新教材同步輔導(dǎo)2023年高中數(shù)學(xué)課時評價作業(yè)二十導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

課時評價作業(yè)（二十）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

A級基礎(chǔ)鞏固

1.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y（單位:萬元）與年產(chǎn)量x（單位:萬件）之間的關(guān)系為

y=-x~81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為（）

A.13萬件B.11萬件C.9萬件D.7萬件

解析:/81,令y'4）,解得產(chǎn)9（負(fù)值舍去）.

當(dāng)xG（0,9）時,/為;當(dāng)T/9時,yf<0,

所以函數(shù)尸九1廠234在區(qū)間（0,9）內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間⑼+2上單調(diào)遞減，

所以xR是函數(shù)的極大值點.

又因為函數(shù)y在區(qū)間（0,+9）上只有一個極大值點，

所以函數(shù)y在處取得最大值.

答案:C

2.一周長為1的扇形,當(dāng)面積達到最大值時,扇形的半徑為（）

小［小彳

解析:設(shè)半徑為［O<r<0,則弧長為l^r.

S扇斗"?）?r=-r^rl,令S嬴=-2嗎或得吟

當(dāng)re（0,3時，5■嬴X）,S扇形單調(diào)遞增；當(dāng)rdgJ時，S'娜<0,5用彩單調(diào)遞減,所以當(dāng)r—

時,扇形面積最大.

答案:C

3.內(nèi)接于半徑為火的球并且體積最大的圓柱的高為（）

A.—RB.—R

33

C.jD.以上都不對

解析:設(shè)圓柱底面半徑為時高為h,則封才《于,所以『⑶』rh=

m（R2-9）〃/（血』（R2.F）.令/（⑸力,得分考以負(fù)值舍去），此時體積KA）最大.

答案:A

4.用一根長為24m的鋼筋做成一個長方體框架,若這個長方體框架的底面為正方形,則

這個長方體的最大體積為gm3.

解析:設(shè)長方體的底面邊長為xm,則高為（6-2x）m,所以xd（0,3）,則體積

V=x（6-2入）=6x-2xfV'=12x~6x.

令/或得x=2或x=Q（舍去），

所以當(dāng)XG(0,2)時,廠為，P單調(diào)遞增,

當(dāng)￡6(2,3)時，廠<0,，單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=2時，Kax=8.

5.國金題某車間要靠墻壁蓋一間底面為矩形的小屋,現(xiàn)有的磚只夠砌20m長的墻壁,則

應(yīng)圍成長為也m,寬為立m的矩形才能使小屋面積最大.

解析:設(shè)長為xm,寬為ym,則x+2y40,y=10^.

矩形面積S-xy-A(10-^~10x-^-(0<x<2,0'),S'=10-x.

令S'=0,得x=10.當(dāng)0G<10時,S'X),S單調(diào)遞增;當(dāng)10<r<20時,S'OS單調(diào)遞減,所以

當(dāng)x=10時,S取得最大值,此時片5.

6.某單位用木料制作如圖所示的框架,框架的下部是兩鄰邊分別為xm,ym的矩形,上部

是等腰直角三角形,要求框架圍成的總面積為8m2,當(dāng)x,y分別為多少時用料最省？(精確到

0.001)

解:依題意有燈*x?評,

所以yj二(oaa夜).

x4

則框架用料總長度LCx啊也X甲噌+旬x嚀,則L，1增費.

令L'dBP|A/2^,解得為3y上,^2-lV2-8(舍去).

當(dāng)0時,￡'<0;當(dāng)8-4V2你泛時,L'月.

所以當(dāng)X-8Y加時，/取得最小值，此時x-8"四-2.343,產(chǎn)2加七2.828.

故當(dāng)32.343,受2.828時,用料最省.

B級能力提升

7.已知圓柱的表面積為定值S,當(dāng)圓柱的體積最大時，圓柱的高人為粵I

3TT

解析:設(shè)圓柱的底面半徑為r,

所以SYn合+2nrh,所以人至誓,圓柱的體積-5)』/為衛(wèi)手.

2irr2

ff

v(r)f6：〈,令y(r)或得sw兀rfr=區(qū)(負(fù)值舍去)，所以加2尸2區(qū)上|至,

2761176n3TT

因為在定義域內(nèi)只有一個極值點,所以當(dāng)人平時圓柱的體積最大.

8.一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)月租金定為1000元時,公寓會全部租出去,月租

金每增加50元,租出去的公寓就會減少一套,而租出去的公寓每套每月需由該公司承擔(dān)100

元的維修費，則租金定為1^00元時該公司可獲得最大收入.

解析:設(shè)月租金定為x元,收入為y元，

rn.iJlcX-1OOO\/1八八\-x2+3600x-350000

貝！I巴50--J(jr-100)-------------------,

令/=0,得x=l800.

當(dāng)x<!800時,/X),當(dāng)800時,y'e,

所以x=l800是極大值點,y極大值刃7800.

所以當(dāng)x=l800時,y取得最大值.

9.|多空題|要做一個底面為矩形的帶蓋的長方體箱子，其體積為

72m3,底面兩鄰邊的邊長之比為1：2,則當(dāng)它的長為6m,高為4m時,表面積最小.

解析:設(shè)底面兩鄰邊的邊長分別為xm,2xm,則高

2xzx2

所以表面積S=^x+2(x+2x),^：=\x/空(x?).

X」X

所以$，3『學(xué)金(婷-27)

X2X2

令S'R,解得x超則S在區(qū)間(0,+8)上的唯一的極值點為U3,所以當(dāng)xw時,S取得極

小值,且是S的最小值,即當(dāng)長為6m,高為4m時,箱子的表面積最小.

10.已知函數(shù)f{x)=er+3ax.

(1)討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)20在區(qū)間(0,+8)上恒成立,求a的取值范圍.

解：(1)因為f(x)=e'+3ax,xCR,

所以f'(x)3a.

①當(dāng)a2。時,F(x)為,故f(x)在R上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a<0時,令f'(x)4),解得x=ln(-3a).

所以xQ(-、in(-3a))時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;xd(In(-3a),時,f(x)

單調(diào)遞增.

綜上所述,當(dāng)a20時,/"(x)在R上單調(diào)遞增.

當(dāng)a<0時,Ax)在區(qū)間(-巴5(-3力)上單調(diào)遞減,f(x)在區(qū)間Qn(Ta),+“)上單調(diào)遞

增.

⑵由題意,知e'+3ax》0在區(qū)間(。，g)上恒成立,即在區(qū)間(0,+2上恒成立,

所以a2(-F)(xY).

'3%,max

3x2

當(dāng)0<￥<1時,g'(X)為,g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x>\時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

故g(x)則招'(1)二-|,

所以a25

C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新

11.一個帳篷,它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六

棱錐(如圖所示).當(dāng)帳篷的體積最大時，帳篷的頂點。到底面中心。的距離為()

A.—mB.1mC.V3mD.2m

解析:設(shè)。。為xm(l&<4),底面正六邊形的面積為Sm2,帳篷的體積為Vm3.

由題意得正六棱錐底面邊長為J32-(x-1)2川8+2x-2位)，所以底面正六邊形的面積

為S$X更■X?8+2x-x2)2上色(8+2X-X).

42

帳篷的體積

二乂逋(8+2x-/)(x-1)淮(8+2x4)型(8+2x-/)[(xT)+3]與(16+12x-f)，/型(12-3x

322222

2).

令『'力,解得X3或x=-2(不合題意,舍去).當(dāng)ia<2時，廠X;當(dāng)2a<4時，廠<0.所以當(dāng)

X之時，，最大.

答案:D

12.某地建一座橋,兩端的橋墩已建好,兩橋墩相距mm,后期需建兩端橋墩之間的橋面和

橋墩.經(jīng)測算,一個橋墩的工程費用為256萬元,距離為xm的相鄰兩橋墩之間的橋面工程費

用為(2g)x