《直線與平面垂直的判定》教案、導(dǎo)學(xué)案、課后作業(yè)

《8.6.2直線與平面垂直》教案第1課時(shí)直線與平面垂直的判定【教材分析】在直線與平面的位置關(guān)系中，垂直是一種非常重要的關(guān)系，本節(jié)內(nèi)容既是直線與直線垂直關(guān)系的延續(xù)和提高，也是后續(xù)研究平面與平面垂直的基礎(chǔ)，既鞏固了前面所學(xué)的內(nèi)容，又為后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)做了知識(shí)上和方法上的準(zhǔn)備，在教材中起著承前啟后的作用。【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1．理解直線和平面垂直的判定定理并能運(yùn)用其解決相關(guān)問題.2．理解直線與平面所成角的概念，并會(huì)求一些簡(jiǎn)單的直線與平面所成角．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1．邏輯推理：探究歸納直線和平面垂直的判定定理，找垂直關(guān)系；2．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算：求直線與平面所成角；3．直觀想象：題中幾何體的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：①直線和平面垂直的判定定理及其應(yīng)用；②求直線與平面所成角.難點(diǎn)：直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，找垂直關(guān)系.【教學(xué)過程】一、情景導(dǎo)入問題1.在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)?？吹揭恍┲本€與平面垂直的現(xiàn)象，例如：“旗桿與地面，大橋的橋柱和水面等的位置關(guān)系”，你能舉出一些類似的例子嗎？問題2.易知旗桿與它在地面上的射影是垂直關(guān)系，那么一條直線與一個(gè)平面垂直的意義是什么？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本149-152頁，思考并完成以下問題1、直線與平面垂直的意義是什么？2、直線與平面垂直的判定定理是什么？用符號(hào)語言怎樣表示？3、什么是直線與平面所成角？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1.直線與平面垂直的概念如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α,直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面,直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)叫做垂足.2.直線與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號(hào)語言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直a∩b=P?l⊥a∩b=P3.直線與平面所成的角(1)如圖,一條直線PA和一個(gè)平面α相交,但不和這個(gè)平面垂直,這條直線叫做這個(gè)平面的斜線,斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足,過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影,平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.(2)一條直線垂直于平面,稱它們所成的角是直角;一條直線在平面內(nèi)或一條直線和平面平行,稱它們所成的角是0°的角,于是,直線與平面所成的角θ的范圍是0°≤θ≤90°.四、典例分析、舉一反三題型一線面垂直的概念與定理的理解例1下列說法中正確的個(gè)數(shù)是()①若直線l與平面α內(nèi)一條直線垂直,則l⊥α;②若直線l與平面α內(nèi)兩條直線垂直,則l⊥α;③若直線l與平面α內(nèi)兩條相交直線垂直,則l⊥α;④若直線l與平面α內(nèi)任意一條直線垂直,則l⊥α;⑤若直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直,則l⊥α.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由直線與平面垂直的判定定理和定義知正確的是③④,故選B.解題技巧（判定定理理解的注意事項(xiàng)）線面垂直的判定定理中,直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線,“相交”兩字必不可少,否則,就是換成無數(shù)條直線,這條直線也不一定與平面垂直.跟蹤訓(xùn)練一1、下列命題中,正確命題的序號(hào)是.①如果直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,那么l⊥α;②如果直線l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直,那么l⊥α;③若l不垂直于α,則在α內(nèi)沒有與l垂直的直線;④過一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條;⑤若a∥α,b⊥α,則a⊥b;⑥若a∥b,a⊥α,則b⊥α.【答案】④⑤⑥.【解析】根據(jù)線面垂直的定義,當(dāng)直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直時(shí),l⊥α,如果α內(nèi)的無數(shù)條直線互相平行,l與α不一定垂直,故①不正確;根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知,如果平面α內(nèi)的兩條直線不相交時(shí),l與α不一定垂直,故②不正確;當(dāng)l與α不垂直時(shí),l可能與α內(nèi)的無數(shù)條互相平行的直線垂直,故③不正確;由于過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.故④正確;⑤,⑥顯然正確.題型二直線與平面垂直的判定例2在三棱錐P-ABC中,H為△ABC的垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求證:PH⊥平面ABC.【答案】證明見解析【解析】如圖,連接AH,因?yàn)镠為△ABC的垂心,所以AH⊥BC,又AP⊥BC,AH∩AP=A,所以BC⊥平面AHP,又PH?平面AHP,所以PH⊥BC.同理可證PH⊥AB,又AB∩BC=B,所以PH⊥平面ABC.解題技巧(應(yīng)用判定定理的注意事項(xiàng))利用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直的關(guān)鍵是在這個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線,證明它們都和這條直線垂直.跟蹤訓(xùn)練二1、如圖,Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)S,且SA=SB=SC.點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn).(1)求證:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC.【答案】證明見解析【解析】:(1)如圖,取AB中點(diǎn)E,連接SE,DE,在Rt△ABC中,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),所以DE∥BC,且DE⊥AB.在△SAB中,因?yàn)镾A=SB,所以SE⊥AB.又SE∩DE=E,所以AB⊥平面SDE.因?yàn)镾D?平面SDE,所以AB⊥SD.在△SAC中,因?yàn)镾A=SC,D為AC的中點(diǎn),所以SD⊥AC.因?yàn)镾D⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,所以SD⊥平面ABC.(2)因?yàn)锳B=BC,D為斜邊AC的中點(diǎn),所以BD⊥AC.由(1)可知,SD⊥平面ABC.而BD?平面ABC,所以SD⊥BD.因?yàn)镾D⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.題型三直線與平面所成角例3在正方體中，求直線與平面所成的角？【答案】30°（或）【解析】連接，交于點(diǎn)O，再連接，因?yàn)槭窃谡襟w中，所以平面，所以是直線與平面所成的角．設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，所以在△A1BO中，，，所以，所以直線與平面所成的角的大小等于30°．解題技巧(求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟)(1)確定斜線與平面的交點(diǎn)(斜足);(2)通過斜線上除斜足以外的某一點(diǎn)作平面的垂線,連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影,則斜線和射影所成的銳角即為所求的角;(3)求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形.跟蹤訓(xùn)練三1、已知正三棱錐S-ABC的所有棱長(zhǎng)都相等,則SA與平面ABC所成角的余弦值為.【答案】.【解析】因?yàn)镾-ABC為正三棱錐,所以點(diǎn)S在底面ABC上的射影為△ABC的中心O,連接SO,AO,則∠SAO為SA與底面ABC所成的角,設(shè)正三棱錐的棱長(zhǎng)為a,在Rt△SOA中,AO=·asin60°=a,SA=a,所以cos∠SAO==.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書設(shè)計(jì)8.8.6.2直線與平面垂直第1課時(shí)直線與平面垂直的判定1、直線與平面垂直的定義例1例2例32、直線與平面垂直的判定定理3、直線與平面所成角七、作業(yè)課本152頁練習(xí)，162頁習(xí)題8.6的1、2、4、5題.【教學(xué)反思】本節(jié)課，學(xué)生基本掌握判定定理和線面角，但是在應(yīng)用中，書寫證明過程不太規(guī)范，需提高學(xué)生的邏輯思維能力.另一方面，求線面角時(shí)，找線面角有一定的困難，需給學(xué)生強(qiáng)調(diào)找垂線的方法.《8.6.2直線與平面垂直》導(dǎo)學(xué)案第1課時(shí)直線與平面垂直的判定【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識(shí)目標(biāo)1．理解直線和平面垂直的判定定理并能運(yùn)用其解決相關(guān)問題.2．理解直線與平面所成角的概念，并會(huì)求一些簡(jiǎn)單的直線與平面所成角．核心素養(yǎng)1．邏輯推理：探究歸納直線和平面垂直的判定定理，找垂直關(guān)系；2．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算：求直線與平面所成角；3．直觀想象：題中幾何體的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】：①直線和平面垂直的判定定理及其應(yīng)用；②求直線與平面所成角.【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】：直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，找垂直關(guān)系.【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本149-152頁，填寫。1.直線與平面垂直的概念如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都________,就說直線l與平面α互相垂直,記作________,直線l叫做平面α的________,平面α叫做直線l的________,直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)叫做________.2.直線與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號(hào)語言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的______________都垂直,則該直線與此平面垂直?l⊥α3.直線與平面所成的角(1)如圖,一條直線PA和一個(gè)平面α相交,但不和這個(gè)平面________,這條直線叫做這個(gè)平面的________,斜線和平面的交點(diǎn)A叫做________,過斜線上________的一點(diǎn)向平面引垂線PO,過垂足O和________的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影,平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的________,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.(2)一條直線垂直于平面,稱它們所成的角是________;一條直線在平面內(nèi)或一條直線和平面平行,稱它們所成的角是________的角,于是,直線與平面所成的角θ的范圍是0°≤θ≤90°.小試牛刀1.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的:①三角形的兩邊;②梯形的兩邊;③圓的兩條直徑;④正六邊形的兩條邊,則能保證該直線與平面垂直的是()A.①③ B.② C.②④ D.①②④2.已知直線a⊥平面α,直線b∥平面α,則a與b的關(guān)系為()A.a∥b B.a⊥bC.a,b相交不垂直 D.a,b異面不垂直3.若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于()A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC1與底面ABCD所成角的正弦值為.

【自主探究】題型一線面垂直的概念與定理的理解例1下列說法中正確的個(gè)數(shù)是()①若直線l與平面α內(nèi)一條直線垂直,則l⊥α;②若直線l與平面α內(nèi)兩條直線垂直,則l⊥α;③若直線l與平面α內(nèi)兩條相交直線垂直,則l⊥α;④若直線l與平面α內(nèi)任意一條直線垂直,則l⊥α;⑤若直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直,則l⊥α.A.1 B.2 C.3 D.4跟蹤訓(xùn)練一1、下列命題中,正確命題的序號(hào)是.

①如果直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,那么l⊥α;②如果直線l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直,那么l⊥α;③若l不垂直于α,則在α內(nèi)沒有與l垂直的直線;④過一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條;⑤若a∥α,b⊥α,則a⊥b;⑥若a∥b,a⊥α,則b⊥α.題型二直線與平面垂直的判定例2在三棱錐P-ABC中,H為△ABC的垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求證:PH⊥平面ABC.跟蹤訓(xùn)練二1、如圖,Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)S,且SA=SB=SC.點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn).(1)求證:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC.題型三直線與平面所成角例3在正方體中，求直線與平面所成的角？跟蹤訓(xùn)練三1、已知正三棱錐S-ABC的所有棱長(zhǎng)都相等,則SA與平面ABC所成角的余弦值為.

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.設(shè)l,m是兩條不同的直線,α是一個(gè)平面,則下列命題正確的是()A.若l⊥α,l∥m,則m⊥α B.若l∥α,m?α,則l∥mC.若l⊥m,m?α,則l⊥α D.若l∥α,m∥α,則l∥m2.已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn),PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC,垂足H,則H為△ABC的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心3.如圖所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是_________.4.如圖所示,∠ACB=90°,平面ABC外有一點(diǎn)P,PC=4cm,PF,PE垂直于BC,AC于點(diǎn)F,E,且PF=PE=2cm,那么PC與平面ABC所成角的大小為.

5．如圖，在四棱錐中，平面，，，且，是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面.答案小試牛刀1.A.2．B.3．C.4.33自主探究例1【答案】B【解析】由直線與平面垂直的判定定理和定義知正確的是③④,故選B.跟蹤訓(xùn)練一1、【答案】④⑤⑥.【解析】根據(jù)線面垂直的定義,當(dāng)直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直時(shí),l⊥α,如果α內(nèi)的無數(shù)條直線互相平行,l與α不一定垂直,故①不正確;根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知,如果平面α內(nèi)的兩條直線不相交時(shí),l與α不一定垂直,故②不正確;當(dāng)l與α不垂直時(shí),l可能與α內(nèi)的無數(shù)條互相平行的直線垂直,故③不正確;由于過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.故④正確;⑤,⑥顯然正確.例2【答案】證明見解析【解析】如圖,連接AH,因?yàn)镠為△ABC的垂心,所以AH⊥BC,又AP⊥BC,AH∩AP=A,所以BC⊥平面AHP,又PH?平面AHP,所以PH⊥BC.同理可證PH⊥AB,又AB∩BC=B,所以PH⊥平面ABC.跟蹤訓(xùn)練二1、【答案】證明見解析【解析】:(1)如圖,取AB中點(diǎn)E,連接SE,DE,在Rt△ABC中,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),所以DE∥BC,且DE⊥AB.在△SAB中,因?yàn)镾A=SB,所以SE⊥AB.又SE∩DE=E,所以AB⊥平面SDE.因?yàn)镾D?平面SDE,所以AB⊥SD.在△SAC中,因?yàn)镾A=SC,D為AC的中點(diǎn),所以SD⊥AC.因?yàn)镾D⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,所以SD⊥平面ABC.(2)因?yàn)锳B=BC,D為斜邊AC的中點(diǎn),所以BD⊥AC.由(1)可知,SD⊥平面ABC.而BD?平面ABC,所以SD⊥BD.因?yàn)镾D⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.例3【答案】30°（或）【解析】連接，交于點(diǎn)O，再連接，因?yàn)槭窃谡襟w中，所以平面，所以是直線與平面所成的角．設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，所以在△A1BO中，，，所以，所以直線與平面所成的角的大小等于30°．跟蹤訓(xùn)練三1、【答案】.【解析】因?yàn)镾-ABC為正三棱錐,所以點(diǎn)S在底面ABC上的射影為△ABC的中心O,連接SO,AO,則∠SAO為SA與底面ABC所成的角,設(shè)正三棱錐的棱長(zhǎng)為a,在Rt△SOA中,AO=·asin60°=a,SA=a,所以cos∠SAO==.當(dāng)堂檢測(cè) 1-2.AB3.4.4.45°.5．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，所以平面，又平面，所?（2）由，，可得，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.由（1）知，且，所以平面.又平面，所以.因?yàn)槠矫妫矫?，所?又，，，平面，所以平面，又平面，所以.又，所以平面.《8.6.2直線與平面垂直》課后作業(yè)第1課時(shí)直線與平面垂直的判定基礎(chǔ)鞏固1．已知和是兩條不同的直線，和是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中，一定能推出的是（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且2．如圖所示的正方形中，分別是，的中點(diǎn)，現(xiàn)沿，，把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使，，重合為點(diǎn)，則有（）A．平面 B．平面C．平面 D．平面3．把正方形沿對(duì)角線折起，當(dāng)以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的棱錐體積最大時(shí)，直線和平面所成的角的大小為（）A．90° B．60 C．45° D．30°4．如圖，在正方體中，是底面的中心，，為垂足，則與平面的位置關(guān)系是（）A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不對(duì)5．在長(zhǎng)方體中，，與平面所成的角為，則該長(zhǎng)方體的體積為（）A． B． C． D．6．一條與平面相交的線段，其長(zhǎng)度為10cm，兩端點(diǎn)到平面的距離分別是2cm，3cm，則線段與平面所成的角是________.7．如圖，在直三棱柱中，底面是為直角的等腰直角三角形，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，當(dāng)_______時(shí)，平面.8．如圖，在四面體中，，，，分別為，的中點(diǎn)，且.求證：平面.能力提升9．在正三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)為，底面三角形的邊長(zhǎng)為1，則與側(cè)面所成角的大小為（）A． B． C． D．10．如圖，在正方體中，有下列結(jié)論：①AC//平面；②平面；③與底面所成角的正切值是；④與為異面直線.其中正確結(jié)論的序號(hào)是______.（把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）11．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，與的交點(diǎn)為，平面，，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正切值.素養(yǎng)達(dá)成12．如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中（側(cè)棱與底面垂直的棱柱），AC=BC=1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中點(diǎn)．（1）求證：C1D⊥平面AA1B1B；（2）當(dāng)點(diǎn)F在BB1上的什么位置時(shí)，AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論．《8.6.2直線與平面垂直》課后作業(yè)答案解析第1課時(shí)直線與平面垂直的判定基礎(chǔ)鞏固1．已知和是兩條不同的直線，和是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中，一定能推出的是（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】B【解析】A中，，且，則，故A錯(cuò)誤；一條直線垂直于平面，則與這條平行的直線也垂直于這個(gè)平面，易知B正確；C、D中，或或m與相交均有可能，故C、D錯(cuò)誤.故選：B2．如圖所示的正方形中，分別是，的中點(diǎn)，現(xiàn)沿，，把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使，，重合為點(diǎn)，則有（）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】A【解析】由題意：，，，平面所以平面正確，D不正確；.又若平面，則，由平面圖形可知顯然不成立；同理平面不正確；故選：A3．把正方形沿對(duì)角線折起，當(dāng)以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的棱錐體積最大時(shí)，直線和平面所成的角的大小為（）A．90° B．60 C．45° D．30°【答案】C【解析】記正方形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，將正方形沿對(duì)角線折起后，如圖，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐的體積最大.為直線和平面所成的角，∵因?yàn)檎襟w對(duì)角線相互垂直且平分，所以在Rt△DOB中，，∴直線和平面所成的角大小為45°.故選：C.4．如圖，在正方體中，是底面的中心，，為垂足，則與平面的位置關(guān)系是（）A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不對(duì)【答案】A【解析】連接.∵幾何體是正方體，底面是正方形，∴.又∵，∴平面.∵平面，∴.∵，∴平面.故選A.5．在長(zhǎng)方體中，，與平面所成的角為，則該長(zhǎng)方體的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在長(zhǎng)方體中，連接，根據(jù)線面角的定義可知，因?yàn)?，所以，從而求得，所以該長(zhǎng)方體的體積為，故選C.6．一條與平面相交的線段，其長(zhǎng)度為10cm，兩端點(diǎn)到平面的距離分別是2cm，3cm，則線段與平面所成的角是________.【答案】.【解析】如圖，作出，，則，確定的平面與平面交于，且與相交于，因?yàn)?，則，.即線段與平面所成的角是.故答案為7．如圖，在直三棱柱中，底面是為直角的等腰直角三角形，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，當(dāng)_______時(shí)，平面.【答案】或【解析】由已知得是等腰直角三角形，，是的中點(diǎn)，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴.若平面，則.設(shè)，則，，∴，解得或.8．如圖，在四面體中，，，，分別為，的中點(diǎn)，且.求證：平面.【答案】證明見解析【解析】取的中點(diǎn)為，連接，.∵，分別為，的中點(diǎn)，∴//，又為的中點(diǎn)，，∴.∵，∴，∴，∴.∵，∴.又，平面∴平面.能力提升9．在正三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)為，底面三角形的邊長(zhǎng)為1，則與側(cè)面所成角的大小為（）A． B． C．