第7章 三角函數【單元提升卷】（解析版）

第7章三角函數【單元提升卷】考生注意：1．本試卷含三個大題，共21題．答題時，考生務必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出解題的主要步驟．一、填空題1．函數的單調遞減區(qū)間是__.【答案】，【分析】根據正切函數的單調遞增區(qū)間，即可寫出函數的單調遞減區(qū)間.【詳解】由正切函數的圖象與性質，知；函數的單調遞增區(qū)間為：，，所以函數的單調遞減區(qū)間是：，，故答案為：，.【點睛】本小題主要考查正切型函數的單調區(qū)間的求法，屬于基礎題.2．函數的最小正周期為________.【答案】【分析】由輔助角公式可得，問題得解.【詳解】因為所以函數的最小正周期為.故答案為：【點睛】本題考查了輔助角公式和三角函數的周期公式，屬于基礎題.3．函數的值域是___________.【答案】【解析】由余弦函數和正切函數性質求解．【詳解】∵，在上是增函數，∴，即．故答案為：．【點睛】本題考查余弦函數和正切函數的值域，掌握正切函數的單調性是解題基礎．4．函數的圖像關于軸對稱的充要條件是________【答案】【分析】有關正余弦型的函數關于軸對稱必須化簡為，即可求解.【詳解】函數的圖像關于軸對稱，.故答案為:【點睛】本題考查三角函數的奇偶性，結合誘導公式是解題的關鍵，屬于基礎題.5．已知，，，則，，的大小關系為______.【答案】【分析】同角三角函數關系知，又由的區(qū)間單調性知，根據的區(qū)間單調性知，即可知，，的大小關系【詳解】，而∴故答案為：【點睛】本題考查了比較三角函數值的大小，根據正弦函數、正切函數的區(qū)間單調性及正弦函數的值域范圍，比較函數值的大小6．將正弦函數的圖像向右平移個單位，可以得到余弦函數的圖象，則的最小值為________．【答案】【分析】利用三角函數的誘導公式以及圖象的平移變換即可求解.【詳解】因為，所以正弦函數的圖像向右平移個單位可得，并且此時是將正弦函數的圖像向右平移最少的單位，所以的最小值為，故答案為：.7．若函數的圖像上相鄰三個最值點為頂點的三角形是直角三角形，則___________.【答案】【分析】作出函數的大致圖像，不妨取如圖的相鄰三個最值點，則由已知可得為等腰直角三角形，從而可得，即，再利用周期公式求出，從而可求得的值【詳解】解：作出函數的大致圖像，不妨取如圖的相鄰三個最值點，設其中兩個最大值點為，最小值點為，根據正弦函數圖像的對稱性，可知為等腰直角三角形，且斜邊上的高，所以斜邊，此時的周期為，所以，所以，所以，故答案為：8．已知函數y＝sin在區(qū)間[0，t]上至少取得2次最大值，則正整數t的最小值是_____【答案】8【分析】由函數，求得最小正周期為，得到，根據函數在區(qū)間上至少取得2次最大值，結合圖象得，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數，可知最小正周期為，可得又由函數在區(qū)間上至少取得2次最大值，如圖所示，則滿足，又因為，所以正整數的最小值為.【點睛】本題主要考查了三角函數圖象與性質的應用，其中解答中熟記三角函數的圖象與性質，結合圖象得到實數滿足的不等關系式是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，以及推理與運算能力，屬于基礎題.9．關于函數，.現有下列命題：①由，得必是的整數倍；②的表達式可以改寫為；③的圖像關于點對稱；④的圖像關于直線對稱.其中正確的命題序號為___________.【答案】②④【分析】對于①，由，可得是半個周期的整數倍，求出周期可進行判斷；對于②，利用誘導公式化簡即可；對于③，代入驗證即可；對于④，代入驗證即可【詳解】解：對于①，由于，所以可知是函數的零點，所以是半個周期的整數倍，而函數的周期，所以是的整數倍，所以①錯誤；對于②，，所以②正確；對于③，因為，所以的圖像不關于點對稱，所以③錯誤；對于④，因為，所以的圖像關于直線對稱，所以④正確，故答案為：②④10．若函數的圖像與直線有且僅有四個不同的交點，則的取值范圍是______【答案】【分析】將函數寫成分段函數的形式，再畫出函數的圖象，則直線與函數圖象有四個交點，從而得到的取值范圍.【詳解】因為因為所以，所以圖象關于對稱，其圖象如圖所示：因為直線與函數圖象有四個交點，所以.故答案為：.【點睛】本題考查利用三角函數圖象研究與直線交點個數，考查數形結合思想的應用，作圖時發(fā)現圖象關于對稱，是快速畫出圖象的關鍵.11．如圖，平面上有一條走廊寬為3米，夾角為120°，地面是水平的，走廊兩端足夠長．那么能夠通過走廊的鋼筋（看作線段，不考慮粗細）的最大長度為____________________米．【答案】12【分析】如圖，設能通過走廊的鋼筋的長度為AB，設，，則求得，然后相加，利用基本不等式可得基本最小值【詳解】如圖，設能通過走廊的鋼筋的長度為AB，設，，則，當且僅當時取等號，故能夠通過走廊的鋼筋（看作線段，不考慮粗細）的最大長度為12米．故答案為：1212．已知函數是上的偶函數，當時，有，方程有且僅有四個不同的實根，若是四個根中的最大根，則______．【答案】##【分析】同一坐標系內作出函數圖像和直線y=m，因為兩圖像有且僅有四個公共點，觀察圖像得出m=1．再解方程，得最大根，再代入求值即可得到【詳解】當x≥0時，函數在區(qū)間和遞增，在區(qū)間遞減，且，，∵函數是R上的偶函數，的圖像如下：觀察可知，當m=1時，兩圖像有且僅有四個不同的公共點，令得，，故答案為：二、單選題13．函數的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據以及余弦函數的最值可得結果.【詳解】因為，，所以，所以，所以函數的最大值是.故選：C14．函數的一個單調增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據函數圖象確定函數的單調遞增區(qū)間，觀察各選項選擇符合題意的區(qū)間即可.【詳解】在平面直角坐標系內畫出函數的圖象如圖所示，由圖象易得函數的單調遞增區(qū)間為Z，令得為的一個單調遞增區(qū)間.故選：C.15．要得到函數的圖象，只需將函數（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【答案】A【分析】由函數的圖象變換規(guī)律，可得結論．【詳解】解：，將函數的圖象上所有的點向左平移個單位，即可得到函數的圖象．故選：A．16．已知偶函數在上為嚴格增函數，又為銳角三角形兩內角，則必有（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據偶函數性質可知，在上為嚴格減函數，再利用，為銳角的三角函數值大小，即可得出結果.【詳解】由于是偶函數，根據偶函數性質可知在上為嚴格減函數；又為銳角三角形兩內角，所以，且；可得，且，又在上單調遞增，所以，且又在上為嚴格減函數，即可得.故選：B.三、解答題17．已知函數．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數化為，利用正弦函數的周期公式可求的最小正周期；（Ⅱ）由可得，利用正弦函數的單調性可求的最大值和最小值．【詳解】（Ⅰ）.（Ⅱ）因為，所以當時，即時，的最大值為,當時，即時，的最小值為.【點睛】對三角函數的圖象與性質進行考查是近幾年高考考查的一類熱點問題，一般難度不大，但綜合性較強.解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導公式以及二倍角公式，一定要熟練掌握并靈活應用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.18．已知函數，且滿足.（1）求實數a、b的值；（2）記，若函數是偶函數，求實數t的值.【答案】（1），；（2），.【分析】（1）將兩個值代入即可解得；（2）先將函數f(x)化為的結構，代入x+t后，然后根據函數是偶函數即可解得.【詳解】（1）由題意，所以.（2）由（1）所以，因為是偶函數，所以，所以19．已知函數.（1）將函數化成（，）的形式；（2）用“五點法”作該函數的大致圖像，并寫出該函數在上的單調增區(qū)間.【答案】（1）；（2）圖見解析，增區(qū)間為和.【分析】（1）利用降冪公式對其化簡即可；（2）先列表，再描點連線即可，由圖像可得函數在上的單調增區(qū)間【詳解】解：（1），（2）列表00200由圖可知數在上的單調增區(qū)間為和.20．已知函數、，定義滿足關系的函數為函數的型變換函數，其中是常數.（1）若函數，且函數為函數的型變換函數，求的解析式；（2）若函數為函數的型變換函數，請設計一個函數及一個的值，使得.【答案】（1）；（2）（取，中任意一個都可以）.【分析】（1）按照定義相乘，再用二倍角公式即可解得；（2）利用輔助角公式將函數寫成的結構即可求得.【詳解】（1）因為，所以，所以.（2）因為，若，則，所以（取，中任意一個都可以），.21．如圖，在海岸線一側有一休閑游樂場，游樂場的前一部分邊界為曲線段，該曲線段是函數，的圖像，圖像的最高點為．邊界的中間部分為長千米的直線段，且．游樂場的后一部分邊界是以為圓心的一段圓?。?）求曲線段的函數表達式；（2）曲線段上的入口距海岸線最近距離為千米，現準備從入口修一條筆直的景觀路到，求景觀路長；（3）如圖，在扇形區(qū)域內建一個平行四邊形休閑區(qū)，平行四邊形的一邊在海岸線上，一邊在半徑上，另外一個頂點在圓弧上，且，求平行四邊形休閑區(qū)面積的最大值及此時的值．【答案】（1）（2）（3）最大值為，此時.【詳解】試題分析：（1）求函數的解析式時，比較容易得出，困難的是確定待定系數的值，常用如下方法:一是由即可求出的值；確定的值，若能求出離原點最近的右側圖象上升（或下降）的“零點”橫坐標，則令（或），即可求出；二是代入點的坐標，利用一些已知點坐標代入解析式，再結合圖形解出，若對的符號或對的范圍有要求，則可利用誘導公式進行變換使其符合要求；（2）運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和差、倍角的相對性，要注意升冪、降冪的靈活運用；重視三角函數的三變：三變指變角、變名、變式；變角：對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低