數(shù)學(xué)北師大版必修2課時作業(yè)2-2-2圓的一般方程

課時作業(yè)21圓的一般方程時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1表示的幾何圖形是(A)A．圓 B．直線C．點 D．不表示任何圖形解析：將方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1化為x2＋y2＋2x＋3y－eq\f(1,2)＝0.則D＝2，E＝3，F(xiàn)＝－eq\f(1,2).計算得D2＋E2－4F＝22＋32－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝15>0.所以方程表示圓，故選A.2．下列方程中表示圓的是(C)A．x2＋y2－2x＋2y＋2＝0 B．x2＋y2－2xy＋y＋1＝0C．x2＋y2－2x＋4y＋3＝0 D．x2＋2y2－2x＋4y－1＝0解析：選項C中的方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝2，表示圓，其余選項中的方程均不表示圓．3．方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0，它們表示的圖形是(D)A．都是兩個點B．一條直線和一個圓C．前者表示兩個點，后者表示一條直線和一個圓D．前者表示一條直線和一個圓，后者表示兩個點解析：x(x2＋y2－1)＝0?x＝0或x2＋y2＝1表示一條直線和一個圓，而x2＋(x2＋y2－1)2＝0?x＝0且y＝±1表示兩個點．4．若曲線Cx2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的點均在第二象限內(nèi)，則aA．(－∞，－2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)解析：曲線C的方程可化為(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，則該方程表示圓心為(－a,2a)，半徑等于2的圓．因為圓上的點均在第二象限，所以5．若圓x2＋y2＝4和圓x2＋y2＋4x－4y＋4＝0關(guān)于直線l對稱，那么l的方程是(D)A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0解析：l為兩圓圓心的垂直平分線，兩圓圓心分別為(0,0)和(－2,2)，其中點為(－1,1)，垂直平分線斜率為1，方程為y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.6．圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0與兩坐標(biāo)軸都相交的條件是(D)A．D>E>4F B．E>D>C．D2<4F且E2<4F D．D2>4F且E解析：令x＝0得，y2＋Ey＋F＝0，要使與y軸相交，應(yīng)有E2－4F>0即E2>4F；令y＝0得，x2＋Dx＋F＝0，要使與x軸相交，應(yīng)有D2－4F>0即D27．圓C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，當(dāng)圓面積最大時，圓心坐標(biāo)為(D)A．(－1,1) B．(1，－1)C．(－1,0) D．(0，－1)解析：原方程變形為(x＋eq\f(k,2))2＋(y＋1)2＝1－eq\f(3,4)k2.∴r2＝1－eq\f(3,4)k2，當(dāng)k＝0時，r有最大值，此時圓心為(0，－1)．8．動點P到點A(8,0)的距離是到點(2,0)的距離的2倍，那么點P的軌跡方程為(B)A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16解析：設(shè)P(x，y)，根據(jù)題意有2eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(x－82＋y2)，整理得x2＋y2＝16.二、填空題9．圓心在直線2x－y－7＝0上的圓C與y軸交于兩點A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝5.解析：由題可知圓心在AB的垂直平分線y＝－3上，又在2x－y－7＝0上，則圓心為P(2，－3)，半徑|PA|＝eq\r(0－22＋－4＋32)＝eq\r(5)?圓的方程：(x－2)2＋(y＋3)2＝5.10．圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圓心到直線x－y－2＝0的距離為eq\r(2).解析：已知圓的圓心坐標(biāo)為(1,1)，由點到直線的距離公式得圓心到直線x－y－2＝0的距離d＝eq\f(|1－1－2|,\r(12＋－12))＝eq\r(2).11．已知圓x2＋y2－4x－4y＋4＝0，該圓上與坐標(biāo)原點距離最近的點的坐標(biāo)是(2－eq\r(2)，2－eq\r(2))，距離最遠(yuǎn)的點的坐標(biāo)是(2＋eq\r(2)，2＋eq\r(2))．解析：∵原點O在圓外，∴由數(shù)形結(jié)合知與原點O距離最近、最遠(yuǎn)的點是直線OC(C為圓心)與圓的兩個交點．三、解答題12．求經(jīng)過A(4,2)、B(－1,3)兩點，且在兩坐標(biāo)軸上的四個截距之和是2的圓的方程．解：已知圓過兩點，且圓心不明確，故可用一般式求之．設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，∴圓在x軸上的截距之和為x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，∴圓在y軸上的截距之和為y1＋y2＝－E.由題設(shè)x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，∴D＋E＝－2.①又A(4,2)、B(－1,3)在圓上，∴16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0.③由①②③解得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12.故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0.13．設(shè)定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡．解：如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，線段MN的中點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).由于平行四邊形的對角線互相平分，故eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2)，從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y(tǒng)－4.))又點N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.當(dāng)點P在直線OM上時，有x＝－eq\f(9,5)，y＝eq\f(12,5)或x＝－eq\f(21,5)，y＝eq\f(28,5).因此所求軌跡為圓(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5))).——能力提升類——14．若圓C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6mA．2或1 B．－2或－1C．2 D．1解析：∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圓，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)>0，∴m>1.又圓C過原點，∴2m2－6m15．已知一圓過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4eq\r(3)，求圓的方程．解：由于題目沒給出圓心和半徑，可以考慮用一般式．設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圓與y軸的交點為A(0，m)，B(0，n)，令x＝0，則y2＋Ey＋F＝0，所以m、n是這個方程的根，且m＋n＝－E，mn＝F.所以|AB|2＝(m－n)2＝(m＋n)2－4mn＝E2－4F＝(4eq\r(3))2，故E2－4F＝48.①