABC為等腰直角三角形．方法總結(jié)：判斷三角形形狀的方法判斷三角形的形狀，可以從考查三邊的關系入手，也可以從三個內(nèi)角的關系入手，從條件出發(fā)，利用正弦定理進行代換、轉(zhuǎn)化，呈現(xiàn)出邊與邊的關系或求出角與角的關系或大小，從而作出準確判斷。方法總結(jié)：解三角形在實際測量中的常見問題(1)距離問題解決問題策略選擇合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解．(2)高度問題解決問題策略測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面．將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，利用“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細規(guī)劃解題思想．(3)角度問題測量角度就是在三角形內(nèi)利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根據(jù)需要得出所求的角．解決問題策略測量角度問題主要指在海上或空中測量角度的問題，如確定目標的方位，觀察某一建筑物的視角等，解決它們的關鍵是根據(jù)題意和圖形的有關概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，需求哪些量，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得到所求量．正、余弦定理的綜合運用1.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝eq\r(7)，△ABC的面積為eq\f(3\r(3),2)，求△ABC的周長．解：(1)2cosC(acosB＋bcosA)＝c，由正弦定理，得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，2cosCsin(A＋B)＝sinC．因為A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)，所以sin(A＋B)＝sinC>0，所以2cosC＝1，cosC＝eq\f(1,2).因為C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC,7＝a2＋b2－2ab·eq\f(1,2)，即(a＋b)2－3ab＝7，S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)ab＝eq\f(3\r(3),2)，所以ab＝6，所以(a＋b)2－18＝7，a＋b＝5，所以△ABC的周長為a＋b＋c＝5＋eq\r(7).2、如圖所示，海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，一船正向南航行，在B處測得小島A在船的南偏東30°，航行30海里后，在C處測得小島在船的南偏東45°，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險？解、在△ABC中，BC＝30海里，B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠BAC＝15°，由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f(30,sin15°)＝eq\f(AC,sin30°)，AC＝eq\f(15,sin15°)＝eq\f(15,sin45°－30°)＝eq\f(15,sin45°cos30°－cos45°sin30°)＝eq\f(15,\f(\r(6)－\r(2),4))＝15(eq\r(6)＋eq\r(2))(海里)，∴A到直線BC的距離為d＝ACsin45°＝15(eq\r(3)＋1)≈40.98海里>38海里，所以繼續(xù)向南航行，沒有觸礁危險.學生探究平面向量在幾何中的應用。學生根據(jù)環(huán)環(huán)相扣的思考題，探究平面向量在向量及解三角形中的應用。學生通過練習題，鞏固平面向量的應用，并能夠靈活運用.學生和教師共同探究完成提升訓練。探究得出平面向量在幾何中的應用,培養(yǎng)學生探索的精神.通過思考，培養(yǎng)學生探索新知的精神和能力.利用練習題，化抽象為具體，提高學生的抽象能力和邏輯思維能力。通過提升訓練，鞏固基礎知識，發(fā)散學生思維，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和對數(shù)學的探索精神。課堂小結(jié)學生回顧本節(jié)課知識點，教師補充。讓學生掌握本節(jié)課知識點，并能夠靈活運用。板書7.1復數(shù)的概念教學設計課題7.1復數(shù)的概念單元第七單元學科數(shù)學年級高一教材分析本節(jié)內(nèi)容是復數(shù)的概念，基于之前所學的數(shù)系的發(fā)展歷程，由一元二次方程的根的問題導入，將數(shù)學擴充到復數(shù)范圍，并研究復數(shù)的概念及幾何意義，為復數(shù)的運算打好基礎。教學目標與核心素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：利用坐標系和平面向量將復數(shù)具體刻畫出來，便于更好的理解復數(shù)的幾何意義；2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力；3.數(shù)學建模：通過數(shù)系擴充將數(shù)擴大到復數(shù)范圍，以便于解決更多的實際問題，例如：一元二次方程判別式小于0時方程的解的問題；4.直觀想象：利用數(shù)形結(jié)合法探究復數(shù)相關概念；5.數(shù)學運算:能夠正確理解復數(shù)的概念及其幾何意義；6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導過程—得出結(jié)論—例題講解—練習鞏固的過程，讓學生認識到數(shù)學知識的邏輯性和嚴密性。重點數(shù)系擴充、復數(shù)概念及復數(shù)的幾何意義難點復數(shù)概念及復數(shù)的幾何意義教學過程教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖導入新課舊知導入：思考1：你還記得實數(shù)的發(fā)展歷程嗎？數(shù)系的擴充自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)

并用圖形表示其包含關系。思考2：為什么要將數(shù)系進行擴充？數(shù)系每次擴充的基本原則：第一、增加新元素；第二、原有的運算性質(zhì)仍然成立；第三、新數(shù)系能解決舊數(shù)系中的矛盾.思考3：方程無實數(shù)解；因為負實數(shù)不能開平方。為了解決正方形對角線的度量，以及這樣的方程在有理數(shù)集中無解的問題，人們把有理數(shù)集擴充到了實數(shù)集。根據(jù)這個方法，為了使負實數(shù)也能開平方，我們將數(shù)系進行擴充。依照這種思想，為了解決這樣的方程在實數(shù)系中無解的問題，我們設想引入一個新數(shù)i，使得x=i是方程的解。學生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。設置問題，回顧舊知，激發(fā)學生學習興趣，并引出本節(jié)新課。講授新課知識探究（一）：數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念思考4：把新引進的數(shù)i添加到實數(shù)集中，我們希望數(shù)i和實數(shù)之間仍然能像實數(shù)那樣進行加法和乘法運算，并希望加法和乘法滿足交換律、結(jié)合律，以及乘法對加法滿足分配率。那么，實數(shù)系經(jīng)過擴充后，得到的新數(shù)系由哪些數(shù)組成呢？依照以上設想，把實數(shù)b與i相乘，結(jié)果記作bi；把實數(shù)a與bi相加，結(jié)果記作a+bi.思考5：以上這些數(shù)有什么特點呢？所有實數(shù)以及i都可以寫成a+bi的形式，從而這些數(shù)都在擴充后的新數(shù)集中。復數(shù)的概念復數(shù)的代數(shù)形式其中，a是實部，b是虛部，i為虛數(shù)單位，復數(shù)的相等虛數(shù)與純虛數(shù)思考：復數(shù)集C和實數(shù)集R有什么聯(lián)系？我們已經(jīng)知道復數(shù)有如下分類：顯然，實數(shù)集R是復數(shù)集C的真子集。由此可得，數(shù)的發(fā)展歷程如下：自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復數(shù)小試牛刀1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若a，b為實數(shù)，則z＝a＋bi為虛數(shù)．(×)(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，則當且僅當m＝0，n≠0時，z為純虛數(shù)．(√)(3)bi是純虛數(shù)．(×)(4)如果兩個復數(shù)的實部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個復數(shù)相等．(√)2、判斷以下復數(shù)哪些是虛數(shù)？哪些是純虛數(shù)；并說出實部和虛部。例題講解例2、已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求實數(shù)m的值．解：∵M∪P＝P，∴M?P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝－1，,m2＋m－2＝0，))解得m＝1.方法總結(jié)：解決復數(shù)相等問題的步驟是：分別分離出兩個復數(shù)的實部和虛部，利用實部與實部相等、虛部與虛部相等列方程(組)求解．知識探究（二）：復數(shù)的幾何意義思考1:我們知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，因此實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示。那么，復數(shù)有什么幾何意義呢？規(guī)定：這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面。x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。顯然，實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。按照這種表示方法，每一個復數(shù)，有復平面內(nèi)唯一的一個點與它對應；反過來，復平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復數(shù)與它對應。由此可知，復數(shù)集C中的數(shù)與復平面內(nèi)的點按如下方式建立了一一對應關系。這就是復數(shù)的第一種幾何意義。思考2:在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復數(shù)是一一對應的，那么，你能用平面向量來表示復數(shù)嗎？這就是復數(shù)的另一種幾何意義。變式訓練1.在復平面內(nèi)，若復數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i對應點(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在直線y＝x上，分別求實數(shù)m的取值范圍．解：復數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的實部為m2－m－2，虛部為m2－3m＋2.(1)由題意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－2<0，,m2－3m＋2>0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<m<2，,m>2或m<1，))∴－1<m<1.(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，∴m＝2.2.已知平行四邊形OABC的三個頂點O，A，C對應的復數(shù)分別為0,3＋2i，－2＋4i，試求：(1)eq\o(AO,\s\up16(→))表示的復數(shù)；(2)eq\o(CA,\s\up16(→))表示的復數(shù)；(3)點B對應的復數(shù)．解：由題意得O為原點，