高考數(shù)第一輪復習空間幾何體的表面積與體積

11三月2024高考數(shù)第一輪復習空間幾何體的表面積與體積1.空間幾何體的側(cè)面積和表面積(1)簡單幾何體的側(cè)面展開圖的形狀名稱側(cè)面展開圖形狀側(cè)面展開圖圓柱_____圓錐_____矩形扇形名稱側(cè)面展開圖形狀側(cè)面展開圖圓臺扇環(huán)直棱柱_____矩形名稱側(cè)面展開圖形狀側(cè)面展開圖正n棱錐n個全等___________正n棱臺n個全等的等腰梯形等腰三角形(2)多面體的側(cè)面積和表面積因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是側(cè)面展開圖的面積，表面積是側(cè)面積與底面積的和．(3)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積①若圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則S側(cè)=______,S表=____________=__________.②若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則S側(cè)=_____

,S表=_________=________.③若圓臺的上下底面半徑分別為r′,r，母線長為l，則S側(cè)=__________

,S表=__________________.④若球的半徑為R，則它的表面積S=_____.2πrl2πr2+2πrl2πr(r+l)πrlπr2+πrlπr(r+l)π(r′+r)lπ(r′2+r2+r′l+rl)4πR22.幾何體的體積公式幾何體名稱體積棱(圓)柱V=___(S為底面面積，h為高)棱(圓)錐V=(S為底面面積，h為高)棱(圓)臺V=(S′,S為上、下底面面積，h為高)球V=(R為球半徑)Sh判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”).(1)長方體的體積等于長、寬、高之積.()(2)錐體的體積等于底面面積與高之積.()(3)球的體積之比等于半徑比的平方.()(4)臺體的體積可以轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差.()(5)直徑為1的球的表面積S=4πr2=4π.()【解析】(1)正確.長方體是一種特殊的直四棱柱，其體積V=Sh=abc(其中a,b,c分別為長方體的長、寬、高).(2)錯誤.錐體的體積等于底面面積與高之積的(3)錯誤.因為球的體積故球的體積之比等于半徑比的立方.(4)正確.由于臺體是由平行于錐體的底面的平面截錐體所得的在截面與底面之間的幾何體，故其體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差.(5)錯誤.直徑為1的球的半徑為，故其表面積答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×

1.一個正方體的體積是8，則這個正方體的內(nèi)切球的表面積是()(A)8π(B)6π(C)4π(D)π【解析】選C.∵正方體的體積是8，∴正方體的棱長為2，故內(nèi)切球的半徑r=1，∴球的表面積S=4πr2=4π.2.正六棱柱的高為6，底面邊長為4，則它的表面積為()(A)48(3+)(B)48(3+2)(C)24()(D)144【解析】選A.正六棱柱的表面積為6×4×6+×4×4sin60°×12=144+48=48(3+).3.直角三角形兩直角邊AB=3，AC=4，以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為()(A)12π(B)16π(C)9π(D)24π【解析】選B.由題意知，該幾何體是底面半徑為4，高為3的圓錐，故其體積V=π×42×3=16π.4.若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的側(cè)面積為＿＿＿＿cm2.【解析】由三視圖可知該幾何體是圓錐，其底面圓半徑為3，母線長l=5,∴S側(cè)=×2π×3×5=15π(cm2).答案：15π5.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為＿＿＿.【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個長方體與一個圓柱的組合體，則V=8×8×4+π×42×4=256+64π.答案：256+64π考向1幾何體的折疊與展開【典例1】(1)如圖，在三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC為等邊三角形，AA′⊥平面ABC，AB=3,AA′=4，M為AA′的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC′到M的最短路線長為設(shè)這條路線與CC′的交點為N，則PC=＿＿＿＿，NC=＿＿＿＿.(2)如圖為一幾何體的展開圖，其中四邊形ABCD是邊長為6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，點S，D，A，Q及點P，D，C，R分別共線，沿圖中虛線將它們折疊起來，使P，Q，R，S四點重合，則需要＿＿＿＿個這樣的幾何體，可以拼成一個棱長為6的正方體.【思路點撥】(1)可將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB′展開，然后利用平面幾何的知識解決.(2)將平面圖形折疊后得到一個四棱錐，然后利用體積相等求解.【規(guī)范解答】(1)將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB′展開，如圖所示：設(shè)PC=x,則MP2=MA2+(AC+x)2.∵MP=MA=2，AC=3，∴x=2,即PC=2.又NC∥AM，∴即∴NC=答案：2(2)由題意知，將該展開圖沿虛線折疊起來以后，得到一個四棱錐P－ABCD，其中PD⊥平面ABCD，因此該四棱錐的體積V=×6×6×6=72，而棱長為6的正方體的體積V=6×6×6=216，故需要個這樣的幾何體，才能拼成一個棱長為6的正方體.答案：3【互動探究】保持本例題(1)條件不變，則一只螞蟻從B點出發(fā)沿三棱柱的三個側(cè)面繞一周，到達B′點的最短路線的長為＿＿＿＿.【解析】由題意可知，其最短路線為側(cè)面展開圖的對角線，故其最短路線的長為答案：【規(guī)律方法】1.求幾何體表面上兩點間的最短距離的方法常用方法是選擇恰當?shù)哪妇€或棱將幾何體展開，轉(zhuǎn)化為求平面上兩點間的最短距離．2.解決折疊問題的技巧(1)解決折疊問題時，要分清折疊前后兩圖形中(折疊前的平面圖形和折疊后的空間圖形)元素間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系哪些發(fā)生了變化，哪些沒有發(fā)生變化．(2)折疊問題中的前后兩個圖形，在折線同側(cè)的元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化；在折線異側(cè)的元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化．【加固訓練】(1)如圖，底面半徑為1，高為2的圓柱，在A點有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱由A點爬到B點，問螞蟻爬行的最短距離是＿＿＿＿.【解析】把圓柱的側(cè)面沿AB剪開，然后展開成如圖所示的平面圖形，連接AB′，則AB′即為螞蟻爬行的最短距離.∵AB=A′B′=2,AA′為底面圓的周長，則AA′=2π×1=2π，即螞蟻爬行的最短距離為答案：

(2)如圖，已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是＿＿.【解析】由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長為1，側(cè)棱長為1，斜高為，連接頂點和底面中心即為高，可得高為，所以體積為答案：

考向2空間幾何體的表面積【典例2】(1)(2013·湖南高考)已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于()(2)(2012·遼寧高考)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為＿＿＿＿.【思路點撥】(1)由俯視圖可知該正方體是水平放置的,則正視圖有許多種可能,但最小面應是一個側(cè)面,最大面應是一個垂直于水平面的對角面.(2)讀懂三視圖,該幾何體為長方體挖掉一個底面直徑為2的圓柱,分別求表面積,注意減掉圓柱的兩個底面積.【規(guī)范解答】(1)選C.由于俯視圖是一個面積為1的正方形，所以正方體是平放在水平面上，所以正視圖最小面積是一個側(cè)面的面積為1，最大面積為一個對角面的面積為，而＜1，所以選項C不正確.(2)長方體的長、寬、高分別為4，3，1，表面積為4×3×2+3×1×2+4×1×2=38；圓柱的底面圓直徑為2，母線長為1，側(cè)面積為2π×1×1=2π；圓柱的兩個底面積和為2×π×12=2π，故該幾何體的表面積為38+2π-2π=38.答案：38【規(guī)律方法】1.多面體的表面積的求法求解有關(guān)多面體表面積的問題，關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形，如棱柱中的矩形，棱臺中的直角梯形，棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、邊長等幾何元素的橋梁，從而架起側(cè)面積公式中的未知量與條件中已知幾何元素的聯(lián)系.2.旋轉(zhuǎn)體的表面積的求法圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.【提醒】解題中要注意表面積與側(cè)面積的區(qū)別，對于組合體的表面積還應注意重合部分的處理.【變式訓練】(1)一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()(A)48(B)32+8(C)48+8(D)80【解析】選C.由三視圖知幾何體的直觀圖如圖所示:為以四邊形ABCD為底面的直四棱柱，且AB=，AD=4，BC=2，則其側(cè)面積為(2+4+2)×4=24+8，兩底面面積為故幾何體的表面積為48+8.(2)(2013·長春模擬)如圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是＿＿＿＿.【解析】由三視圖可知原幾何體是一個長方體中挖去半球體，故所求表面積為S=4+8+4-π+2π=16+π.答案：16+π考向3空間幾何體的體積【典例3】(1)(2013·杭州模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，那么該幾何體的體積為＿＿＿＿.(2)(2013·浙江高考)若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積等于

cm3.【思路點撥】(1)該幾何體是半球與四棱柱的組合體.(2)先由三視圖,畫出幾何體,再根據(jù)幾何體求解.【規(guī)范解答】(1)由三視圖知，該幾何體上部分為半球，下部分為四棱柱，球半徑R=2，∴V半球=下面四棱柱體積V四棱柱=2×2×3=12.∴此幾何體的體積答案：

(2)由三視圖可知原幾何體如圖所示，所以答案：24【規(guī)律方法】1.求幾何體體積的類型及思路(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等方法進行求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．2.柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系【變式訓練】(2012·天津高考)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為＿＿＿＿m3.【解析】組合體的上面是一個長、寬、高分別為6，3，1的長方體，下面是兩個半徑為的相切的球體，所以所求的體積是V=2V球+V長方體=答案：18+9π【巧思妙解6】利用補形法巧解立體幾何問題【典例】(2013·衡水模擬)如圖，正四面體ABCD的棱長為a，則這個四面體的外接球的體積為

．【解析】常規(guī)解法：如圖所示，設(shè)正四面體ABCD內(nèi)接于球O，由A點向底面BCD作垂線，垂足為H,連接BH,OB，則可求得BH=a，在Rt△BHO中,OH2+BH2=OB2，所以解得所以所以正四面體的外接球的體積是．答案：巧妙解法：可將正四面體還原成一正方體，如圖，所以球的直徑為正方體的對角線長①.設(shè)正方體的棱長為x，球的半徑為R，則所以R=所以答案：【解法分析】常規(guī)解法1.直接利用正四面體的性質(zhì),作出相應輔助線,構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求出球的半徑.2.解法體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化構(gòu)造思想,但運算量過大.巧妙解法1.①處巧妙補形,構(gòu)造正方體,為解題做好鋪墊.2.②處充分利用正方體的性質(zhì),求出球的半徑.【小試牛刀】如圖所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點,將△ADE與△BEC分別沿ED,EC向上折起,使A,B重合,則形成的三棱錐的外接球的表面積為

.【解析】常規(guī)解法：由已知條件知，平面圖形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折疊后得到一個正四面體.作AF⊥平面DEC，垂足為F，F(xiàn)即為△DEC的中心.取EC的中點G，連接DG，AG，過球心O作OH⊥平面AEC，則垂足H為△AEC的中心.所以外接球半徑可利用△OHA∽△GFA求得.因為AG=在△AFG和△AHO中，根據(jù)三角形相似可知，AH=，所以外接球的表面積S球=答案：巧妙解法:如圖所示,把正四面體放在正方體中，顯然，正四面體的外接球就是正方體的外接球.因為正四面體的棱長為1,所以正方體的棱長為，所以外接球直徑2R=所以R=，所以外接球的表面積S球=答案：1.(2013·廣東高考)某四棱臺的三視圖如圖所示,則該四棱臺的體積是()【解析】選B.四棱臺的上下底面均為正方形，兩底面邊長和高分別為1,2,2，V棱臺=(S上+S下+)h=(1+4+)×2=2.(2013·遼寧高考)已知三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為()【解析】選C.由題意，結(jié)合圖形，經(jīng)過球心O和三棱柱的側(cè)棱中點的大圓，與三棱柱的側(cè)棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC為直角三角形，其外接圓的圓心O′為其斜邊BC的中點，連接OA,OO′,O′A,由勾股定理得，OA2=O′O2+O′A2.其中OA=R,OO′=AA1=6,O′A=BC=,所以球O的半徑為3.(2013