第7章 三角函數(shù)【單元提升卷】（解析版）

第7章三角函數(shù)【單元提升卷】考生注意：1．本試卷含三個大題，共21題．答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出解題的主要步驟．一、填空題1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是__.【答案】，【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，知；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是：，，故答案為：，.【點睛】本小題主要考查正切型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，屬于基礎(chǔ)題.2．函數(shù)的最小正周期為________.【答案】【分析】由輔助角公式可得，問題得解.【詳解】因為所以函數(shù)的最小正周期為.故答案為：【點睛】本題考查了輔助角公式和三角函數(shù)的周期公式，屬于基礎(chǔ)題.3．函數(shù)的值域是___________.【答案】【解析】由余弦函數(shù)和正切函數(shù)性質(zhì)求解．【詳解】∵，在上是增函數(shù)，∴，即．故答案為：．【點睛】本題考查余弦函數(shù)和正切函數(shù)的值域，掌握正切函數(shù)的單調(diào)性是解題基礎(chǔ)．4．函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱的充要條件是________【答案】【分析】有關(guān)正余弦型的函數(shù)關(guān)于軸對稱必須化簡為，即可求解.【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，.故答案為:【點睛】本題考查三角函數(shù)的奇偶性，結(jié)合誘導(dǎo)公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5．已知，，，則，，的大小關(guān)系為______.【答案】【分析】同角三角函數(shù)關(guān)系知，又由的區(qū)間單調(diào)性知，根據(jù)的區(qū)間單調(diào)性知，即可知，，的大小關(guān)系【詳解】，而∴故答案為：【點睛】本題考查了比較三角函數(shù)值的大小，根據(jù)正弦函數(shù)、正切函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性及正弦函數(shù)的值域范圍，比較函數(shù)值的大小6．將正弦函數(shù)的圖像向右平移個單位，可以得到余弦函數(shù)的圖象，則的最小值為________．【答案】【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及圖象的平移變換即可求解.【詳解】因為，所以正弦函數(shù)的圖像向右平移個單位可得，并且此時是將正弦函數(shù)的圖像向右平移最少的單位，所以的最小值為，故答案為：.7．若函數(shù)的圖像上相鄰三個最值點為頂點的三角形是直角三角形，則___________.【答案】【分析】作出函數(shù)的大致圖像，不妨取如圖的相鄰三個最值點，則由已知可得為等腰直角三角形，從而可得，即，再利用周期公式求出，從而可求得的值【詳解】解：作出函數(shù)的大致圖像，不妨取如圖的相鄰三個最值點，設(shè)其中兩個最大值點為，最小值點為，根據(jù)正弦函數(shù)圖像的對稱性，可知為等腰直角三角形，且斜邊上的高，所以斜邊，此時的周期為，所以，所以，所以，故答案為：8．已知函數(shù)y＝sin在區(qū)間[0，t]上至少取得2次最大值，則正整數(shù)t的最小值是_____【答案】8【分析】由函數(shù)，求得最小正周期為，得到，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上至少取得2次最大值，結(jié)合圖象得，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，可知最小正周期為，可得又由函數(shù)在區(qū)間上至少取得2次最大值，如圖所示，則滿足，又因為，所以正整數(shù)的最小值為.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖象得到實數(shù)滿足的不等關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．關(guān)于函數(shù)，.現(xiàn)有下列命題：①由，得必是的整數(shù)倍；②的表達式可以改寫為；③的圖像關(guān)于點對稱；④的圖像關(guān)于直線對稱.其中正確的命題序號為___________.【答案】②④【分析】對于①，由，可得是半個周期的整數(shù)倍，求出周期可進行判斷；對于②，利用誘導(dǎo)公式化簡即可；對于③，代入驗證即可；對于④，代入驗證即可【詳解】解：對于①，由于，所以可知是函數(shù)的零點，所以是半個周期的整數(shù)倍，而函數(shù)的周期，所以是的整數(shù)倍，所以①錯誤；對于②，，所以②正確；對于③，因為，所以的圖像不關(guān)于點對稱，所以③錯誤；對于④，因為，所以的圖像關(guān)于直線對稱，所以④正確，故答案為：②④10．若函數(shù)的圖像與直線有且僅有四個不同的交點，則的取值范圍是______【答案】【分析】將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，再畫出函數(shù)的圖象，則直線與函數(shù)圖象有四個交點，從而得到的取值范圍.【詳解】因為因為所以，所以圖象關(guān)于對稱，其圖象如圖所示：因為直線與函數(shù)圖象有四個交點，所以.故答案為：.【點睛】本題考查利用三角函數(shù)圖象研究與直線交點個數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，作圖時發(fā)現(xiàn)圖象關(guān)于對稱，是快速畫出圖象的關(guān)鍵.11．如圖，平面上有一條走廊寬為3米，夾角為120°，地面是水平的，走廊兩端足夠長．那么能夠通過走廊的鋼筋（看作線段，不考慮粗細）的最大長度為____________________米．【答案】12【分析】如圖，設(shè)能通過走廊的鋼筋的長度為AB，設(shè)，，則求得，然后相加，利用基本不等式可得基本最小值【詳解】如圖，設(shè)能通過走廊的鋼筋的長度為AB，設(shè)，，則，當且僅當時取等號，故能夠通過走廊的鋼筋（看作線段，不考慮粗細）的最大長度為12米．故答案為：1212．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當時，有，方程有且僅有四個不同的實根，若是四個根中的最大根，則______．【答案】##【分析】同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)圖像和直線y=m，因為兩圖像有且僅有四個公共點，觀察圖像得出m=1．再解方程，得最大根，再代入求值即可得到【詳解】當x≥0時，函數(shù)在區(qū)間和遞增，在區(qū)間遞減，且，，∵函數(shù)是R上的偶函數(shù)，的圖像如下：觀察可知，當m=1時，兩圖像有且僅有四個不同的公共點，令得，，故答案為：二、單選題13．函數(shù)的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)以及余弦函數(shù)的最值可得結(jié)果.【詳解】因為，，所以，所以，所以函數(shù)的最大值是.故選：C14．函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，觀察各選項選擇符合題意的區(qū)間即可.【詳解】在平面直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象易得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為Z，令得為的一個單調(diào)遞增區(qū)間.故選：C.15．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【答案】A【分析】由函數(shù)的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．【詳解】解：，將函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位，即可得到函數(shù)的圖象．故選：A．16．已知偶函數(shù)在上為嚴格增函數(shù)，又為銳角三角形兩內(nèi)角，則必有（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知，在上為嚴格減函數(shù)，再利用，為銳角的三角函數(shù)值大小，即可得出結(jié)果.【詳解】由于是偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知在上為嚴格減函數(shù)；又為銳角三角形兩內(nèi)角，所以，且；可得，且，又在上單調(diào)遞增，所以，且又在上為嚴格減函數(shù)，即可得.故選：B.三、解答題17．已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化為，利用正弦函數(shù)的周期公式可求的最小正周期；（Ⅱ）由可得，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求的最大值和最小值．【詳解】（Ⅰ）.（Ⅱ）因為，所以當時，即時，的最大值為,當時，即時，的最小值為.【點睛】對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行考查是近幾年高考考查的一類熱點問題，一般難度不大，但綜合性較強.解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.18．已知函數(shù)，且滿足.（1）求實數(shù)a、b的值；（2）記，若函數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)t的值.【答案】（1），；（2），.【分析】（1）將兩個值代入即可解得；（2）先將函數(shù)f(x)化為的結(jié)構(gòu)，代入x+t后，然后根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)即可解得.【詳解】（1）由題意，所以.（2）由（1）所以，因為是偶函數(shù)，所以，所以19．已知函數(shù).（1）將函數(shù)化成（，）的形式；（2）用“五點法”作該函數(shù)的大致圖像，并寫出該函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間.【答案】（1）；（2）圖見解析，增區(qū)間為和.【分析】（1）利用降冪公式對其化簡即可；（2）先列表，再描點連線即可，由圖像可得函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間【詳解】解：（1），（2）列表00200由圖可知數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為和.20．已知函數(shù)、，定義滿足關(guān)系的函數(shù)為函數(shù)的型變換函數(shù)，其中是常數(shù).（1）若函數(shù)，且函數(shù)為函數(shù)的型變換函數(shù)，求的解析式；（2）若函數(shù)為函數(shù)的型變換函數(shù)，請設(shè)計一個函數(shù)及一個的值，使得.【答案】（1）；（2）（取，中任意一個都可以）.【分析】（1）按照定義相乘，再用二倍角公式即可解得；（2）利用輔助角公式將函數(shù)寫成的結(jié)構(gòu)即可求得.【詳解】（1）因為，所以，所以.（2）因為，若，則，所以（取，中任意一個都可以），.21．如圖，在海岸線一側(cè)有一休閑游樂場，游樂場的前一部分邊界為曲線段，該曲線段是函數(shù)，的圖像，圖像的最高點為．邊界的中間部分為長千米的直線段，且．游樂場的后一部分邊界是以為圓心的一段圓?。?）求曲線段的函數(shù)表達式；（2）曲線段上的入口距海岸線最近距離為千米，現(xiàn)準備從入口修一條筆直的景觀路到，求景觀路長；（3）如圖，在扇形區(qū)域內(nèi)建一個平行四邊形休閑區(qū)，平行四邊形的一邊在海岸線上，一邊在半徑上，另外一個頂點在圓弧上，且，求平行四邊形休閑區(qū)面積的最大值及此時的值．【答案】（1）（2）（3）最大值為，此時.【詳解】試題分析：（1）求函數(shù)的解析式時，比較容易得出，困難的是確定待定系數(shù)的值，常用如下方法:一是由即可求出的值；確定的值，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的“零點”橫坐標，則令（或），即可求出；二是代入點的坐標，利用一些已知點坐標代入解析式，再結(jié)合圖形解出，若對的符號或?qū)Φ姆秶幸?，則可利用誘導(dǎo)公式進行變換使其符合要求；（2）運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和差、倍角的相對性，要注意升冪、降冪的靈活運用；重視三角函數(shù)的三變：三變指變角、變名、變式；變角：對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低