安徽省安慶市皖江高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含解析）

皖江高中2023-2024學(xué)年度高一第一學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試卷注意事項(xiàng)：1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．42．集合，，則（

）A． B． C． D．3．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．5．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）①與；

②與；③與；

④與．A．①② B．①③ C．③④ D．①④6．設(shè)集合，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．7．當(dāng)時(shí)，的最大值是（

）A．-8 B．-6 C．8 D．108．設(shè)函數(shù)若對(duì)，且，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的0分）9．下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵?/p>

）A．， B．C．， D．10．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．11．集合，集合，若，則的值可以是（

）A．0 B．1 C． D．312．若，，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上）13．集合中只含有1個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值是．14．試用列舉法表示集合：；15．關(guān)于的不等式的解集是，則不等式的解集為.16．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說明、證明過程或演算步驟）17．已知集合.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．設(shè)集合(1)若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知函數(shù)，的解集為．（1）求的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值．20．已知函數(shù)(1)求，，的值；(2)若，求實(shí)數(shù)a的值．21．當(dāng)k取什么值時(shí)，一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立.22．已知函數(shù).(1)若，求的最小值及此時(shí)的值；(2)若，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明為增函數(shù).答案與解析1．B【分析】直接根據(jù)元素與特殊數(shù)集的關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】①錯(cuò)誤；②正確；③錯(cuò)誤；④正確，故選：B.2．C【分析】利用交集的定義即可得解.【詳解】因?yàn)榧?，，所以?故選：C.3．C【分析】解不等式得到，根據(jù)范圍的大小關(guān)系得到答案.【詳解】，，故“”是“”的必要不充分條件.故選：C.4．D【分析】由二次根式的被開方數(shù)非負(fù)和分式的分母不為零，列不等式組，解不等式組可求得結(jié)果【詳解】要使函數(shù)有意義，必須，解得且，則函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：D．5．C【分析】通過驗(yàn)證定義域和對(duì)應(yīng)法則，判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù).【詳解】①與的定義域是，而，故這兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；②與的定義域都是，，這兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則不同，故這兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；③與的定義域都是，并且定義域內(nèi)，對(duì)應(yīng)法則也相同，故這兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)；④與定義域相同，對(duì)應(yīng)法則相同，是同一函數(shù)；所以是同一函數(shù)的是③④．故選：C．6．A【分析】根據(jù)集合相等的含義求出可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故選：A.7．B【分析】根據(jù)題意可將構(gòu)造為形式，然后利用基本不等式從而求解.【詳解】由題意得：令，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以；故最大值為：.故選：B.8．A【分析】由分段函數(shù)在上單調(diào)遞減可得關(guān)于的不等式組，進(jìn)而可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)，且，都有，可得是上的減函數(shù)，所以有解得.故選：A.9．AC【分析】AC選項(xiàng)通過函數(shù)單調(diào)性求值域；B選項(xiàng)通過二次函數(shù)的性質(zhì)求值域；D選項(xiàng)通過基本不等式求值域.【詳解】對(duì)于A：，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，又，，所以，故A正確；對(duì)于B：由，所以，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，又，，所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AC10．ABC【分析】根據(jù)已知代入特殊值可得的值，可判斷A，B；再根據(jù)換元法求解解析式即可得，從而判斷C，D.【詳解】因?yàn)椋詴r(shí)，可得，故A正確；所以時(shí)，可得，故B正確；令，則，所以，則，故C正確，D不正確.故選：ABC.11．AD【分析】利用集合的包含關(guān)系，判斷可能的取值，列出方程求解即可．【詳解】由可知，或，由，解得或.故選：AD12．AB【分析】根據(jù)題意，由基本不等式，代入計(jì)算，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，則，所以，故A正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；由選項(xiàng)B可知，，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤；故選：AB13．0或1【分析】討論二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)是一次方程滿足題意；再討論二次項(xiàng)系數(shù)非0時(shí)，令判別式等于0即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，要集合P僅含一個(gè)元素，則，解得，故a的值為0，1故答案為：0或114．【分析】根據(jù)一元一次不等式結(jié)合集合的描述法分析求解.【詳解】由題意可得：.故答案為：.15．或【分析】利用不等式解集的端點(diǎn)即為方程的根求出，再求解不等式即可.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，所以,所以，所以不等式等價(jià)于，令得：，所以不等式的解集為或.故答案為：或.16．【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義域的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以滿足，即，又函數(shù)有意義，得，解得.所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：17．(1)；(2)【分析】（1）利用交集的概念計(jì)算即可；（2）利用集合的關(guān)系分類討論求參數(shù)即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，因此，；（2），.當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，則有；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．(1)(2)【分析】根據(jù)兩集合間的包含關(guān)系即可求.【詳解】（1）因?yàn)槭堑某浞謼l件，，則，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍；（2），則，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，則，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（1）；（2）.【分析】（1）由的解集為，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求可求的值，進(jìn)而得到的解析式；（2）化簡函數(shù)式為，結(jié)合基本不等式求最大值即可；【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，的解集為，那么方程的兩個(gè)根是，2，且，由韋達(dá)定理有，所以．（2），由，則：根據(jù)均值不等式有：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程、不等式，根據(jù)一元二次不等式解集求二次函數(shù)解析式，利用基本不等式求函數(shù)最值；20．(1)，，(2)或【分析】（1）根據(jù)自變量的范圍，代入相應(yīng)的解析式，求函數(shù)值；（2）分類討論，解方程即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以，，因?yàn)?，所以，?）由于，當(dāng)時(shí)，，解得，又，所以不合題意，舍去．當(dāng)時(shí)，，即化為，解得或，又，所以符合題意，當(dāng)時(shí)，，即符合題意．綜上可得，當(dāng)時(shí)，或．21．【解析】對(duì)k分k＜0和k＞0兩種情況討論，即得解.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，要使一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則二次函數(shù)的圖象在x軸下方，即，得.當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，一元二次不等式不可能對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立.綜上可知，.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的恒成立問題，意