2023-2024學年邵陽市二中高三數(shù)學下學期入學考試卷附答案解析

-2024學年邵陽市二中高三數(shù)學下學期入學考試卷考試時間：120分鐘；滿分：150分；一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．對于兩條不同的直線m、n和兩個不同的平面α、β，以下結(jié)論中正確的是（

）A．若，，m、n是異面直線，則α、β相交B．若m⊥α，m⊥β，，則C．，，m、n共面于β，則D．若m⊥α，n⊥β，α、β不平行，則m、n為異面直線3．已知，則（

）A． B． C． D．34．在1859年的時候，德國數(shù)學家黎曼向科學院提交了題目為《論小于某值的素數(shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名數(shù)學家歐拉也曾研究過這個問題，并得到小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)可以表示為的結(jié)論．若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為（

）（素數(shù)即質(zhì)數(shù)，，計算結(jié)果取整數(shù)）A．2172 B．4343 C．869 D．86865．已知函數(shù)，若，，均不相等，且==，則的取值范圍是（

）A．（1，10） B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24)6．在中，已知，，D為BC的中點，則線段AD長度的最大值為（

）A．1 B． C． D．27．下列結(jié)論正確的有（）A．若隨機變量，則B．若隨機變量，，則C．96，90，92，92，93，93，94，95，99，100的第80百分位數(shù)為96D．將總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為和，，若，則總體方差8．在中，，則下列說法一定正確的是（

）A．若，則是銳角三角形 B．若，則是鈍角三角形C．若，則是銳角三角形 D．若，則是鈍角三角形二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9．阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希臘偉大的物理學家、數(shù)學家、天文學家，不僅在物理學方面貢獻巨大，還享有“數(shù)學之神”的稱號．拋物線上任意兩點A、B處的切線交于點P，稱為“阿基米德三角形”．已知拋物線C：的焦點為F，過A、B兩點的直線的方程為，關(guān)于“阿基米德三角形”，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．點P的坐標為D．10．如圖，在正三棱柱中，，為棱的中點，點，分別在棱，上，當取得最小值時，則下列說法正確的是（

）A． B．與平面所成角的正切值為C．直線與所成角為 D．11．已知函數(shù)，的定義域均為R，它們的導函數(shù)分別為，，且，，若是偶函數(shù)，則下列正確的是（

）．A．B．的最小正周期為4C．是奇函數(shù)D．，則三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12．某公司員工小明上班選擇自駕、坐公交車、騎共享單車的概率分別為、、，而他自駕、坐公交車、騎共享單車遲到的概率分別為、、，結(jié)果今天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率為．13．已知常數(shù)，，若函數(shù)為偶函數(shù)，則.14．如圖，已知雙曲線的左?右焦點分別為，過的直線與分別在第一?二象限交于兩點，內(nèi)切圓半徑為，若，則的離心率為.四?解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15．一動圓經(jīng)過點且與直線相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線l與C交于A，B兩點，且線段AB的中點坐標為，求直線l的方程．16．如圖，斜三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，側(cè)面為菱形，且.(1)求證：；(2)若，三棱柱的體積為24，求直線與平面所成角的正弦值.17．當前，新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓬勃興起，以區(qū)塊鏈為代表的新一代信息技術(shù)迅猛發(fā)展，現(xiàn)收集某地近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表年份20172018201920202021編號x12345企業(yè)總數(shù)量y（單位：千個）2.1563.7278.30524.27936.224(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，與（其中…為自然對數(shù)的底數(shù)），哪一個回歸方程類型適宜預測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量？（給出結(jié)果即可，不必說明理由），并根據(jù)你的判斷結(jié)果求y關(guān)于x的回歸方程；(2)為了促進公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進行一次信息化技術(shù)比賽，邀請甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽．比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩個公司參加，并決出勝負；②每場比賽獲勝的公司與未參加此場比賽的公司進行下一場的比賽；③在比賽中，若有一個公司首先獲勝兩場，則本次比賽結(jié)束，該公司獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”．已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場由甲乙比賽，求甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率．參考數(shù)據(jù)：，，，（其中）．附：樣本的最小二乘法估計公式為，．18．已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．(3)定義函數(shù)，對于數(shù)列，若，則稱為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的一個“源數(shù)列”．①已知為函數(shù)的“源數(shù)列”，求證：對任意正整數(shù)，均有；②已知為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”，與的公共項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，試問在數(shù)列中是否存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列？請說明理由．19．設是一個關(guān)于復數(shù)z的表達式，若（其中x，y，，為虛數(shù)單位），就稱f將點“f對應”到點．例如將點“f對應”到點．(1)若點“f對應”到點，點“f對應”到點，求點、的坐標；(2)設常數(shù)，，若直線l：，，是否存在一個有序?qū)崝?shù)對，使得直線l上的任意一點“對應”到點后，點Q仍在直線上？若存在，試求出所有的有序?qū)崝?shù)對；若不存在，請說明理由；(3)設常數(shù)，，集合且和且，若滿足：①對于集合D中的任意一個元素z，都有；②對于集合A中的任意一個元素，都存在集合D中的元素z使得．請寫出滿足條件的一個有序?qū)崝?shù)對，并論證此時的滿足條件．\1．A【分析】分別求得與的等價條件，從而利用充分必要條件的定義即可得解.【詳解】，或，所以前者可以推得后者，后者不能推得前者，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2．C【分析】由線面平行的性質(zhì)和面面的位置關(guān)系可判斷A；由線面垂直的性質(zhì)和面面平行的判斷和性質(zhì)，可判斷B；由線面平行的性質(zhì)定理可判斷C；由線面垂直的性質(zhì)和面面的位置關(guān)系可判斷D．【詳解】若，，m、n是異面直線，則α、β相交或平行，故A錯誤；若m⊥α，m⊥β，則，由，則或，故B錯誤；利用線面平行的性質(zhì)定理，可知，，m、n共面于β，則成立，故C正確；若m⊥α，n⊥β，α、β不平行，則m、n為異面直線或相交，故D錯誤．故選:C.3．C【分析】依題意弦化切即可.【詳解】依題意有，解得.故選：C4．D【分析】根據(jù)黎曼猜想計算，從而得出正確答案.【詳解】.故選：D5．C【分析】畫出函數(shù)圖象，根據(jù)，不妨設，結(jié)合圖象可求出范圍【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示，不妨設，則，所以，，所以，，所以，故選：C6．C【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解.【詳解】解：由余弦定理得，即，即，所以，∴，當且僅當b=c時等號成立.因為，所以，，∴，故選：C．7．B【分析】利用二項分布的方差定義、性質(zhì)可判斷A；利用正態(tài)分布的對稱性計算判斷B；由百分位數(shù)定義求出對應分位數(shù)可判斷C；設兩層數(shù)據(jù)分別為，，計算出總方差可判斷D.【詳解】對于A，若隨機變量，則，則，故A錯誤；對于B，若隨機變量，則，所以，所以，故B正確；對于C，96，90，92，92，93，93，94，95，99，100的第80百分位數(shù)為，故C錯誤；對于D，不妨設兩層數(shù)據(jù)分別為，，，因為，所以總體平均數(shù)，則，，所以總體方差為，，則，只有，或時才有，否則，故D錯誤.故選：B.8．D【分析】根據(jù)題中條件利用向量的數(shù)量積運算可求得，分情況考查的正負情況，轉(zhuǎn)化為的正負情況，進一步分析即可.【詳解】因為，即,又時，三角形一定不是直角三角形，則有，，若，則，為銳角，但是不能判斷的大小，故A,B錯誤；當時，則，中必有一個鈍角，故此時是鈍角三角形，C錯誤，D正確，故選：D.9．ABD【分析】由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，解得兩點的坐標，計算線段的長判斷A，利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，由切線斜率關(guān)系判斷B，兩切線方程聯(lián)立求得交點的坐標判斷C，由直線的斜率關(guān)系判斷D.【詳解】設，，聯(lián)立，可得，解得或，不妨設，，則，，故，，，A項正確；又因為，所以，故直線PA的斜率為，直線PA的方程為，即，同理可得直線PB的方程為，，所以，B項正確；聯(lián)立，可得，故點P的坐標為，C項錯誤；易知點F的坐標為，，，所以，D項正確．故選：ABD.10．ACD【分析】通過展開圖得到最小值時的位置，再比較線段長和求異面直線角，通過平行線得到線面角的平面角，最后應用等體積法判斷面積是否相等即可.【詳解】在正三棱柱中，其側(cè)面展開圖如圖：當取得最小值時，在側(cè)面展開圖中連接，分別為交，于點，，由相似可知，點，分別為，的三等分點，對于A：如圖所示，，過點作交于點，由勾股定理得，，因為，，所以，A正確；對于B：且//，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以與平面所成的角即為與平面所成的角，因為，所以為與平面所成的角.又因為且為三等分點，所以，B錯誤；對于C：在正三棱柱中，平面，因為平面，所以，又因為且點為中點，所以，因為，平面，平面，所以平面，而平面，所以，所以直線與所成角為，C正確；對于D：，，取的中點，連接，則，，所以點到平面的距離為，點到平面的距離為，因為，所以，即，D正確，故選：ACD.11．ABD【分析】A選項，兩邊求導得到，賦值得到；B選項，由題意條件推出，得到函數(shù)的最小正周期；C選項，假設為奇函數(shù)，推出矛盾；D選項，利用題目條件得到，結(jié)合函數(shù)的最小正周期得到答案.【詳解】A選項，為偶函數(shù)，故，兩邊求導得，，令得，解得，A正確；B選項，因為，，所以①，因為，所以②，則①②相減得，③，又④，則③④相減得，即，又，故的最小正周期為4，B正確；C選項，假如為奇函數(shù)，則，當時，可得，但，當可得，顯然不滿足要求，故不是奇函數(shù)，C錯誤；D選項，因為，所以，又，故，由B選項得，故，解得，且，由B選項知的一個周期為4，故，所以，則，D正確.故選：ABD【點睛】設函數(shù)，，，．（1）若，則函數(shù)的周期為2a；（2）若，則函數(shù)的周期為2a；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a；（5）若，則函數(shù)的周期為；（6）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線與對稱，則函數(shù)的周期為；（7）若函數(shù)的圖象既關(guān)于點對稱，又關(guān)于點對稱，則函數(shù)的周期為；（8）若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱，又關(guān)于點對稱，則函數(shù)的周期為；（9）若函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對稱，則的周期為2a；（10）若函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對稱，則的周期為4a．12．【分析】設小明遲到為事件，小明自駕為事件，求出，，利用條件概率公式計算即可求出結(jié)果.【詳解】設小明遲到為事件，小明自駕為事件，則，，所以在小明遲到的條件下，他自駕去上班的概率為.故答案為：.13．【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合多項式相等可得，即可求.【詳解】由題設，，∵，∴，∴，解得，故.故答案為：14．【分析】根據(jù)雙曲線定義和幾何性質(zhì)，結(jié)合圓的切線長定理與余弦定理即可求解.【詳解】設，內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓在上的切點分別為，則，由及雙曲線的定義可知，，故四邊形是正方形，得，于是，故，所以，于，在中，由余弦定理可得，從而，所以.故答案為：15．(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義和標準方程可以確定曲線C的方程.（2）利用點差法結(jié)合中點坐標公式和斜率公式求解.【詳解】（1）依題意得該動圓的圓心到點的距離到直線的距離相等．又點不在直線上，所以根據(jù)拋物線的定義可知該動圓圓心的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以曲線C的方程為．（2）設，，則，兩式相減得，即．因為線段AB的中點坐標為，所以，則，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即，經(jīng)檢驗，直線與曲線相交，滿足題意，所以直線l的方程為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用棱柱的體積公式、空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】（1）取中點，連接，由題知為正三角形，而也是正三角形，，又平面，平面，平面；（2），由余弦定理得，又，，又平面，平面兩兩垂直.以為原點，以的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系如圖.因為三棱柱的體積為，則.設平面的法向最為，由，可取，設向量與的夾角為，，直線與平面所成角的正弦值為.17．(1)適宜；(2)【分析】（1）根據(jù)題目中給的數(shù)據(jù)及公式進行計算可得回歸方程;（2）由概率的加法公式與乘法公式進行計算即可得到答案.【詳解】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)適宜預測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量．∵，∴，令，則，,，由公式計算可知∴，即.（2）設事件“甲公司獲得“優(yōu)勝公司””，事件“在一場比賽中，甲勝乙”，事件“在一場比賽中，甲勝丙”，事件“在一場比賽中，乙勝丙”，則，因為兩兩獨立，兩兩互斥，由概率的加法公式與乘法公式得，所以甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率為．18．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)(3)①證明見解析；②假設不成立，即不存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列，理由見解析．【分析】（1）求導得，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為當時，恒成立，求導得，然后分，以及討論，即可得到結(jié)果；（3）①根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，求導可得在恒成立，即可證明；②根據(jù)題意，結(jié)合“源數(shù)列”以及“生成數(shù)列”的概念，然后假設存在，代入計算，即可得到方程無解，故不存在.【詳解】（1）當時，，，令，則，解得或，當時，；當時，；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2），令，依題意，當時，恒成立，由，得，，又因為，所以，當時，，所以在單調(diào)遞增，，不合題意；當時，令，解得，當時，；當時，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．若要使恒成立，則需，解得，故此時；當時，，所以在單調(diào)遞減，所以，符合題意；綜上，實數(shù)a的取值范圍為．（3）①，，故，構(gòu)造函數(shù)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，故在恒成立，單調(diào)遞增，故，即，，當時，，綜上所述：恒成立，即．②，則，，設，即，則，設函數(shù)，函數(shù)