8.3 正態(tài)分布（解析版）

8.3正態(tài)分布一、正態(tài)曲線及其性質(zhì)1、正態(tài)曲線：我們稱，x∈R，其中μ∈R，σ>0時為參數(shù)，為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．2、正態(tài)分布：若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為．特別地，當μ＝0，σ＝1時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布．3、正態(tài)分布的期望與方差：若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.4、正態(tài)曲線的特點：（1）非負性：對?x∈R，，它的圖象在x軸的上方．（2）定值性：曲線與x軸之間的面積為1.（3）對稱性：曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱．（4）最大值：曲線在x＝μ處達到峰值.（5）當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸．（6）當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①.（7）當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ較小時曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；σ較大時，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖②.5、正態(tài)分布的幾何意義：若，如圖所示，X取值不超過x的概率為圖中區(qū)域A的面積，而為區(qū)域B的面積．6、正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.二、正態(tài)分布的應用（3σ原則）解題時，應當注意零件尺寸應落在[μ－3σ，μ＋3σ]之內(nèi)，否則可以認為該批產(chǎn)品不合格．判斷的根據(jù)是小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的，而一旦發(fā)生了，就可以認為這批產(chǎn)品不合格．題型一正態(tài)曲線的圖象與性質(zhì)【例1】（2023·江蘇·高二專題練習）設隨機變量的正態(tài)分布密度函數(shù)為，，則參數(shù)，的值分別是（）（人A7.5練習）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】由正態(tài)分布密度函數(shù)表達式知，.故選：D.【變式1-1】（2023·高二課時練習）某物理量的測量結果服從正態(tài)分布，下列結論中不正確的是（）（人A7.5練習）A．越大，該物理量在一次測量中在的概率越大B．越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．越大，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】A【解析】為數(shù)據(jù)的方差，所以越大，數(shù)據(jù)在均值附近越分散，所以測量結果落在內(nèi)的概率越小，故A錯誤;由正態(tài)分布密度曲線對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5,故B正確；由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確；由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等,故D正確.故選：A.【變式1-2】（2023·全國·高二專題練習）設，，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結論中正確的是（）A．B．C．對任意正數(shù)，D．對任意正數(shù)，【答案】C【解析】由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可知，、的密度曲線分別關于、對稱，因此結合所給圖像可得，；又的密度曲線較的密度曲線“瘦高”，所以，；故A、B錯誤．由密度曲線與橫軸所圍成的圖形的面積的意義可知：對任意正數(shù)，．故C正確，D錯誤．故選：C．【變式1-3】（2023·高二單元測試）已知三個正態(tài)密度函數(shù)（，）的圖像如圖所示，則（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】由題圖中的對稱軸知：，與(一樣)瘦高，而胖矮，所以.故選：C題型二利用正態(tài)分布的對稱性求概率【例2】（2023春·遼寧朝陽·高二北票市高級中學?？茧A段練習）若服從正態(tài)分布，且，則的值為______.【答案】8【解析】由題意知，解得.故答案為：8.【變式2-1】（2023秋·山東德州·高二統(tǒng)考期末）已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，，則______．【答案】0.52/【解析】由對稱性可知，，故.故答案為：0.52【變式2-2】（2023春·山東青島·高二?？计谥校╇S機變量X服從正態(tài)分布，當，時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.現(xiàn)已知隨機變量Y服從正態(tài)分布.若隨機變量（a，b為正實數(shù)）服從標準正態(tài)分布，則________.【答案】/【解析】隨機變量Y服從正態(tài)分布，所以，因為隨機變量（a，b為正實數(shù)）服從標準正態(tài)分布，所以，所以，.即，解得，則.故答案為：.【變式2-3】（2023·全國·高二專題練習）重慶市奉節(jié)縣所產(chǎn)臍橙果皮中厚、脆而易剝，酸甜適度，汁多爽口，余味清香，榮獲農(nóng)業(yè)部優(yōu)質(zhì)水果、中國國際農(nóng)業(yè)博覽會金獎等榮譽.據(jù)統(tǒng)計，奉節(jié)臍橙的果實橫徑X（單位：mm）服從正態(tài)分布，則果實橫徑在的概率為______.（附：若，則；.）【答案】0.8185【解析】由題得，，所以，，所以，所以果實橫徑在的概率為.題型三正態(tài)分布的實際應用【例3】（2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期中）某市組織高二學生統(tǒng)一體檢，其中男生有10000人，已知此次體檢中高二男生身高h（cm）近似服從正態(tài)分布，統(tǒng)計結果顯示高二男生中身高高于180cm的概率為0.32，則此次體檢中，高二男生身高不低于170cm的人數(shù)約為（）A．3200B．6800C．3400D．6400【答案】B【解析】因為高二男生身高h（cm）近似服從正態(tài)分布，且，于是，因此，所以高二男生身高不低于170cm的人數(shù)約為.故選：B.【變式3-1】（2023春·山東濰坊·高二山東省昌樂第一中學?？茧A段練習）已知某地區(qū)有名同學參加某次數(shù)學模擬考試（滿分分），其中考試成績近似服從正態(tài)分布，則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：①；②；③）A．根據(jù)以上數(shù)據(jù)無法計算本次數(shù)學考試的平均分B．的值越大，成績不低于分的人數(shù)越少C．若，則這次考試分數(shù)高于分的約有人D．從參加考試的同學中任取人，至少有人的分數(shù)超過分的概率為【答案】D【解析】對A，根據(jù)正態(tài)分布知，數(shù)學考試成績的平均值為，故A錯誤；對B，根據(jù)中標準差的意義，的值越大則高于分低于分的人數(shù)變小，所以成績不低分的人數(shù)增多，故B錯誤；對于C，時，，故這次考試分數(shù)高于分的約有人，故C錯誤；對D，由數(shù)學考試成績近似服從正態(tài)分布知，由次獨立重復試驗可知，從參加考試的同學中任取人，至少有人的分數(shù)超過分的概率為，故D正確，故選：D.【變式3-2】（2023·全國·高二專題練習）某車間生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機抽取10個，測量其內(nèi)徑的數(shù)據(jù)如下（單位：）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．設這10個數(shù)據(jù)的均值為，標準差為．（1）求和；（2）已知這批零件的內(nèi)徑（單位：）服從正態(tài)分布，若該車間又新購一臺設備，安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個零件，測量其內(nèi)徑（單位：）分別為：181，190，198，204，213，如果你是該車間的負責人，以原設備生產(chǎn)性能為標準，試根據(jù)原則判斷這臺設備是否需要進一步調(diào)試？并說明你的理由．參考數(shù)據(jù)：若，則：，，，．【答案】（1），；（2）這臺設備需要進一步調(diào)試，理由見解析【解析】（1）,，故；（2）由題意得：，，即，所以五個零件的內(nèi)徑中恰有1個不在的概率為，又試產(chǎn)的5個零件中內(nèi)徑出現(xiàn)了1個不在內(nèi)，所以小概率事件出現(xiàn)了，根據(jù)原則，這臺設備需要進一步調(diào)試.【變式3-3】（2023·高二課時練習）某食品廠生產(chǎn)一種零食，該種零食每袋的質(zhì)量X（單位：）服從正態(tài)分布.（1）當質(zhì)檢員隨機抽檢20袋該種零食時，測得1袋零食的質(zhì)量為73，他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設備，請你根據(jù)所學知識，判斷該質(zhì)檢員的決定是否有道理，并說明判斷的依據(jù).（2）規(guī)定：這種零食的質(zhì)量在62.8~69.4的為合格品.①求這種零食的合格率；（結果精確到0.001）②從該種零食中任意挑選n袋，合格品的袋數(shù)為Y，若Y的數(shù)學期望大于58，求n的最小值.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.【答案】（1）該質(zhì)檢員的決定有道理，理由見解析；（2）①

；②

71【解析】（1）因為，所以，，所以，，所以.因為0.00135遠小于，所以此事件應為小概率事件，而質(zhì)檢員隨機抽檢20袋該種零食時，測得1袋零食的質(zhì)量為73，說明小概率事件確實發(fā)生了，因此他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設備的決定有道理.（2）①因為，，所以，，由題意可知當零食質(zhì)量X滿足時為合格品，所以這種零食的合格率為.②由題意可知，則，則，故n的最小值為71；[注]在第（2）問第2小問中，若寫為，則，則，故n的最小值為71.題型四標準正態(tài)分布應用【例4】（2023·高二課時練習）記（k，b為實常數(shù)），若，，則__________.【答案】-3或3【解析】由題知，，則隨機變量（為實常數(shù)），服從的分布為，而又因為，所以有，解得或，所以-3或3.【變式4-1】（2022春·江蘇鹽城·高二濱?？h五汛中學?？计谥校ǘ噙x）若隨機變量，，其中，下列等式成立的有（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】對于A選項，利用正態(tài)密度曲線的對稱性可知，所以，，A對；對于B選項，，B錯；對于C選項，，C對；對于D選項，，D對.故選：ACD.【變式4-2】（2023春·江蘇常州·高二江蘇省溧陽中學?？茧A段練習）法國數(shù)學家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包，該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是1000g，上下浮動不超過50g，這句話用數(shù)學語言來表達就是：每個面包的質(zhì)量服從期望為1000g，標準差為50g的正態(tài)分布.（1）已知如下結論：若，從的取值中隨機抽取個數(shù)據(jù)，記這個數(shù)據(jù)的平均值為，則隨機變量.利用該結論解決下面問題.①假設面包師的說法是真實的，隨機購買25個面包，記隨機購買25個面包的平均值為，求；②龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在上并經(jīng)計算25個面包質(zhì)量的平均值為978.72g.龐加萊通過分析舉報了該面包師，從概率角度說明龐加菜舉報該面包師的理由；（2）假設有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黑色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黑色面包有3個.現(xiàn)隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包.求取出黑色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學期望.附：①隨機變量服從正態(tài)分布，則，，②通常把發(fā)生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生【答案】（1）①；②答案見解析；（2）分布列見解析，【解析】（1）（i）假設面包師說法是真實的，則每個面包的質(zhì)量由已知結論可知，由附①數(shù)據(jù)知，（ii），由附②知，事件“”為小概率事件，由題25個面包質(zhì)量的平均值，小概率事件“”發(fā)生所以龐加萊認為面包師的說法不真實，進行了舉報（2）由題意，設隨機挑選一箱，取出兩個面包，其中黑色面包個數(shù)為，則的取值為0，1，2設“所取兩個面包來自第箱”，所以設“所取兩個面包有各黑色面包”，由全概率公式，，，所以黑色面包個數(shù)的分布列為012所以【變式4-3】（2023春·江蘇南京·高二南京外國語學校校考期中）新高考改革后江蘇省采用“”高考模式，“3”指的是語文、數(shù)學、外語，這三門科目是必選的；“1”指的是要在物理、歷史里選一門；“2”指考生要在生物學、化學、思想政治、地理4門中選擇2門.（1）若按照“”模式選科，求甲乙兩個學生恰有四門學科相同的選法種數(shù)；（2）某教育部門為了調(diào)查學生語數(shù)外三科成績，現(xiàn)從當?shù)夭煌瑢哟蔚膶W校中抽取高一學生4000名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡測試、滿分450分，假設該次網(wǎng)絡測試成績服從正態(tài)分布.①估計4000名學生中成績介于180分到360分之間有多少人；②某校對外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡測試，有10名同學獲得425分以上的高分”，請結合統(tǒng)計學知識分析上述宣傳語的可信度.附：，，.【答案】（1）；（2）①人；②不可信.【解析】（1）甲乙兩個學生必選語文、數(shù)學、外語，若另一門相同的選擇物理、歷史中的一門，有種，在生物學、化學、思想