2023-2024學(xué)年運(yùn)城市高一數(shù)學(xué)下學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)試卷附答案解析

-2024學(xué)年運(yùn)城市高一數(shù)學(xué)下學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題1．（

）A． B． C． D．2．已知全集，，則集合為（

）A． B． C． D．3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問(wèn)為田幾何？”譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)其意思為：有一塊扇形田，弧長(zhǎng)30步，其所在圓的直徑是16步，問(wèn)這塊田的面積為多少？（

）A．240平方步 B．120平方步 C．80平方步 D．60平方步4．已知，都是銳角，，，則（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．6．定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．0 C．1 D．27．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．10．給出下列說(shuō)法，正確的有（）A．函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間B．若一扇形弧長(zhǎng)為，圓心角為，則該扇形的面積為C．命題“，”的否定形式是“，”D．已知命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是11．已知函數(shù)，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短到原來(lái)的，再把所得圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則（

）A．是奇函數(shù) B．在區(qū)間上的值域?yàn)镃．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．點(diǎn)是的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心12．設(shè)集合是實(shí)數(shù)集的子集，如果滿足：，使得，則稱為集合的一個(gè)聚點(diǎn).在下列集合中，以0為一個(gè)聚點(diǎn)的集合有（

）A． B．C． D．三、填空題13．已知，則的值為．14．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為．15．已知，，且滿足，則的最小值為.16．已知函數(shù)是偶函數(shù)，若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題17．（1）化簡(jiǎn)：；（2）化簡(jiǎn)：．18．已知集合，集合．(1)若集合B的真子集有且只有1個(gè)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．已知函數(shù)的最小正周期為T(mén)．若，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值.20．函數(shù).(1)若的解集是或，求不等式的解集；(2)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的不等式的解集.21．后疫情時(shí)代，全民健康觀念發(fā)生很大改變．越來(lái)越多人注重通過(guò)攝入充足的水果，補(bǔ)充維生素，提高自身免疫力．鄭州某地區(qū)適應(yīng)社會(huì)需求，利用當(dāng)?shù)氐牡乩韮?yōu)勢(shì)，發(fā)展種植某種富含維生素的珍稀果樹(shù)．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：該珍稀果樹(shù)的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與單株用肥量x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：已知肥料的成本為10元/千克，其他人工投人成本合計(jì)元．若這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為15元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求．記該果樹(shù)的單株利潤(rùn)為（單位：元）．(1)求的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)單株施用肥料為多少千克時(shí)，該果樹(shù)的單株利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)．22．已知函數(shù)滿足，有．(1)求的解析式；(2)若，函數(shù)，且，，使，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．1．A【分析】根據(jù)終邊相同的角的三角比相同求解即可.【詳解】，故選：A.2．C【分析】利用韋恩圖即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C.3．B【分析】由已知利用扇形的面積公式即可計(jì)算得答案.【詳解】因?yàn)樯刃翁锏幕￠L(zhǎng)30步，其所在圓的直徑是16步，根據(jù)扇形的面積公式可得這塊田的面積（平方步）.故選：B4．B【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到和，再利用湊角法，正弦和角公式求出答案.【詳解】因?yàn)?，都是銳角，所以，故，又，所以，所以.故選：B5．D【分析】根據(jù)點(diǎn)在圖象上求出的值，根據(jù)五點(diǎn)作圖法求出的值，進(jìn)而得到函數(shù)解析式，從而算出.【詳解】由圖可知，點(diǎn)在圖象上，所以，則，又知點(diǎn)在的增區(qū)間上，所以；由五點(diǎn)作圖法可知，，解得，所以，則，故選：D．6．A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及已知條件，求得的周期；再根據(jù)函數(shù)的周期性，結(jié)合奇偶性即可求得函數(shù)值.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，從而，得，所以以4為周期的周期函數(shù)，，，所以．故選：A7．A【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及定點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)圖象即可得解.【詳解】由題意，所以令，所以問(wèn)題等價(jià)于比較的圖象分別與的圖象三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大小關(guān)系，而均過(guò)點(diǎn)，則由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，的圖象分別與的圖象三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)如圖所示：則.故選：A.8．A【分析】因?yàn)?，所以或，只需的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以或，因?yàn)殛P(guān)于x的方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以的圖象與直線和直線有6個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，所以只需的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于因?yàn)?，所以或，只需的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)的分析.9．ACD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì),結(jié)合作差法逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)A，因?yàn)?，故，故A正確；對(duì)B，因?yàn)?，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，因?yàn)?，則，故，故C正確；對(duì)D，易得為增函數(shù)，且，故，故D正確.故選：ACD10．BCD【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項(xiàng)；利用扇形的面積公式可判斷B選項(xiàng)；利用存在量詞命題的否定可判斷C選項(xiàng)；利用二次不等式恒成立可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，有，即，即，解得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，?nèi)層函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，外層函數(shù)為上的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若一扇形弧長(zhǎng)為，圓心角為，其弧度為，扇形的半徑為，故該扇形的面積為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由存在量詞命題的否定可知，命題“，”的否定形式是“，”，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若命題“，”為真命題，則，解得，D對(duì).故選：BCD.11．CD【分析】根據(jù)圖象變換結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，再根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短到原來(lái)的，得到，再把所得圖象向右平移個(gè)單位后，得到，對(duì)于選項(xiàng)A：顯然的定義域?yàn)?，且，可知是偶函?shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則，可得，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，所以點(diǎn)是的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故D正確；故選：CD.12．BC【分析】根據(jù)給出的聚點(diǎn)定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得出答案．【詳解】對(duì)于A，集合中的元素除了第一項(xiàng)0之外，其余的都至少比0大，則當(dāng)?shù)臅r(shí)候，不存在滿足得的x，0不是集合的聚點(diǎn)，A不是；對(duì)于B，集合中的元素，對(duì)于任意的，取，當(dāng)時(shí)，，則0是集合的聚點(diǎn)，B是；對(duì)于C，，，對(duì)于任意的，由，得，于是對(duì)于任意的，取，當(dāng)時(shí)，，則0是集合的聚點(diǎn)，C是；對(duì)于D，，，因此當(dāng)時(shí)，不存在滿足的，則0不是集合的聚點(diǎn)，D不是.故選：BC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：集合新定義問(wèn)題，命題新穎，且存在知識(shí)點(diǎn)交叉，常常會(huì)和函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合，一定要解讀出題干中的信息，正確理解問(wèn)題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解決.13．【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】，因?yàn)?，所?故答案為：.14．3【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，分別在和范圍內(nèi)求出使時(shí)實(shí)數(shù)的值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得（舍）；當(dāng)時(shí)，，解得或（舍），所以實(shí)數(shù)的值為3，故答案為：3.15．4【分析】根據(jù)得到，將化為，根據(jù)均值不等式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.16．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出k的值，即得的表達(dá)式，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，即無(wú)實(shí)數(shù)解，令，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的圖象與直線無(wú)交點(diǎn)，進(jìn)而求出的范圍，即可求得答案.【詳解】由題意知函數(shù)是偶函數(shù)，故對(duì)于，有，即，故，故，由于，故；函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，即無(wú)實(shí)數(shù)解，即無(wú)實(shí)數(shù)解，令，則的圖象與直線無(wú)交點(diǎn)；而，由于在R上單調(diào)遞減，故在R上單調(diào)遞減，當(dāng)x趨向于無(wú)窮大時(shí)，無(wú)限趨近于0，且，故，且可無(wú)限接近于1，當(dāng)x趨向于負(fù)窮大時(shí)，趨近于正無(wú)窮大，故，故要使得的圖象與直線無(wú)交點(diǎn)，需滿足，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及零點(diǎn)問(wèn)題，解答的關(guān)鍵在于將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，即可解決.17．（1）17；（2）【分析】（1）由指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算即可；（2）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】（1）．（2）.18．(1)(2)【分析】（1）由判別式為0可得；（2）由得，然后對(duì)分類討論可得；【詳解】（1）集合B元素個(gè)數(shù)為1．，即，解得：；（2）∵，∴對(duì)集合B討論：當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，滿足條件；當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，要滿足條件，必有，由根與系數(shù)的關(guān)系有：，此方程組無(wú)解，不滿足條件舍去綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是19．(1)，(2)最小值為2，最大值為3【分析】（1）利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，然后通過(guò)對(duì)稱性和周期得到，然后求解單調(diào)區(qū)間．（2）由的取值范圍，求出的取值范圍，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的值域即可．【詳解】（1）∵，由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，所以，所以，由，，得，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.（2）∵，∴，，由，∴當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，20．(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用已知解集求出參數(shù)，解不含參數(shù)的不等式即可.（2）分類討論求解不等式即可.【詳解】（1）由題意得的解集是或，故的解是或，由韋達(dá)定理得，，解得，，故求的解集即可，解得，（2）由得，故求的解集即可，，開(kāi)口向上，化簡(jiǎn)得，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)解集為，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)令，解得，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)令，解得，綜上當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.21．(1)(2)當(dāng)施用肥料為4千克時(shí)，種植該果樹(shù)獲得的最大利潤(rùn)是480元【分析】（1）用單株產(chǎn)量乘以水果的市場(chǎng)售價(jià)減去肥料的成本、人工投人成本得出該果樹(shù)的單株利潤(rùn)；（2）利用配方法、基本不等式求出的最大值可得答案．【詳解】（1）由題可知，；（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)施用肥料為4千克時(shí)，種植該果樹(shù)獲得的最大利潤(rùn)是480元.22．(1)(2)【分析】（1）通過(guò)列方程組的方法來(lái)求得的解析式；（2）先求得的值域，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得的值域，由此列不等式來(lái)求得的取值范圍.【詳解】（1），將x替換成，得，聯(lián)立兩式，，解得．（2）因