2024屆高考數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)：集合與常用邏輯用語集合的概念與運(yùn)算

2024屆高考數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí).集合與常用邏輯用語集合的概念與運(yùn)算

1.集合的基本概念

(1)集合的概念：:

(2)集合中元素的三個(gè)特性：

(3)集合的三種表示方法:

2.集合的運(yùn)算(1)子集：若對(duì)于任意的xe/都有xWB,則

若任3,且,則/B；。是集合的子集,

是集合的真子集.

(2)交集：AC8={:}；

(3)并集：AUB={}；

(4)補(bǔ)集：若〃為全集，AJU,

貝式的={};AH[UA=；

AU[UA=；MUA)^.

3.集合的常用運(yùn)算性質(zhì)

(1)JCgAnB=臺(tái),UB=.

(2)=；

____________；

(3)card(4U而=card(/)+card(而—.

題型一集合的基本概念

例1(1)設(shè)集合P={x|x=(+/,?ez},g={x|x=1+|,?ez},則()

A.P=QB.P(Ze

c.QUPD.PCQ=。

(2)若集合A={y|j=3"i},B={x\y—yjlx2),則ACB=()

A.0B.[-1,0)

c.(0,1]D.[-1,1]

思考題1⑴設(shè)201ie{x,舊,x2},則滿足條件的所有x組成的集合

的真子集的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4

C.7D.8

思考題：設(shè)S為復(fù)數(shù)集。的非空子集.若對(duì)任意x,yes,

都有x+y，x—y,xy《S,則稱S為封閉集.下列命題：

①集合S={a+6i|a,6為整數(shù)，i為虛數(shù)單位}為封閉集；

②②若S為封閉集，則一定有OGS；③封閉集一定是無限集；

③④若S為封閉集，則滿足SW7EC的任意集合7也是封閉集.

④其中的真命題是.（寫出所有真命題的序號(hào)）

題型二集合間的基本關(guān)系

例2（1）已知全集。=11,則正確表示集合"={一1，0,1}

和％={工￡+*=0}關(guān)系的韋恩（Venn）圖是（）

(2)已知集合A={x|log2*<2},5=(—8,a),

若AU5,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(c,+8),其中c=.

題型三集合的基本運(yùn)算

例3(1)若集合4={x||x|WLxGR},B^{y\y=x2,x^R},

貝!)

A.{x|-1W后1}B.{x|x20}

C.{x|0W后1}D.0

(2)若4、B、C為三個(gè)集合，且4UQ6CC,則一定有()

A.A^CB.C^A

C.A^CD.4=0

(3)對(duì)于復(fù)數(shù)a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性質(zhì)”對(duì)任意x,y^S,

(a=l

必有孫￡S”,則當(dāng)《川=1時(shí)，o+c+d等于()

[c2=b

A.1B.—1

C.0D.i

5）設(shè)4={x|立一8x+15=0},B={x\ax-1=0}.若回4求由實(shí)數(shù)a的所有可能的值組成的集合，并

寫出它的所有非空真子集.

本節(jié)小結(jié):

1.對(duì)集合的表示及子、交、并、補(bǔ)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)要深刻理解.

2.樹立“數(shù)形結(jié)合”的思想意識(shí)：

①在深刻理解集合的交、并、補(bǔ)概念的基礎(chǔ)上，用韋恩圖解有關(guān)集合

問題，可化難為易

②兩個(gè)集合都是不等式的解集時(shí)，求它們的交、并、補(bǔ)通常用數(shù)軸直觀

顯示，但要注意區(qū)間的開與閉.

3.注意五個(gè)等價(jià)關(guān)系式

3CUANCUB^AACUB=0.

4.集合作為工具經(jīng)常滲透到函數(shù)、不等式等知識(shí)中，同時(shí)新題型集合

的概念及運(yùn)算問題也是熱點(diǎn)問題.

命題、邏輯聯(lián)結(jié)詞

1.邏輯聯(lián)結(jié)詞與命題

⑴命題：.

(2)邏輯聯(lián)結(jié)詞：.

(3)簡(jiǎn)單命題：.

(4)復(fù)合命題：________________________________

2.命題真值表

(1)非p形：若。真，則㈱。為；若。假，則㈱。為.

(2)。且。形：若p、g真，則。且。為；若p、g一真一假，

則P且<7為;若。、。假，則。且q為.

(3)?；騫形：若p、。真，貝!Jp或。為;p、。一真一假，

則P或。為;若。假，則。或q為.

3.四種命題及其相互關(guān)系

(1)原命題為“若P則q”,則它的逆命題為;

否命題為;逆否命題為.

(2)原命題與它的等價(jià)；

逆命題與它的等價(jià).

題型一邏輯聯(lián)結(jié)詞

例1分別寫出由下列各組命題構(gòu)成的“P或q”、“P且4”、“非P”

形式的復(fù)合命題，并判斷其真假.

(l)p：菱形的對(duì)角線相等，q：菱形的對(duì)角線互相垂直.

(2)p：aG{a,b,c},q：{a}{a,b,c}.

(3)p：不等式M+2x+2>l的解集是R,q：不等式M+2x+2<l的

解集為。.

探究1判斷一個(gè)復(fù)合命題的真假往往用真值表，一般先確定復(fù)合命題

的構(gòu)成形式，然后根據(jù)簡(jiǎn)單命題的真假和真值表得出結(jié)論.

在判斷復(fù)合命題的真假，應(yīng)記住：P且q形式是“一假必假，全真才真”，

?；?7形式是“一真必真，全假才假”，非。則是“與P的真假相反”.

思考題1設(shè)0：函數(shù)y=logax在(0,+8)上為減函數(shù);

q：不等式M+ax+a>0的解集為R.如果“0或q”為真，

且“0且q"為假，則常數(shù)a的取值范圍是.

題型二四種命題及其真假的判定

例2分別寫出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷它們的真假.

(1)若gVl,則方程M+2x+q=0有實(shí)根；

(2)若ab=0,則a=0或6=0；

(3)若實(shí)數(shù)x、y滿足必+必=0,則x、y全為零.

探究2①若說明命題為真命題，必須證明，若說明命題為假命題只需

舉出一個(gè)反例即可.

②原命題與逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真同假.

③非S且力=(非P)或(非Q);非(P或q)=(非P)且(非Q)

④寫出否命題是此類題的難點(diǎn).

思考題2分別寫出下列各命題的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷它們的真假.

(1)若a>b且c>d,則a+c>b+d

(2)若水0,則方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)數(shù)根.

充要條件

知識(shí)要點(diǎn)：

一、充要條件

(1)若,則。是°的充分非必要條件；

(2)若,則p是q的必要非充分條件；

⑶若,則。是°的充要條件;

(4)若，則。是。的非充分非必要條件.

二、充分、必要條件的判定方法

(1)定義法；(2)傳遞法；

(3)集合法：若。以集合力的形式出現(xiàn)，g以集合方的形式出現(xiàn),

即/={x|p(x)},B=[x\q{x)},則

①若如8,則。是0的充分條件；

②若則。是g的必要條件；

③若4=8,則。是g的充要條件；

(4)等價(jià)命題法：利用原命題和逆否命題是等價(jià)的這個(gè)結(jié)論，

有時(shí)可以準(zhǔn)確快捷地得出結(jié)果.

三、典型例題

例1判斷下列各題中，。是g的什么條件?

(l)p：a>b,q：a>b—1.

(2)p：a>b,q：lga>lgb

(3)p：a>b,q：2a>2b

(4)p：a>b,q：a2>b2

探究判定充要條件應(yīng)注意：

①弄清條件P和結(jié)論Q分別是什么？

②嘗試戶仍gp.

③一定要熟悉命題內(nèi)容涉及到的知識(shí).

思考題判斷下列各題中p是q的什么條件？

(1)p：a>b,q：\[a>\[b.

(2)p：a>b,q：2">2”-1.

(3)p：2%—320,q：xWl或x22.

(4)p：zUBC中，NAW60°,q：sinAW坐.

(5)