第14講拓展二三角形中線角平分線問題（原卷版）

第14講拓展二：三角形中線，角平分線問題題型01三角形中中線長（定值）【典例1】（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量與平行．若，，則BC邊上的中線AD為（

）A．1 B．2 C． D．【典例2】（2023上·江蘇淮安·高三校聯(lián)考期中）已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則邊上的中線AD的長為.【典例3】（2023下·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)若，求中BC邊中線AD長．【變式1】（2022·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知的面積為，則的中線長的一個值為.【變式2】（2023下·河北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則中線AD的長為.【變式3】20．（2023上·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且滿足.(1)求B；(2)若，且的面積為，是的中線，求的長.題型02三角形中中線長（最值，范圍）問題【典例1】（2023上·廣西柳州·高一柳州高級中學(xué)校考開學(xué)考試）在中，，則邊上的中線的長的取值范圍是.【典例2】（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）在中，角A，，的對邊分別為，，，若，，則邊上的中線長度的最大值為．【典例3】（2023上·遼寧大連·高三大連市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.①2acosB+b2c=0；②；③.在以上三個條件中選擇一個，并作答.(1)求角A；(2)已知△ABC的面積為，AD是BC邊上的中線，求AD的最小值.【變式1】（2023下·云南昆明·高一校考期中）已知AD是的中線，若，，則的最小值是．【變式2】（2023上·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）在中，角，，的對邊分別為，，，且，.(1)求角；(2)求邊上中線長的取值范圍.題型03已知中線長，求其它元素【典例1】（2023·全國·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求角的大小；(2)若的中線，求的最大值．【典例2】（2023上·河北邢臺·高三邢臺一中?？茧A段練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為、、，.(1)求；(2)已知為邊上的中線，，，求的面積.【典例3】（2023上·廣東佛山·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知中，內(nèi)角的對邊分別為，若邊的中線長為，求面積的最大值.【變式1】（2023上·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校?？计谥校┰谥校?，，所對的邊分別為，，.已知.(1)求角；(2)的中線＝，＝，求AB.【變式2】（2023上·山西晉中·高三?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，滿足(1)求角的大??；(2)若，邊上的中線的長為，求的面積.【變式3】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為．(1)求；(2)已知為邊上的中線，，求的面積．【變式4】（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.(1)求B；(2)若的中線BD長為，求的最大值.題型04求角平分線長（定值）問題【典例1】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線內(nèi)分對邊，所得的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例．已知ABC中，AD為∠BAC的角平分線，與BC交于點D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，則AD＝（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·江西上饒·統(tǒng)考二模）在中，的角平分線交于點，，，，則（

）A． B． C． D．【典例3】（2023上·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，，的角平分線交于，則．【典例4】（2023下·四川遂寧·高一四川省蓬溪中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且.(1)求角B的大小；(2)若，.（i）求的值；（ii）求的角平分線的長.【典例5】（2022·北京·北京八十中?？寄M預(yù)測）在△ABC中，．(1)求B的值；(2)給出以下三個條件：①；②，；③，若這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題：（i）求的值；（ii）求∠ABC的角平分線BD的長．【變式1】（2023下·吉林·高一吉林市田家炳高級中學(xué)校考期末）在中，，，，的角平分線交BC于D，則（

）A． B．2 C． D．【變式2】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．【變式3】（2023下·湖北恩施·高一利川市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）在中，角的對邊分別為，，=，，點D在BC邊上運(yùn)動．(1)若D為BC邊的中點，求AD．(2)若AD為的角平分線，求AD．【變式4】（2023下·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.(1)求角A的大??；(2)若，，AD是△ABC的角平分線，求AD的長.【變式5】（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，，外接圓面積為.(1)求；(2)若為角的角平分線，交于點，求的長.題型05求角平分線長（最值，范圍）問題【典例1】（2019下·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）已知△ABC的面積為,∠BAC=,AD是△ABC的角平分線,則AD長度的最大值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023下·安徽·高一安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，是的角平分線，且交于點.若的面積為，則的最大值為.【典例3】（2023下·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知△的內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求；(2)若△的面積為為內(nèi)角A的角平分線，交邊于點D，求線段長的最大值．【典例4】（2022下·河北保定·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求的大小；(2)若邊上的高為，且的角平分線交于點，求的最小值.【變式1】（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谥校┰谥校茿，B，C所對的邊為a，b，c，點D在邊上且為角A的角平分線，，則邊的取值范圍是．【變式2】（2022下·湖北武漢·高一統(tǒng)考期末）已知，內(nèi)角所對的邊分別是，，的角平分線交于點.若，則，的取值范圍是.【變式3】（2023·廣西柳州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，且．(1)求；(2)若的面積為，求內(nèi)角A的角平分線長的最大值．題型06已知角平分線，求其它元素【典例1】（2022上·貴州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知的內(nèi)角對應(yīng)的邊分別是，內(nèi)角的角平分線交邊于點，且.若，則面積的最小值是.【典例2】（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谥校┰谥校茿，B，C所對的邊為a，b，c，點D在邊上且為角A的角平分線，，則邊的取值范圍是．【典例3】（2023上·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)邊上存在點，使為的角平分線，若，求的周長.【典例4】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）在中，記角、、所對的邊分別為、、，已知，中線交于，角平分線交于，且，，求的面積．【典例5】（2023上·江西贛州·高二校聯(lián)考期中）已知的內(nèi)角A，B，的對邊分別為a，b，c，且.(1)求；(2)若為的角平分線，D在邊上，且，求的最小值.【變式1】（2023上·福建泉州·高三?？计谥校┰谥校堑慕瞧椒志€且，，若，則的面積為.【變式2】（2023上·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知(1)求角；(2)是的角平分線，