2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第18講圓錐曲線中的極點(diǎn)極線問題(高階拓展、競(jìng)賽適用)(學(xué)生版+解析)

圓錐曲線中的極點(diǎn)極線問題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（2類核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A錐曲線極點(diǎn)極線的定義2.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的極點(diǎn)極線問題及其相關(guān)計(jì)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識(shí)講解極點(diǎn)極線的定義如圖,設(shè)P是不在圓雉曲線上的一點(diǎn),過P點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,G,H,連接EH,FG交于N,連接EG,FH交于M,則直線MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.若P為圓雉曲線上的點(diǎn),則過P點(diǎn)的切線即為極線.

同理,PM為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線,PN為點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的極線.因而將△MNP稱為自極三點(diǎn)形.設(shè)直線MN其他定義對(duì)于圓錐曲線C:Axl:Ax0x+B?x0y+y0x2+C替換原則x0x極點(diǎn)極線的幾何意義(以橢圓為例)

已知橢圓方程:x2a2+y2b2=1,設(shè)點(diǎn)Px(2)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓外時(shí),極線l與橢圓相交,且為由P點(diǎn)向橢圓所引切線的切點(diǎn)弦所在直線。(3)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓內(nèi)時(shí),極線l與橢圓相離,極線l為經(jīng)過點(diǎn)P的弦在兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡,且極線l與以點(diǎn)P為中點(diǎn)的弦所在的直線平行。特別地:

(1)對(duì)于橢圓x2a2+y2b2=1,與點(diǎn)Px0,y0對(duì)應(yīng)的極線方程為x0考點(diǎn)一、極點(diǎn)極線初步學(xué)習(xí)1．（2024·全國·一模）如圖，已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合.點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進(jìn)行解答)極點(diǎn)與極線是法國數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)Px0,y0（不是原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為，且若極點(diǎn)在軸上，則過點(diǎn)作橢圓的割線交于點(diǎn)，則對(duì)于上任意一點(diǎn)，均有（當(dāng)斜率均存在時(shí)）.已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.連接交軸于點(diǎn).連接分別交橢圓于兩點(diǎn).①設(shè)直線、分別交軸于點(diǎn)、點(diǎn)，證明：點(diǎn)為、的中點(diǎn)；②證明直線：恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).2．（22-23高二上·貴州貴陽·期末）閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點(diǎn)P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于拋物線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為.即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理①當(dāng)P在圓錐曲線G上時(shí)，其極線l是曲線G在點(diǎn)P處的切線；②當(dāng)P在G外時(shí)，其極線l是曲線G從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)P在G內(nèi)時(shí)，其極線l是曲線G過點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：(1)已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，是否存在定點(diǎn)T恒在直線MN上，若存在，當(dāng)時(shí)，求直線MN的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.1．（23-24高二下·廣東深圳·期中）閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線：，則稱點(diǎn)和直線：是圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換；以替換，以替換，即可得到對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于拋物線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為.即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理：①當(dāng)在圓錐曲線上時(shí)，其極線是曲線在點(diǎn)處的切線；②當(dāng)在外時(shí)，其極線是從點(diǎn)向曲線所引兩條切線的切點(diǎn)所在的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)在內(nèi)時(shí)，其極線是曲線過點(diǎn)的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：已知橢圓：.(1)點(diǎn)是直線：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，，是否存在定點(diǎn)恒在直線上，若存在，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.(2)點(diǎn)在圓上，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求面積的最大值.2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為上頂點(diǎn)，離心率為，直線與圓相切.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)橢圓方程，平面上有一點(diǎn).定義直線方程是橢圓在點(diǎn)處的極線.①若在橢圓上，證明:橢圓在點(diǎn)處的極線就是過點(diǎn)的切線;②若過點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為，割線交橢圓于兩點(diǎn)，過點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線，且相交于點(diǎn).證明:三點(diǎn)共線.考點(diǎn)二、極點(diǎn)極線在圓錐曲線中的應(yīng)用1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．2．（北京·高考真題）已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓上，直線交軸于點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)（用，表示）；（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線交軸于點(diǎn)．問：軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．3．（全國·高考真題）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.4．（全國·統(tǒng)考高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn).1．（24-25高三上·北京·開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，左、右焦點(diǎn)分別為．過右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于點(diǎn)M、N，且的周長(zhǎng)為16．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記直線AM、BN的斜率分別為，證明：為定值．2．（2023·遼寧·二模）已知橢圓的離心率為，直線，左焦點(diǎn)F到直線l的距離為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．C，D是橢圓T上異于A，B的任意兩點(diǎn)，且直線AC，BC，AD，BD的斜率都存在．直線AC，BD相交于點(diǎn)M，直線AD，BC相交于點(diǎn)N．設(shè)直線AC，BC的斜率為，．①求的值；②求直線MN的斜率．3．（2023·湖北·三模）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)是橢圓C上且處于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，直線與橢圓C分別相交于兩點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)N，試求的最大值．4．（23-24高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知橢圓過和兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)P和Q.（i）證明：點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）求四邊形面積的最大值.5．（24-25高三上·上海嘉定·階段練習(xí)）如圖，橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，設(shè)Px0,y0是第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線分別交橢圓于點(diǎn)，

(1)若軸，求的面積；(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求的最小值.1．（23-24高二上·山東日照·期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M，N為C上且在x軸上方的兩點(diǎn)，，與的交點(diǎn)為P，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．2．（23-24高二上·湖北武漢·期中）如圖所示，橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別是和，離心率，，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求四邊形面積的最大值；(3)試判斷直線與的斜率之積是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由.3．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線交于點(diǎn)，，如圖．

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，．證明：直線過定點(diǎn)．4．（23-24高二下·四川成都·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)別為，，離心率為，過點(diǎn)的動(dòng)直線l交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，且l不與x軸垂直，的周長(zhǎng)為，直線與E交于另一點(diǎn)C，直線與E交于另一點(diǎn)D，點(diǎn)P為橢圓E的下頂點(diǎn)，如圖．(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點(diǎn)．5．（24-25高三上·遼寧鞍山·開學(xué)考試）已知橢圓，右焦點(diǎn)為且離心率為，直線，橢圓的左右頂點(diǎn)分別為為上任意一點(diǎn)，且不在軸上，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為.

(1)直線和直線的斜率分別記為，求證：為定值；(2)求證：直線過定點(diǎn).6．（22-23高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右頂點(diǎn)為，離心率為，P是直線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)且與PM垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線PA，PM，PB的斜率分別為，，，問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．7．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知圓心為H的圓和定點(diǎn)，B是圓上任意一點(diǎn)，線段AB的中垂線l和直線BH相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)B在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡記為曲線C．(1)求C的方程．(2)如圖所示，過點(diǎn)A作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P，Q和E，F(xiàn)，求的取值范圍8．（23-24高二上·湖北·期中）已知橢圓C的方程為，其離心率為，，為橢圓的左右焦點(diǎn)，過作一條不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．

(1)求橢圓C的方程；(2)過B作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)D．①試討論直線AD是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．②求面積的最大值．9．（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)，離心率為，過作兩條互相垂直的弦，設(shè)的中點(diǎn)分別為．(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；(3)若弦的斜率均存在，求面積的最大值．10．（23-24高二上·陜西渭南·期末）如圖，過點(diǎn)C0,1的橢圓的離心率為，橢圓與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)；(1)當(dāng)直線過橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)異于點(diǎn)時(shí)，求證：為定值．1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切2．（北京·高考真題）已知拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1,1)．過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn)．3．（四川·高考真題）橢圓有兩頂點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0），過其焦點(diǎn)F（0，1）的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P．直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．（Ⅰ）當(dāng)|CD|=時(shí)，求直線l的方程；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí)，求證：為定值．4．（北京·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn).5．（全國·高考真題）在直角坐標(biāo)系中，曲線C：y=與直線交與M,N兩點(diǎn)，（Ⅰ）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；（Ⅱ）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.6．（北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）設(shè)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.若、和點(diǎn)共線，求.7．（北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓過點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．8．（四川·高考真題）如圖，橢圓E：的離心率是，過點(diǎn)P（0,1）的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為.（1）求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.9．（江西·高考真題）如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（1，），離心率e=，直線l的方程為x=4.（1）求橢圓C的方程；（2）AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為.問：是否存在常數(shù)λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說明理圓錐曲線中的極點(diǎn)極線問題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（2類核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A錐曲線極點(diǎn)極線的定義2.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的極點(diǎn)極線問題及其相關(guān)計(jì)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識(shí)講解極點(diǎn)極線的定義如圖,設(shè)P是不在圓雉曲線上的一點(diǎn),過P點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,G,H,連接EH,FG交于N,連接EG,FH交于M,則直線MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.若P為圓雉曲線上的點(diǎn),則過P點(diǎn)的切線即為極線.

同理,PM為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線,PN為點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的極線.因而將△MNP稱為自極三點(diǎn)形.設(shè)直線MN其他定義對(duì)于圓錐曲線C:Axl:Ax0x+B?x0y+y0x2+C替換原則x0x極點(diǎn)極線的幾何意義(以橢圓為例)

已知橢圓方程:x2a2+y2b2=1,設(shè)點(diǎn)Px(2)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓外時(shí),極線l與橢圓相交,且為由P點(diǎn)向橢圓所引切線的切點(diǎn)弦所在直線。(3)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓內(nèi)時(shí),極線l與橢圓相離,極線l為經(jīng)過點(diǎn)P的弦在兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡,且極線l與以點(diǎn)P為中點(diǎn)的弦所在的直線平行。特別地:

(1)對(duì)于橢圓x2a2+y2b2=1,與點(diǎn)Px0,y0對(duì)應(yīng)的極線方程為x0考點(diǎn)一、極點(diǎn)極線初步學(xué)習(xí)1．（2024·全國·一模）如圖，已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合.點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進(jìn)行解答)極點(diǎn)與極線是法國數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)Px0,y0（不是原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為，且若極點(diǎn)在軸上，則過點(diǎn)作橢圓的割線交于點(diǎn)，則對(duì)于上任意一點(diǎn)，均有（當(dāng)斜率均存在時(shí)）.已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.連接交軸于點(diǎn).連接分別交橢圓于兩點(diǎn).①設(shè)直線、分別交軸于點(diǎn)、點(diǎn)，證明：點(diǎn)為、的中點(diǎn)；②證明直線：恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)，(2)①證明過程見解析②證明過程見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）由橢圓焦點(diǎn)在軸上面，列出不等式組即可得的范圍，由的關(guān)系以及短軸長(zhǎng)列出方程組即可得，由此即可得橢圓方程.（2）為了說明結(jié)論的驗(yàn)證性，首先證明一下題述引理（用解析幾何方法），即聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由韋達(dá)定理以及斜率公式證明即可，從而對(duì)于①由結(jié)論法說明Q是和的交點(diǎn)，且，結(jié)合由此即可進(jìn)一步得證；對(duì)于②由結(jié)論法可表示出的方程，由此整理即可得解.【詳解】（1）由題意焦點(diǎn)在軸上，所以，解得，即的范圍為，且，解得，所以橢圓方程為.（2）我們首先給出題目給出的引理的證明：設(shè)，則Q在P的極線上，現(xiàn)在如果經(jīng)過P的直線交橢圓于：那么，代入橢圓就得到，所以，由韋達(dá)定理有，此時(shí)要證明的是：，也就是，也就是，也就是，

也就是，也就是，

也就是，也就是，也就是，也就是，也就是，這顯然成立，所以結(jié)論得證.接下來我們回到原題，

①首先由于Q在P的極線上，故由引理有，，而，所以，這表明Q是和的交點(diǎn)，又由于，故，設(shè)，而，，，所以，也就是E是的中點(diǎn)；②設(shè)，那么，所以，這表明的方程是，即，所以恒過點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵是用解析幾何證明題述引理的正確性，由此即可利用結(jié)論法進(jìn)一步求解.2．（22-23高二上·貴州貴陽·期末）閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點(diǎn)P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于拋物線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為.即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理①當(dāng)P在圓錐曲線G上時(shí)，其極線l是曲線G在點(diǎn)P處的切線；②當(dāng)P在G外時(shí)，其極線l是曲線G從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)P在G內(nèi)時(shí)，其極線l是曲線G過點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：(1)已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，是否存在定點(diǎn)T恒在直線MN上，若存在，當(dāng)時(shí)，求直線MN的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)，(2)存在，【分析】(1)根據(jù)題意和離心率求出a、b，即可求解；(2)利用代數(shù)法證明點(diǎn)Q在橢圓C外，則點(diǎn)Q和直線MN是橢圓C的一對(duì)極點(diǎn)和極線.根據(jù)題意中的概念求出點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的極線MN方程，可得該直線恒過定點(diǎn)T（2,1），利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)P(4,0)，則，得，又，所以，所以，所以橢圓C的方程為.根據(jù)閱讀材料，與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線方程為，即；（2）由題意，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,)，因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)，所以，聯(lián)立，得，，該方程無實(shí)數(shù)根，所以直線與橢圓C相離，即點(diǎn)Q在橢圓C外，又QM，QN都與橢圓C相切，所以點(diǎn)Q和直線MN是橢圓C的一對(duì)極點(diǎn)和極線.對(duì)于橢圓，與點(diǎn)Q(,)對(duì)應(yīng)的極線方程為，將代入，整理得，又因?yàn)槎c(diǎn)T的坐標(biāo)與的取值無關(guān)，所以，解得，所以存在定點(diǎn)T(2,1)恒在直線MN上.當(dāng)時(shí)，T是線段MN的中點(diǎn)，設(shè)，直線MN的斜率為，則，兩式相減，整理得，即，所以當(dāng)時(shí)，直線MN的方程為，即.1．（23-24高二下·廣東深圳·期中）閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線：，則稱點(diǎn)和直線：是圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換；以替換，以替換，即可得到對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于拋物線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為.即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理：①當(dāng)在圓錐曲線上時(shí)，其極線是曲線在點(diǎn)處的切線；②當(dāng)在外時(shí)，其極線是從點(diǎn)向曲線所引兩條切線的切點(diǎn)所在的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)在內(nèi)時(shí)，其極線是曲線過點(diǎn)的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：已知橢圓：.(1)點(diǎn)是直線：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，，是否存在定點(diǎn)恒在直線上，若存在，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.(2)點(diǎn)在圓上，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求面積的最大值.【答案】(1)存在，(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，求得點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程，進(jìn)而求出定點(diǎn)，再利用點(diǎn)差法求解即得.（2）求出極線方程，并與橢圓方程聯(lián)立求出弦長(zhǎng)及點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而求得三角形面積的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，得，由消去并整理得，顯然，即此方程組無實(shí)數(shù)解，于是直線與橢圓相離，即點(diǎn)在橢圓外，又，都與橢圓相切，因此點(diǎn)和直線是橢圓的一對(duì)極點(diǎn)和極線，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為，將代入，整理得，顯然定點(diǎn)的坐標(biāo)與的取值無關(guān)，即有，解得，所以存在定點(diǎn)恒在直線上，當(dāng)時(shí)，是線段的中點(diǎn)有在橢圓內(nèi)，設(shè)，直線的斜率為，則，兩式相減并整理得，即，所以當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即.（2）由（1）知直線的方程為，由題意知，由消去并整理得：，而，則，設(shè)，，則，，所以，

點(diǎn)到直線的距離為：，因此面積，當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，即在單調(diào)遞增，則的最大值為，由對(duì)稱性可知當(dāng)時(shí)，的最大值也為，所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及直線被圓錐曲線所截弦中點(diǎn)及直線斜率問題，可以利用“點(diǎn)差法”，設(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程作差求解.2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為上頂點(diǎn)，離心率為，直線與圓相切.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)橢圓方程，平面上有一點(diǎn).定義直線方程是橢圓在點(diǎn)處的極線.①若在橢圓上，證明:橢圓在點(diǎn)處的極線就是過點(diǎn)的切線;②若過點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為，割線交橢圓于兩點(diǎn)，過點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線，且相交于點(diǎn).證明:三點(diǎn)共線.【答案】(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）由題意得，，再結(jié)合，從而可求出，進(jìn)而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①由定義可知橢圓在點(diǎn)處的極線方程為，然后分和兩種情況證明；②設(shè)點(diǎn)，然后由①可得過點(diǎn)的切線方程和過點(diǎn)的切線方程，則可求出割線的方程，同時(shí)可求出切點(diǎn)弦的方程，從而可證得結(jié)論.【詳解】（1）由已知，，則所以直線，即，該直線與圓與相切，則，所以解得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）①由(1)得橢圓的方程是.因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，由定義可知橢圓在點(diǎn)處的極線方程為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)極線方程為，所以處的極線就是過點(diǎn)的切線，當(dāng)時(shí)，極線方程為，即，由，得，所以，所以處的極線就是過點(diǎn)的切線，綜上所述，橢圓在點(diǎn)處的極線就是過點(diǎn)的切線;②設(shè)點(diǎn)，由①可知，過點(diǎn)的切線方程為，過點(diǎn)的切線方程為，因?yàn)槎歼^點(diǎn)，所以有，則割線的方程為，同理可得過點(diǎn)的兩條切線的切點(diǎn)弦的方程為，即，又因?yàn)楦罹€過點(diǎn)，代入割線方程得，即，所以三點(diǎn)共線，都在直線上．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的切線，考查橢圓中點(diǎn)共線問題，解題的關(guān)鍵是合理利用過橢圓上一點(diǎn)的切線方程的定義，考查計(jì)算能力，屬于較難題.考點(diǎn)二、極點(diǎn)極線在圓錐曲線中的應(yīng)用1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點(diǎn).②若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時(shí)，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.2．（北京·高考真題）已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓上，直線交軸于點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)（用，表示）；（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線交軸于點(diǎn)．問：軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）存在點(diǎn)．【詳解】（Ⅰ）由于橢圓：過點(diǎn)且離心率為，，，橢圓的方程為.,直線的方程為：，令，；（Ⅱ），直線的方程為：，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，令，則.設(shè),,,則，所以，（注：點(diǎn)在橢圓上，），則，存在點(diǎn)使得.考點(diǎn)：1.求橢圓方程；2.求直線方程及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；3.存在性問題.3．（全國·高考真題）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.【答案】（1）的方程為或；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)與軸垂直，且過點(diǎn)，求得直線的方程為，代入橢圓方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)為或，利用兩點(diǎn)式求得直線的方程；（2）方法一：分直線與軸重合、與軸垂直、與軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況比較簡(jiǎn)單，也比較直觀，對(duì)于一般情況將角相等通過直線的斜率的關(guān)系來體現(xiàn)，從而證得結(jié)果.【詳解】（1）由已知得，的方程為.由已知可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.所以的方程為或.（2）［方法一］：【通性通法】分類＋常規(guī)聯(lián)立當(dāng)與軸重合時(shí)，.當(dāng)與軸垂直時(shí)，為的垂直平分線，所以.當(dāng)與軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，，則，直線、的斜率之和為.由得.將代入得.所以，.則.從而，故、的傾斜角互補(bǔ)，所以.綜上，.［方法二］：角平分線定義的應(yīng)用當(dāng)直線l與x軸重合或垂直時(shí)，顯然有．當(dāng)直線l與x軸不垂直也不重合時(shí)，設(shè)直線l的方程為，交橢圓于，．由得．由韋達(dá)定理得．點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，則直線的方程為．令，，則直線過點(diǎn)M，．［方法三］：直線參數(shù)方程的應(yīng)用設(shè)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．（*）將（*）式代入橢圓方程中，整理得．則，．又，則，即．所以．［方法四］：【最優(yōu)解】橢圓第二定義的應(yīng)用當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，．當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí)，如圖，過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，則有軸．

由橢圓的第二定義，有，，得，即．由軸，有，即，于是，且．可得，即有．［方法五］：角平分線定理逆定理＋極坐標(biāo)方程的應(yīng)用橢圓以右焦點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸，得.設(shè)．．所以，．由角平分線定理的逆定理可知，命題得證．［方法六］：角平分線定理的逆定理的應(yīng)用設(shè)點(diǎn)O（也可選點(diǎn)F）到直線的距離分別為，根據(jù)角平分線定理的逆定理，要證，只需證．當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，易得．當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為：．由方程組得恒成立，．．直線的方程為：．因?yàn)辄c(diǎn)A在直線l上，所以，故．同理，．．因?yàn)椋?，即．綜上，．［方法七］：【通性通法】分類＋常規(guī)聯(lián)立當(dāng)直線l與x軸重合或垂直時(shí)，顯然有．當(dāng)直線l與x軸不垂直也不重合時(shí)，設(shè)直線l的方程為，交橢圓于，．由得．由韋達(dá)定理得．所以，故、的傾斜角互補(bǔ)，所以.［方法八］：定比點(diǎn)差法設(shè)，，所以，由作差可得，，所以，，又，所以，，故，、的傾斜角互補(bǔ)，所以.當(dāng)時(shí)，與軸垂直，為的垂直平分線，所以.故．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：通過分類以及常規(guī)聯(lián)立，把角相等轉(zhuǎn)化為斜率和為零，再通過韋達(dá)定理即可實(shí)現(xiàn)，是解決該類問題的通性通法；方法二：根據(jù)角平分線的定義可知，利用點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，證直線過點(diǎn)即可；方法三：利用直線的參數(shù)方程證明斜率互為相反數(shù)；方法四：根據(jù)點(diǎn)M是橢圓的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，用橢圓的第二定義結(jié)合平面幾何知識(shí)證明，運(yùn)算量極小，是該題的最優(yōu)解；方法五：利用橢圓的極坐標(biāo)方程以及角平分線定理的逆定理的應(yīng)用，也是不錯(cuò)的方法選擇；方法六：類比方法五，角平分線定理的逆定理的應(yīng)用；方法七：常規(guī)聯(lián)立，同方法一，只是設(shè)直線的方程形式不一樣；方法八：定比點(diǎn)差法的應(yīng)用．4．（全國·統(tǒng)考高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明詳見解析.【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問題得解.（2）方法一：設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線：，直線過點(diǎn)，命題得證.【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：

由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）[方法一]：設(shè)而求點(diǎn)法證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線：，直線過點(diǎn)．故直線CD過定點(diǎn)．[方法二]【最優(yōu)解】：數(shù)形結(jié)合設(shè)，則直線的方程為，即．同理，可求直線的方程為．則經(jīng)過直線和直線的方程可寫為．可化為．④易知A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)滿足上述方程，同時(shí)A，B，C，D又在橢圓上，則有，代入④式可得．故，可得或．其中表示直線，則表示直線．令，得，即直線恒過點(diǎn)．【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及方程思想，還考查了計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題.第二問的方法一最直接，但對(duì)運(yùn)算能力要求嚴(yán)格；方法二曲線系的應(yīng)用更多的體現(xiàn)了幾何與代數(shù)結(jié)合的思想，二次曲線系的應(yīng)用使得計(jì)算更為簡(jiǎn)單.1．（24-25高三上·北京·開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，左、右焦點(diǎn)分別為．過右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于點(diǎn)M、N，且的周長(zhǎng)為16．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記直線AM、BN的斜率分別為，證明：為定值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件結(jié)合橢圓定義、離心率公式，確定a,b,c的值，得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，消去得到關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到，，再把用，表示出來，化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】（1）由的周長(zhǎng)為16，及橢圓的定義，可知：，即，又離心率為所以．所以橢圓C的方程為：．（2）依題意，直線l與x軸不重合，設(shè)l的方程為：．聯(lián)立得：，因?yàn)樵跈E圓內(nèi)，所以，即，易知該不等式恒成立，設(shè)，由韋達(dá)定理得．又，則注意到，即：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.2．（2023·遼寧·二模）已知橢圓的離心率為，直線，左焦點(diǎn)F到直線l的距離為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．C，D是橢圓T上異于A，B的任意兩點(diǎn)，且直線AC，BC，AD，BD的斜率都存在．直線AC，BD相交于點(diǎn)M，直線AD，BC相交于點(diǎn)N．設(shè)直線AC，BC的斜率為，．①求的值；②求直線MN的斜率．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）由距離公式求出，再由離心率求出，即可求出，從而得解；（2）首先求出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，①設(shè)，利用斜率公式計(jì)算可得；②設(shè)，的斜率分別為，，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)坐標(biāo)，再由斜率公式計(jì)算即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又左焦點(diǎn)到直線的距離為，有，解得或（舍去），所以，，橢圓方程為．（2）由（1）知，橢圓的方程為，由，解得或，所以，．①，斜率都存在，即，存在．設(shè)，顯然，且，從而．②設(shè)，的斜率分別為，，設(shè)直線的方程為，直線的方程為．由，解得，從而點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，，設(shè)直線的方程為，即，設(shè)直線的方程為，即，用代，代得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以．3．（2023·湖北·三模）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)是橢圓C上且處于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，直線與橢圓C分別相交于兩點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)N，試求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求出，然后根據(jù)的關(guān)系即可求解；（2）設(shè)，得到，將的方程與曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到，，代入進(jìn)而利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）由，得，∴橢圓C的方程是；（2）設(shè)，根據(jù)題意設(shè)的方程為：，由題意知，，

將，代入中，整理得，，又，．，，同理可得，，

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）的最大值是．4．（23-24高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知橢圓過和兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)P和Q.（i）證明：點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）6【分析】（1）將兩點(diǎn)代入橢圓中，解方程組即可求得橢圓C的方程；（2）（i）分別將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由數(shù)量積可得為鈍角，得出證明；（ii）由（i）可寫出四邊形的面積為，再利用基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性即可得出面積的最大值為6.【詳解】（1）依題意將和兩點(diǎn)代入橢圓可得，解得；所以橢圓方程為（2）（i）易知，由橢圓對(duì)稱性可知，不妨設(shè)，；根據(jù)題意可知直線斜率均存在，且；所以直線的方程為，的方程為；聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得，解得，則；聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得，解得，則；則，；所以；即可知為鈍角，所以點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）易知四邊形的面積為，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以，可得，由對(duì)稱性可知，即當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為6.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明點(diǎn)和圓的位置關(guān)系時(shí)，可利用向量數(shù)量積的正負(fù)判斷與直徑所對(duì)圓周角的大小即可得出結(jié)論；在求解四邊形面積的最值時(shí)，首先可用一個(gè)變量表示出面積的表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求出最值即可.5．（24-25高三上·上海嘉定·階段練習(xí)）如圖，橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，設(shè)Px0,y0是第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線分別交橢圓于點(diǎn)，

(1)若軸，求的面積；(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由橢圓方程求出，從而可得坐標(biāo)，將其橫坐標(biāo)代入橢圓方程中可求出的值，進(jìn)而可求出的面積;（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的方程為，代入橢圓方程中求出得，因?yàn)?，可得，?jì)算即可得出坐標(biāo)；（3）由（2）同理可求得，從而可得化簡(jiǎn)后結(jié)合基本不等式可得答案【詳解】（1）設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，半焦距為，由橢圓，得，則，所以，當(dāng)時(shí)，，得，所以所以的面積為;（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（），則直線的方程為，將其代入橢圓方程中可得，整理得，所以，得，所以，因?yàn)椋?，可得，化?jiǎn)得，解得，代入得出所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）由（2）得同理可求得，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：的最大值得關(guān)鍵是結(jié)合韋達(dá)定理得出,再轉(zhuǎn)換未知量,最后應(yīng)用基本不等式求解即可.1．（23-24高二上·山東日照·期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M，N為C上且在x軸上方的兩點(diǎn)，，與的交點(diǎn)為P，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)定值為．【分析】（1）根據(jù)面積求出，即可得出橢圓方程；（2）設(shè)，根據(jù)相似三角形表示出，利用直線與橢圓方程化簡(jiǎn)可得的和積，代入化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】（1）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，因?yàn)樗倪呅问敲娣e為8的正方形，所以有且，解得，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由已知，則，設(shè)，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以，所以．即．設(shè)，的方程分別為：，，設(shè)，，則，所以，因此，同理可得：，因此，，所以．所以為定值，定值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于運(yùn)算，大量的運(yùn)算保證了消參的進(jìn)行，為求證定值的必要條件，運(yùn)算能力的培養(yǎng)是解決問題的關(guān)鍵.2．（23-24高二上·湖北武漢·期中）如圖所示，橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別是和，離心率，，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求四邊形面積的最大值；(3)試判斷直線與的斜率之積是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)4(3)是，定值為【分析】（1）由題意求出b的值，根據(jù)離心率可求出，即得答案；（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立橢圓方程可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出的表達(dá)式，即可求得四邊形面積的表達(dá)式，利用三角代換，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得面積的最大值；（3）求出直線與的斜率之積的表達(dá)式，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)，即可得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又離心率為，所以，即，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）因?yàn)?，所以，所以，設(shè)直線的方程為，，，由，得，由得，則，，故，直線方程為，，所以，直線與之間的距離為，故四邊形的面積為，令，則，令，則，，所以，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，四邊形面積的最大值為4；（3）由第（2）問得，，，故直線與的斜率之積為定值，且定值為.3．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線交于點(diǎn)，，如圖．

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，．證明：直線過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由曲線圖象經(jīng)過點(diǎn)，可得，則得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）寫出的方程,和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達(dá)定理可得，則；（3）設(shè)直線的方程為，，，，，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達(dá)定理可得，．直線的方程為，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達(dá)定理可得，同理可得，由，可得，則直線的方程為，由對(duì)稱性知，定點(diǎn)在軸上，令，可得，則的直線過定點(diǎn)．【詳解】（1）曲線圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，,所以的方程為，聯(lián)立，得，則，由，所以弦．（3）由（1）知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立得，，因此，．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則，因此，，得，同理可得，所以．因此直線的方程為，由對(duì)稱性知，定點(diǎn)在軸上，令得，，所以，直線過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；(3)求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.4．（23-24高二下·四川成都·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)別為，，離心率為，過點(diǎn)的動(dòng)直線l交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，且l不與x軸垂直，的周長(zhǎng)為，直線與E交于另一點(diǎn)C，直線與E交于另一點(diǎn)D，點(diǎn)P為橢圓E的下頂點(diǎn)，如圖．(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用橢圓的定義和離心率，求解橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2，，，【詳解】（1）由橢圓定義可知，BF1所以的周長(zhǎng)為，所以，又因?yàn)闄E圓離心率為，所以，所以，又，所以橢圓的方程：．（2）設(shè)點(diǎn)Ax1,y1，B則直線的方程為，則，由得，，所以，因?yàn)?，所以，所以，故，又，同理，，，由A，，B三點(diǎn)共線，得，所以，直線CD的方程為，由對(duì)稱性可知，如果直線CD過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)在x軸上，令得，，故直線CD過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.5．（24-25高三上·遼寧鞍山·開學(xué)考試）已知橢圓，右焦點(diǎn)為且離心率為，直線，橢圓的左右頂點(diǎn)分別為為上任意一點(diǎn)，且不在軸上，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為.

(1)直線和直線的斜率分別記為，求證：為定值；(2)求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率列式求，即可得橢圓方程，結(jié)合斜率公式分析證明；（2）解法一：設(shè)，聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理，根據(jù)斜率關(guān)系列式求得，即可得結(jié)果；解法二：設(shè)，聯(lián)立方程求坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)直線方程分析定點(diǎn).【詳解】（1）由題意，可得，所以橢圓，且設(shè)，則，即，可得，所以為定值.（2）解法一：設(shè)，則，可得，設(shè)直線，，聯(lián)立方程，消去x可得，則，解得，且，則，整理可得，則，因?yàn)?，則，解得，所以直線過定點(diǎn)解法二：設(shè)，則，直線，可知與橢圓必相交，聯(lián)立方程，消去y可得，則，解得，同理，直線的斜率存在時(shí)，，則，令，；當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，則，解得；綜上所述：直線過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法（1）動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題．解法：設(shè)動(dòng)直線方程（斜率存在）為由題設(shè)條件將t用k表示為，得，故動(dòng)直線過定點(diǎn)；（2）動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．2．求解定值問題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．6．（22-23高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右頂點(diǎn)為，離心率為，P是直線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)且與PM垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線PA，PM，PB的斜率分別為，，，問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)右頂點(diǎn)和離心率求出和，進(jìn)而求出，即可得到橢圓的方程.（2）假設(shè)存在，然后對(duì)直線斜率是否存在進(jìn)行分類討論，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，代入，即可求出的值.【詳解】（1）由題意在橢圓中，右頂點(diǎn)為，離心率為，∴，∴∴∴橢圓的方程為：（2）由題意及（1）得在橢圓中，設(shè)存在常數(shù)，使得當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為：，代入橢圓方程得，，此時(shí),可得當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，將直線方程代入橢圓方程得：∴，∵P是直線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)且與PM垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)∴直線的方程為：∴由幾何知識(shí)得：，，∵∴將，，，代入方程，并化簡(jiǎn)得：解得：綜上，存在常數(shù)，使得7．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知圓心為H的圓和定點(diǎn)，B是圓上任意一點(diǎn)，線段AB的中垂線l和直線BH相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)B在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡記為曲線C．(1)求C的方程．(2)如圖所示，過點(diǎn)A作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P，Q和E，F(xiàn)，求的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）由l是線段AB的中垂線得，根據(jù)橢圓定義可得答案；（2）由直線EF與直線PQ垂直可得，①當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，直線EF的斜率為零，可取，，，，可得；②當(dāng)直線PQ的斜率為零時(shí)，直線EF的斜率不存在，同理可得；③當(dāng)直線PQ的斜率存在且不為零時(shí)，直線EF的斜率也存在，于是可設(shè)直線PQ的方程為，設(shè)直線EF的方程為，將直線PQ的方程代入曲線C的方程，令，利用韋達(dá)定理代入，根據(jù)的范圍可得答案．【詳解】（1）由，得，所以圓心為，半徑為4，連接MA，由l是線段AB的中垂線，得，所以，又，根據(jù)橢圓的定義可知，點(diǎn)M的軌跡是以A，H為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，所以，，，所求曲線C的方程為；（2）由直線EF與直線PQ垂直，可得，于是，①當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，直線EF的斜率為零，此時(shí)可不妨取，，，，所以，②當(dāng)直線PQ的斜率為零時(shí)，直線EF的斜率不存在，同理可得，③當(dāng)直線PQ的斜率存在且不為零時(shí)，直線EF的斜率也存在，于是可設(shè)直線PQ的方程為，，，，，則直線EF的方程為，將直線PQ的方程代入曲線C的方程，并整理得，，所以，，于是，將上面的k換成，可得，所以，令，則，于是上式化簡(jiǎn)整理可得，，由，得，所以，綜合①②③可知，的取值范圍為．8．（23-24高二上·湖北·期中）已知橢圓C的方程為，其離心率為，，為橢圓的左右焦點(diǎn)，過作一條不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．

(1)求橢圓C的方程；(2)過B作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)D．①試討論直線AD是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．②求面積的最大值．【答案】(1)；(2)①恒過定點(diǎn)；②.【分析】（1）根據(jù)已知焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)，由橢圓定義及其離心率求橢圓參數(shù)即可得方程；（2）①設(shè)直線AD為且，，，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理并結(jié)合A，B，共線有，整理化簡(jiǎn)求參數(shù)m，即可確定定點(diǎn)；②由直線AD所過定點(diǎn)，結(jié)合并將韋達(dá)公式代入化簡(jiǎn)，應(yīng)用基本不等式求面積最大值，注意取值條件.【詳解】（1）由題的周長(zhǎng)，可得，又，則，，故橢圓的方程為．（2）①由題，設(shè)直線AD為且，，，，聯(lián)立方程可得：，化簡(jiǎn)可得：，所以，，因?yàn)锳，B，共線，則有，化簡(jiǎn)可得，即，化簡(jiǎn)可得恒成立．∴，即直線AD的方程為恒過定點(diǎn)．②設(shè)直線AD恒過定點(diǎn)記為，由上，可得，所以，·，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．∴面積的最大值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，設(shè)直線AD為且，利用橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及已知條件求出參數(shù)m為關(guān)鍵.9．（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)，離心率為，過作兩條互相垂直的弦，設(shè)的中點(diǎn)分別為．(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；(3)若弦的斜率均存在，求面積的最大值．【答案】(1)(2)證明見解析；；(3)【分析】（1）根據(jù)題意求出的值，即可得答案；（2）討論直線斜率是否存在，存在時(shí)，設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，得根與系數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求得M，N坐標(biāo)，求出直線方程，化簡(jiǎn)即可得結(jié)論；（3）結(jié)合（2）求出面積的表達(dá)式，利用換元法化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得最值.【詳解】（1）由題意：，則，故橢圓的方程為；（2）證明：當(dāng)斜率均存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，設(shè)，則，聯(lián)立得，得，直線過橢圓焦點(diǎn)，必有，則，故，將上式中的換成，則同理可得：，如，得，則直線斜率不存在，此時(shí)直線過點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為P，下證動(dòng)直線過定點(diǎn).若直線斜率存在，則，直線為，令，得，即直線過定點(diǎn)；當(dāng)斜率有一條不存在時(shí)，不妨設(shè)AB斜率不存在，則CD斜率為0，此時(shí)M即為F，N即為O點(diǎn)，直線也過定點(diǎn)，綜上，直線過定點(diǎn)；（3）由第（2）問可知直線過定點(diǎn)，故，令，，則，則在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)取得最大值，此時(shí).【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓位置關(guān)系中的定點(diǎn)定值問題，綜合性較強(qiáng)；解答時(shí)要注意聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式化簡(jiǎn)求值，難點(diǎn)在于計(jì)算過程比較復(fù)雜，計(jì)算量較大，需要十分細(xì)心.10．（23-24高二上·陜西渭南·期末）如圖，過點(diǎn)C0,1的橢圓的離心率為，橢圓與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)；(1)當(dāng)直線過橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)異于點(diǎn)時(shí)，求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知結(jié)合離心率，以及關(guān)系，即可求得橢圓方程和直線方程，聯(lián)立方程即可得出結(jié)果；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立得到點(diǎn)坐標(biāo)，再表示出直線方程，與直線聯(lián)立即可得到坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積即可得證.【詳解】（1）由題知，，又，，所以，，則橢圓方程為，此時(shí)為焦點(diǎn)，所以直線斜率為，所以直線方程為，聯(lián)立得：，解得，代入直線方程，得，可得點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)不符合題意；因?yàn)?，，則直線方程：，設(shè)直線方程：，和橢圓聯(lián)立得：，解得，代入直線得，則點(diǎn)坐標(biāo)為，又，則，則直線方程為，和直線聯(lián)立，解得，則，又為與軸交點(diǎn)，則，所以為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點(diǎn)在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.2．（北京·高考真題）已知拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1,1)．過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn)．【答案】（1）拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－；（2）見解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）代入點(diǎn)求得拋物線的方程，根據(jù)方程表示焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為（），與拋物線方程聯(lián)立，再由根與系數(shù)的關(guān)系，及直線ON的方程為，聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再證明.試題解析：（Ⅰ）由拋物線C：過點(diǎn)P（1，1），得.所以拋物線C的方程為.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.（Ⅱ）由題意，設(shè)直線l的方程為（），l與拋物線C的交點(diǎn)為，.由，得.則，.因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），所以直線OP的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.直線ON的方程為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.因?yàn)椋?故A為線段BM的中點(diǎn).【名師點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線時(shí)，不需要特殊技巧，只要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數(shù)的關(guān)系，找準(zhǔn)題設(shè)條件中突顯的或隱含的等量關(guān)系，把這種關(guān)系“翻譯”出來即可，有時(shí)不一定要把結(jié)果及時(shí)求出來，可能需要整體代換到后面的計(jì)算中去，從而減少計(jì)算量.3．（四川·高考真題）橢圓有兩頂點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0），過其焦點(diǎn)F（0，1）的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P．直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．（Ⅰ）當(dāng)|CD|=時(shí)，求直線l的方程；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí)，求證：為定值．【答案】（Ⅰ）y=x+1（Ⅱ）見解析【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓有兩頂點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0），焦點(diǎn)F（0，1），可知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，b=1，c=1，，可以求得橢圓的方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可求出直線l的方程；（Ⅱ）根據(jù)過其焦點(diǎn)F（0，1）的直線l的方程可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，該直線與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，和直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q，求出直線AC與直線BD的方程，解該方程組即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，代入即可證明結(jié)論．（Ⅰ）∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），由已知得b=1，c=1，所以a=，橢圓的方程為，當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，C（x1，y1），D（x2，y2），將直線l的方程代入橢圓的方程化簡(jiǎn)得（k2+2）x2+2kx﹣1=0，則x1+x2=﹣，x1?x2=﹣，∴|CD|====，解得k=．∴直線l的方程為y=x+1；（Ⅱ）證明：當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，0），由（Ⅰ）知x1+x2=﹣，x1?x2=﹣，且直線AC的方程為y=，且直線BD的方程為y=，將兩直線聯(lián)立，消去y得，∵﹣1＜x1，x2＜1，∴與異號(hào)，==，y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1==﹣，∴與y1y2異號(hào)，與同號(hào)，∴=，解得x=﹣k，故Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣k，y0），=（﹣，0）?（﹣k，y0）=1，故為定值．考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．體現(xiàn)了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想4．（北京·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn).【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【分析】(Ⅰ)由題意確定a,b的值即可確定橢圓方程；(Ⅱ)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定OM,ON的表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理確定t的值即可證明直線恒過定點(diǎn).【詳解】（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，所以；因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn),所以，所以，故橢圓的方程為.（Ⅱ）設(shè)聯(lián)立得，，，.直線，令得，即；同理可得.因?yàn)?所以；，解之得，所以直線方程為，所以直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意