數(shù)學(xué)-高中必修五-解三角形-經(jīng)典題目

解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型題剖析】考察點1：利用正弦定理解三角形例1在ABC中，A:B:C=1:2:3,求a:b:c.【點撥】此題考查利用正弦定理實現(xiàn)三角形中邊與角的互化，利用三角形內(nèi)角和定理及正弦定理的變形形式a:b:c=sinA:sinB:sinC求解。解：【解題策略】要牢記正弦定理極其變形形式，要做到靈活應(yīng)用。例2在ABC中，c=+，C=30°，求a+b的取值范圍?！军c撥】此題可先運用正弦定理將a+b表示為某個角的三角函數(shù)，然后再求解。解：∵C=30°，c=+，∴由正弦定理得：∴a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin〔150°-A〕.∴a+b=2(+)[sinA+sin(150°-A)]=2(+)·2sin75°·cos(75°-A)=cos(75°-A)當(dāng)75°-A=0°，即A=75°時，a+b取得最大值=8+4；∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A＜150°，∴0°＜A＜150°,∴-75°＜75°-A＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，∴＞cos75°=×=+.綜合①②可得a+b的取值范圍為(+,8+4>考察點2：利用正弦定理判斷三角形形狀例3在△ABC中，·tanB=·tanA，判斷三角形ABC的形狀。【點撥】通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，利用角的關(guān)系判斷△ABC的形狀。解：由正弦定理變式a=2RsinA,b=2RsinB得：,即，，.∴為等腰三角形或直角三角形?！窘忸}策略】“在△ABC中，由得∠A=∠B”是常犯的錯誤，應(yīng)認(rèn)真體會上述解答過程中“∠A=∠B或∠A+∠B=”的導(dǎo)出過程。例4在△ABC中，如果，并且B為銳角，試判斷此三角形的形狀?！军c撥】通過正弦定理把邊的形式轉(zhuǎn)化為角的形式，利用兩角差的正弦公式來判斷△ABC的形狀。解：.又∵B為銳角，∴B=45°.由由正弦定理，得,∵代入上式得：考察點3：利用正弦定理證明三角恒等式例5在△ABC中，求證.【點撥】觀察等式的特點，有邊有角要把邊角統(tǒng)一，為此利用正弦定理將轉(zhuǎn)化為.證明：由正弦定理的變式得：同理【解題策略】在三角形中，解決含邊角關(guān)系的問題時，常運用正弦定理進(jìn)行邊角互化，然后利用三角知識去解決，要注意體會其中的轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用。例6在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，C=2B，求證.【點撥】此題考查正弦定理與倍角公式的綜合應(yīng)用.證明：【解題策略】有關(guān)三角形的證明題中，要充分利用三角形本身所具有的性質(zhì)。考察點4：求三角形的面積例7在△ABC中，a,b,c分別是三個內(nèi)角A,B,C的對邊，假設(shè),求△ABC的面積S.【點撥】先利用三角公式求出sinB,sinA及邊c，再求面積。解：由題意，得∴B為銳角，由正弦定理得【解題策略】在△ABC中，以下三角關(guān)系式在解答三角形問題時經(jīng)常用到，要記準(zhǔn)、記熟，并能靈活應(yīng)用，例8△ABC中a,b,c分別是三個內(nèi)角A,B,C的對邊，△ABC的外接圓半徑為12，且, 求△ABC的面積S的最大值?！军c撥】此題主要考察正弦定理與三角形面積公示的綜合應(yīng)用。解：【解題策略】把三角形的面積公式和正弦定理相結(jié)合，通過討論三角函數(shù)值的取值，求得面積的最大值?？疾禳c5：與正弦定理有關(guān)的綜合問題例9△ABC的內(nèi)角A,B極其對邊a,b滿足求內(nèi)角C【點撥】此題主要考察解三角形中的正弦定理、和差化積公式等根底知識，考察運算能力、分析能力和轉(zhuǎn)化能力。解法1：〔R為△ABC的外接圓半徑〕，又∵A,B為三角形的內(nèi)角，當(dāng)時，由得綜上可知，內(nèi)角.解法2：由及正弦定理得，，，從而即又∵0＜A+B＜π，【解題策略】切化弦、邊化角是三角關(guān)系化簡的常用方法，熟練運用三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵。例10在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a,b,c,且c=10,，求a,b及△ABC的內(nèi)切圓半徑。【點撥】欲求邊，應(yīng)將條件中的邊角統(tǒng)一，先求角再求邊。解：變形為又∴△ABC是直角三角形。由解得【解題策略】解此類問題應(yīng)注意定理與條件的綜合應(yīng)用。『高考真題評析』例1〔廣東高考〕a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，假設(shè)那么【命題立意】此題主要考察正弦定理和三角形中大邊對大角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定角C的值。【點撥】在△ABC中，又，故，由正弦定理知又a＜b，因此從而可知，即。故填1.【名師點評】解三角形相關(guān)問題時，應(yīng)靈活掌握邊角關(guān)系，實現(xiàn)邊角互化。例2〔北京高考〕如圖1-9所示，在△ABC中，假設(shè)那么【命題立意】此題考查利用正弦定理解決三角形問題，同時要注意利用正弦定理得到的兩解如何取舍。【點撥】由正弦定理得，∵C為鈍角，∴B必為銳角，故填1【名師點評】在范圍內(nèi)，正弦值等于的角有兩個，因為角C為鈍角，所以角B必為銳角，防止忽略角的范圍而出現(xiàn)增解例3〔湖北高考〕在△ABC中，那么等于〔〕【命題立意】此題考查正弦定理及同角三角函數(shù)根本關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是確定角B的范圍。【點撥】由正弦定理得∵＞，，∴B為銳角。，應(yīng)選D【名師點評】根據(jù)三角形性質(zhì)大邊對大角準(zhǔn)確判斷角B的范圍，從而確定角B的余弦值。例4〔天津高考〕在△ABC中，〔1〕求證；〔2〕假設(shè)，求的值?！久}立意】此題主要考察正弦定理、兩角和與差的正弦公式、同角三角函數(shù)的根本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦等根底知識，同時考察根本運算能力。證明：〔1〕在△ABC中，由正弦定理及，得。于是即因為＜B-C＜，從而B-C=0，所以B=C.解：〔2〕由和〔1〕得，故又0＜2B＜，于是從而，。所以【名師點評】〔1〕證角相等，故由正弦定理化邊為角。〔2〕在〔1〕的根底上找角A與角B的函數(shù)關(guān)系，在求2B的正弦值時要先判斷2B的取值范圍。知能提升訓(xùn)練學(xué)以致用1、在△ABC中，以下關(guān)系式中一定成立的是〔〕A．＞B.=C.＜D.≥2、〔山東模擬〕△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c，，那么c等于〔〕A.1B.2C.D.3、〔廣東模擬〕在△ABC中，，那么等于〔〕A．B.C.D.4、在△ABC中，假設(shè)，那么△ABC是〔〕A．直角三角形B.等邊直角三角形C．鈍角三角形D.等腰直角三角形5、在銳角△ABC中，假設(shè)C=2B，那么的范圍是〔〕A．B.C.D.6、在△ABC中，，那么，滿足此條件的三角形有〔〕A．0個B.1個C.2個D.無數(shù)個7、在△ABC中，假設(shè)A：B：C=3：4：5，那么：：等于〔〕A．3：4：5B.2::C.1::2D.::8、〔2011·浙江模擬〕在△ABC中，那么此三角形的最大邊長為〔〕A．B.C.D.9、在△ABC中那么。10、〔2011·山東模擬〕在△ABC中角A，B，C的對邊分別為a,b,c，假設(shè)，那么角A的大小為。11、在△ABC中cm，cm，，如果利用正弦定理解三角形有兩解，那么的取值范圍是13、在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c，求證。14、在△ABC中，求及三角形的面積。15、方程的兩根之積等于兩根之和，且為△ABC的內(nèi)角，分別為的對邊，判斷△ABC的形狀。16、在△ABC中，〔1〕求角C的大?。弧?〕假設(shè)△ABC的最大邊長為，求最小邊的長。1.1.2余弦定理『典型題剖析』考察點1：利用余弦定理解三角形例1：△ABC中，求A，C和。【點撥】解答此題可先由余弦定理列出關(guān)于邊長的方程，首先求出邊長，再由再由正弦定理求角A，角C，也可以先由正弦定理求出角C，然后再求其他的邊和角。解法1：由正弦定理得，解得或6.當(dāng)時，當(dāng)時，由正弦定理得解法2：由＜，＞，知此題有兩解。由正弦定理得，或，當(dāng)時，，由勾股定理得：當(dāng)時，，∴△ABC為等腰三角形，?！窘忸}策略】比擬兩種解法，從中體會各自的優(yōu)點，從而探索出適合自己思維的解題規(guī)律和方法。三角形中兩邊和一角，有兩種解法。方法一利用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系列出方程，利用解方程的方法求出第三邊的長，這樣可免去判斷取舍的麻煩。方法二直接運用正弦定理，先求角再求邊。例2：△ABC中，，求A，B，C考察點2：利用余弦定理判斷三角形的形狀例3：在△ABC中，且，試判斷△ABC的形狀。【點撥】此題主要考察利用正弦定理或余弦定理判斷三角形的形狀，從問題的條出發(fā)，找到三角形邊角之間的關(guān)系，然后判斷三角形的形狀。例4：鈍角三角形ABC的三邊求k的取值范圍。【點撥】由題意知△ABC為鈍角三角形，按三角形中大邊對大角的原那么，結(jié)合a,b,c的大小關(guān)系，故必有C角最大且為鈍角，于是可有余弦定力理求出k的取值范圍。解：＞0，＜，＜，解得-2＜k＜6.而k+k+2＞k+4，∴k＞2.故2＜k＜6.故k的取值范圍是【解題策略】應(yīng)用三角形三邊關(guān)系時，應(yīng)注意大邊對大角。考察點3：利用余弦定理證明三角形中的等式問題例6在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c?！?〕求證〔2〕求證【點撥】此題考察余弦定理及余弦定理與兩角和差正弦公式的綜合應(yīng)用