備戰(zhàn)2024年中考-專題05 一元二次方程（講義）（解析版）

第第頁專題05一元二次方程核心知識點精講1．理解一元二次方程的概念．2．掌握一元二次方程的解法，包括直接開方法、配方法、公式法、因式分解法等．3．理解根的判別式的定義．4．掌握一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系。5.掌握一元二次方程的應(yīng)用方法?？键c1一元二次方程的概念1.一元二次方程定義：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左邊十一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項?？键c2一元二次方程的解法1.直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時，，，當(dāng)b<0時，方程沒有實數(shù)根。2.配方法配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有。3.公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：4.因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。如，則。考點3根的判別式1.根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即。當(dāng)方程有2個不等的實數(shù)根；當(dāng)方程有2個相等的實數(shù)根；當(dāng)方程無實數(shù)根；考點4一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程的兩個實數(shù)根是，那么，。也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商。2.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用：（1）知道一元二次方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求關(guān)于一元二次方程的代數(shù)式的值，如：①；②；③考點5一元二次方程的應(yīng)用1.列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：（1）審題；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）列方程；（4）解方程；（5）檢驗；（6）作答.2.常見的題型（1）增長率問題：設(shè)a為原來的量，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量，則a（1+x）n=b；當(dāng)x為下降率時，則有a（1-x）n=b；（2）面積問題常見圖形：（3）利潤問題；（4）握手問題。【題型1：一元二次方程的概念】【典例1】（2023秋?寶安區(qū)校級）下列是一元二次方程的是（）A．x3﹣x＝1 B．2x?1=3 C．x2﹣x+1＝0 D．【答案】C【分析】只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．根據(jù)一元二次方程的定義分析判斷即可．【解答】解：A．x3﹣x＝1，未知數(shù)的最高次數(shù)是3，不是一元二次方程，故不符合題意；B．2x?1=3C．x2﹣x+1＝0，是一元二次方程，符合題意；D．x?2故選：C．1．（2022秋?增城區(qū)校級期末）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x﹣y＝1 B．x＝3 C．x2﹣1＝0 D．xy﹣1＝0【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義（只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程，叫做一元二次方程）逐項判斷即可得．【解答】解：A、x﹣y＝1是二元一次方程，此項不符合題意；B、x＝3是一元一次方程，此項不符合題意；C、x2﹣1＝0是一元二次方程，此項符合題意；D、xy﹣1＝0含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，則此項不符合題意．故選：C．2．（2022秋?新會區(qū)校級期中）下列方程中是一元二次方程的是（）①2（x+1）2＝0；②x+2y＝6；③x2﹣4x﹣5＝0；④3x2＝5．A．①③④ B．①④ C．①③ D．③④【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行逐一判斷即可．【解答】解：①2（x+1）2＝0是一元二次方程；②x+2y＝6，含有兩個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次不是2，不是一元二次方程；③x2﹣4x﹣5＝0是一元二次方程；④3x2＝5是一元二次方程；∴①③④是一元二次方程，故選：A．3．（2023秋?南海區(qū)期中）一元二次方程4x2+1＝6x的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）A．4，1，6 B．4，6，1 C．4，﹣6，1 D．4，﹣6，﹣1【答案】C【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項即可．【解答】解：4x2+1＝6x，移項，得4x2﹣6x+1＝0，所以一元二次方程4x2+1＝6x的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是4，﹣6，1．故選：C．【題型2：一元二次方程的解法】【典例2】（2023?南海區(qū)模擬）已知a是方程x2﹣2x﹣2023＝0的根，則代數(shù)式2a2﹣4a﹣2的值為（）A．4044 B．﹣4044 C．2024 D．﹣2024【答案】A【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到a2﹣2a＝2023，再把2a2﹣4a﹣2變形為2（a2﹣2a）﹣2，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣2023＝0的根，∴a2﹣2a﹣2023＝0，即a2﹣2a＝2023，∴2a2﹣4a﹣2＝2（a2﹣2a）﹣2＝2×2023﹣2＝4046﹣2＝4044．故選：A．【典例3】（2023秋?白云區(qū)期中）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0時，配方后的方程是（）A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝10 D．（x﹣2）2＝10【答案】D【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：x2﹣4x﹣6＝0，x2﹣4x＝6，x2﹣4x+4＝6+4，（x﹣2）2＝10，故選：D．【典例4】（2023秋?東莞市校級期中）請用兩種方法解方程：x2﹣6x+5＝0．【答案】x1＝1，x2＝5．【分析】利用因式分解法和配方法分別解方程即可．【解答】解：因式分解法：x2﹣6x+5＝0，（x﹣1）（x﹣5）＝0．∴x﹣1＝0，x﹣5＝0，∴x1＝1，x2＝5．配方法：x2﹣6x+5＝0，x2﹣6x＝﹣5x2﹣6x+9＝﹣5+9，（x﹣3）2＝4，x﹣3＝±2∴x1＝1，x2＝5．1.（2023秋?廉江市）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2【答案】A【分析】直接將x＝1代入方程，即可得出答案．【解答】解：∵x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，∴1﹣2+a＝0，∴a＝1，故答案為：A．2．（2023秋?龍華區(qū)校級）把方程x2﹣6x+1＝0轉(zhuǎn)化成（x+m）2＝n的形式，則m、n的值是（）A．3，8 B．3，10 C．﹣3，10 D．﹣3，8【答案】D【分析】根據(jù)解一元二次方程﹣配方法進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：x2﹣6x+1＝0，移項得：x2﹣6x＝﹣1，配方得：x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，∵方程x2﹣6x+1＝0轉(zhuǎn)化成（x+m）2＝n的形式，∴m＝﹣3，n＝8．故選：D．3．（2023秋?寶安區(qū)期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，則配方正確的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7【答案】C【分析】先把﹣3移到方程的右邊，然后方程兩邊都加4，再把左邊根據(jù)完全平方公式寫成完全平方的形式即可．【解答】解：∵x2﹣4x﹣3＝0，∴x2﹣4x＝3，∴x2﹣4x+4＝3+4，∴（x﹣2）2＝7．故選：C．4．（2023秋?中山市期中）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+4＝0，配方后得到的方程是（）A．（x+6）2＝5 B．（x﹣6）2＝5 C．（x+3）2＝5 D．（x﹣3）2＝5【答案】D【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：x2﹣6x+4＝0，x2﹣6x＝﹣4，x2﹣6x+9＝﹣4+9，（x﹣3）2＝5，故選：D．5．（2023秋?珠海校級）用公式法解一個一元二次方程的根為x=?5±A．6，5，1 B．3，5，﹣1 C．3，5，1 D．3，﹣5，1【答案】C【分析】先寫出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式，然后根據(jù)公式，結(jié)合已知方程的根，列出關(guān)于a，b，c的方程，解方程即可．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的求根公式為：x=?b±b2∴2a＝6，﹣b＝﹣5，b2﹣4ac＝13，∴a＝3，b＝5，52﹣4×3c＝13，∴c＝1，∴此方程的二項式系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項分別為：3，5，1，故選：C．6．（2023秋?深圳）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?x（x+3）＝（x+3）2．【答案】x1＝﹣3，x2＝3．【分析】先把等號右邊的部分移到左邊，然后提取公因式x+3，進(jìn)行因式分解，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程，進(jìn)行解答即可．【解答】解：2x（x+3）＝（x+3）2，2x（x+3）﹣（x+3）2＝0，（x+3）（2x﹣x﹣3）＝0，（x+3）（x﹣3）＝0，x+3＝0，x﹣3＝0，x1＝﹣3，x2＝3．7．（2023秋?順德區(qū)校級月考）用因式分解法解方程9x2＝（x﹣2）2時，因式分解結(jié)果正確的是（）A．4（2x﹣1）（x﹣1）＝0 B．4（2x+1）（x﹣1）＝0 C．4（2x﹣1）（x+1）＝0 D．4（2x+1）（x+1）＝0【答案】C【分析】移項，然后利用平方差公式分解因式解即可．【解答】解：9x2＝（x﹣2）2，9x2﹣（x﹣2）2＝0，（3x+x﹣2）（3x﹣x+2）＝0，（4x﹣2）（2x+2）＝0，4（2x﹣1）（x+1）＝0，故選：C．【題型3：根的判別式】【典例5】（2023秋?南山區(qū)）若關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+4x+1＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≤5且m≠1 B．m≥5 C．m≤5 D．m＜5【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根，分兩種情況討論：①此方程為一元一次方程，求出m的值；②此方程為一元二次方程，根據(jù)判別式大于等于0，二次項系數(shù)不為0，列出不等式組，解不等式組，求出m的取值范圍即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+4x+1＝0有實數(shù)根，∴分兩種情況討論：①此方程是一元一次方程時，m﹣1＝0，∴m＝1時，方程為4x+1＝0，x=?1此時方程有一個實數(shù)根；②若此方程是一元二次方程時，則b2﹣4ac≥0，m﹣1≠0，∴42由①得：16﹣4m+4≥0，﹣4m≥﹣20，m≤5，由②得：m≠1，∴m的求值范圍為：m≤5且m≠1，綜上可知：m≤5故選：C．【典例6】（2023秋?廣州校級）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的值為（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．2【答案】A【分析】若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立關(guān)于m的方程，即可求解．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4．故選：A．1.（2023?鄲城縣二模）若關(guān)于x的方程kx2+4x﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k＜2 D．k＜2且k≠0【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式，得出k≠0且Δ＝42+8k＞0，即可得到k的取值范圍．【解答】解：∵關(guān)于x的方程kx2+4x﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴k≠0且Δ＝42+8k＞0，解得：k＞﹣2且k≠0．∴k的取值范圍是k＞﹣2且k≠0．故選：B．2．（2022秋?越秀區(qū)）不解方程，判斷方程2x2﹣6x＝7的根的情況是（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【答案】B【分析】利用根的判別式Δ＝b2﹣4ac進(jìn)行求解并判斷即可．【解答】解：∵2x2﹣6x＝7，∴2x2﹣6x﹣7＝0，原方程中，a＝2，b＝﹣6，c＝﹣7，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣7）＝36+56＝92＞0，∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：B．3．（2023?廣東模擬）關(guān)于一元二次方程x2+2x+1＝0根的情況，下列說法中正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【解答】解：由題意得，Δ＝22﹣4×1×1＝0，∴方程有兩個相等的實數(shù)根．故選：B．4．（2023?白云區(qū)二模）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程x2﹣2x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根可知Δ＝0，故可得出關(guān)于k的方程，求出k的值即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝0，即Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，解得k＝1．故選：B．5．（2023秋?順德區(qū)）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有實數(shù)根，則m的值可以是（）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程x2+2x+m＝0有實數(shù)根得出Δ＝22﹣4×1×m≥0，再求出m≤1，再找出選項即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有實數(shù)根，∴Δ＝22﹣4×1×m≥0，∴m≤1，只有0符合題意，2、4、6都不符合．故選：A．【題型4：一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系】【典例7】（2023?東莞市校級模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的解為x1＝2，x2＝b，則代數(shù)式（2a+b）2023的值為（）A．1 B．0 C．﹣1 D．52023【答案】C【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到2+b=?a2b=?6，解得a=1【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的解為x1＝2，x2＝b，∴2+b=?a2b=?6，解得a=1∴（2a+b）2023＝（2﹣3）2023＝﹣1，故選：C．1．（2023秋?東莞市期中）已知關(guān)于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1和x2．（1）求k的取值范圍；（2）用含k的代數(shù)式直接寫出x1+x2＝2k+2，x1?x2＝k2﹣3；（3）若x12+x22=x【答案】（1）k＞﹣2；（2）2k+2，k2﹣3；（3）k＝﹣1．【分析】（1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根，則Δ＝b2﹣4ac＞0；有兩個相等的實數(shù)根，則Δ＝b2﹣4ac＝0；沒有實數(shù)根，則Δ＝b2﹣4ac＜0．據(jù)此即可求解；（2）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個根為x1，x2，則x1（3）利用（2）中所得結(jié)論即可求解．【解答】解：（1）由題意得：Δ＝b2﹣4ac＝4（k+1）2﹣4（k2﹣3）＝8k+16，∴8k+16＞0解得：k＞﹣2，（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2＝2k+2，x1故答案為：2k+2，k2﹣3；（3）∵x1+x2＝2k+2，又x1∴(x即：(x由（2）可得：（2k+2）2＝3（k2﹣3）+6，整理得：k2+8k+7＝0，∴k1＝﹣1，k2＝﹣7，∵k＞﹣2，∴k＝﹣1．2.（2023秋?羅湖區(qū)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）試證明：對于任意的實數(shù)k，x＝2是這個方程的一個根；（2）若方程兩根的平方和等于2k+7，求k的值．【答案】（1）答案見解答過程；（2）k＝﹣1或k＝3．【分析】（1）將x＝2代入一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0之中，即可得出結(jié)論；（2）由（1）可知該方程的一根為x＝2，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求出另一根為x＝k，然后根據(jù)方程兩根的平方和等于2k+7，得k2+22＝2k+7，再解這個方程即可求出k的值．【解答】（1）證明：當(dāng)x＝2時，x2﹣（k+2）x+2k＝22﹣（k+2）×2+2k＝0，∴對于任意的實數(shù)k，x＝2是這個方程的一個根；（2）由（1）可知：x2﹣（k+2）x+2k＝0的一個根為：x＝2，設(shè)該方程的另一個根為x1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：2x1＝2k，解得：x1＝k，∵該方程兩根的平方和等于2k+7，∴k2+22＝2k+7，整理得：k2﹣2k﹣3＝0，解得：k＝﹣1或k＝3．3．（2023秋?南海區(qū)月考）已知關(guān)于x的﹣元二次方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0．（1）求證：不論k取何值，方程總有實數(shù)根；（2）已知方程的兩根為x1x2，且滿足x2x1（3）已知方程的兩根為x1，x2(x1【答案】（1）答案見解答過程；（2）﹣1；（3）34【分析】（1）根據(jù)判別式得Δ＝4（k﹣1）2≥0，，據(jù)此可得出結(jié)論；（2）首先由x2x1+x1x2?2=0可得出x1＝x2，據(jù)此得關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0有兩個相等的實數(shù)根，進(jìn)而得判別式4（k﹣1）2（3）首先解一元方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0的兩根為x＝2k或x＝2，再根據(jù)x1＞x2且k＜12判定x1＝2，x2＝2k，然后將其代入y=x22【解答】（1）證明：∵判別式Δ＝[﹣（2k+2）]2﹣4×1×4k＝4k2﹣8k+4＝4（k﹣1）2≥0，∴不論k取何值，方程總有實數(shù)根，（2）解：∵x2∴x1即：x12+x22＝2x1∴（x1﹣x2）2＝0，∴x1＝x2，∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0的兩個根為x1，x2，∴關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0的兩個根相等，∴判別式4（k﹣1）2＝0，∴k＝1，∴(1+=k=k=k=1＝﹣1．（3）將一元方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0轉(zhuǎn)化為（x﹣2k）（x﹣2）＝0，∴一元方程x2﹣（2k+2）x+4k＝0的兩根為x＝2k或x＝2，∵x1＞x2且k＜1∴x1＝2，x2＝2k，∴y=＝（2k）2﹣2k+1＝4k2﹣2k+1＝4（k?14）2∵4（k?14）∴4（k?14）2∴y的最小值為34【題型5：一元二次方程的應(yīng)用】【典例8】（2023秋?羅定市）化橘紅是一種名貴中藥材，具有散寒燥濕，利氣消疾，止咳、健脾消食等功效，有“南方人參”之稱．在地理標(biāo)志保護(hù)和運(yùn)用工作加持下，化橘紅開始走上品牌化發(fā)展之路．已知化州市2020年化橘紅的種植面積是10萬畝，到2022年種植面積達(dá)到11.62萬畝，若設(shè)這兩年化橘紅的種植面積的年平均增長率為x，則可列方程為（）A．10（1+x）＝11.62 B．10（1+x2）＝11.62 C．10（1﹣x）＝11.62 D．10（1+x）2＝11.62【答案】D【分析】設(shè)這兩年“化橘紅”種植面積的平均增長率為x，根據(jù)2020年及2022年“化橘紅”的種植面積即可得出關(guān)于x的一元二次方程，【解答】解：設(shè)這兩年“化橘紅”種植面積的平均增長率為x，根據(jù)題意得，10（1+x）2＝11.62．故選：D．【典例9】（2023秋?惠陽區(qū)校級月考）某商場銷售一批兒童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：這種玩具的售價每降低1元，平均每天能多售出2件，設(shè)每件玩具降價x元．（1）降價后，商場日銷售量增加2x件，每件盈利（40﹣x）元；（用含x的式子表示）（2）為了擴(kuò)大銷售，盡快減少庫存，商場決定采取降價措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具應(yīng)降價多少元？【答案】（1）2x；（40﹣x）；（2）20元．【分析】（1）根據(jù)“這種玩具的售價每降低1元時，平均每天能多售出2件”結(jié)合每件玩具的原利潤及降價x元，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)總利潤＝每件利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵每件玩具降價x元，∴商場日銷售量增加2x件，每件盈利（40﹣x）元，故答案為：2x；（40﹣x）．（2）依題意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理，得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．∵為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，∴x＝20．答：每件玩具應(yīng)降價20元．1.（2022秋?越秀區(qū)校級期末）為控制物價上漲，有關(guān)部門進(jìn)行多項舉措，某種藥品經(jīng)過兩次降價，每盒由原來的28.8元降至20元，求平均每次的降價率是多少？設(shè)平均每次的降價率為x，可列方程為28.8（1﹣x）2＝20．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】設(shè)平均每次的降價率為x，根據(jù)該藥品的原價及經(jīng)過兩次降價后的價格，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意，得：28.8（1﹣x）2＝20．故答案為：28.8（1﹣x）2＝20．2．（2023秋?鄲城縣月考）有一個兩位數(shù)，它們的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和為8，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)就得1855，求這個兩位數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】設(shè)個位為x，則十位上的數(shù)字為8﹣x，根據(jù)如果十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調(diào)，則所得兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)就得1855，求解即可．【解答】解：設(shè)原來個位為x，則十位上的數(shù)字為8﹣x，由題意得，[10×（8﹣x）+x][10x+8﹣x]＝1855解得：x1＝3，x2＝5，原來十位上的數(shù)字為5或3，答：原來這個兩位數(shù)53或35．3．（2022秋?越秀區(qū)期末）某市為鼓勵居民節(jié)約用水，對居民用水實行階梯收費(fèi)，每戶居民用水量每月不超過a噸時，每噸按0.3a元繳納水費(fèi)；每月超過a噸時，超過部分每噸按0.4a元繳納水費(fèi)．（1）若a＝12，某戶居民3月份用水量為22噸，則該用戶應(yīng)繳納水費(fèi)多少元？（2）若下表是某戶居民4月份和5月份的用水量和繳費(fèi)情況：月份用水量（噸）交水費(fèi)總金額（元）4186252486根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求a的值．【答案】（1）91.2；（2）10．【分析】（1）根據(jù)分段計費(fèi)直接求出水費(fèi)即可；（2）根據(jù)題意確定a的取值范圍，然后列方程求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)a＝12時，每戶居民用水量每月不超過12噸時，每噸按0.3×12＝3.6元繳納水費(fèi)；每月超過12噸時，超過部分每噸按0.4×12＝4.8元繳納水費(fèi)，∴某戶居民3月份用水量為22噸，則該用戶應(yīng)繳納水費(fèi)為12×3.6+（22﹣12）×4.8＝91.2（元）；（2）∵18×0.3×18＝97.2＞62，∴a＜18，根據(jù)題意得0.3a?a+（18﹣a）×0.4a＝62，整理得a2﹣72a+620＝0，解得a＝10或a＝62（舍去），當(dāng)a＝10時，0.3×10×10+（24﹣10）×0.4×10＝86，成立，∴a的值為10．4．（2022秋?荔灣區(qū)）受各方面因素的影響，最近兩年來某市平均房價由40000元/平方米，下降到32400元/平方米．（1）求房價年平均下降率；（2）按照這個年平均下降率，預(yù)計下一年該市的平均房價每平方米多少元？【答案】（1）10%；（2）29160元．【分析】（1）設(shè)房價年平均下降率為x，利用經(jīng)過兩年降價后的房價＝原房價×（1﹣年平均下降率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論；（2）利用下一年該市的平均房價＝32400×（1﹣年平均下降率），即可預(yù)計出下一年該市的平均房價．【解答】解：（1）設(shè)房價年平均下降率為x，依題意得：40000（1﹣x）2＝32400，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合題意，舍去）．答：房價年平均下降率為10%．（2）32400×（1﹣10%）＝32400×90%＝29160（元）．答：下一年該市的平均房價約為每平方米29160元．5.（2023秋?天河區(qū)校級月考）有一根20m長的繩，怎樣用它圍成一個面積為24m2的矩形？．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】設(shè)矩形的長為xm，則寬為（10﹣x）m．根據(jù)矩形的面積列出方程即可解決問題；【解答】解：設(shè)矩形的長為xm，則寬為（10﹣x）m．由題意：x（10﹣x）＝24，解得x＝6或4（舍棄），10﹣6＝4，答：矩形的長為6m，則寬為4m．一．選擇題（共7小題）1．某種商品原來每件售價為120元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，該種商品每件售價為85元，設(shè)平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意，所列方程正確的是（）A．120（1﹣x）2＝85 B．120（1﹣x）＝85 C．120（1﹣x2）＝85 D．120（1﹣2x）＝85【答案】A【分析】根據(jù)某種商品原來每件售價為120元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，該種商品每件售價為85元，列一元二次方程即可．【解答】解：根據(jù)題意，得120（1﹣x）2＝85，故選：A．2．若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的兩個根，則m2+5m+n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．12【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程解的定義，可得m+n＝﹣4，m2+4m＝9，再代入，即可求解．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的兩個根，∴m2+4m﹣9＝0，m+n＝﹣4，∴m2+4m＝9，∴m2+5m+n＝m2+4m+m+n＝9﹣4＝5．故選：B．3．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．4x+2＝25﹣5x B．x2+2x﹣1＝0 C．x+y2=0【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，直接判斷即可．【解答】解：A、該方程是一元一次方程，故此選項不符合題意；B、該方程為一元二次方程，故此選項不符合題意；C、該方程是二元一次方程，故此選項不符合題意；D、分母中含有字母，為分式方程，故此選項不符合題意．故選：B．4．一元二次方程2x2﹣3x＝1，用求根公式x=?b±b2?4ac2a求解時，aA．2，﹣3，1 B．2，3，﹣1 C．2，﹣3，﹣1 D．2，3，1【答案】C【分析】先化成一元二次方程的一般形式，即可解答．【解答】解：2x2﹣3x＝1，整理得：2x2﹣3x﹣1＝0，用求根公式x=?b±故選：C．5．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0時，配方后正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17【答案】C【分析】先把﹣1移到方程的右邊，然后方程兩邊都加4，再把左邊根據(jù)完全平方公式寫成完全平方的形式即可．【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5．故選：C．6．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的一個根是x＝3，則m的值是（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6【答案】D【分析】根據(jù)題意可得：把x＝3代入方程x2﹣x﹣m＝0中得：32﹣3﹣m＝0，然后進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：由題意得：把x＝3代入方程x2﹣x﹣m＝0中得：32﹣3﹣m＝0，解得：m＝6，故選：D．7．對于實數(shù)a，b，定義運(yùn)算“※”：若a※b＝a（a﹣b），例如：2※3＝2（2﹣3）＝﹣2．已知關(guān)于x的一元二次方程12x※（2﹣m）＝7m?14m2A．m≥?13 B．m≤?13 C．【答案】D【分析】利用已知的新定義化簡，整理后得到的一元二次方程有實數(shù)根，可知Δ≥0，即可求出m的范圍．【解答】解：12x※（2﹣m=12x（12x=14x2﹣x+∵12x※（2﹣m）＝7m?14∴14x2﹣x+12mx＝7m?整理，得x2+（2m﹣4）x+m2﹣28m＝0；∵方程有實數(shù)根，∴Δ＝（2m﹣4）2﹣4（m2﹣28m）＝4m2﹣16m+16﹣4m2+112m＝96m+16≥0，解得m≥?1故選：D．二．填空題（共5小題）8．若一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k＝2．【答案】2．【分析】利用根的判別式的意義得到Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＝0，然后解關(guān)于k的方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＝0，解得k＝2．故答案為：2．9．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0轉(zhuǎn)化成（x+m）2＝n形式，則原方程可轉(zhuǎn)化為（x﹣1）2＝2．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先移項，再配方，即可得出答案．【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝1+1，（x﹣1）2＝2，故答案為：（x﹣1）2＝2．10．x1，x2是方程2x2﹣7x+4＝0的兩根，則x1+x2＝72，x1x2＝2【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系求解．【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2=??72=72，x1故答案為7211．若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍為k≤6且k≠5．【答案】k≤6且k≠5．【分析】根據(jù)方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍，進(jìn)而可以得到關(guān)于k的不等式，解得即可，同時還應(yīng)注意二次項系數(shù)不能為0．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+1＝0有實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即：4﹣4（k﹣5）≥0，解得：k≤6，∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+1＝0中k﹣5≠0，故答案為：k≤6且k≠5．12．我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段，中間有個方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無疑．內(nèi)方圓徑若能知，堪作算中第一．”其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好36平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠(yuǎn)．如果你能求出正方形邊長和圓的直徑，那么你的計算水平就是第一了．如圖，設(shè)正方形的邊長是x步，則列出的方程是π（x+3×22）2﹣x2＝36【答案】π（x+3×22）2﹣x2【分析】由正方形的邊長，可得出圓的半徑為x+3×22步，利用除水池外圓內(nèi)可耕地的面積＝圓的面積﹣正方形水池的面積，即可列出關(guān)于x【解答】解：若正方形的邊長是x步，則圓的半徑為x+3×22根據(jù)題意得：π（x+3×22）2﹣x2故答案為：π（x+3×22）2﹣x2三．解答題（共3小題）13．解方程：x2﹣7x﹣1＝0．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：x2﹣7x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×（﹣1）＝53，x=7±x1=7+532，x14．用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）（2x+5）2＝5；（2）x2+4x﹣2＝0；（3）2x2﹣5x+1＝0；（4）x2﹣1＝2（x+1）．【答案】（1）x1=5?52，x（2）x1=6?2，x2（3）x1=5+174，x（4）x1＝﹣1，x2＝3．【分析】（1）利用直接開平方法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可；（3）利用公式法解方程即可；（4）利用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）原方程直接開平方得：2x+5＝±5，解得：x1=5?52，x（2）原方程變形得：x2+4x＝2，配方得：x2+4x+4＝6，即（x+2）2＝6，直接開平方得：x+2＝±6，解得：x1=6?2，x2（3）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝25﹣8＝17＞0，則x=5±即x1=5+174，x（4）原方程變形得：（x+1）（x﹣1）﹣2（x+1）＝0，因式分解得：（x+1）（x﹣1﹣2）＝0，即（x+1）（x﹣3）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3．15．小北同學(xué)解方程x2﹣2x﹣1＝0的過程如下所示．解方程：x2﹣2x﹣1＝0．解：x2﹣2x＝1…第一步（x﹣1）2＝1…第二步x1＝0，x2＝2…第三步（1）小北同學(xué)是用配方法（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）來求解的，從第二步開始出現(xiàn)錯誤．（2）請你用與小北同學(xué)相同的方法解該方程．【答案】（1）配方法，二；（2）x1＝1+2，x2＝1?【分析】（1）利用配方法解一元二次方程的基本步驟解答即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可．【解答】解：（1）由題意可知，小北同學(xué)是用配方法來求解的．從第二步出現(xiàn)錯誤．故答案為：配方法，二；（2）x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝1+1，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝±2，x1＝1+2，x2＝1?一．選擇題（共7小題）1．若一個三角形不是等邊三角形且邊長均滿足方程x2﹣10x+9＝0，則此三角形的周長是（）A．11 B．19 C．20 D．11或19【答案】B【分析】先求出方程的解，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得到三角形的三邊為9、9、1，求出即可．【解答】解：x2﹣10x+9＝0，（x﹣9）（x﹣1）＝0，x﹣9＝0或x﹣1＝0，x1＝9，x2＝1，∵一個三角形不是等邊三角形且邊長均滿足方程x2﹣10x+9＝0，∴三角形的三邊為9、9、1，周長為9+9+1＝19，故選：B．2．春節(jié)快到了，為增進(jìn)友誼，老師要求班上每一名同學(xué)要給同組的其他同學(xué)寫一份新春的祝福，小靜同學(xué)所在的小組共寫了42份祝福，該小組共有（）A．4人 B．5人 C．6人 D．7人【答案】D【分析】設(shè)該小組共有x人，則每人需寫（x﹣1）份新春催祝福，根據(jù)小靜所在的小組共寫了42份祝福，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，再解方程即可．【解答】解：設(shè)該小組共有x人，則每人需寫（x﹣1）份祝福，：x（x﹣1）＝42，x1＝﹣6（不符合題意），x2＝7．答：該小組共有7人．故選：D．3．在解方程x2+bx+c＝0時，小馬看錯了一次項系數(shù)b，得到的解為x1＝2，x2＝﹣3；小虎看錯了常數(shù)項c，得到的解為x1＝﹣1，x2＝4，則正確的方程是（）A．x2﹣3x﹣6＝0 B．x2﹣3x﹣4＝0 C．x2+x﹣6＝0 D．x2+3x﹣6＝0【答案】A【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求出b，c即可．【解答】解：由題意，c＝2×（﹣3）＝﹣6，﹣b＝﹣1+4，∴b＝﹣3，c＝﹣6，∴方程為x2﹣3x﹣6＝0．故選：A．4．將一元二次方程3x＝x2﹣2化成一般形式后，其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（）A．﹣1，3，﹣2 B．1，﹣3，2 C．﹣1，﹣3，2 D．1，﹣3，﹣2【答案】D【分析】先將題目中的方程化為一般形式，然后即可寫出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．【解答】解：∵3x＝x2﹣2，∴x2﹣3x﹣2＝0，∴二次項系數(shù)是1、一次項系數(shù)是﹣3，常數(shù)項是﹣2，故選：D．5．小明在解方程x2+3x＝0時，只得一個根x＝﹣3，他漏掉的另一個根是（）A．x＝3 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝0【答案】D【分析】利用因式分解法解方程即可．【解答】解：x2+3x＝0，x（x+3）＝0，x1＝0，x2＝﹣3．故選：D．6．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+6＝0兩個實數(shù)根的倒數(shù)和為（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【答案】C【分析】設(shè)方程的兩根為x1，x2，根據(jù)韋達(dá)定理可得x1+x2＝6，x1?x2＝6，再根據(jù)通分后的結(jié)果即可求解．【解答】解：設(shè)方程的兩根為x1，x2，則x1+x2＝6，x1?x2＝6，∴1x故選：C．7．根據(jù)下表可判斷關(guān)于x的方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）的一個根的范圍是（）x4.274.284.29ax2﹣bx+c0.15420.0432﹣0.0682A．x＜4.27 B．4.27＜x＜4.28 C．4.28＜x＜4.29 D．x＞4.29【答案】C【分析】由于x＝4.28時，ax2﹣bx+c＞0，x＝4.29時，ax2﹣bx+c＜0，則x在4.28與4.29之間取一個值可使ax2﹣bx+c＝0（a≠0），然后根據(jù)一元二次方程根的定義得到方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）的一個根的范圍．【解答】解：∵x＝4.28時，ax2﹣bx+c＝0.0432＞0，x＝4.29時，ax2﹣bx+c＝﹣0.0682＜0，∴當(dāng)x在4.28與4.29之間取一個值可使ax2﹣bx+c＝0（a≠0），即方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）的一個根的范圍為4.28＜x＜4.29．故選：C．二．填空題（共5小題）8．關(guān)于x的方程x2﹣px+q＝0通過配方得（x﹣1）2=43，則p【答案】﹣6．【分析】利用配方法得到（x?12p）2=14p2﹣q，則根據(jù)題意得到12p＝1，14p2﹣q【解答】解：x2﹣px+q＝0，x2﹣px+14p2=14p（x?12p）2=14p∴12p＝1，14p2﹣q解得p＝2，q=?1∴pq故答案為：﹣6．9．已知m是一元二次方程x2+3x+n﹣2＝0的一個根，則m﹣n的最小值為﹣6．【答案】﹣6．【分析】根據(jù)m是一元二次方程x2+3x+n﹣2＝0的一個根，可以用含m的式子表示n，然后即可計算出m﹣n的式子，整理即可求得m﹣n的最小值．【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x+n﹣2＝0的一個根，∴m2+3m+n﹣2＝0，∴n＝﹣m2﹣3m+2，∴m﹣n＝m﹣（﹣m2﹣3m+2）＝m+m2+3m﹣2＝（m+2）2﹣6≥﹣6，∴m﹣n的最小值為﹣6，故答案為：﹣6．10．已知a為方程x2﹣3x﹣6＝0的一個根，則代數(shù)式6a﹣2a2+5的值為﹣7．【答案】﹣7．【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到a2﹣3a＝6，再把6a﹣2a2+5變形為﹣2（a2﹣3a）+5，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：∵a是方程x2﹣3x﹣6＝0的一個根，∴a2﹣3a﹣6＝0，∴a2﹣3a＝6，∴6a﹣2a2+5＝﹣2（a2﹣3a）+5＝﹣2×6+5＝﹣7．故答案為：﹣7．11．已知矩形的長比寬多2，其面積為35，則矩形的長是7．【答案】7．【分析】設(shè)矩形的長是x，則寬為x﹣2，根據(jù)矩形的面積為35，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)矩形的長是x，則寬為x﹣2，由題意得：x（x﹣2）＝35，整理得：x2﹣2x﹣35＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣5（不符合題意，舍去），即矩形的長是7，故答案為：7．12．已知m、n、6分別是等腰三角形的三邊長，且m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣18x+k+80＝0的兩根，則k的值為1．【答案】1．【分析】分m＝n或m＝6或n＝6，依據(jù)一元二次方程根的判別式和方程的解的概念逐一求解即可．【解答】解：∵等腰三角形三邊長分別為m、n、6，∴m＝n或m＝6或n＝6；∵m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣18x+k+80＝0的兩根，∴當(dāng)m＝n時，Δ＝（﹣18）2﹣4（k+80）＝0，解得k＝1，此時方程為x2﹣18x+81＝0，解得m＝n＝9，符合三角形的三邊關(guān)系；當(dāng)m＝6或n＝6時，6是方程x2﹣18x+k+80＝0的解，∴36﹣108+k+80＝0，解得k＝﹣8，此時方程為x2﹣18x+72＝0，∴（x﹣12）（x﹣6）＝0，∴x＝12或6，∴該三角形的三邊長為12，6，6，不符合三角形的三邊關(guān)系，∴k＝1．故答案為：1．三．解答題（共2小題）13．“抖音直播帶貨”已經(jīng)成為時尚的銷售方式，某帶貨主播準(zhǔn)備銷售一種防護(hù)品，進(jìn)貨價格為每件50元，并且每件的售價不低于進(jìn)貨價．經(jīng)過初期試銷售調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每月的銷售量y（件）與每件的售價x（元）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．（1）求每月的銷售量y（件）與每件的售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出自變量的取值范圍）（2）物價部門規(guī)定，該防護(hù)品每件的利潤不許高于進(jìn)貨價的50%．該帶貨主播銷售這種防護(hù)品每月的總利潤要想達(dá)到10000元，那么每件的售價應(yīng)定為多少元？【答案】（1）y＝﹣10x+1200；（2）售價定為70元可獲得利潤是10000元．【分析】（1）由圖象可知每月銷售量y（件）與售價x（元）之間為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0，x≥50），用待定系數(shù)法求解即可；（2）由題意得w關(guān)于x的二次函數(shù)，將其寫成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）由圖象可知每月銷售量y（件）與售價x（元）之間為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0，x≥50），將（60，600），（80，400）代入，得：60k+b=60080k+b=400解得：k=?10b=1200∴每月銷售y（件）與售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣10x+1200；（2）由題意得：10000＝（﹣10x+1200）（x﹣50），解得x＝70或100，∵該防護(hù)品的每件利潤不允許高于進(jìn)貨價的50%，∴x≤50×（1+50%），即x≤75，∴x＝70，∴售價定為70元可獲得利潤是10000元．14．已知關(guān)于x的方程x2﹣