高中數(shù)學(xué)不等式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)教師版

./高中數(shù)學(xué)不等式專題教師版高考動(dòng)態(tài)考試內(nèi)容：不等式．不等式的基本性質(zhì)．不等式的證明．不等式的解法．含絕對值的不等式．

考試要求：〔1理解不等式的性質(zhì)及其證明．

〔2掌握兩個(gè)〔不擴(kuò)展到三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理,并會(huì)簡單的應(yīng)用．

〔3掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式．

〔4掌握簡單不等式的解法．

〔5理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

二、不等式知識(shí)要點(diǎn)不等式的基本概念不等〔等號(hào)的定義：不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.同向不等式與異向不等式.同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)〔1〔對稱性〔2〔傳遞性〔3〔加法單調(diào)性〔4〔同向不等式相加〔5〔異向不等式相減〔6〔7〔乘法單調(diào)性〔8〔同向不等式相乘〔異向不等式相除〔倒數(shù)關(guān)系〔11〔平方法則〔12〔開方法則3.幾個(gè)重要不等式〔1〔2〔當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)〔3如果a,b都是正數(shù),那么〔當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)極值定理：若則：eq\o\ac<○,1>如果P是定值,那么當(dāng)x=y時(shí),S的值最??；eq\o\ac<○,2>如果S是定值,那么當(dāng)x=y時(shí),P的值最大.利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.〔當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)〔當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)〔74.幾個(gè)著名不等式〔1平均不等式：如果a,b都是正數(shù),那么〔當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)即：平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均〔a、b為正數(shù)：特別地,〔當(dāng)a=b時(shí),冪平均不等式：注：例如：.常用不等式的放縮法：①②〔2柯西不等式：〔3琴生不等式〔特例與凸函數(shù)、凹函數(shù)若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f<x>,對于定義域中任意兩點(diǎn)有則稱f<x>為凸〔或凹函數(shù).5.不等式證明的幾種常用方法比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6.不等式的解法〔1整式不等式的解法〔根軸法.步驟：正化,求根,標(biāo)軸,穿線〔偶重根打結(jié),定解.特例①一元一次不等式ax>b解的討論；②一元二次不等式ax2+bx+c>0<a≠0>解的討論.〔2分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化,則〔3無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解eq\o\ac<○,1>eq\o\ac<○,2>eq\o\ac<○,3>〔4.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式〔5對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式〔6含絕對值不等式eq\o\ac<○,1>應(yīng)用分類討論思想去絕對值；eq\o\ac<○,2>應(yīng)用數(shù)形思想；eq\o\ac<○,3>應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化注：常用不等式的解法舉例〔x為正數(shù)：①②類似于,③三、利用均值不等式求最值的方法均值不等式當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立是一個(gè)重要的不等式,利用它可以求解函數(shù)最值問題。對于有些題目,可以直接利用公式求解。但是有些題目必須進(jìn)行必要的變形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的變形方法。一、配湊1.湊系數(shù)例1.當(dāng)時(shí),求的最大值。解析：由知,,利用均值不等式求最值,必須和為定值或積為定值,此題為兩個(gè)式子積的形式,但其和不是定值。注意到為定值,故只需將湊上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng)且僅當(dāng),即x＝2時(shí)取等號(hào)。所以當(dāng)x＝2時(shí),的最大值為8。評注：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解,但湊系數(shù)后可得到和為定值,從而可利用均值不等式求最大值。2.湊項(xiàng)例2.已知,求函數(shù)的最大值。解析：由題意知,首先要調(diào)整符號(hào),又不是定值,故需對進(jìn)行湊項(xiàng)才能得到定值?！摺喈?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立。評注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào),又要配湊項(xiàng)的系數(shù),使其積為定值。3.分離例3.求的值域。解析：本題看似無法運(yùn)用均值不等式,不妨將分子配方湊出含有〔x＋1的項(xiàng),再將其分離。當(dāng),即時(shí)〔當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取"＝"號(hào)。當(dāng),即時(shí)〔當(dāng)且僅當(dāng)x＝－3時(shí)取"＝"號(hào)?！嗟闹涤?yàn)?。評注：分式函數(shù)求最值,通?；?g<x>恒正或恒負(fù)的形式,然后運(yùn)用均值不等式來求最值。二、整體代換例4.已知,求的最小值。解法1：不妨將乘以1,而1用a＋2b代換。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),由即時(shí),的最小值為。解法2：將分子中的1用代換。評注：本題巧妙運(yùn)用"1"的代換,得到,而與的積為定值,即可用均值不等式求得的最小值。三、換元例5.求函數(shù)的最大值。解析：變量代換,令,則當(dāng)t＝0時(shí),y＝0當(dāng)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)。故。評注：本題通過換元法使問題得到了簡化,而且將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的分式型函數(shù)的求最值問題,從而為構(gòu)造積為定值創(chuàng)造有利條件。四、取平方例6.求函數(shù)的最大值。解析：注意到的和為定值。又,所以當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)。故。評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出"和為定值",為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。總之,我們利用均值不等式求最值時(shí),一定要注意"一正二定三相等",同時(shí)還要注意一些變形技巧,積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專講專練〔教材回扣+考點(diǎn)分類+課堂內(nèi)外+限時(shí)訓(xùn)練：基本不等式一、選擇題1．若a＞0,b＞0,且ln<a＋b>＝0,則eq\f<1,a>＋eq\f<1,b>的最小值是<>A.eq\f<1,4>B．1C．4D．8解析：由a＞0,b＞0,ln<a＋b>＝0,得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a＋b＝1,,a＞0,,b＞0.>>故eq\f<1,a>＋eq\f<1,b>＝eq\f<a＋b,ab>＝eq\f<1,ab>≥eq\f<1,\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<a＋b,2>>>2>＝eq\f<1,\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>2>＝4.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f<1,2>時(shí),上式取等號(hào).答案：C2．已知不等式<x＋y>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,x>＋\f<a,y>>>≥9對任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為<>A．2B．4C．9D．16解析：<x＋y>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,x>＋\f<a,y>>>＝1＋eq\f<x,y>·a＋eq\f<y,x>＋a.∵x＞0,y＞0,a＞0,∴1＋eq\f<ax,y>＋eq\f<y,x>＋a≥1＋a＋2eq\r<a>.由9≤1＋a＋2eq\r<a>,得a＋2eq\r<a>－8≥0,∴<eq\r<a>＋4><eq\r<a>－2>≥0.∵a＞0,∴eq\r<a>≥2,∴a≥4,∴a的最小值為4.答案：B3．已知函數(shù)f<x>＝lgeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<5x＋\f<4,5x>＋m>>的值域?yàn)镽,則m的取值范圍是<>A．<－4,＋∞>B．[－4,＋∞>C．<－∞,－4>D．<－∞,－4]解析：設(shè)g<x>＝5x＋eq\f<4,5x>＋m,由題意g<x>的圖像與x軸有交點(diǎn),而5x＋eq\f<4,5x>≥4,故m≤－4,故選D.答案：D4．當(dāng)點(diǎn)<x,y>在直線x＋3y－2＝0上移動(dòng)時(shí),表達(dá)式3x＋27y＋1的最小值為<>A．3B．5C．1D．7解析：方法一：由x＋3y－2＝0,得3y＝－x＋2.∴3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1＝3x＋3－x＋2＋1＝3x＋eq\f<9,3x>＋1≥2eq\r<3x·\f<9,3x>>＋1＝7.當(dāng)且僅當(dāng)3x＝eq\f<9,3x>,即3x＝3,即x＝1時(shí)取得等號(hào)．方法二：3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥2eq\r<3x·33y>＋1＝2eq\r<32>＋1＝7.答案：D5．已知x＞0,y＞0,x＋2y＋2xy＝8,則x＋2y的最小值是<>A．3B．4C.eq\f<9,2>D.eq\f<11,2>解析：∵2xy＝x·<2y>≤eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<x＋2y,2>>>2,∴原式可化為<x＋2y>2＋4<x＋2y>－32≥0.又∵x＞0,y＞0,∴x＋2y≥4.當(dāng)x＝2,y＝1時(shí)取等號(hào)．答案：B6．<2013·蒼山調(diào)研>已知x＞0,y＞0,lg2x＋lg8y＝lg2,則eq\f<1,x>＋eq\f<1,3y>的最小值是<>A．2B．2eq\r<2>C．4D．2eq\r<3>解析：由lg2x＋lg8y＝lg2,得lg2x＋3y＝lg2.∴x＋3y＝1,eq\f<1,x>＋eq\f<1,3y>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,x>＋\f<1,3y>>><x＋3y>＝2＋eq\f<x,3y>＋eq\f<3y,x>≥4.答案：C二、填空題7．設(shè)x、y∈R,且xy≠0,則eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x2＋\f<1,y2>>>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,x2>＋4y2>>的最小值為__________．解析：eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x2＋\f<1,y2>>>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,x2>＋4y2>>＝1＋4＋4x2y2＋eq\f<1,x2y2>≥1＋4＋2eq\r<4>＝9.當(dāng)且僅當(dāng)4x2y2＝eq\f<1,x2y2>時(shí)等號(hào)成立,即|xy|＝eq\f<\r<2>,2>時(shí)等號(hào)成立.答案：98．<2013·XX調(diào)研>若實(shí)數(shù)a,b滿足ab－4a－b＋1＝0<a＞1>,則<a＋1><b解析：∵ab－4a－b∴b＝eq\f<4a－1,a－1>,ab＝4a＋b－1.∴<a＋1><b＋2>＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2＝6a＋eq\f<4a－1,a－1>·2＋1＝6a＋eq\f<[4a－1＋3]×2,a－1>＋1＝6a＋8＋eq\f<6,a－1>＋1＝6<a－1>＋eq\f<6,a－1>＋15.∵a＞1,∴a－1＞0.∴原式＝6<a－1>＋eq\f<6,a－1>＋15≥2eq\r<6×6>＋15＝27.當(dāng)且僅當(dāng)<a－1>2＝1,即a＝2時(shí)等號(hào)成立．∴最小值為27.答案：279．<2013·聊城質(zhì)檢>經(jīng)觀測,某公路段在某時(shí)段內(nèi)的車流量y<千輛/小時(shí)>與汽車的平均速度v<千米/小時(shí)>之間有函數(shù)關(guān)系：y＝eq\f<920v,v2＋3v＋1600><v＞0>,在該時(shí)段內(nèi),當(dāng)車流量y最大時(shí),汽車的平均速度v＝__________千米/小時(shí)．解析：∵v＞0,∴y＝eq\f<920,v＋\f<1600,v>＋3>≤eq\f<920,2\r<v·\f<1600,v>>＋3>＝eq\f<920,80＋3>≈11.08,當(dāng)且僅當(dāng)v＝eq\f<1600,v>,即v＝40千米/小時(shí)時(shí)取等號(hào).答案：40三、解答題10．已知x＞0,y＞0,z＞0,且x＋y＋z＝1.求證：eq\f<1,x>＋eq\f<4,y>＋eq\f<9,z>≥36.解析：∵x＞0,y＞0,z＞0,且x＋y＋z＝1,∴eq\f<1,x>＋eq\f<4,y>＋eq\f<9,z>＝<x＋y＋z>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,x>＋\f<4,y>＋\f<9,z>>>＝14＋eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<y,x>＋\f<4x,y>>>＋eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<z,x>＋\f<9x,z>>>＋eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<4z,y>＋\f<9y,z>>>≥14＋2eq\r<\f<y,x>·\f<4x,y>>＋2eq\r<\f<z,x>·\f<9x,z>>＋2·eq\r<\f<4z,y>·\f<9y,z>>＝14＋4＋6＋12＝36.當(dāng)且僅當(dāng)x2＝eq\f<1,4>y2＝eq\f<1,9>z2,即x＝eq\f<1,6>,y＝eq\f<1,3>,z＝eq\f<1,2>時(shí)等號(hào)成立．∴eq\f<1,x>＋eq\f<4,y>＋eq\f<9,z>≥36.11．某學(xué)校擬建一塊周長為400m的操場如圖所示,操場的兩頭是半圓形,中間區(qū)域是矩形,學(xué)生做操一般安排在矩形區(qū)域,為了能讓學(xué)生的做操區(qū)域盡可能大,試問如何設(shè)計(jì)矩形的長和寬．解析：設(shè)中間矩形區(qū)域的長,寬分別為xm,ym,中間的矩形區(qū)域面積為Sm2,則半圓的周長為eq\f<πy,2>m.∵操場周長為400m,所以2x＋2×eq\f<πy,2>＝400,即2x＋πy＝400<0＜x＜200,0＜y＜eq\f<400,π>>．∴S＝xy＝eq\f<1,2π>·<2x>·<πy>≤eq\f<1,2π>·eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<2x＋πy,2>>>2＝eq\f<20000,π>.由eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2x＝πy,,2x＋πy＝400,>>解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝100,,y＝\f<200,π>.>>∴當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝100,,y＝\f<200,π>>>時(shí)等號(hào)成立．即把矩形的長和寬分