第08講：三角恒等變換 原卷版

第08講：三角恒等變換【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：兩角和差的三角函數(shù)公式考點(diǎn)二:二倍角公式考點(diǎn)三：降冪公式的化簡(jiǎn)求值問題考點(diǎn)四：輔助角公式的應(yīng)用考點(diǎn)五：三角恒等式變換中的（給角求值、給值求值、給值求角）問題考點(diǎn)六：利用三角函數(shù)恒等式判斷三角形形狀考點(diǎn)七：三角恒等式變換中化簡(jiǎn)問題考點(diǎn)八：三角恒等變換綜合問題【知識(shí)梳理】考點(diǎn)一兩角和與差的余弦公式名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R兩角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R考點(diǎn)二兩角和與差的正弦公式名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R兩角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R考點(diǎn)三：兩角和與差的正切公式名稱公式簡(jiǎn)記符號(hào)條件兩角和的正切tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)兩角差的正切tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)考點(diǎn)四：二倍角的正弦、余弦、正切公式考點(diǎn)五半角公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).考點(diǎn)六輔助角公式輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(b,a)))【題型歸納】題型一：兩角和差的三角函數(shù)公式1．（2024上·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）求值（

）A． B． C． D．2．（2023上·江西上饒·高一?？计谀┤?，，則（

）A． B．C． D．3．（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考期中）下列等式成立的為（

）A． B．C． D．題型二:二倍角公式4．（2024上·寧夏銀川·高一銀川二中?？计谀┮阎?，則（

）A． B． C． D．5．（2023下·遼寧沈陽·高一校聯(lián)考期中）已知，且，則（

）A． B． C． D．6．（2023下·福建福州·高一校考期末）下列等式不正確的是（

）A． B．C． D．題型三：降冪公式的化簡(jiǎn)求值問題7．（2021下·浙江·高一期末）已知?jiǎng)t（

）A． B． C． D．8．（2020下·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)是A．最大值是的奇函數(shù) B．最大值是的偶函數(shù)C．最大值是的奇函數(shù) D．最大值是的偶函數(shù)9．（2022下·上海普陀·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，若在區(qū)間上的最大值為，則m的最小值是題型四：輔助角公式的應(yīng)用10．（2024上·全國(guó)·高一期末）已知，且，則的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．11．（2023下·廣東佛山·高一?？计谥校┖瘮?shù)的最大值為（

）A． B． C．1 D．212．（2023下·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．題型五：三角恒等式變換中的（給角求值、給值求值、給值求角）問題13．（2021下·上?！じ咭黄谥校┮阎?，，且，，則（

）A． B． C． D．14．（2024上·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學(xué)校考期末）已知，，且滿足，，則（

）A． B． C． D．15．（2023下·安徽亳州·高一亳州二中?？计谀┤?，，且，，則（

）A． B． C． D．題型六：利用三角函數(shù)恒等式判斷三角形形狀16．（2023下·陜西西安·高一?？计谥校┰O(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．銳角三角形17．（2022下·上海奉賢·高一?？计谥校┰谥?，若，則此三角形為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形18．（2021下·北京海淀·高一北大附中?？计谥校┰凇鰽BC中，若，則△ABC為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形題型七：三角恒等式變換中化簡(jiǎn)問題19．（2023下·四川自貢·高一統(tǒng)考期中）已知，則.20．（2022上·安徽宿州·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，則該函數(shù)的最小正周期是；

當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程僅有一實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．（2024上·天津河西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期；(2)求的最大值及取得最大值時(shí)自變量的集合；(3)求在的單調(diào)區(qū)間．題型八：三角恒等變換綜合問題22．（2024上·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象，若存在，使得不等式有解，求的取值范圍.23．（2024上·天津和平·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，(1)求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱軸方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)若函數(shù)在上最大值與最小值的和為，求實(shí)數(shù)的值.24．（2024上·天津?yàn)I海新·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【強(qiáng)化精練】一、單選題25．（2024上·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級(jí)中學(xué)校考期末）（

）A． B． C． D．26．（2024上·北京大興·高一統(tǒng)考期末）已知為第二象限角，且，則等于（

）A． B．1 C． D．727．（2024上·重慶·高一重慶八中?？计谀┮阎?，則（

）A． B． C． D．或28．（2024上·四川雅安·高一?？计谀┮阎?，且，則（

）A． B． C． D．29．（2024上·云南昆明·高一云南師大附中?？计谀┮阎?，，，，則的值為（

）A． B． C． D．30．（2024上·全國(guó)·高一期末）為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度31．（2023下·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．32．（2023下·四川成都·高一統(tǒng)考期中）下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B．C． D．33．（2023下·新疆阿克蘇·高一校考期中）若函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱 D．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱二、多選題34．（2024上·云南昆明·高一昆明一中?？计谀┮阎?，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．35．（2023上·河北邯鄲·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，則（）A．函數(shù)的最大值為B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增36．（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為D．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度37．（2023上·山東菏澤·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．點(diǎn)為函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心B．的取值范圍為C．的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為D．圖象關(guān)于直線對(duì)稱三、填空題38．（2024上·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）已知，則.39．（2024上·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）若，則的值為.40．（2024上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谀┮阎?，且，則.41．（2024上·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知滿足，則．42．（2024上·天津河北·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，將化成的形式為；函數(shù)在區(qū)間上的最小值是．四、解答題43．（2024上·上海·高一上海市吳淞中學(xué)?？计谀┮阎?(1)求的值；(2)求的值.44．（2024上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的最大值為.(1)求的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸；(2)當(dāng)時(shí)，求使成立的取值范圍.45．（2024上·寧夏銀川·高一銀川二中?？计谀┮岩阎瘮?shù)