第06講 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式【秋季講義】（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）（原卷版）

第06講直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式【人教A版2019】·模塊一兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)·模塊二距離公式·模塊三點(diǎn)、線間的對(duì)稱關(guān)系·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1．兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(1)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；若方程組有無窮多解，則兩條直線重合.(2)兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系設(shè)兩直線,直線.方程組的解一組無數(shù)組無解直線l1和l2的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1和l2的位置關(guān)系相交重合平行【考點(diǎn)1直線的交點(diǎn)坐標(biāo)問題】【例1.1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線x+2y-4=0與直線2x-y+2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【例1.2】（2023秋·高二單元測(cè)試）若直線y=x+2k+1與直線y=-12x+2的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)kA．-52,12 B．-2【變式1.1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若三條直線2x+y-4=0，x-y+1=0與ax-y+2=0共有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【變式1.2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若三條直線l1:4x+y=3,l2:mx+y=0,A．2個(gè) B．3個(gè)C．4個(gè) D．6個(gè)【考點(diǎn)2直線交點(diǎn)系方程及應(yīng)用】【例2.1】（2023春·海南?？凇じ咭恍？计谀┻^兩直線l1:x-3y+4=0和l2A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【例2.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）經(jīng)過兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交點(diǎn)，并且垂直于直線3x＋4y－7＝0的直線方程為()A．4x－3y＋9＝0 B．4x＋3y＋9＝0C．3x－4y＋9＝0 D．3x＋4y＋9＝0【變式2.1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過直線3x-2y+3=0與x+y-4=0的交點(diǎn)，與直線2x+y-1=0平行的直線方程為（

）A．2x+y-5=0 B．2x-y+1=0C．x+2y-7=0 D．x-2y+5=0【變式2.2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過直線3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為（

）A．x+y+1=0 B．x-y+1=0C．x+y+1=0或3x+4y=0 D．x-y+1=0或x+y+1=0模塊二模塊二距離公式1．兩點(diǎn)間的距離公式平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式為.

特別地，原點(diǎn)O到任意一點(diǎn)P(x,y)的距離為|OP|=.2．點(diǎn)到直線的距離公式(1)定義：點(diǎn)P到直線l的距離，就是從點(diǎn)P到直線l的垂線段PQ的長(zhǎng)度，其中Q是垂足.實(shí)質(zhì)上，點(diǎn)到直線的距離是直線上的點(diǎn)與直線外該點(diǎn)的連線的最短距離.

(2)公式：已知一個(gè)定點(diǎn)，一條直線為l:Ax+By+C=0，則定點(diǎn)P到直線l的距離為d=.3．兩條平行直線間的距離公式(1)定義

兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長(zhǎng).

(2)公式

設(shè)有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.4．中點(diǎn)坐標(biāo)公式公式：設(shè)平面上兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則.【考點(diǎn)3點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用】【例3.1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l的傾斜角為60°，在y軸上的截距與另一條直線x+2y+3=0在x軸上的截距相同，則點(diǎn)P(3,2)到直線lA．2 B．52 C．1 D．【例3.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過兩直線l1：3x﹣y+12＝0，l2：3x+2y﹣6＝0的交點(diǎn)，且與直線x﹣2y﹣3＝0垂直，則坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為（

）A．255 B．2 C．55【變式3.1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：mx+ny=0mn>0，點(diǎn)A1,2，則點(diǎn)A到直線l的距離的取值范圍為（A．0,2 B．1,5 C．1,2 D．【變式3.2】（2023春·遼寧本溪·高二?？茧A段練習(xí)）已知a>0，直線l1:x+ay=2a+4與y軸的交點(diǎn)為A，l2:2x+ay=2a+8與x軸的交點(diǎn)為B，l1與l2的交點(diǎn)為C.當(dāng)四邊形OACB的面積取最小值時(shí)，點(diǎn)A．23 B．223 C．2【考點(diǎn)4兩條平行直線間的距離公式的應(yīng)用】【例4.1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線-3x+4y-3=0與直線6x+my-14=0平行，則它們之間的距離是（

）A．1 B．2 C．12 D．【例4.2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線-2x+4y+2=0與x-2y-c=0的距離為25，則c的值為（

A．9 B．11或-9 C．-9 D．9或-11【變式4.1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩條直線l1:λ+2x+1-λy+2λ-5=0，l2A．3 B．4 C．5 D．6【變式4.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，某菱形的一組對(duì)邊所在的直線方程分別為x+2y+1=0和x+2y+3=0，另一組對(duì)邊所在的直線方程分別為3xA．23 B．25 C．2 D【考點(diǎn)5與距離有關(guān)的最值問題】【例5.1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）點(diǎn)M2,1到直線l:2λ+1x+A．355 B．5 C．3 D【例5.2】（2023秋·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）若P，Q分別為直線3x+4y-12=0與直線6x+8y+1=0上任意一點(diǎn)，則PQ的最小值為（）A．32 B．135 C．2310【變式5.1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a>0,b<0，則3b-aa2A．[-2,-1) B．(-2,-1)C．(-2.-1] D．[-2,-1]【變式5.2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知0≤x≤1,0≤y≤1，則x2+yA．2 B．22 C．2+2 D模塊三模塊三點(diǎn)、線間的對(duì)稱關(guān)系1．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱2．直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱3．兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱(4)幾種特殊位置的對(duì)稱：點(diǎn)對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)P(a,b)x軸(a,-b)y軸(-a,b)y=x(b,a)y=-x(-b,-a)x=m(m≠0)(2m-a,b)y=n(n≠0)(a,2n-b)4．直線關(guān)于直線的對(duì)稱【考點(diǎn)6點(diǎn)、線間的對(duì)稱問題】【例6.1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若直線l1:y=k(x-4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，則直線lA．(0,4) B．(0,2)C．(-2,4) D．(4,-2)【例6.2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）點(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線l:x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）A．(-1,-3) B．(-1,-4) C．(4,1) D．(2,3)【變式6.1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線l:x+2y-1=0關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱的直線l'的方程為（

A．2x-y-5=0 B．x+2y-3=0 C．x+2y+3=0 D．2x-y-1=0【變式6.2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為B-1,0，若將軍從山腳下的點(diǎn)O0,0處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=3，則“將軍飲馬”的最短總路程是（A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)7直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題】【例7.1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線：l1:y=ax+3與l2關(guān)于直線y=x對(duì)稱，l2與l3A．-12 B．12 C．-2【例7.2】（2022秋·四川達(dá)州·高二?？茧A段練習(xí)）一條光線沿直線2x-y+1=0入射到直線x+y-5=0后反射，則反射光線所在的直線方程為（

）A．4x+y-9=0 B．x-2y+6=0C．x-y+3=0 D．x+4y-9=0【變式7.1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若兩條平行直線l1：x-2y+m=0m>0與l2：2x+ny-6=0之間的距離是25，則直線l1A．x-2y-13=0 B．x-2y+2=0C．x-2y+4=0 D．x-2y-6=0【變式7.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A0,3、B-1,0、C1,0，O為原點(diǎn)，從O點(diǎn)出發(fā)的光線先經(jīng)AC上的點(diǎn)P1反射到邊AB上，再由AB上的點(diǎn)P2反射回到BC邊上的點(diǎn)A．32,23 B．33,33模塊四模塊四課后作業(yè)1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）過兩直線l1:x-3y+4=0和A．19x-9y=0 B．9x+19y=0C．19x-3y=0 D．3x+19y=02．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線l:y=kx-3與直線2x+3y-6=0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線lA．π6,πC．π3,π3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）以A5,5,B1,4,C4,1A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰非等邊三角形 D．等腰直角三角形4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若三條直線l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,A．a(chǎn)=1或a=-2 B．a(chǎn)≠±1C．a(chǎn)≠1且a≠-2 D．a(chǎn)≠±1且a≠-25．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知直線l:kx+y+2-k=0過定點(diǎn)M，點(diǎn)Px,y在直線2x-y+1=0上，則MP的最小值是（

A．5 B．5 C．355 D6．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若傾斜角為45°的直線m被直線l1:x+y-1=0與l2:x+y-3=0所截得的線段為AB，則A．1 B．2 C．3 D．27．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知直線n:5x+y+2=0，點(diǎn)A1,0關(guān)于直線x+y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為B，直線m經(jīng)過點(diǎn)B，且m//n，則直線mA．5x+y+19=0 B．x-5y-17=0C．5x+y-5=0 D．5x+y+10=08．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為B(-2,0)，若將軍從山腳下的點(diǎn)A(1,0)處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為x+y=3，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．27 B．5 C．15 D．299．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三校考階段練習(xí)）已知A-3,0，B3,0，C0,3，一束光線從點(diǎn)F-1,0出發(fā)經(jīng)AC反射后，再經(jīng)BC上點(diǎn)D反射，落到點(diǎn)E1,0A．12,52 B．32,10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知x+y=0，則x2+yA．5 B．22 C．10 D．11．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知直線l1的方程為x+2y-3=0，若l2在x軸上的截距為12(1)求直線l1和l(2)已知直線l3經(jīng)過l1與l2的交點(diǎn)，且在y軸上截距是在x軸上的截距的212．（2023秋·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末）已知直線l1:2a-2x-y-2a=0，(1)求l1與l(2)一束光線從P2,3出發(fā)經(jīng)l1反射后平行于x13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三條直線；l1:2x-y+a=0，l2:4x-2y-1=0，l3：x+y-1=0(1)求a的值；(2)若a>0，能否找到一點(diǎn)P，使P同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①點(diǎn)P在第一象限；②點(diǎn)P到l2的距離是點(diǎn)P到l1的距離的2倍；③點(diǎn)P到l1的距離與點(diǎn)P到l3的