北師大版數學必修5課后習題2-2三角形中的幾何計算

§2三角形中的幾何計算課后篇鞏固探究1.在△ABC中,若A=105°,B=30°,BC=62,則角B的平分線的長是(A.32 B.22 C.1 D.解析:設角B的平分線與AC交于點D,則在△BCD中,∠BDC=120°,∠BCD=45°,BC=62,由正弦定理可知BD=1答案:C2.在△ABC中,若AC=7,BC=2,B=60°,則BC邊上的高等于()A.32 B.C.3+6解析:如圖,在△ABC中,由余弦定理可知,AC2=AB2+BC22AB·BCcosB,即7=AB2+42×2×AB×12整理得AB22AB3=0.解得AB=3或AB=1(舍去).故BC邊上的高AD=AB·sinB=3×sin60°=33答案:B3.若△ABC的周長等于20,面積是103,A=60°,則BC邊的長是()A.5 B.6 C.7 D.8解析:在△ABC中,分別用a,b,c表示邊BC,CA,AB.依題意及面積公式S=12bcsinA,得103=12bc×sin60°,又周長為20,所以a+b+c=20,b+c=20a.由余弦定理,得a2=b2+c22bccosA=b2+c22bccos60°=b2+c2bc=(b+c)23bc,所以a2=(20a)2120,解得a=7.答案:C4.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且滿足csinA=acosC.當3sinAcosB+π4取最大值時,A的大小為A.π3 B.C.π6 D.解析:由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.因為0<A<π,所以sinA>0,從而sinC=cosC.又cosC≠0,所以tanC=1,則C=π4所以B=3π于是3sinAcosB+π4=3sin=3sinA+cosA=2sinA+因為0<A<3π4,所以π6<A+π6<即A=π3時,2sinA+π答案:A5.導學號33194042在△ABC中,若C=60°,c=22,周長為2(1+2+3),則A為(A.30° B.45°C.45°或75° D.60°解析:根據正弦定理,得2R=a=2=22sin60°=463,所以sinA+sinB+sin60°=322+32+322,所以sinA+sinB=3+322,即sinA+sin(A+C)=3+322?sin(A+60°)+sinA=3+322?3sin(A+答案:C6.已知三角形的一邊長為7,這條邊所對的角為60°,另兩邊之比為3∶2,則這個三角形的面積是.

解析:設另兩邊分別為3x,2x,則cos60°=9x2+4x2故兩邊長為37和27,所以S=12×37×27×sin60°=21答案:217.已知在△ABC中,AC=2,AB=3,∠BAC=60°,AD是△ABC的角平分線,則AD=.

解析:如圖,S△ABC=S△ABD+S△ACD,所以12×3×2sin60°=12×3ADsin30°+12×2AD×sin30°,所以答案:68.在△ABC中,若AB=a,AC=b,△BCD為等邊三角形,則當四邊形ABDC的面積最大時,∠BAC=.

解析:設∠BAC=θ,則BC2=a2+b22abcosθ.S四邊形ABDC=S△ABC+S△BCD=12absinθ+34BC2=34(a2+b2)+ab·sin(θ60°),即當∠BAC=θ=150°時,S四邊形答案:150°9.已知△ABC的一個內角為120°,并且三邊長構成公差為4的等差數列,則△ABC的面積為.

解析:設三角形的三邊依次為a4,a,a+4,可得a+4的邊所對的角為120°.由余弦定理得(a+4)2=a2+(a4)22a(a4)·cos120°,則a=10,所以三邊長為6,10,14,S△ABC=12×6×10×sin120°=153答案:15310.已知△ABC的重心為G,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若2aGA+3bGB+3cGC=0,則sinA∶sinB∶解析:因為G是△ABC的重心,所以GA+GB+GC=0,又2aGA+3bGB+3cGC=0,所以2aGA+3bGB3c(GA+GB)=0,即(2a3c)GA+(3b3c)GB=0,則2a-3c=0,3b-3c=0,所以a∶答案:3∶23∶211.導學號33194043(2017全國2高考)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2B2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b.解(1)由題設及A+B+C=π,得sinB=8sin2B2故sinB=4(1cosB).上式兩邊平方,整理得17cos2B32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=1517(2)由cosB=1517得sinB=8故S△ABC=12acsinB=4又S△ABC=2,則ac=172由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c22accosB=(a+c)22ac(1+cosB)=362×17=4.所以b=2.12.導學號33194044(2017全國3高考)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sinA+3cosA=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)設D為BC邊上一點,且AD⊥AC,求△ABD的面積.解(1)由已知可得tanA=3,所以A=2π在△ABC中,由余弦定理得28=4+c24ccos2π