第七章 隨機變量及其分布（單元知識清單）（人教A版2019選擇性必修第三冊）

選擇性必修三第七章隨機變量及其分布知識點清單一、本章思維導(dǎo)圖§7.1條件概率與全概率公式1.條件概率：設(shè),為兩個隨機事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.2.乘法公式：對任意兩個事件與，若，則.3.全概率公式：設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對任意的事件,有.4.對全概率公式的理解某一事件A的發(fā)生可能有各種的原因，如果A是由原因Bi(i＝1,2，…，n)所引起，則A發(fā)生的概率是P(ABi)＝P(Bi)P(A|Bi)，每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式.由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān)．5.*貝葉斯公式：6.方法技巧條件概率的求解策略1．定義法：計算利用求解；(2)直接法：利用求解。其中(2)常用于古典概型的概率計算問題.§7.2離散型隨機變量及其分布列隨機變量：對于隨機試驗樣本空間中的每個樣本點，都有唯一的實數(shù)與之對應(yīng)，我們稱為隨機變量，可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱為離散型隨機變量.隨機變量常用大寫英文字母表示，例.一般地，一個試驗如果滿足下列條件：①試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不只一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果;這種試驗就是一個隨機試驗，為了方便起見，也簡稱試驗.2.隨機變量與函數(shù)的關(guān)系:(1)相同點：樣本點(2)不相同點：樣本空間3.連續(xù)性隨機變量:連續(xù)型隨機變量是指可以取某一區(qū)間的一切值的隨機變量,又稱作連續(xù)型隨機變量.如：種子含水量的測量誤差4.隨機變量的分類①離散型隨機變量:X的取值可一、一列出；②連續(xù)型隨機變量:X可以取某個區(qū)間內(nèi)的一切值5.古典概型:①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。6.概率分布列：（1）定義：設(shè)離散型隨機變量可能取的不同值為，我們稱取每一個值的概率：，為的概率分布列，簡稱分布列.常用表格表示：…………（2）性質(zhì)：①②7.兩點分布：若的分布列如表所示01我們稱服從兩點分布或分布.§7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征1.離散型隨機變量的均值（1）定義：若離散型隨機變量的分布列如表所示…………則稱則稱為離散型隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡稱期望）.它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.（2）性質(zhì)：.2.離散型隨機變量的方差（1）定義：若離散型隨機變量的分布列為…………則稱為離散型隨機變量的方差，也記為，并稱為隨機變量的標(biāo)準差.記為.它反映了離散型隨機變量取值的離散程度.越小，取值越集中;越大，取值越分散.性質(zhì)：3.若X,Y是兩個隨機變量,且Y=aX+b,則有E(Y)=aE(X)+b,即隨機變量X的線性函數(shù)的均值等于這個隨機變量的均值E(X)的同一線性函數(shù).特別地:(1)當(dāng)a=0時,E(b)=b,即常數(shù)的均值就是這個常數(shù)本身.(2)當(dāng)a=1時,E(X+b)=E(X)+b,即隨機變量X與常數(shù)之和的均值等于X的均值與這個常數(shù)的和.(3)當(dāng)b=0時,E(aX)=aE(X),即常數(shù)與隨機變量乘積的均值等于這個常數(shù)與隨機變量的均值的乘積.4.求離散型隨機變量X的均值的步驟：(1)理解X的實際意義，寫出X全部可能取值；(2)求出X取每個值時的概率；(3)寫出X的分布列(有時也可省略)；(4)利用定義公式EX5.離散型隨機變量取值的方差一般地，若離散型隨機變量X的概率分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X).稱σ(X)=6.離散型隨機變量ξ的期望與方差的性質(zhì)名詞數(shù)學(xué)期望方差定義E(ξ)=ξ1p1+ξ2p2+…+ξnpnD(ξ)=[ξ1-E(ξ)]2p1+[ξ2-E(ξ)]2p2+…+[ξn-E(ξ)]2pn性質(zhì)(1)E(a)=a(a為常數(shù))(2)E(aξ)=aE(ξ)(a≠0)(3)E(aξ+b)=aE(ξ)+b(a,b為常數(shù),且a≠0)(1)D(a)=0(a為常數(shù))(2)D(aξ)=a2D(ξ)(a≠0)(3)D(aξ+b)=a2D(ξ)(a,b為常數(shù),且a≠0)數(shù)學(xué)意義E(ξ)是一個常數(shù),它反映了隨機變量取值的平均水平,亦稱均值D(ξ)是一個常數(shù),它反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度7.利用均值和方差的意義解決實際問題的步驟1.比較均值.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,因此,在實際決策問題中,需先計算均值,看一下誰的平均水平高.2.在均值相等或接近的情況下計算方差.方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差,分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定.3.下結(jié)論.依據(jù)均值和方差做出結(jié)論.§7.4二項分布與超幾何分布1.伯努利試驗在實際問題中，有許多隨機試驗與擲硬幣試驗具有相同的特征，它們只包含兩個可能結(jié)果.例如，檢驗一件產(chǎn)品結(jié)果為合格或不合格，飛碟射擊時中靶或脫靶，醫(yī)學(xué)檢驗結(jié)果為陽性或陰性等.我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗（Bernoullitrials).我們將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗。顯然，n重伯努利試驗具有如下共同特征：(1）同一個伯努利試驗重復(fù)做n次；（概率相同）(2)各次試驗的結(jié)果相互獨立.2.二項分布我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗，將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行次所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗，重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件發(fā)生的概率為，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布（binomialdistribution），記作X~B(n,p).一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為X01…k…np……3.一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np;D(X)=np(1-p).4.超幾何分布在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件（不放回）,用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù),則的分布列為,其中,,,.如果隨機變量的分布列具有上式形式,那么稱隨機變量服從超幾何分布.公式中個字母的含義N—總體中的個體總數(shù)；M—總體中的特殊個體總數(shù)(如次品總數(shù))n—樣本容量；k—樣本中的特殊個體數(shù)(如次品數(shù))求分布列時可以直接利用組合數(shù)的意義列式計算,不必機械記憶這個概率分布列.“任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用組合數(shù)列式.各對應(yīng)的概率和必須為1.5.超幾何分布的均值設(shè)隨機變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù)．令p＝eq\f(M,N)，則E(X）＝__np_．6.二項分布與超幾何分布區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：一般地,超幾何分布的模型是“取次品”是不放回抽樣,而二項分布的模型是“獨立重復(fù)試驗”對于抽樣,則是有放回抽樣.聯(lián)系：當(dāng)次品的數(shù)量充分大,且抽取的數(shù)量較小時,即便是不放回抽樣,也可視其為二項分布.7.方法技巧解決二項分布問題的兩個關(guān)注點

(1)對于公式必須在隨機變量服從二項分布時才能應(yīng)用,否則不能應(yīng)用.

(2)判斷一個隨機變量是否服從二項分布,關(guān)鍵有兩點:一是對立性,即一次試驗中,事件發(fā)生與否兩者必有其一;二是重復(fù)性,即試驗是獨立重復(fù)地進行了n次.

8.方法技巧解決超幾何分布問題的兩個關(guān)鍵點

(1)超幾何分布是概率分布的一種形式,一定要注意公式中字母的范圍及其意義,解決問題時可以直接利用公式求解,但不能機械地記憶.

(2)在超幾何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出隨機變量X取不同k值的概率P(X=k),從而求出X的分布列.

9.方法技巧求離散型隨機變量的均值與方差的步驟

§7.5正態(tài)分布1.正態(tài)分布定義：若連續(xù)性隨機變量的概率分布密度函數(shù)為，則稱隨機變量服從正態(tài)分布，記為記作它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.正態(tài)分布的定義對任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線,如上圖所示.若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機變量X服從正態(tài)分布(normaldis-tribution),記為X~N(u,σ2).特別地,當(dāng)u=0,σ=1時,稱隨機變量X服從標(biāo)準正態(tài)分布.若連續(xù)性隨機變量的概率分布密度函數(shù)為，當(dāng)時，稱隨機變量服從標(biāo)準正態(tài)分布.2.正態(tài)曲線的特點：曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；曲線在處達到峰值；當(dāng)無限增大時，曲線無限接近軸；當(dāng)較小時，峰值高，正態(tài)曲線瘦高，表示隨機變量的分布比較集中；當(dāng)較大時，峰值低，正態(tài)曲線矮胖；表示隨機變量的分布比較分散.曲線在x軸的上方，與x軸不相交.X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1.3.正態(tài)分布的期望、方差參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機變量的分布相對于均值μ的離散程度。若，則.（1）當(dāng)σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(2)當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.4.4.正態(tài)分布的3σ原則若，由此看到一次試驗中，的取值幾乎總是落在區(qū)間內(nèi)，在此區(qū)間外的概率大約只有0.0027，通常認為服從正態(tài)分布的隨機變量只取中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為原則.特別地，盡管正態(tài)變量的取值范圍是(?∞,+∞),但在一次試驗中,X的取值幾乎總落在區(qū)間[?3σ,+3σ]內(nèi),而在此區(qū)間外取值的概率大約只有0.0027,通常認為這種情況幾乎不可能發(fā)生.在實際應(yīng)用中,通常認為服從于正態(tài)分布(μ,σ2)的隨機變量X只取[?3σ,+3σ]中的值,這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3σ原則.①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.5.服從正態(tài)分布的隨機變量在某個區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.(2)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);(3)熟記P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.③若b<μ,則P(X<b)=1-P6.方法技巧正態(tài)分布的概率求法

(1)利用“3σ”原則,記住正態(tài)總體在三個區(qū)間內(nèi)取值的概率.

(2)利用數(shù)形結(jié)合.由于正態(tài)分布密度曲線具有對稱性,因此常結(jié)合圖象,利用對稱性,解決某一區(qū)間內(nèi)的概率.

條件概率及全概率考法一、條件概率1.一個盒子中裝有個完全相同的小球，將它們進行編號，號碼分別為、、、、、，從中不放回地隨機抽取個小球，將其編號之和記為.在已知為偶數(shù)的情況下，能被整除的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】記“能被整除”為事件，“為偶數(shù)”為事件，事件包括的基本事件有，，，，，共6個.事件包括的基本事件有、共2個.則，故選:B.考法一、條件概率2.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加假期社區(qū)服務(wù)活動，社區(qū)服務(wù)活動共有關(guān)懷老人、環(huán)境監(jiān)測、教育咨詢這三個項目，每人限報其中一項，記事件為“恰有2名同學(xué)所報項目相同”，事件為“只有甲同學(xué)一人報關(guān)懷老人項目”，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】事件AB為“4名同學(xué)所報項目恰有2名同學(xué)所報項目相同且只有甲同學(xué)一人報關(guān)懷老人項目”.,所以，故選：A考法二、全概率公式3.設(shè)患肺結(jié)核病的患者通過胸透被診斷出的概率為0.95，而未患肺結(jié)核病的人通過胸透被誤診為有病的概率為0.002，已知某城市居民患肺結(jié)核的概率為0.1%.若從該城市居民中隨機地選出一人，通過胸透被診斷為肺結(jié)核，求這個人確實患有肺結(jié)核的概率.【答案】【解析】設(shè)表示“被診斷為肺結(jié)核”，表示“患有肺結(jié)核”.由題意得，，.由貝葉斯公式知，.考法二、全概率公式4.根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有如下的效果：若以表示事件“試驗反應(yīng)為陽性”，以表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有，.現(xiàn)在對自然人群進行普查，設(shè)被試驗的人患有癌癥的概率為0.005，即，試求.【答案】【解析】因為，所以，因為，所以，所以由全概率公式可得，因為所以.離散型隨機變量及分布列考法一、隨機變量及離散型隨機變量5.先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子5次,那么不能作為隨機變量的是()A．出現(xiàn)7點的次數(shù) B．出現(xiàn)偶數(shù)點的次數(shù)C．出現(xiàn)2點的次數(shù) D．出現(xiàn)的點數(shù)大于2小于6的次數(shù)【答案】A【解析】拋擲一枚骰子不可能出現(xiàn)點，出現(xiàn)點為不可能事件出現(xiàn)點的次數(shù)不能作為隨機變量本題正確選項：考法一、隨機變量及離散型隨機變量6.甲、乙兩人下象棋，贏了得分，平局得分，輸了得分，共下三局.用表示甲的得分，則表示（）A．甲贏三局B．甲贏一局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次【答案】D【解析】甲、乙兩人下象棋，贏了得分，平局得分，輸了得分，故有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次，故選：D.考法二、分布列7.若隨機變量X的分布列如下所示X－1012P0.2ab0.3且E(X)＝0.8，則a、b的值分別是（）A．0.4，0.1 B．0.1，0.4C．0.3，0.2 D．0.2，0.3【答案】B【解析】由隨機變量X的分布列得：，所以，又因為，解得，所以，故選：B考法二、分布列8.已知隨機變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))：X01234P0.10.20.40.2a則下列計算結(jié)果正確的有（）A．a(chǎn)＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3【答案】ABD【解析】因為，解得，故A正確；由分布列知,，，故BD正確，C錯誤.故選：ABD考法三、兩點分布9.設(shè)隨機變量服從兩點分布，若，則成功概率（）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】C【解析】隨機變量服從兩點分布，，根據(jù)兩點分布概率性質(zhì)可知：，解得，故選：C.考法三、兩點分布10.已知離散型隨機變量的分布列服從兩點分布，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為的分布列服從兩點分布，所以，因為，所以故選：C.離散型隨機變量的數(shù)字特征考點一、分布列均值與方差11.隨機變量X的分布列如表所示，若，則（）X01PabA．9 B．7 C．5 D．3【答案】C【解析】，由隨機變量的分布列得：，解得，，．．故選：．已知X的分布列為：X－101Pa考點一、分布列均值與方差12.設(shè)，則Y的數(shù)學(xué)期望的值是（）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由題意，根據(jù)分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以隨機變量的期望為，又由，所以隨機變量的期望為，故選：B.考法二、實際應(yīng)用中的分布列與均值13.為迎接年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標(biāo)準是：滑雪時間不超過小時免費，超過小時的部分每小時收費標(biāo)準為元（不足1小時的部分按小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過小時離開的概率分別為、；小時以上且不超過小時離開的概率分別為、；兩人滑雪時間都不會超過小時.（1）求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望，方差.【答案】（1）；（2）分布列見解析，，.【解析】（1）兩人所付費用相同，相同的費用可能為、、元，兩人都付元的概率為，兩人都付元的概率為，兩人都付元的概率為.則兩人所付費用相同的概率為；（2）設(shè)甲、乙所付費用之和為，可能取值為、、、、，則，，，，.所以，隨機變量的分布列為..考法二、實際應(yīng)用中的分布列與均值14.年初，習(xí)近平在《告臺灣同胞書》發(fā)表周年紀念會上的講話中說道：“我們要積極推進兩岸經(jīng)濟合作制度化打造兩岸共同市場，為發(fā)展增動力，為合作添活力，壯大中華民族經(jīng)濟兩岸要應(yīng)通盡通，提升經(jīng)貿(mào)合作暢通、基礎(chǔ)設(shè)施聯(lián)通、能源資源互通、行業(yè)標(biāo)準共通，可以率先實現(xiàn)金門、馬祖同福建沿海地區(qū)通水、通電、通氣、通橋.要推動兩岸文化教育、醫(yī)療衛(wèi)生合作，社會保障和公共資源共享，支持兩岸鄰近或條件相當(dāng)?shù)貐^(qū)基本公共服務(wù)均等化、普惠化、便捷化”某外貿(mào)企業(yè)積極響應(yīng)習(xí)主席的號召，在春節(jié)前夕特地從臺灣進口優(yōu)質(zhì)大米向國內(nèi)家大型農(nóng)貿(mào)市場提供貨源，據(jù)統(tǒng)計，每家大型農(nóng)貿(mào)市場的年平均銷售量單位：噸，以、、、、、、分組的頻率分布直方圖如圖.（1）求直方圖中的值；（2）在年平均銷售量為、、、的四組大型農(nóng)貿(mào)市場中，用分層抽樣的方法抽取家大型農(nóng)貿(mào)市場，求年平均銷售量在、、的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)各抽取多少家？（3）在（2）的條件下，再從、、這三組中抽取的農(nóng)貿(mào)市場中隨機抽取家參加國臺辦的宣傳交流活動，記恰有家在組，求隨機變量的分布列與期望和方差.【答案】（1）；（2）年平均銷售量在、、的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)各抽取、、家；（3）分布列見解析，，.【解析】（1）由頻率和為，即，解得；（2）年平均銷售量在的農(nóng)貿(mào)市場有（家），同理可求年平均銷售量、、的農(nóng)貿(mào)市場有、、家，所以抽取比例為，從年平均銷售量在的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)抽?。遥?，從年平均銷售量在的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)抽?。遥哪昶骄N售量在的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)抽?。遥茨昶骄N售量在、、的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)各抽取、、家；（3）由（2）知，從、、的大型農(nóng)貿(mào)市場中各抽取家、家、家，所以隨機變量的可能取值分別為、、、，則，，，，的分布列如下表所示：數(shù)學(xué)期望為，方差為.考法三、均值方差做決策15.甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ與η，且ξ，η的分布列為：ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3（1）求a，b的值；（2）計算ξ，η的期望與方差，并以此分析甲、乙技術(shù)狀況．【答案】（1）a＝0.3；b＝0.4；（2）2.3；2；0.81；0.6；甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢與劣勢．【解析】(1)由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(ξ)＞E(η)，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢與劣勢．考法三均值方差做決策16.甲?乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無底薪，40單以內(nèi)(含40單)的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205若將頻率視為概率，回答下列兩個問題：（1）記乙公司送餐員日工資為(單位：元)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）小王打算到甲?乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為小王作出選擇，并說明理由.【答案】（1）詳見解析；（2）推薦小王去乙公司應(yīng)聘，理由見解析.【解析】（1）設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，故的所有可能取值為、、、、，故的分布列為：228234240247254故.（2）甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)為：，則甲公司送餐員日平均工資為元，因為乙公司送餐員日平均工資為元，，所以推薦小王去乙公司應(yīng)聘.二項分布與超幾何分布考法一、二項分布17.若隨機變量，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】因為，所以，所以.故選：D.考法一、二項分布18.已知隨機變量，若使的值最大，則k等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】BC【解析】令，得，即當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以和的值最大.故選：BC.考點二、超幾何分布19.現(xiàn)對某高校16名籃球運動員在多次訓(xùn)練比賽中的得分進行統(tǒng)計，將每位運動員的平均成績所得數(shù)據(jù)用頻率分布直方圖表示如下．(如：落在區(qū)間[10，15)內(nèi)的頻率/組距為0.0125)規(guī)定分數(shù)在[10，20)，[20，30)，[30，40)上的運動員分別為三級籃球運動員、二級籃球運動員、一級籃球運動員，現(xiàn)從這批籃球運動員中利用分層抽樣的方法選出16名運動員作為該高校的籃球運動員代表．（1）求a的值和選出籃球運動員代表中一級運動員的人數(shù)；（2）若從籃球運動員代表中選出三人，求其中含有一級運動員人數(shù)X的分布列；（3）若從該?；@球運動員中有放回地選三人，求其中含有一級運動員人數(shù)Y的期望．【答案】（1）a＝0.0250，4人；（2）答案見解析；（3）.【解析】（1）由頻率分布直方圖知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a＋2×0.0125)×5＝1，∴a＝0.0250.其中為一級運動員的概率為(0.0125＋0.0375)×5＝0.25，∴選出籃球運動員代表中一級運動員為0.25×16＝4人．（2）由已知可得X的可能取值分別為0，1，2，3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，∴X的分布列為X0123P（3）由已知得Y～B，∴E(Y)＝np＝3×＝，∴含有一級運動員人數(shù)Y的期望為.考點二、超幾何分布20.某校五四青年藝術(shù)節(jié)選拔主持人，現(xiàn)有來自高一年級參賽選手4名，其中男生2名;高二年級參賽選手4名，其中男生3名.從這8名參賽選手中隨機選擇4人組成搭檔參賽.（Ⅰ）設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名男生，且這2名男生來自同一個年級”，求事件A發(fā)生的概率;（Ⅱ）設(shè)X為選出的4人中男生的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望【解析】（Ⅰ）由已知有，所以事件A發(fā)生的概率為.（Ⅱ）隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，4，所以隨機變量X的分布列為XP所以隨機變量X的數(shù)學(xué)期望.考點三、二項分布與超幾何分布綜合運用21.2020年五一期間，銀泰百貨舉辦了一次有獎促銷活動，消費每超過600元(含600元)，均可抽獎一次，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個形狀?大小完全相同的小球(其中紅球2個，白球1個，黑球7個)的抽獎盒中，一次性摸出3個球其中獎規(guī)則為：若摸到2個紅球和1個白球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個紅球和1個黑球則打5折；若摸出1個白球2個黑球，則打7折；其余情況不打折.方案二：從裝有10個形狀?大小完全相同的小球(其中紅球3個，黑球7個)的抽獎盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.（1）若兩個顧客均分別消費了600元，且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客消費恰好滿1000元，試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？【答案】（1）；（2）選擇第二種方案更合算.【解析】（1）選擇方案一若享受到免單優(yōu)惠，則需要摸出三個紅球，設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件，則，所以兩位顧客均享受到免單的概率為；（2）若選擇方案一，設(shè)付款金額為元，則可能的取值為、、、.，，，.故的分布列為，所以（元）.若選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個數(shù)為，付款金額為，則，由已知可得，故，所以（元）.因為，所以該顧客選擇第二種抽獎方案更合算.考點三、二項分布與超幾何分布綜合運用22.甲、乙去某公司應(yīng)聘面試.該公司的面試方案為:應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照答對題目的個數(shù)為標(biāo)準進行篩選.已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響.(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列，并計算其數(shù)學(xué)期望;(2)請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性較大?【答案】(1)甲、乙的分布列見解析；甲的數(shù)學(xué)期望2、乙的數(shù)學(xué)期望2；(2)甲通過面試的概率較大．【解析】（1）設(shè)為甲正確完成面試題的數(shù)量，為乙正確完成面試題的數(shù)量，依題意可得：，∴，，，∴X的分布列為：X123P∴．，∴，，，，∴Y的分布列為：Y0123P∴．（2），，∵，∴甲發(fā)揮的穩(wěn)定性更強，則甲通過面試的概率較大．正態(tài)分布考點一、正態(tài)分布的特征23.某校一次高三年級數(shù)學(xué)檢測，經(jīng)抽樣分析，成績占近似服從正態(tài)分布，且．若該校有700人參加此次檢測，估計該校此次檢測數(shù)學(xué)成績不低于99分的人數(shù)為（）A．100 B．125 C．150 D．175【答案】D【解析】由題意，成績近似服從正態(tài)分布，則正態(tài)分布曲線的對稱軸為，又由，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，所以該市某校有700人中，估計該校數(shù)學(xué)成績不低于99分的人數(shù)為人，故選：D.考點一、正態(tài)分布的特征24.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布，則（）A．0.26 B．0.24 C．0.48 D．0.52【答案】B【解析】因為隨機變量服從正態(tài)分布，且，則，即正態(tài)分布曲線的對稱軸為，正態(tài)分布的密度曲線的示意圖如下，所以，并且，則.故選：B.考點二、正態(tài)分布的實際應(yīng)用25.2020年新冠疫情以來，醫(yī)用口罩成為防疫的必需品.根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗標(biāo)準，過濾率是生產(chǎn)醫(yī)用口罩的重要參考標(biāo)準，對于直徑小于5微米的顆粒的過濾率必須大于90%.為了監(jiān)控某條醫(yī)用口罩生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取10個醫(yī)用口置，檢測其過濾率，依據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率服從正態(tài)分布.假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，生產(chǎn)出的每個口罩彼此獨立.記表示一天內(nèi)抽取10個口罩中過濾率小于或等于的數(shù)量.（1）求的概率；（2）求的數(shù)學(xué)期望；（3）一天內(nèi)抽檢的口罩中，如果出現(xiàn)了過濾率小于的口罩，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程中可能出現(xiàn)了異常情況，需要對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查維修，試問這種監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理嗎？附：若隨機變量，則，，，.【答案】（1）；（2）；（3）這種監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理.【解析】（1）抽取口罩中過濾率在內(nèi)的概率，所以，所以，故（2）由題意可知，所以.（3）如果按照正常狀態(tài)生產(chǎn)，由（1）中計算可知，一只口罩過濾率小于或等于的概率，一天內(nèi)抽取的10只口覃中，出現(xiàn)過濾率小于或等于的概率，發(fā)生的概率非常小，屬于小概率事件.所以一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程中可能出現(xiàn)了異常情況，需要對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查維修.可見這種監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理.考點二、正態(tài)分布的實際應(yīng)用26.現(xiàn)有甲、乙兩個規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場，均養(yǎng)有1萬頭豬．根據(jù)豬的體重，將其分為三個成長階段，如下表：階段幼年期成長期成年期體重根據(jù)以往經(jīng)驗，兩個養(yǎng)豬場內(nèi)豬的體重均近似服從正態(tài)分布．由于我國有關(guān)部門加強對大型養(yǎng)豬場即將投放市場的成年期的豬的監(jiān)控力度，高度重視其質(zhì)量保證，為了養(yǎng)出健康的成年期的豬，甲、乙兩個養(yǎng)豬場引入兩種不同的防控及養(yǎng)殖模式．已知甲，乙兩個養(yǎng)豬場內(nèi)一頭成年期的豬能通過質(zhì)檢合格的概率分別為．（1）試估算各養(yǎng)豬場三個階段的豬的數(shù)量；（2）已知甲養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利400元，若為不合格的豬，則虧損200元；乙養(yǎng)豬場出售--頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利500元，若為不合格的豬，則虧損100元記為甲，乙養(yǎng)豬場各出售一頭成年期的豬所得的總利潤，求隨機變量的分布列，假設(shè)兩個養(yǎng)豬場均能把成年期的豬售完，求兩個養(yǎng)豬場的總利潤的期望值．（參考數(shù)據(jù)：若，則）【答案】（1）幼年期的豬215頭，成長期的豬9540頭，成年期的豬215頭；（2）135450元.【解析】（1）設(shè)各階段豬的數(shù)量分別為，∵豬的體重近似服從正態(tài)分布，，（頭）；（頭）；，（頭）∴甲、乙兩個養(yǎng)豬場各有幼年期的豬215頭，成長期的豬9540頭，成年期的豬215頭．（2）隨機變量的所有可能取值為900，300，．，的分布列為900300（元），由于兩個養(yǎng)豬場均有215頭成年期的豬，且兩個養(yǎng)豬場各出售一頭成年期的豬所得的總利潤的期望為630元，則總利潤的期望為（元）．考點三、正態(tài)分布與其他知識的綜合運用27.某學(xué)校工會積極組織學(xué)校教職工參與“日行萬步”健身活動，規(guī)定每日行走不足8千步的人為“不健康生活方式者”，不少于14千步的人為“超健康生活方式者”，其他為“一般健康生活方式者”.某日，學(xué)校工會隨機抽取了該校300名教職工的“日行萬步”健身活動數(shù)據(jù)，統(tǒng)計出他們的日行步數(shù)(單位：千步，且均在內(nèi))，按步數(shù)分組，得到頻率分布直方圖如圖所示.（1）求被抽取的300名教職工日行步數(shù)的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點值為代表，結(jié)果四舍五入保留整數(shù)).（2）由直方圖可以認為該校教職工的日行步數(shù)服從正態(tài)分布，其中，為（1）中求得的平均數(shù)標(biāo)準差的近似值為2，求該校被抽取的300名教職工中日行步數(shù)的人數(shù)(結(jié)果四舍五入保留整數(shù)).（3）用樣本估計總體，將頻率視為概率.若工會從該校教職工中隨機抽取2人作為“日行萬步”活動的慰問獎勵對象，規(guī)定：“不健康生活方式者”給予精神鼓勵，獎勵金額每人0元；“一般健康生活方式者”獎勵金額每人100元；“超健康生活方式者”獎勵金額每人200元，求工會慰問獎勵金額X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.【答案】（1）；（2）；（3）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【解析】（1）依題意得.（2）因為，所以，所以走路步數(shù)的總?cè)藬?shù)為.（3）由頻率分布直方圖知每人獲得獎勵為0元的概率為0.02，獎勵金額為100元的概率為0.88，獎勵金額為200元的概率為0.1.由題意知X的可能取值為0，100，200，300，400.；；；；.所以X的分布列為X0100200300400P0.00040.03520.77840.1760.01.考點三、正態(tài)分布與其他知識的綜合運用28.國家發(fā)改委、城鄉(xiāng)住房建設(shè)部于2017年聯(lián)合發(fā)布了《城市生活垃圾分類制度實施方案》，規(guī)定某46個大中城市在2020年底實施生活垃圾強制分類，并且垃圾回收、利用率要達標(biāo)．某市在實施垃圾分類的過程中，從本市人口數(shù)量在兩萬人左右的類社區(qū)（全市共320個）中隨機抽取了50個進行調(diào)查，統(tǒng)計這50個社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸），得到如下頻數(shù)分布表，并將這一天垃圾數(shù)量超過28噸的社區(qū)定為“超標(biāo)”社區(qū)．垃圾量頻數(shù)56912864（1）估計該市類社區(qū)這一天垃圾量的平均值；（2）若該市類社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布，其中近似為50個樣本社區(qū)的平均值（精確到0.1噸），估計該市類社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個數(shù)；（3）根據(jù)原始樣本數(shù)據(jù)，在抽取的50個社區(qū)中，這一天共有8個“超標(biāo)”社區(qū)，市政府決定從這8個“超標(biāo)”社區(qū)中任選5個跟蹤調(diào)查其垃圾來源．設(shè)這一天垃圾量不小于30.5噸的社區(qū)個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若服從正態(tài)分布，則；；．【答案】（1）22.76噸；（2）51個；（3）分布列見解析，.【解析】（1）樣本數(shù)據(jù)各組的中點值分別為14，17，20，23，26，29，32，則.估計該市類社區(qū)這一天垃圾量的平均值約為22.76噸.（2）據(jù)題意，，，即，則.因為，估計該市類社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)約51個.（3）由頻數(shù)分布表知，8個社區(qū)中這一天的垃圾量不小于30.5噸的“超標(biāo)”社區(qū)有4個，則垃圾量在內(nèi)的“超標(biāo)”社區(qū)也有4個，則的可能取值為1，2，3，4.，，，.則的分布列為：1234所以.易混易錯練易錯點1不能正確列出隨機變量的可能取值致誤甲、乙兩隊在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題,比賽規(guī)定:對于每一個題,沒有搶到題的隊伍得0分,搶到題并回答正確的得1分,搶到題但回答錯誤的扣1分(即得-1分),若每個搶答題都有隊伍搶答,X是甲隊在該輪比賽獲勝時的得分(分數(shù)高者勝),則X的可能取值是.

1.答案-1,0,1,2,3解析X=-1表示:甲隊搶到1題且答錯,乙隊搶到兩題均答錯.X=0表示:甲隊沒有搶到題,乙隊搶到3題且至少答錯其中的2題;甲隊搶到2題且答對1題答錯1題,乙隊搶到1題且答錯.X=1表示:甲隊搶到1題且答對,乙隊搶到2題且至少答錯其中的1題;甲隊搶到3題且答對其中的2題,乙隊沒有搶到題.X=2表示:甲隊搶到2題均答對.X=3表示:甲隊搶到3題均答對.2.在學(xué)校組織的足球比賽中,某班要與其他4個班級各賽一場,在這四場比賽的任意一場中,此班級勝、負、平的概率都相等.已知這四場比賽結(jié)束后,該班勝場多于負場.(1)求該班勝場多于負場的所有可能情況的種數(shù);(2)若勝場次數(shù)為X,求X的分布列.2.解析(1)若勝一場,則其余為平,共有C41=4種情況;若勝兩場,則其余兩場為一負一平或兩平,共有C42C21+C42=18種情況;若勝三場,則其余一場為負或平,共有C43×2=8種情況;若勝四場(2)X的可能取值為1,2,3,4,P(X=1)=431,P(X=2)=18P(X=3)=831,P(X=4)=1所以X的分布列為X1234P41881易錯點2對條件概率問題理解不清,不能正確應(yīng)用公式致誤3.連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,在已知兩次的點數(shù)均為偶數(shù)的條件下,兩次的點數(shù)之和不大于8的概率為()A.13 B.49 C.53.D記事件A為“兩次的點數(shù)均為偶數(shù)”,B為“兩次的點數(shù)之和不大于8”,則n(A)=3×3=9,n(AB)=6,所以P(B|A)=n(AB)n(A)4.甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍,比賽為三局兩勝制,甲在每局比賽中獲勝的概率均為34,且各局比賽結(jié)果相互獨立,則在甲獲得冠軍的情況下,比賽進行了三局的概率為(A.13 B.25 C.24.A記事件A:甲獲得冠軍,事件B:比賽進行了三局,事件AB:甲獲得冠軍,且比賽進行了三局,即第三局甲勝,前二局甲勝了一局,則P(AB)=C21×34×14×對于事件A,甲獲得冠軍包含兩種情況:前兩局甲勝和事件AB,∴P(A)=342+932∴P(B|A)=P(AB)P(A)易錯點3不能正確區(qū)分超幾何分布和二項分布5.每年的12月4日為我國的“法制宣傳日”.天津市某高中團委在2019年12月4日開展了以“學(xué)法、遵法、守法”為主題的學(xué)習(xí)活動.已知該學(xué)校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)分別是480、360、360.為檢查該學(xué)校組織學(xué)生學(xué)習(xí)的效果,現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法從該校全體學(xué)生中選取10名學(xué)生進行問卷測試.具體要求:每名被選中的學(xué)生要從10個有關(guān)法律、法規(guī)的問題中隨機抽出4個問題進行回答,所抽取的4個問題全部答對的學(xué)生將給予表彰.(1)求各個年級應(yīng)選取的學(xué)生人數(shù);(2)若從被選取的10名學(xué)生中任選3名學(xué)生,求這3名學(xué)生分別來自三個年級的概率;(3)若被選取的10人中的某學(xué)生能答對10道題中的7道題,記X表示該名學(xué)生答對問題的道數(shù),求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.5.解析(1)由題意,知高一、高二、高三年級的人數(shù)之比為4∶3∶3,由于采用分層隨機抽樣的方法從中選取10名學(xué)生,因此,高一年級應(yīng)選取4名學(xué)生,高二年級應(yīng)選取3名學(xué)生,高三年級應(yīng)選取3名學(xué)生.(2)由(1)知,被選取的10名學(xué)生中,高一、高二、高三年級分別有4名、3名、3名學(xué)生,所以從這10名學(xué)生中任選3名,這3名學(xué)生分別來自三個年級的概率為C41C(3)由題意知,隨機變量X的可能取值為1,2,3,4,且X服從超幾何分布,P(X=k)=C7所以隨機變量X的分布列為X1234P1311所以E(X)=1×130+2×310+3×12+4×1易錯點4對正態(tài)曲線的性質(zhì)理解不準確致錯6.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,4),則E(2X+1)與D(2X+1)的值分別為()A.13,4 B.13,8 C.7,8 D.7,166.D由已知得E(X)=3,D(X)=4,故E(2X+1)=2E(X)+1=7,D(2X+1)=4D(X)=16.7.某市一次高三年級數(shù)學(xué)統(tǒng)測,經(jīng)抽樣分析,成績X近似服從正態(tài)分布N(84,σ2),且P(78<X≤84)=0.3.該市某校有400人參加此次統(tǒng)測,估計該校數(shù)學(xué)成績不低于90分的人數(shù)為.

7.答案80解析因為X近似服從正態(tài)分布N(84,σ2),且P(78<X≤84)=0.3,所以P(X≥90)=1-2×0.32所以估計該校數(shù)學(xué)成績不低于90分的人數(shù)為400×0.2=80.思想方法練一、函數(shù)與方程思想在離散型隨機變量中的應(yīng)用1.(隨機變量Y服從二項分布B(n,p),且E(Y)=3.6,D(Y)=2.16,則此二項分布是()A.Y~B(4,0.9) B.Y~B(9,0.4)C.Y~B(18,0.2) D.Y~B(36,0.1)1.B∵隨機變量Y服從二項分布B(n,p),且E(Y)=3.6,D(Y)=2.16,∴np②除以①得1-p=0.6,即p=0.4,代入①解得n=9,∴此二項分布是Y~B(9,0.4),故選B.2.垃圾分類是指按一定規(guī)定或標(biāo)準將垃圾分類儲存、分類投放和分類搬運,從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動的總稱.分類的目的是提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟價值,力爭物盡其用.2019年6月25日,生活垃圾分類制度入法,到2020年底,先行先試的46個重點城市要基本建成垃圾分類處理系統(tǒng);其他地級城市實現(xiàn)公共機構(gòu)生活垃圾分類全覆蓋.某機構(gòu)欲組建一個有關(guān)“垃圾分類”相關(guān)事宜的項目組,對各個地區(qū)“垃圾分類”的處理模式進行相關(guān)報道.該機構(gòu)從600名員工中進行篩選,篩選方法:每位員工測試A,B,C三項工作,3項測試中至少有2項測試“不合格”的員工將被認定為“暫定”,有且只有一項測試“不合格”的員工將再測試A,B兩項,如果這兩項中有1項以上(含1項)測試“不合格”,也將被認定為“暫定”,每位員工測試A,B,C三項工作相互獨立,每一項測試“不合格”的概率均為p(0<p<1).(1)記某位員工被認定為“暫定”的概率為f(p),求f(p);(2)每位員工不需要重新測試的費用為90元,需要重新測試的總費用為150元,除測試費用外,其他費用總計為1萬元,若該機構(gòu)的預(yù)算為8萬元,且該600名員工全部參與測試,問上述方案是否會超過預(yù)算