圓的基本概念及其性質(zhì)（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)）-中考復(fù)習(xí)講義及練習(xí)（解析版）

第五部分圓

專(zhuān)題19圓的基本概念及其性質(zhì)（5大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一圓周角、圓心角相關(guān)問(wèn)題

核心考點(diǎn)二垂徑定理及其推論

核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)三圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

核心考點(diǎn)四正多邊形與圓相關(guān)的計(jì)算

核心考點(diǎn)五圓的基本性質(zhì)綜合題

新題速遞

核心考點(diǎn)一圓周角'圓心角相關(guān)問(wèn)題

畫(huà)W（2022.吉林長(zhǎng)春.統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCQ是的內(nèi)接四邊形.若N38=121。，∣）1∣JZBOD

的度數(shù)為（）

A.138oB.121oC.118oD.112°

【答案】C

【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得NA=59。，再由圓周定理可得N3O￡?=2NA=118。.

【詳解】解：：四邊形ABC。內(nèi)接于圓0,

/.ZA+ZC=180°

,.?ZBCD=121°

/.NA=59°

NBOE>=2NA=Il8。

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解答本題的關(guān)鍵

亟（2022?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）如圖，A3、AC是。的弦，過(guò)點(diǎn)4的切線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，

若NSW=35。，則/C=°.

A

【答案】35

【分析】連接Ao并延長(zhǎng)，交OO于點(diǎn)E,連接BE,首先根據(jù)圓周角定理可得NE+N&4E=90。，再根據(jù)AP

為。。的切線，可得Zβ4E+∠fiW=90o,可得？E?BAD35?,再根據(jù)圓周角定理即可求得.

【詳解】解：如圖，連接A。并延長(zhǎng)，交（O于點(diǎn)E,連接BE.

AE為。的直徑，

.?.ZA5E=90°.

.?.ZE+ZBAE=90o,

為。的切線，

.-.ZZMf=90°,

\?BAE?BAD90?,

\?E?BAD35?,

??CDE=35?.

故答案為：35.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

甌（2022?福建?統(tǒng)考中考真題）如圖，ABe內(nèi)接于。O,A￡）〃BC交。。于點(diǎn)O,DFAB交BC于

點(diǎn)E,交0。于點(diǎn)尺連接AEC尸.

（1）求證：AC=AF；

（2）若。。的半徑為3,NaS=30。，求AC的長(zhǎng)（結(jié)果保留兀）.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

C5乃

⑵了

【分析】（1）根據(jù)已知條件可證明四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得ZB=N等量

代換可得NAEC=NAb,即可得出答案；

（2）連接AaCO,由（1）中結(jié)論可計(jì)算出NAfr的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可計(jì)算出NAoC的度數(shù)，再

根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算即可得出答案.

【詳解】（1）證明：YDFAB9

???四邊形ABED為平行四邊形，

.,.ZB=ZD,

VZAFC=ZB,ZACF=ZD1

：.AAFC=ΔACF,

???AC=AF.

由（1）得NA尸C=NACF,

???ZAFC=180。一30。=75°,

2

/.ZAOC=2ZAFC=150o,

???AC的長(zhǎng)/=嗎或x3=等

ioUZ

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)與弧長(zhǎng)公式，考

查化歸與轉(zhuǎn)化思想，推理能力，幾何直觀等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

厚命題內(nèi)確

知識(shí)點(diǎn)、圓周角

1.頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。

推論1：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等。

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

（在同圓中，半弧所對(duì)的圓心角等于全弧所對(duì)的圓周角）

2.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦

相等，所對(duì)的弦的弦心距相等.

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們

所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等.

圓周角定理及其推理

名稱(chēng)文字語(yǔ)言幾何語(yǔ)言圖示

一條弧所對(duì)的圓周角等于它所NA是時(shí)更對(duì)的一個(gè)圓周角

定理對(duì)的圓心角的一半NBOC是前所對(duì)的一個(gè)圓心角?f?)

ΛZA=IZBOC

-ZC.ND都是前所對(duì)圓周角,

同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；

.?.ZC=ZD

推理

；金?半圓（AB是直徑），二NC=ND=90°

半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是90°；

90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.?.?ZC=90o或ND=90°,二AB是。O的直徑

【變式1］（2023?山東?統(tǒng)考一模）.如圖，在√U?C中，AC=4,以點(diǎn)C為圓心，2為半徑的圓與邊45相切

于點(diǎn)。，與AC,BC分別交于點(diǎn)E和點(diǎn)產(chǎn)，點(diǎn)少是優(yōu)弧石尸上一點(diǎn)，NEHF=70。，則/雙W的度數(shù)是（）

A.35oB.40oC.550D.60°

【答案】B

【分析】連接8,由切線的性質(zhì)得出CDLAB,NCDB=900,利用解直角三角形求出NACQ=60。，由圓

周角定理求出NACb=I40。，進(jìn)而求出NZ）C5=80。，再利用等腰-:角形的性質(zhì)求出NCO尸的度數(shù)，繼而求

出NBZ）F的度數(shù).

【詳解】如圖，連接C。，

.?.Cr>±AB,

.?.NCDB=90°,

AC=4,8=2,

.-.ZACD=60°,

,ZEHF=IOo,

.?.ZACB=2ZE∕∕F=140°,

.?.ZDCB=ZACB-ZACD=140o-60°=80°,

.CD=CF,

.?.ZCDF=ZCFD=-------------=50°,

2

.?.ABDF=NCDB-ZCDF=90°—50°=40°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，掌握切線的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，等腰三角

形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式2】（2022?陜西西安?一模）如圖，AB是。的直徑，點(diǎn)M是；O內(nèi)的一定點(diǎn)，PQ是。內(nèi)過(guò)點(diǎn)M

的一條弦，連接AM，AP,AQ,若。。的半徑為4,AM=45,則ARA。的最大值為.

【答案】8√5

【分析】如圖，連接3P，過(guò)點(diǎn)A作A"LP0交于點(diǎn)“，根據(jù)圓周角定理得到NAP8=90。，NB=NQ,則

可判斷SPB^AHQ,利用相似比得到AP?AQ=8A∕/,然后利用A//的最大值為逐，確定AP?AQ的最大

值.

【詳解】解：如圖，連接3P,過(guò)點(diǎn)A作4"交于點(diǎn)”.

「AB是。的直徑，

/.ZAPB=90。，

.?.ZAPB=ZAHQ=90°,

?：NB=NQ,

ΛiAPBAHQ,

.APAB

,'~AH~~AQ'

：.APAQ=AB-AH,

,/。的半徑為4,

.,.AB=8,

：.APAQ=SAH,

二當(dāng)點(diǎn)，與點(diǎn)M重合時(shí)，A"有最大值，

即AH=AM=石時(shí)，AP*。有最大值，最大值為8石.

故答案為：8√5.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的

圓心角的一半；半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.也考查了相似三角形

的判定與性質(zhì).

【變式3］（2023?安徽合肥??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知A8為。的直徑，過(guò)。上點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E,4。_LEC于點(diǎn)。.且交。于點(diǎn)尸，連接8C,CF,AC.

(1)求證：BC=CF；

(2)若AD=3,DE=4,求BE的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

尾

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)首先得出COJLED,再利用平行線的判定得出C0〃4）,進(jìn)而利用圓周角、

圓心角定理得出8C=b；

（2）首先求出一EOCS_E4￡>.進(jìn)而得出r的長(zhǎng)，即可求出8E的長(zhǎng).

【詳解】（1）解：證明：如圖，連接0C，

ED切。于點(diǎn)C,

..CO-LEDt

ADLEC9

.?CO∕/AD,

.?ZOCA=ZCAD,

ΛOCA=ZOAC,

??BC=CF，

.?.BC=CF;

(2)?Rt?ΛDEφ,

A￡)=3,DE=4,

,?AE=?∣32+42=5?

CO//AD1

EOCSEAD,

,EOOC

'~EA~~AD,

設(shè)。。的半徑為，

/.OE=5-r,

5-rr

------=-,

5---3

15

/.r=—,

8

.?.BE=5-2r≈-,

4

答：BE的長(zhǎng)為N

4

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)定理和圓周角及弧的關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出

BC=CF-

核心考點(diǎn)二垂徑定理及其推論

D鼠題悠究

例R（2022?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題）工人師傅為檢測(cè)該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了

一個(gè)如圖（1）所示的工件槽，其兩個(gè)底角均為90。，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有圖（1）所

示的A、B、E三個(gè)接觸點(diǎn)，該球的大小就符合要求.圖（2）是過(guò)球心及A、B、E三點(diǎn)的截面示意圖，已

知。。的直徑就是鐵球的直徑，AB是。。的弦，CD切。。于點(diǎn)E,ACVCD,BDLCD,若CD=I6cm,

AC=BD=4cm,則這種鐵球的直徑為（）

圖(1)圖⑵

A.IOcmB.15cmC.20cmD.24cm

【答案】C

【分析】連接04,OE,設(shè)。E與AB交于點(diǎn)尸，根據(jù)AC=切＞ACLCD,BD_LCD得四邊形ABDC是矩

形，根據(jù)Cz）與切于點(diǎn)E,OE為。的半徑得OELCD,OEYAB,即R4=P3,PE=AC,根據(jù)邊之

間的關(guān)系得∕?=8cm,AC=BD=PE=4cm,在Rf△（?”,由勾股定理得，PA2+OP2=OA2,進(jìn)行計(jì)算可

得。4=10,即可得這種鐵球的直徑.

【詳解】解：如圖所示，連接OA,OE,設(shè)OE與A8交于點(diǎn)尸，

?；AC=BD,AClCD,BDYCD,

.?.四邊形ABOC是矩形，

VCD與：-。切于點(diǎn)E,OE為O的半徑，

?OELCD.OEYAB,

：.PA=PB,PE=AC,

;AB=CO=16cm,

?,.PA-Scm,

,.?AC=BD=PE=4cm,

在MZ?Q4P,由勾股定理得，

PA1+OP2=OA2

8?+(OA-4)2=OK

解得，04=10,

則這種鐵球的直徑=204=2x10=20cm,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn).

甌(2022?黑龍江牡丹江?統(tǒng)考中考真題)O的直徑CZ)=IO,AB是O的弦，A8,CC),垂足為仞,

OM;OC=3:5,則AC的長(zhǎng)為.

【答案】2石或4后

【分析】分①點(diǎn)M在線段Oe上，②點(diǎn)M在線段OD上兩種情況，連接。4,先利用勾股定理求出AM的長(zhǎng),

再在RtACM中，利用勾股定理求解即可得.

【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：

①如圖，當(dāng)點(diǎn)用在線段OC上時(shí)，連接04,

D

.。的直徑8=10,

.*.OA=OC=5?

OM:OC=3:5,

3

:.OM=^OC=3,CM=OC-OM=2,

ABLCD,

.?.AM=√(M2-OM2=√52-32=4>

.?.AC=AM2+CM-=√42+22=2√5；

②如圖，當(dāng)點(diǎn)M在線段OD上時(shí)，連接。4,

D

同理可得：OC=5,OM=3,AM=JoA2-OM?=4,

:.CM=OC+OM=8,

.?.AC=y∣AM2+CM2=√42+82=4√5；

綜上，AC的長(zhǎng)為2百或4石，

故答案為：2后或4√L

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、圓，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

甌（2022?四川攀枝花?統(tǒng)考中考真題）如圖，O的直徑A3垂直于弦。C于點(diǎn)F,點(diǎn)尸在AB的延長(zhǎng)線

上，CP與一。相切于點(diǎn)C.

⑴求證：NPCB=/PAD；

(2)若O的直徑為4,弦。C平分半徑。B,求：圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)§打

【分析】(1)首先可證得NoBC=NOCS,由圓周角定理得：ZADF=ZOBC,可得NOCB=ZADF,再根

據(jù)切線的性質(zhì)，可得/PCB+NOCB=90。，根據(jù)垂直的定義可得∕B4D+NAQF=90。，據(jù)此即可證得：

(2)首先由弦Oe平分半徑。8,OB=OC,可得OP=；OD,∕ODF=30°,NQOF=60°,再根據(jù)?.ABlDC,

可得DF=FC,即可證得SACFB=S4CF0=SADFO,最后由S陰膨部分=S扇形皿e即可求得.

【詳解】(I)證明：如圖，連接OC,

OB=OC,

:.ZOBC=ZOCB,

由圓周角定理得：ZADF=NOBC,

NOCB=ZADF,

.CP與Io相切，

ΛOCl.PC9

??.ZPCB+NOCB=90。,

ABLDCf

ZPAD+ZADF=90°,

:.NPCB=/PAD；

(2)解：如圖：連接?！?,

弦QC平分半徑06,OB=OC,

，BF=OF,在RtAODF中，。尸=L?！?gt;,

2

??.AODF=30°,

/.ZDOF=ωo,

ABYDC,

：.DF=FC,

QBF=OF,ABLDC,

???q*j?CFβ_-q*-,?CFO_-qo?DF0，

_60^X22_2

??J陰影部分一0?）KβOD—一痛°一'

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積公式，作出輔助線是解決本

題的關(guān)鍵.

厚命題居確

1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧;

幾何語(yǔ)言:

OAM=BM,

---①CD是直徑

@AC^BC,

@CD-LAB⑤&

D

垂徑定理的幾個(gè)基本圖形:

垂徑定理在基本圖形中的應(yīng)用:

2.其它正確結(jié)論：

（1）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/p>

⑵平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.

⑶圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

3.知二推三：①直徑或半徑；②垂直弦；③平分弦；④平分劣??；⑤平分優(yōu)弧.以上五個(gè)條件知二推三.

注意：在由①③推②④⑤時(shí)，要注意平分的弦非直徑.

4.常見(jiàn)輔助線做法：

⑴過(guò)圓心，作垂線，連半徑，造RT△,用勾股，求長(zhǎng)度；

⑵有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分.

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【變式1］（2022?浙江杭州??？级＃┤鐖D，。的半徑ODLAB于點(diǎn)C,連接Ao并延長(zhǎng)交；。于點(diǎn)E,

連接EC.若AB=8,CD=2,則tan/OEC為（）

D

3√13

?-?πcD.嚕

13?1

【答案】A

（分析］連接BE,過(guò)C作CQ_LAE于Q,根據(jù)垂徑定理求出AC=BC=4,根據(jù)圓周角定理求出ZABE=90°,

根據(jù)勾股定理求出。的半徑，求出AE,根據(jù)勾股定理求出的，根據(jù)一角形的面積公式求出CQ,根據(jù)勾

股定理求出EQ,再解直角三角形求出答案即可.

【詳解】解：連接3E,過(guò)C作CQ?LAE于。設(shè)。的半徑為R,

D

VOC±Afi,OC過(guò)O,AB=S,

：.ZOCA=90°,AC=8C=4,

由勾股定理得：OA1=OC1+AC2,

即R2=(R-2)2+42,

解得：R=5,

即AE=5+5=10,

；AE為，。的直徑，

.?./8=90。，

BE=√AE2-AB2=√102-82=6，

?.?AC=4,

：.SACE=^ACBE=^AECQ,

??.；X4X6=；XlOXCQ,

12

解得：Cβ=y,

由勾股定理得：CE=y]βC2+BE2=√42+62=2√13*

,EQ=JC6-CQ?=捫MTm）=y

1526

-一

.?,tanZO￡C=—=34

EQ5-17

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，三角形的面枳，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，能求出CE

的長(zhǎng)度是解此題的關(guān)鍵.

【變式2］（2023?安徽滁州?校考一模）如圖，O的直徑A5垂直于弦C。，垂足為E,Co延長(zhǎng)線上一點(diǎn)P

與點(diǎn)A的連線交（。于點(diǎn)F,已知AB=I0,CD=8,AF=6,則尸產(chǎn)的長(zhǎng)為

22I

【答案】y##7-

ΛΓAp

【分析】連接砥,co,根據(jù)垂徑定理與勾股定理求得OE'進(jìn)而根據(jù)8SA=益=酢,即可求解.

【詳解】解：連接網(wǎng)，co,如圖所示,

VAB=10,CD=8,AF=6,。的直徑AB垂直于弦C。，

；?CO2=OE2+CE2,

BP52=OE2+42,

ΛOE=3（負(fù)值舍去）,

?.?CO的直徑AB垂直于弦8,

.,.ZAFB=ZAEP=90°

.?.8SA=絲=絲

ABAP

VAB=10,CD=8,AF=6,A￡=5+3=8,

?6-8

"10^6+PF

22

解得：PF-

22

故答案為：-?-.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，余弦的定義，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式3］（2023?陜西西安?交大附中分校校考二模）如圖，已知AB是。的直徑，C是。上一點(diǎn)，0。_LBC,

垂足為O,連接A。，過(guò)點(diǎn)A作O的切線與。。的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.

⑴求證：ZB=ZE;

（2）若O的半徑為4,OE=6,求AZ）的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵坦

3

【分析】（1）證明NODB=Na4E=90°,NDOB=ZAOE,即可得出NB=NE；

（2）證明汨SVoAE,求出。。，由勾股定理求出由垂徑定理求出BC,進(jìn)而利用勾股定理求出

AC,AD.

【詳解】（1）證明：：OD1BC,

：.NoDB=90。,

,.?AE是＜。的切線，

ZQ4^=90o,

在aODB和AttAE中，ZODB=ZOAE=90°,NDoB=ZAOE,

：?ZB=ZE;

(2)解：如圖，連接AC.

???。的半徑為4,

?,?OA=OB=4?AB=8,

Y在ZkOD8和△以石中，

ZODB=ZOAE=90°NDOB=ZAOE,

：.2DBSE,

.ODOBOD4

..——=——,即f4π——=一,

OAOE46

Q

：.OD=-

3f

在Rtaor>8中，由勾股定理得：OD2+DB2=OB2

：.DB^OB--OD2=

,：ODLBC,。。經(jīng)過(guò)。的圓心,

CD=DB=-,

3

OIc

.,.BC=2DB=-

3

「AB是。的直徑，C是《。上一點(diǎn),

???ZACB=90。，

在RtZ?ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

1

.?.AC=AB-BC-=1∣8^~-?=y.

在Rtz^AC0中，由勾股定理得：AC2+82=4rj2,

4后

.?.AD=YJAC2+CD2=

3

【點(diǎn)睛】本題考查切線的定義、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性

較強(qiáng)，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)證明△ɑ）BSVOAE求出。。的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

核心考點(diǎn)三圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

雨（2021?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)C,。在以AB為直徑的半圓上，NADC=I20。，點(diǎn)E

是AZ）上任意一點(diǎn)，連接BE,CE,則/BEC的度數(shù)為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得NABC=60。，連接AC,得NAC8=90。，進(jìn)一步得出N84C=30。,

從而可得結(jié)論.

【詳解】解：連接AC,如圖，

VA,B,C,O在以AB為直徑的半圓上，

/.ZADC+ZABC=?80°

"：ZADC=I20。

ZABC=180o-ZAZX7=180°-120°=60°

「AB為半圓的直徑

/.NAeB=90。，

/.ZBAC=30°

二NBEC=NBAC=30。

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解

答此題的關(guān)鍵?

雨（2022?遼寧沈陽(yáng)?統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABC。內(nèi)接于。，則”的長(zhǎng)是

（結(jié)果保留兀）

【答案】岳

【分析】連接04、OB,可證NAoB=90。，根據(jù)勾股定理求出A。，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出即可.

【詳解】解：連接OA、OB.

Y正方形ABCD內(nèi)接于。。，

：.AB=BC=DC=AD=A,AO=BO,

AB=BC=CD=AD>

ΛZAOfi=?×360o=90o,

4

在RfAAOB中，由勾股定理得：AO2+BO2=2AO2=42=?6,

解得：AO=2√2-

.?.AB的長(zhǎng)=9°-x2夜

180

故答案為：?∣2π■

【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式和正方形的性質(zhì)，能求出/AOB的度數(shù)和OA的長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵.

甌（2022?遼寧沈陽(yáng)?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCO內(nèi)接于圓0,AO是圓。的直徑，AD,BC的

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,延長(zhǎng)CB交BI于點(diǎn)P,ZBAP+ZDCE=90°.

⑴求證：R4是圓。的切線；

（2）連接AC,sinZBAC=∣,BC=2,AO的長(zhǎng)為

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

(2)6

【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和NA4P+N￡>CE=90。，可得出ZBW=90。，再根據(jù)AO是圓。的直

徑，由切線的判定可得證；

（2）延長(zhǎng)DC交AS的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，由AD是圓。的直徑，可說(shuō)明aACF是直角三角形，從而得到

SinZBAC=-CF=-1,再證明aFCBsZvτu）,得到CUB=C匕F，代入數(shù)據(jù)即可得到答案.

AF3ADAF

（1）證明：???四邊形ABCD內(nèi)接于圓0,JNBAD=ZDCE,丁ZBAP+ZDCE=90o,.*.NBAP+NBAD=90°,

二440=90。，PALA。，：AD是圓。的直徑，；.是圓。的切線.

（2）解：延長(zhǎng)。C交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,。是圓。的直徑，；./Aa）=90。，

CF

NAC尸=180?！狽ACr>=90。，?'?z?AC∕是直角三角形，ΛSinZBAC=—,T四邊形ABCQ內(nèi)接于圓0,

AF

CR1

ΛZFCB=ZFAD,又Y/F=NF,MFCBSNAD,：.——=——,VsinZBAC=-,BC=2,：.

ADAF3

2CFl

75-ΛF"3

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理推論，相似三角形的判定和性質(zhì)，三

角函數(shù)等知識(shí).通過(guò)作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

厚命趣自曲

圓內(nèi)接四邊形定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角。

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

幾何語(yǔ)言

,/四邊形ABCD是Θ0的內(nèi)接四邊形,

ΛZA+ZC=180o,ZB+ZD=180o

勒客就硼繞

【變式1】（2023?陜西西安?西安市鐵一中學(xué)?？既＃┤鐖D，在：O中,AO是直徑，NDAB=31°,點(diǎn)C

是圓上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），則/ACB的度數(shù)為（）

C.31°或59°D.59°或121°

【答案】D

【分析】連接80,分點(diǎn)C在優(yōu)弧A8和劣弧AB上兩種情況討論，結(jié)合圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形中時(shí)

角互補(bǔ)即可作答.

【詳解】連接切＞如圖,

,/AD是直徑,

/.?ABD90?,

?.?ZZMB=31o,

.?.ZADB=59。，

分點(diǎn)C在優(yōu)弧AB和劣弧AB上兩種情況討論,

當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB時(shí)，如圖點(diǎn)C,

,/ZADB=ZACB,

/.ZACB=59°；

當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB時(shí)，如圖點(diǎn)C',

；四邊形ACBO內(nèi)接于O,

,ZACB+ZADB=180°,

,/ZADB=59°,

：.NACB=I21°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握?qǐng)A周角定理以及分類(lèi)討論的思想是解

答本題的關(guān)鍵.

【變式2］（2023?廣東深圳?校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)E是正方形ABC￡＞邊AB上的一點(diǎn)，已知NDEF=45。，EF

分別交邊AC,CO于點(diǎn)G,F,且滿(mǎn)足4G?OF=3√5,則EG的長(zhǎng)為

【答案】√3

【分析】先判定A、E、G、力四點(diǎn)共圓，從而得HjEG￡＞是等腰直角三角形，則a=&EG，再證明

.ADGsEFD,得出空=絲，即OG?EZ＞=AG?OF=3√Σ，把EG=QG,EQ=√∑EG代入即可求出

EDDF

石G的長(zhǎng).

【詳解】解：???正方形ABC￡）,

ΛZBAD=ZADF=90o,ZSAC=NCAP=45。，

YZDEF=45。，

：./DEG=/CAD,

???A、E、G、。四點(diǎn)共圓，如圖,

???ZDGE=180o-ZEAD=180o-90o=90o,

?/NDEF=45。,

：.ZDEG=ZEDG=45o,

：,EG=DG,ED=√2EG，

???ZDGF=90°,

：?ZG7T>÷ZGDF=90o,

?：ZADG+ZGDF=ZADC=90o，

：?ZADG=ZGFDf

?/NDEG=NGM>=45。，

.,..ADG^EFD,

.AGDG

??—=—，即hmOGEo=AG?。尸=3√γ∑,

EDDr

EG=DG,ED=√2EG，

?,?EG.叵EG=30，

∕?ED=√3,

故答案為：√3.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，勾股定理,

相似三角形的判定與性質(zhì)，得出A、瓜G、。四點(diǎn)共圓是解題的關(guān)鍵.

【變式3](2021?貴州?統(tǒng)考一模)如圖，正方形ABC。內(nèi)接于。O,P為BC上的一點(diǎn)，連接。P，CP.

(1)求/CP。的度數(shù);

（2）當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，CP是。。的內(nèi)接正〃邊形的一邊，求”的值.

【答案】（I）NOPC=45°

（2）"=8

【分析】（1）連接0。，0C,根據(jù)正方形ABCn內(nèi)接于。。，結(jié)合圓周角定理可得NCPD；

（2）結(jié)合正多邊形的性質(zhì)以及圓周角定理得出NCOP的度數(shù)，進(jìn)而得出答案.

【詳解】（1）解：連接OD0C,

：正方形ABCD內(nèi)接于。0,

/OOC=90。，

.?.NDPC=?ZDOC=45°.

2

(2)解：連接PO,0B,如圖所示:

：正方形ABCZ）內(nèi)接于。0,

二NCOB=90°,

點(diǎn)P為BC的中點(diǎn),

?'?CP=BP'

：.NCOP=LNCOB=45°,

2

Λn=360÷45=8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同弧所對(duì)

的圓周角等于圓心角的一半.

核心考點(diǎn)四正多邊形與圓相關(guān)的計(jì)算

D意題圖究

H(2022?湖北黃石?統(tǒng)考中考真題)我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)：割之彌細(xì)，所失彌少，割

之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”，即通過(guò)圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開(kāi)始，每

次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，…….邊數(shù)越多割得越細(xì)，正多邊形

的周長(zhǎng)就越接近圓的周長(zhǎng).再根據(jù)“圓周率等于圓周長(zhǎng)與該圓直徑的比''來(lái)計(jì)算圓周率.設(shè)圓的半徑為R,圖

1中圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)4=6R,則勿=2=3.再利用圓的內(nèi)接正十二邊形來(lái)計(jì)算圓周率則圓周率約為

2R

()

A.12sinl5oB.12cosl5oC.12sin30oD.12cos30o

【答案】A

【分析】求出正十二邊形的中心角，利用十二邊形周長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】解：：十二邊形AA2/是正十二邊形，

.,.z?θ?=理匕30。，

*12

?.?OH^A4于，，又OA=O4，

,

..NA6OH=15°,

.?.圓內(nèi)接正十二邊形的周長(zhǎng)Z12=12×2Rsin15。=24Λsin150,

.,.π≈-=12sinl5o

2R

故選：A.

4HA1

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，求出正十二邊形的局長(zhǎng)是解題

的關(guān)鍵.

甌（2022?四川成都?統(tǒng)考中考真題）如圖，己知。。是小正方形的外接圓，是大正方形的內(nèi)切圓.現(xiàn)假

設(shè)可以隨意在圖中取點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是.

【答案】一Ji—2

4

【分析】如圖，設(shè)OA=”,則08=0C=",根據(jù)正方形內(nèi)接圓和外接圓的關(guān)系，求出大正方形、小正方形和

圓的面積，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，設(shè)O4=α,貝∣JO8=OC=m

由正方形的性質(zhì)可知NAO8=90。，

AB=y∣a2+a2=?]2a,

由正方形的性質(zhì)可得CD=CE=OC=a,

:?DE=2af

.._、2

S陰貨=S,3S，卜正方并尸πcr一(>J2aj=πa1-2a2=^π-2)a1,

S大正方標(biāo)(2α)=4α~,

???這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是("^^2)Y=三二,

4/4

DCE

故答案為：一-1

4

【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式、正方形的性質(zhì)、正方形外接圓和內(nèi)切圓的特點(diǎn)、圓的面積計(jì)算，根據(jù)題意

弄清楚圖形之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

甌(2022?浙江金華?統(tǒng)考中考真題)如圖1,正五邊形ABCz)E內(nèi)接于ΘO,閱讀以下作圖過(guò)程，并回答

下列問(wèn)題，作法：如圖2,①作直徑AF；②以尸為圓心，尸。為半徑作圓弧，與。。交于點(diǎn)M③連接

AM,MN,NA.

(1)求/M。的度數(shù).

(2)ΛΛW是正三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)從點(diǎn)A開(kāi)始，以ZW長(zhǎng)為半徑，在。。上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正〃邊形，求〃的值.

【答案】⑴108。

(2)是正三角形，理由見(jiàn)解析

(3)n=15

【分析】(1)根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)可得AB=BC=CZ)=OE=AE，則，AoC(優(yōu)弧所對(duì)圓心

角)=3x720=216。，然后根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)所作圖形以及圓周角定理即可得出結(jié)論；

(3)運(yùn)用圓周角定理并結(jié)合(1)(2)中結(jié)論得出NNoD=I44。-120。=24。，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：???正五邊形ABCDE.

-AB=BC=CD=DE=AE,

.?ZAOB=Z.BOC=ZCOD=ZDOE=ZEOA=?-=72o,

〈AEC=3AE

.,.∕AOC(優(yōu)弧所對(duì)圓心角)=3x720=216。,

/.ZABC=LzAOC=LX216。=108。；

22

(2)解：.AMN是正三角形，理由如下：

連接ON,FN,

A

由作圖知：FN=FO,

'：ON=OF9

/.ON=OF=FN,

???ao∕w是正三角形，

???NoFN=60。,

：.ZAMN=ZOFN=MO,

同理NATVM=60。，

ΛZMATV=60°,即N∕VWZV=NAW=NΛWV,

???/MN是正三角形；

(3)??,一AMN是正三角形，

???ZAON=2ZAMN=120°.

?：AD=2AE

???ZAOD=2×72°=144°,

<?'DN=AD—AN，

???ANOD=144o-120o=24°，

??.i=15.

24

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，正多邊形的性質(zhì)，讀懂題意，明確題目中的作圖方式，熟練運(yùn)用圓周角

定理是解本題的關(guān)鍵.

厚命題線限

知識(shí)點(diǎn)、正多邊形與圓

(一)正多邊形及有關(guān)概念

(1)正多邊形：各邊相等，各角也相等的我邊形叫作正多邊形。

(2)正多邊形的畫(huà)法：把圓〃等分(〃23),順次連接各等分點(diǎn)，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這

個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。

(3)正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫作這個(gè)正多邊形的中心。

(4)正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫作正多形的半徑。

(5)正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫作正多邊形的中心角。

(6)正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫作正多邊形的邊心距。

(-)正多邊形的有關(guān)計(jì)算

(1)正”邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于5-2>180°=180?！?

nn

360°

(2)正〃邊形的每個(gè)中心角都等于——.

n

(3)正〃邊形的其他計(jì)算都可以轉(zhuǎn)化到由半徑、邊心距及邊長(zhǎng)的一半組成的直角三角形中進(jìn)行，如圖所示，

設(shè)正〃邊形的半徑為氏一邊AB=α,邊心距QM=r,則有NBOW=幽,/?2=產(chǎn)+⑶，正”邊

形

的周長(zhǎng)5,面積S=&L2』“手

AB

【變式D（2023?安徽安慶?統(tǒng)考一模）如圖，五邊形43CDE是。的內(nèi)接正五邊形，所是。的直徑，則

NCDF的度數(shù)是（）

A.18oB.360C.54oD.72°

【答案】A

【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)和圓周角定理即可求出答案.

【詳解】解：如圖所示，連接AC,AD,

YA尸是O的直徑，

?ADF90?,

；五邊形ABCQE是:。的內(nèi)接正五邊形,

?.?四邊形ABa）是。的內(nèi)接四邊形，

.,.ZABC+NADC=180°,

Z4DC=180o-Z4BC=180o-108o=72o,

/.ZCDF=ZADF-ZADC=90p-72o=18°.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，圓周角定理等知識(shí)，能正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2022?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓中內(nèi)接一個(gè)正五邊形，有一個(gè)大小為α的銳角NCOD頂點(diǎn)

3

在圓心。上，這個(gè)角繞點(diǎn)。任意轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，扇形COO與扇形4。8有重疊的概率為二，求α=

【分析】根據(jù)題意可得出扇形Ca?與扇形AOB有重疊的概率即為組成的扇形圓心角LJ360。的比值，進(jìn)而

得出答案.

【詳解】解：；在圓中內(nèi)接一個(gè)正五邊形，

每個(gè)正五邊形的中心角為72。，

3

Y轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，扇形COO與扇形AOB有重疊的概率為正

.72o+α_3

360o-Iθ

解得：α=36°.

故答案為：36°.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何概率以及正五邊形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出概率與圓心角的關(guān)系是解題關(guān)犍.

【變式3](2023?山東青島?統(tǒng)考一模)【問(wèn)題提出】

正多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離之和與這個(gè)正多邊形的半徑R和中心角有什么關(guān)系？

【問(wèn)題探究】

如圖①，√1BC是等邊三角形，半徑Q4=R,/AOB是中心角，P是ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，尸至hABC各邊

距離PF、PE、PQ分別為九、4、％,設(shè)ABC的邊長(zhǎng)是。，面積為S.過(guò)點(diǎn)。作。MLAB.

.*.OM=RCOS-ZAOS=RCOS60o,AM=RSin』NAOB=RSin60°,AB=2AM=2Rsin60°,

22

*2o

..SABC=3SAOB=3×^AB×OM=3Rsin60cos600,①

VSABc又可以表示;。(匕+?2+∕?)②

o

聯(lián)立①②得g4(%+A2+%)=3R2sin60cos60°

2o

gx2Rsin60。(九+Zz2+Λ3)=37?sin60cos60°

/.Λ1+?2+/z?=3RCOS60°

【問(wèn)題解決】

如圖②，五邊形Aβ8E是正五邊形，半徑。4=R,NTloB是中心角，P是五邊形ABcDE內(nèi)任意一點(diǎn)，P到

五邊形ABa）E各邊距尸”、PM、PN、PI、PL分別為九、%、與、小、%,參照（1）的分析過(guò)程，探究

Λ1+A2+?5+h4+A5的值與正五邊形ABCDE的半徑R及中心角的關(guān)系.

【性質(zhì)應(yīng)用】

（1）正六邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和九+為+4+小+色+優(yōu)=.

（2）如圖③，正”邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)尸到各邊距離之和九+?2++hl,.l+h,l=.

1QQO

【答案】【問(wèn)題解決】：九+小+H+H+"=5Rcos36°;【性質(zhì)應(yīng)用】：（1）6Rcos30。；（2）"Rcos——

n

【分析】問(wèn)題解決：

設(shè)正五邊形的邊長(zhǎng)是α,面積為S,得到S=g4（4+也+%+%+%）,。為正五邊形的中心，連接。A、OB、

0C.OD、0E,它們將五邊形分成五個(gè)全等的等腰三角形，過(guò)點(diǎn)。作OQ垂足為Q,RjAo。中

表示出。。、AQ、AB后即可表示出々+他+%+%+%與正多邊形的半徑R的關(guān)系式；

性質(zhì)應(yīng)用：

（1）同【問(wèn)題探究】的方法，可得答案；

（2）總結(jié)規(guī)律可表示出正“邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和%+%++嘮,+4與半徑R和

中心角的關(guān)系.

【詳解】解：【問(wèn)題解決】設(shè)正五邊形的邊長(zhǎng)是“，面積為S,顯然S=ga（%+H+%+?t+∕?）,

0為正五邊形的中心，連接04、OB.OC.OD,OE,它們將五邊形分成五個(gè)全等的等腰三角形，

過(guò)點(diǎn)。作OQLAB,垂足為Q,

D

360o

ΛZΛOB=?-=72o,AO=BO,

5

.*.ZAOQ=；ZAQ5=36°,

：.OQ=OAcosΛAOQ=RCOS36o,

AQ=OAsinZAOQ=RSin36。,

/.AB=α=2AQ=2Rsin360,

1?,

oo2o

SMOH=-ΛB×θe=-×2∕?sin36.∕?cos36=/?sin36°cos36,

oo

,?S正政形ZWCf)E=5SAAOB=5Rsin36cos36

2oo

ga(h[+∕ι2+∕ι,+Λ4+Λ5)=5Rsin36cos36

020o

即：∣×2∕?sin36(/?,+Λ2+?+Λ4+Λ5)=5/?sin36cos36

,

..A1+h2+h3+h4+h5=5RCoS36。

【性質(zhì)應(yīng)用】（1）同【問(wèn)題解決】可得：正六邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)尸到各邊距離之和

hi+h2+h3+Λ4+h5+hβ=67?cos30°,

故答案為：6∕?cos30°；

1Q∩O

（2）正〃邊形（半徑是/O內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和%+%++∕z,