專題17導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值（知識(shí)梳理精講）

專題17導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值知識(shí)點(diǎn)一求函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．導(dǎo)函數(shù)為（1）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．【解題方法總結(jié)】（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，且值域?yàn)?，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲担缰涤?yàn)?，則對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解（5）對(duì)于任意的，總存在，使得；（6）對(duì)于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對(duì)于任意的，使得；（8）若存在，對(duì)于任意的，使得；（9）對(duì)于任意的，使得；（10）對(duì)于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．例1、（2023上·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考期末）若為函數(shù)的極值點(diǎn)，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由為函數(shù)的極值點(diǎn)求得a，再利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．故選：C例2、（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，則在區(qū)間上的最大值為（

）A．8 B．12 C．16 D．32【答案】C【分析】根據(jù)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系求得，利用導(dǎo)數(shù)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性和最值.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谌O值，所以，解得，若，則，，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可知在取極值，故滿足題意，若，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以在區(qū)間上的最大值為.故選：C．例3、（2019下·廣東深圳·高二深圳市龍崗區(qū)龍城高級(jí)中學(xué)校考期中）函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用公式求導(dǎo)，令求得，進(jìn)而可得，求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0，判斷出單調(diào)性，極值比較端點(diǎn)值與極值即可求解.【詳解】由，則，則，則，則，則，令，得或，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)和時(shí)，，在和單調(diào)遞增，則在取得極大值，在取得極小值，，，,所以函數(shù)在區(qū)間上的值域是.故選：A1．（2024上·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）（多選題）已知函數(shù)，則（

）A．B．有兩個(gè)極值點(diǎn)C．在區(qū)間上既有最大值又有最小值D．【答案】ABD【分析】求導(dǎo)得出導(dǎo)函數(shù)，代入，即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出函數(shù)的極值，進(jìn)而判斷B項(xiàng)；根據(jù)B項(xiàng)的單調(diào)性與極值，結(jié)合函數(shù)的極值以及、，即可判斷C項(xiàng)；求出的值，即可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得，，所以.故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，解可得，或.解可得，或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；解可得，，所以在上單調(diào)遞減.所以，在處取得極大值，在處取得極小值.故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，由B知，在處取得極大值，在處取得極小值.因?yàn)椋?，?顯然，所以，在區(qū)間上沒有最大值.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，?所以，.故D項(xiàng)正確.故選：ABD.2．（2024·海南海口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．B．函數(shù)有最大值C．若，則D．若，且，則【答案】ACD【分析】根據(jù)的解析式直接求解可對(duì)A判斷；利用導(dǎo)數(shù)求最值方法可對(duì)B判斷；結(jié)合給出的已知條件并利用A、B中的結(jié)論可對(duì)C、D判斷求解.【詳解】對(duì)A，由題意知，所以，故A正確；對(duì)B，由題意知的定義域?yàn)?，，?dāng)，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取到極小值也是最小值，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，可得，由A知，所以，由B知恒成立，所以，故C正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，得，又因?yàn)椋?，由B知在上單調(diào)遞增，所以，又由A知，所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：靈活運(yùn)用已知條件，，并結(jié)合的對(duì)稱性和單調(diào)性進(jìn)行求解.3．（2023上·四川南充·高三四川省南部中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．【答案】【分析】求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解極值點(diǎn)以及端點(diǎn)處的函數(shù)值比較大小求解.【詳解】，則．令，解得(舍去)，或．所以故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，又，所以．故答案為：例4、（2024上·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在處取得極小值5．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意得到，，求出，，檢驗(yàn)后得到答案；（2）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到極值和最值情況，得到答案.【詳解】（1），因?yàn)樵谔幦O小值5，所以，得，此時(shí)所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以在時(shí)取極小值，符合題意所以，．又，所以．（2），所以列表如下：0123001↗極大值6↘極小值5↗10由于，故時(shí)，．例5、（2024上·山西長(zhǎng)治·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若在處有極大值，求在上的最值.【答案】(1)答案見詳解(2)最小值：；最大值：32.【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分，，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，根據(jù)函數(shù)的極大值點(diǎn)，確定的值，討論函數(shù)在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)的函數(shù)值和端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較可得最值.【詳解】（1），所以.由得：若，則或，所以函數(shù)在區(qū)間和上遞增，在上遞減；若，則在上恒成立，所以函數(shù)在上遞增；若，則或，所以函數(shù)在區(qū)間和上遞增，在上遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)增區(qū)間為：和，減區(qū)間為：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)增區(qū)間為：，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)增區(qū)間為：和，減區(qū)間為：.（2）函數(shù)在處有極大值，由（1）可知：且函數(shù)在遞增，在上遞減，在上遞增.又，，，.所以在上的最小值為：；最大值為：.例6、（2024上·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)，求函數(shù)的最小值；(2)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用二次求導(dǎo)法進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用常變量分離法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，令，則有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，則有，因此當(dāng)時(shí)，則有，當(dāng)時(shí)，顯然，于是有當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以；（2）由，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上恒成立，由，設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，要想在上恒成立，只需，因此的取值范圍為.知識(shí)點(diǎn)二求函數(shù)的最值（含有參數(shù)）例7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)給定區(qū)間上為增函數(shù)可得導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上恒為非負(fù)數(shù)，利用參變分離法即可通過求相應(yīng)函數(shù)的最值求得參數(shù)范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立．令，,則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以．故選：C．例8．（2023下·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)存在最小值，且其最小值記為，則的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】先利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定，然后再利用導(dǎo)數(shù)確定的最大值.【詳解】因?yàn)?，所以的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，令得，此時(shí)單調(diào)遞減，令得，此時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，，令得，此時(shí)單調(diào)遞增，令得，此時(shí)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即.故選：A.1．（2023下·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，均為正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)恒成立轉(zhuǎn)化成求解函數(shù)的最小值，只需要滿足最小值大于等于0即可，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】又，均為正實(shí)數(shù)，所以在單增當(dāng)，，當(dāng)，∴，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，取最小值，又，得，所以∴即：，故選：C2．（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)存在最小值，則的取值范圍是．【答案】【分析】從，，及進(jìn)行分析求解.【詳解】注意到，當(dāng)時(shí)，，由于，，顯然，沒有最小值；當(dāng)時(shí)，且無限接近，為增函數(shù)，則，，，，此時(shí)沒有最小值；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，則，，，由于增長(zhǎng)變化速度遠(yuǎn)大于減少速度，此時(shí)，由于函數(shù)定義域?yàn)镽,函數(shù)連續(xù)不斷，所以存在最小值．故答案為：例9．（2023·陜西咸陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域；(2)若函數(shù)在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得函數(shù)在上的值域；（2）由，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合對(duì)進(jìn)行分類討論來求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，則，0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，又，所以在上的值域?yàn)?（2）函數(shù)在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，令，則問題等價(jià)于在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，易求，因?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上沒有零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，得，所以在上，在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，所以.因?yàn)?，令，所以在上，在上，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，在上僅有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，考查這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間：，則在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；，則在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.如果導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)，則需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論要做到不重不漏.例10．（2024上·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值．【答案】(1)在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；(2)【分析】（1）直接利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值．【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：．在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；（2）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，令，得，令時(shí)，得，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為．，知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)極值與最值得綜合應(yīng)用例11．（2024上·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求a的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得答案；（2）對(duì)求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，可得，再令，證得，即，可得出答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)?，則，則，，由于函數(shù)在點(diǎn)處切線方程為，即.（2）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，即則令，設(shè)，，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得：.例12．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，分類討論，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）等于函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差，由的單調(diào)性求，再利用導(dǎo)數(shù)通過單調(diào)性得取值范圍.【詳解】（1）由題意可知：的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）因?yàn)?，等于函?shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差，由（1）可知：當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，又，.故當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，即：.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，即.綜上所述：所以，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．例13．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）（1）求函數(shù)的最值．（2）求函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的最值．（3）已知a為常數(shù)，求函數(shù)的最大值．【答案】（1）最小值；最大值；（2）最大值為，無最小