2023年湖北省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性模擬考試數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2023年湖北省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性模擬考試數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共15小題，每小題3分，共45分,在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.）

1.（3分）已知復(fù)數(shù)Z滿足Z（1-i）=3-i,則IZl=（）

A.√3B.√5C.2√2D.√10

2.（3分）設(shè)集合A={x∣log2（x+l）>2},集合B={x∣∕-3x-10<0},則A∩8=（）

A.{x∣-2<x<3}B.{x∣x>3}C.{x?-2<x<5}D.{Λ∣3<X<5}

3.（3分）已知平面向量Z=（-2,1）,b=（3x,x+1）,若；，了，則X的值為（）

1132

A.—?B.—C.—D.—

3525

4.（3分）某校高一（6）班有男生30人，女生20人，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法從該班

級抽取10人參加“楚天杯”有獎知識競答，且這10人中要選取2人擔(dān)任領(lǐng)隊，則2名

領(lǐng)隊中至少有1名男生的概率為（）

74139

A.—B.-C.—D.—

1551510

5.（3分）下列函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱的是（）

pXΛ-p-Xp-X-pX

A./（%）=B./（%）=

C.f（x）=In（X2+2X）D./（X）=

12

6.（3分）已知正實數(shù)小y滿足x+2y=2,則一+一的取值可能為（）

Xy

7.（3分）在正三棱柱ABC-AlBIej中，AA?=2AB=2,點〃為棱CCl的中點，則異面直

線AB與AIM所成角的余弦值為（）

√5√7√2√6

A.—B.—C.—D.一

5343

8.（3分）設(shè)。、?∈R,記p：a-b<0fq：lna<lnb,則P是q的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

9.（3分）己知函數(shù)/（χ-l）的定義域為[-2,1],則函數(shù)/（2x+l）的定義域為（）

A.[-2,-i]B.[-3,0]C.[-1,0]D.[-2,1]

10?（3分）方程d-2工-3=0的正實數(shù)根所在的區(qū)間為（）

133

A.弓，1）B.（1,mC.（會2）D.（2,3）

11.（3分）已知tanθ=-2,則sin20-cos2θ的值為（）

322I

A.--TB.—C.—D.—?p

4355

12.（3分）在矩形ABCD中，點E為邊A。的中點，點M為對角線AC上一點，且AM=

2MC,記族=5，CD=q,則薪=（）

4→24→2→4→2→412—

A--WP-WqB.-P+-QC?-P--QD.-?p+??

13.（3分）某高校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)計劃招收190名本科新生，現(xiàn)有IOOO名考生達到該

校最低錄取分數(shù)線且均填報了該校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，該高校對這IOoO名考生組織了

一次數(shù)學(xué)學(xué)科能力測試（滿分100分），按成績由高到低擇優(yōu)錄取，并繪制了考試成績的

頻率分布直方圖，據(jù)此可以估計該校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的最低錄取分數(shù)線為（）

處

14.（3分）現(xiàn)有甲、乙兩個不透明的盒子，里面均裝有大小、質(zhì)地一樣的紅球和白球各1

個，從兩個盒子各取出I個球，記事件A為“從甲盒子中取出紅球”，記事件B為“從乙

盒子中取出紅球”，記事件C為“從兩個盒子中取出的球顏色相同”.下列說法正確的是

()

A.4與8,A與C均相互獨立

B.A與B相互獨立，A與C互斥

C.A與B,A與C均互斥

D.4與B互斥，A與C相互獨立

15.（3分）將函數(shù)/（x）=Sin（2x+φ）（∣φ∣<?）的圖像向右平移W個單位長度后得到的函

/3

數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，則實數(shù)φ的值為（)

二、選擇題（本題共3小題，每小題3分，共9分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求，全部選對得3分，部分選對得2分，有選錯的得O分.）

（多選）16.（3分）下列函數(shù)，在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞增的是（）

2r—?

A./（x）=?ln（x+l）IB.f（x）=g??

C.f（x）=?ex-2?D.f（Λ）=2z2-x-2

（多選）17.（3分）設(shè)“、6是兩條不同的直線，a、β是兩個不同的平面，下列說法錯誤

的是（）

A.若a_L匕，bua,則LaB.若α〃3，??β,則?！∣t

C.若αuα,??β,a±β,則a_L6D.若a_La,a∕∕β,則a,β

（多選）18.（3分）已知函數(shù)/（x）=Zogl（-X+2）-log2（x+4）,下列說法正確的是（）

2

A.函數(shù)f（x）的定義域為（-4,2]

B.函數(shù)/（χ-1）為偶函數(shù)

C.函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1,2]

D.函數(shù)/（X）的圖像關(guān)于直線X=-1對稱

三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分.）

19.（4分）函數(shù)/（x）=sin（2*T）的單調(diào)遞減區(qū)間為.

20.（4分）在三棱錐P-A8C中，側(cè)棱相、PB、PC兩兩垂直，PA=2,PB=√3,PC=3,

則該三棱錐的外接球的表面積為.

TTAFTT

21.（4分）已知平面內(nèi)兩個向量a=（2k,1）,b=（l,為，若a與b的夾角為鈍角，則實數(shù)

k的取值范圍是.

22.（4分）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，向上的點數(shù)依次記為機、〃，則使得函數(shù)

f（x）=∕-m+”-3在區(qū)間（2,+8）上不單調(diào)且該函數(shù)與y軸交點的縱坐標大于1的

概率為.

四、解答題（本題共3小題，每小題10分，共30分.）

TITTT

23.（10分）已知平面向量Q=（2cosθ,2—Sin28）,b=QiStnθ,2）,記函數(shù)f（汽）=a?Z?+

m.

(1)若/4)=遮-1,求膽的值；

(2)求函數(shù)/(x)的對稱軸方程、單調(diào)遞減區(qū)間和最小值.

24.(10分)在四棱錐P-ABCQ中，底面ABCQ為矩形，PA=PB,平面，平面A8CQ,

點M為CO中點.

(1)證明：Aβ±PM↑

√15

(2)若A?=4O=248,四棱錐P-ABC。的體積為一，求直線PC與平面ABCf)所成

3

角的余弦值.

(1)用定義法證明：函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增：

(2)判斷函數(shù)/(x)在(-8,0)上的零點個數(shù)(不需要證明).

2023年湖北省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性模擬考試數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共15小題，每小題3分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.）

1.(3分)已知復(fù)數(shù)Z滿足Z(1-i)=3-i,則IZl=()

A.√3B.√5C.2√2D.√10

【解答】解：Z(I-i)—3-/,

r,∣,∣3—i(3—i)(l+i)?.

則Z7=口=(1口)(1+9=2+,,

故IZI=√22+I2=√5.

故選:B.

2.(3分)設(shè)集合A={刈0g2(Λ+1)>2},集合3={4χ2-3χ-10V0},則A∩3=()

A.{x?-2<x<3}B.{x?x>3}C.{x∣-2<x<5}D.{x∣3<x<5}

【解答】解：集合A={x∣log2(x+l)>2}={x∣x>3},

集合B=**-3x-10V0}={R-2<x<5},

則A∩8={W3<XV5}.

故選：D.

3.(3分)已知平面向量或=(一2,1),b=(3x,x+1),若；則X的值為()

1132

A.B.C.D.

3525

【解答】解：Va=(-2,1),b=(3x,x÷l),alb,

：.-2×3x+（x+l）=0,

Λ5x=1,即x=卷，

故選:B.

4.（3分）某校高一（6）班有男生30人，女生20人，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法從該班

級抽取10人參加“楚天杯”有獎知識競答，且這10人中要選取2人擔(dān)任領(lǐng)隊，則2名

領(lǐng)隊中至少有1名男生的概率為（）

74139

A.—B.-C.—D.—

1551510

【解答】解：從該班級抽取10人參加“楚天杯”有獎知識競答的男人數(shù)X3O=6

20+30

人，女生10-6=4人；

則2名領(lǐng)隊中至少有1名男生的概率P=魚輿=!|,

Clo

故選：C.

5.(3分)下列函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱的是()

pXΛ,p-XP-X-PX

A./(X)=B./(%)=幺2且

C.f(X)=In(√+2x)D.f(x)=碧

,-X-L-pXX?-o-X

【解答】解:對于4,函數(shù)的定義域為(-8,0)U(0,+8),且/(—X)=f=匕0專一=

(一%)x

/W-

則/(χ)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，符合題意；

對于B,函數(shù)的定義域為R,且/(—%)=竺號==-/(χ),

則/(x)為奇函數(shù)，圖像不關(guān)于y軸對稱，不符合題意；

對于C,函數(shù)的定義域為(-8,-2)U(0,+8),定義域不關(guān)于原點對稱，圖像不

關(guān)于y軸對稱，不符合題意;

對于D,函數(shù)的定義域為(-8,])U(1,+8),定義域不關(guān)于原點對稱，圖像不關(guān)

于y軸對稱，不符合題意.

故選：A.

12

6?(3分)已知正實數(shù)X、y滿足X+2產(chǎn)2,則U/取值可能為()

【解答】解：?.?χ>0,y>0,且x+2y=2,

1211212x2V1=會當(dāng)且僅當(dāng)巴=—?

???一+—=-(x+2y)(-+-)=4(5+—+^^)≥?(5+2

7v

Xy2%y2yx2-乙yX

即x=)=∣時，等號成立，

129

，一+一的最小值為:，

Xy2

9

只有選項。符合，其余選項都小于二.

2

故選：D.

7.(3分)在正三棱柱ABC-AIBlCI中，AAl=2A5=2,點M為棱Ca的中點，則異面直

線A8與AlM所成角的余弦值為()

√5√7√2√6

A.—B.—C.D.—

5343

【解答】解：在正三棱柱ABe-AlBlCI中，A4ι=2AB=2,點M為棱CCI的中點,

以A為坐標原點，在平面ABC中，過點A作AC的垂線為X軸，AC所在直線為），軸,

A4所在直線為Z軸，建立空間直角坐標系,

√31

則A(0,0,0),B(―0),Ai=(0,0,2),M(0,1,1),

22

1

AB=(0),AM=(0,1,-1),

221

設(shè)異面直線AB與4M所成角為0,

則異面直線AB與AiM所成角的余弦值為:

1

MBSM一段

cosθ=—>T=TT=W

?AB?-?A1M?

故選：C.

8.(3分)設(shè)。、?∈R,記p：a-b<0fq：lna<lnbf則〃是g的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：4-6<0,，“<6,但4,b可能為負數(shù)，不能得到

若可得到則P是4的必要不充分條件.

故選:B.

9.（3分）已知函數(shù)/（χ-1）的定義域為[-2,1],則函數(shù)/（2x+l）的定義域為（）

A.[-2,-1]B.I-3,OJD.I-2,1]

【解答】解：由題意可得，-2<xWl,

所以-3WX-IW0,

1

令-3W2x+lW0,可得一2≤%≤—2?

所以函數(shù)f（2x+l）的定義域為[一2,-?].

故選:A.

10.（3分）方程3=0的正實數(shù)根所在的區(qū)間為（）

133

A.（喬1）B.（1,PC.（弄2）D.（2,3）

【解答】解：令/（尤）=∕-2χ-3,

33

因為/（2）=e2-7>0,f（-）=e2-6<D,

3

所以/（5）/（2）<0,

3

則函數(shù)/（x）的零點在（3,2）內(nèi)，

所以方程，-2χ-3=0的實數(shù)根所在的區(qū)間為（|,2）.

故選：C.

11.（3分）已知tan0=-2,則sin28-cos20的值為（）

3221

A.-7B.-C.-D.-?

4355

【解答】解：???tanθ=-2,

:?sin2θ-cos2θ

_2sinθcosθ-CoS2e+siτizθ

cos2θ+sin2θ

_2tanθ-l-{-tan2?θ

l+tan2θ

1

5

故選：D.

12.(3分)在矩形A5C。中，點E為邊AQ的中點，點M為對角線AC上一點，且AM=

2MC,記Λ?=p,CD=qf則/=()

4—2―4→2

A.-?p-?gB.-p+-q

3κ3

【解答】解：：在矩形ABCC中，點E為邊AO的中點，且AM=2MC,

T2TT2-4T4→2→

=

??AMzzAC=Q?(.AB~?~AD)=-qC0+q4E=qp—至q,

??????

故選：C.

13.(3分)某高校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)計劃招收190名本科新生，現(xiàn)有IOoO名考生達到該

校最低錄取分數(shù)線且均填報了該校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，該高校對這IOoo名考生組織了

一次數(shù)學(xué)學(xué)科能力測試(滿分100分)，按成績由高到低擇優(yōu)錄取，并繪制了考試成績的

頻率分布直方圖，據(jù)此可以估計該校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的最低錄取分數(shù)線為()

【解答】解：設(shè)該校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)最低錄取分數(shù)線為X,

由題意得(90-x)×0.03+0.0l=0.19,則X=87,

故選：B.

14.(3分)現(xiàn)有甲、乙兩個不透明的盒子，里面均裝有大小、質(zhì)地一樣的紅球和白球各1

個，從兩個盒子各取出1個球，記事件A為“從甲盒子中取出紅球”，記事件8為“從乙

盒子中取出紅球”，記事件C為“從兩個盒子中取出的球顏色相同”.下列說法正確的是

()

A.A與8,A與C均相互獨立

B.A與3相互獨立，A與C互斥

C.A與B,A與C均互斥

D.A與B互斥，A與C相互獨立

【解答】解：根據(jù)題意，從兩個盒子各取出1個球，記事件A為“從甲盒子中取出紅球”，

記事件B為“從乙盒子中取出紅球”，記事件C為“從兩個盒子中取出的球顏色相同”.

由于A事件發(fā)生與否對于B、C事件是否發(fā)生不產(chǎn)生影響，故4與B,A與C是相互獨

立的，

故選：A.

15.(3分)將函數(shù)/(x)=Sin(2x+φ)(∣φ∣<5)的圖像向右平移W個單位長度后得到的函

數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，則實數(shù)年的值為()

TrTc5TTτc

A?-B?-C.—D.一

34126

【解答】解：對于函數(shù)/(x)=sin⑵+φ)(∣φ∣V*),

將函數(shù)/(x)的圖象向右平移三個單位長度，可得y=sin(2x-?+φ)的圖象，

再根據(jù)得到的函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得-冬+φ=*+Kι,?∈Z,

即(P=-?—F2^+?τr=-g—kEZ,?*?k——1時，(P=G

故選：D.

二、選擇題(本題共3小題，每小題3分，共9分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求，全部選對得3分，部分選對得2分，有選錯的得O分.)

1

(多選)16.(3分)下列函數(shù)，在區(qū)間(-，+8)上單調(diào)遞增的是()

2

A.f(x)=?ln(x+l)IB.f(x)=∣~y

C.f(x)=?ex-2?D./(x)=2χ2"x"2

【解答】解：對于4,當(dāng)x>2時，f(x)=In(x+l),在(士+8)上單調(diào)遞增，故正

確；

對于B,/(x)=奈V=I-五生〒在(3+8)上單調(diào)遞增，故正確；

JZx-IZx-I2

11

對于C,由于e2V2,當(dāng)x∈q，)2)時，/(x)=2-，是減函數(shù)，故錯誤；

11

對于。，二次函數(shù)y=/-X-2的對稱軸為￥當(dāng)x>今時，y=/-X-2是增函數(shù)，根據(jù)

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得/(x)也是增函數(shù)，故正確.

故選：ABD.

(多選)17.(3分)設(shè)“、A是兩條不同的直線，a、B是兩個不同的平面，下列說法錯誤

的是()

A.若a_Lb,bua,則αJLαB.若a〃β,??β,則6〃a

C.若aua,?cβ,a±β.貝!∣a_LbD.若._!_0(,a∕∕β,則a-Lβ

【解答】解：“、b是兩條不同的直線，a、B是兩個不同的平面，

對于4,若a_L6,〃ua,則a與a相交、平行或qua,故A錯誤；

對于8,若a〃由Zx=0,則由面面平行的性質(zhì)得b〃a,故8正確;

對于C,若αuα,huβ,α±β,則〃與人相交、平行或異面，故C錯誤；

對于￡),若a_La,〃〃p,則由面面垂直的判定定理得a_Lp,故。正確.

故選：AC.

(多選)18.(3分)已知函數(shù)/(x)=Zogl(-X÷2)-log2(x+4),下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)的定義域為(-4,2]

B.函數(shù)F(X-I)為偶函數(shù)

C.函數(shù)/U)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,2]

D.函數(shù)/G)的圖像關(guān)于直線冗=-1對稱

【解答】解：對于A,函數(shù)的定義域應(yīng)滿足，(^"+2>0,解得-4<x<2,

(x÷4>0

所以函數(shù)的定義域為(-4,2),選項A錯誤；

對于B,設(shè)g(x)=/(x-1)=∕ogι(3-%)-log2{x+3),則函數(shù)的定義域為(-3,3),

2

關(guān)于原點對稱，

且g(r)=IogI(3+x)-log2(-x+3)=-log2(x+3)÷log↑(3-x)=g(x),則g(x)

22

=/α-l)為偶函數(shù)，選項8正確；

對于C,函數(shù)在x=2處無意義，則選項C錯誤；

對于D,由選項B可知，/(?-1)的圖像關(guān)于y軸對稱，則f3的圖像關(guān)于K=-1

對稱，選項。正確.

故選：BD.

三、填空題(本題共4小題，每小題4分，共16分.)

19.(4分)函數(shù)f(%)=s譏(2%T)的單調(diào)遞減區(qū)間為_[kπ+?/r,kπ+y∣ττ](fc∈Z)_.

【解答]解:y=sm(2x-,

令2kτι+2^≤2.x—?-≤2∕cτrH—Q(kGZ)?

解得∕cττ+≤%≤kτιH—?^-(fcEZ),

故函數(shù)/(%)=sin(2x-勺的單調(diào)遞減區(qū)間為依花+月兀，kπ+y∣ττ](∕c∈Z),

c11

故答案為：[∕cτr+麥Ti,kττ+行τr](A∈Z).

20.(4分)在三棱錐P-ABC中，側(cè)棱必、PB、PC兩兩垂直，B4=2,PB=√3,PC=3,

則該三棱錐的外接球的表面積為16n

【解答】解：如圖，將三棱錐P-ABC補全為長方體，

則長方體的外接球就是所求的外接球，長方體的體對角線即為外接球的直徑2R,

由長方體體對角線公式可得4/?2=(2R)2=PA2+PB2+PC2=22+(√3)2+32=16,

球的表面積S=4πR2=16τt.

故答案為：16n.

TTkTT

21.(4分)已知平面內(nèi)兩個向量α=(2k,1),b=(l,今，若α與b的夾角為鈍角，則實數(shù)

X的取值范圍是(-8,-1)u(-1,0).

【解答】解：陽與了的夾角為鈍角，

(TTI

CL?bVO(r)b4."■Un

則1,即2k+l<U,解得ZV-I或-l<%<0,

2fc?5≠1×1U≠±1

故實數(shù)Z的取值范圍是(-8,-1)U(-1,0).

故答案為：(-8,-Du(-1,0).

22.(4分)將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，向上的點數(shù)依次記為機、〃，則使得函數(shù)

f(x)=Λ2-,A+,L3在區(qū)間(2,+8)上不單調(diào)且該函數(shù)與y軸交點的縱坐標大于1的

1

概率為-.

-9-

【解答】解：根據(jù)題意可知，要使函數(shù)/(x)=X2-mx+n-3在區(qū)間(2,+∞)上不單

調(diào)且該函數(shù)與)，軸交點的縱坐標大于1,

(n-3>1(m>4

則m，即I，

(y>2(n>4

由于m,n∈{l,2,3,4,5,6),數(shù)對(切，〃)共有36個，即樣本點總數(shù)為36,

滿足，〃>4,〃>4的有(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共4個，

滿足函數(shù)f(x)=/-mx+n-3在區(qū)間(2,+∞)上不單調(diào)且該函數(shù)與y軸交點的縱

41

坐標大于1的概率為77=3.

369

故答案為：

9

四、解答題(本題共3小題，每小題10分，共30分.)

TITTT

2

23.(10分)已知平面向量α=(2cosθ,一sinθ),b=(y∕3sinθf2),記函數(shù)f(%)=α?δ+

m,

(1)若f(/=遮一1,求相的值；

(2)求函數(shù)/G)的對稱軸方程、單調(diào)遞減區(qū)間和最小值.

【解答】解：(1)/(?)=Q?b+m=2cosx?V3sirtι÷(--sin2x)×2+∕H=V3sin2x+cos2x+w

=2sin(2x+5)+m

Of

?**/(—)=2Sin(2×彳+/)+m=√3—1,即2×^C^+"?=V3-1?

j446Z

解得ιn=-I；

(2)由(1)可得/(x)=2sin(2x+≡)-1,

由2/+&=1+kτι,kWZ,

解得九屋+竽，*∈Z,

則函數(shù)/(x)的對稱軸方程為X=髀竽，A∈Z,

.τcπ3TT

由—+2kπ<2x+τ?≤-?-+2fcπ,Λ∈Z,

262

解得一+kπ≤x≤冬+?π,Z∈Z,

6?

Tr2TT

...函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［一+kτr,—+hτj,?∈Z,

63