2022-2023學(xué)年天津市河北區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試卷及答案

2022-2023學(xué)年天津市河北區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試卷

及答案

一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.下列圖案既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

?

【答案】D

【解析】

【分析】利用軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念逐一選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不合題意；

B、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不合題意；

C、既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不合題意；

D、既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念，如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折,

直線兩旁的部分能夠重合,那么這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱(chēng)圖形,這條直線叫做這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸;

如果一個(gè)圖形沿著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后，仍能與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就是中心

對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)中心.

2.下列說(shuō)法正確的是（）

A.“翻開(kāi)九年上冊(cè)數(shù)學(xué)課本，恰好是第88頁(yè)”是不可能事件

B.“太陽(yáng)從西方升起”是必然事件

C.“明天會(huì)下雨”描述的事件是隨機(jī)事件

D.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中十環(huán)是必然事件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)確定事件和隨機(jī)事件的定義來(lái)區(qū)分判斷即可，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱(chēng)確定

性事件；必然事件：在一定條件下，一定會(huì)發(fā)生的事件稱(chēng)為必然事件；不可能事件：在一定

條件下，一定不會(huì)發(fā)生的事件稱(chēng)為不可能事件；隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能

不發(fā)生的事件稱(chēng)為隨機(jī)事件.

【詳解】A.“翻開(kāi)九年上冊(cè)數(shù)學(xué)課本，恰好是第88頁(yè)”是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不正確，不

符合題意；

B.“太陽(yáng)從西方升起”是不可能事件，故該選項(xiàng)不正確，符合題意；

C.“明天會(huì)下雨”描述的事件是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

D.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中十環(huán)是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了確定事件和隨機(jī)事件的定義，熟悉定義是解題的關(guān)鍵.

3.今年以來(lái)，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4

萬(wàn)人，五月份為5.76萬(wàn)人.設(shè)平均每月增長(zhǎng)率為x,則可列方程為()

A.4(1+%)=5.76B.4(1+%)2=5.76

C.4（l+x）+4（l+x）2=5.76D.5.76（l+x）2=4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三月份為4萬(wàn)人，五月份為5.76萬(wàn)人，設(shè)平均每月增長(zhǎng)率為x,即可列出一元

二次方程.

【詳解】解：設(shè)平均每月增長(zhǎng)率X,

根據(jù)題意得：4(1+力2=5.76,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解決本題的關(guān)鍵.

4.己知A(—2,%),3(—1,%)，C(l,%)三點(diǎn)都在二次函數(shù)y=2(x+l)2的圖象上，則%,

為，％的大小關(guān)系為()

A.%<%<為B.%<%<%C.%<%<為D.

%<%<%

【答案】C

【解析】

【分析】由拋物線解析式可得拋物線開(kāi)口方向及對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)A,B,C三點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的

距離大小關(guān)系求解.

【詳解】解：7=2(尤+1)2,

，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線X=-1,

-1-(-1)<-1-(-2)<1-(-1),

%<%<%?

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性.

5.將拋物線丁=必先向右平移4個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得拋物線表達(dá)式為()

A.y=(x-4)~-3B.y=(x-4)~+3

C.y=(x+4)2+3D.y=(x+4)--3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)則“左加右減，上加下減”進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：將拋物線>=必先向右平移4個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，

所得拋物線表達(dá)式為y=(%—4)2—3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握函數(shù)圖象平移規(guī)則是解答的關(guān)鍵.

6.如圖，將繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABC,連接A4’，若

Zl=25°,則/B4c的度數(shù)是().

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】B

【解析】

【分析】由旋轉(zhuǎn)得A'C=AC,NAC4'=90°,求出NC4A'=45°,利用外角性質(zhì)求出

ZAB'C,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NB的度數(shù)，再計(jì)算90。-NB即可得到結(jié)果.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得A'C=AC,NAC4'=90°,

ZCAA,=45°,

?/Z1=25°,

ZA,B'C=Z1+ZCAA=7O°,

由旋轉(zhuǎn)得NB=ZAB'C=70°,

/.ZBAC=^°-ZB=20°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查三角形外角的性質(zhì)，等邊對(duì)等角求角的度數(shù)，直角三角形兩銳角互余的性

質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.如圖所示，。。的外切梯形ABCD中，如果AD〃BC,那么/DOC的度數(shù)為（）

BC

A.70°B.90°C.60°D.45°

【答案】B

【解析】

【分析】由于AD、DC、CB都是。。的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理知：ZAD0=ZCD0,ZDC0=ZBC0；

而AD〃BC,則2N0DC和2/0CD互補(bǔ)，由此可求得/DOC的度數(shù).

【詳解】VDA,CD、CB都與。。相切，

ZAD0=Z0DC,Z0CD=Z0CB；

VAD/7BC,

AZADC+ZBCD=180°；

.?.Z0DC+Z0CD=90°,即ND0C=90°；

故選B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查是切線長(zhǎng)定理及平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確的確定角的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

8.如圖，Z\ABC中，ZC=90°,AC=12,BC=5,。。與AABC的三邊相切于點(diǎn)D、E、F,

A.8B.10C.12D.14

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，勾股定理求得A3的長(zhǎng)，設(shè)A。=%,根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得則

BF=BD=13—x,CF=CE=AC-AE=U-x,根據(jù)即3尸+CF=5列出一元一次

方程即可求得x的值，即A。的長(zhǎng)

【詳解】解：：/C=90°,AC=12,BC=5,

AB=7AC2+BC2=V122+52=13，

?；OO與RtAABC的三邊相切于點(diǎn)D、E、F,

二.AD=AE，BD=BF,CE=CF

設(shè)AD=x,則5尸=3。=13—x,CF=CE=AC-AE=12-x

BC=5

即8F+CF=5

13—x+12—x=5

解得x=10

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，。是四邊形A3CD的外接圓，若/5。。=120，則/C的度數(shù)為（）

A.130B.120C.60D.150

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)同弧上圓心角與圓周角的關(guān)系，求得NA=60°,利用圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)

求解即可.

【詳解】VZB0D=120°,

ZA=60°,

VZA+ZC=180°,

AZC=120°,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角和圓周角關(guān)系定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記兩個(gè)定理是解題

的關(guān)鍵.

10.函數(shù)y=。必+bx+c（a,b,c為常數(shù)，且aW0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)、（m,0）,5.1<m<2,

當(dāng)x<—1時(shí)，y隨x增大而減小，下列結(jié)論：@abc>0-,?a+b<0；③若點(diǎn)A（—3,%）,

3(3,%)在拋物線上，則為<為；④方程依2+法+°一2=。必有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；其

中結(jié)論正確的有()個(gè)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】

【分析】①由拋物線開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸位置以及拋物線與y軸的交點(diǎn)位置即可判斷；②根據(jù)

b1

拋物線的對(duì)稱(chēng)性和對(duì)稱(chēng)軸方程得到0<——<一，變形可得a+/?〉0,即可判斷；③利用

2a2

開(kāi)口方向和點(diǎn)4(-3,%),3(3,%)到對(duì)稱(chēng)軸的距離的大小即可判斷；④拋物線與直線y=2

有兩個(gè)交點(diǎn)，可得到雙2+公+c=2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可判斷；

【詳解】解：???當(dāng)x<-1時(shí)，y隨x增大而減小，可知拋物線開(kāi)口向上，

，。>0,

b

:拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)，即——〉0,

2a

：.b<0,

:拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，

/?c<0,

/.abc>0,

故①的結(jié)論正確；

②：拋物線過(guò)點(diǎn)點(diǎn)(—1,0)、(m,0),且1<機(jī)<2,

「?a+Z?>0,

所以②的結(jié)論錯(cuò)誤；

③?.?點(diǎn)4(—3,%)到對(duì)稱(chēng)軸的距離比點(diǎn)3(3,%)到對(duì)稱(chēng)軸的距離遠(yuǎn)，

:拋物線開(kāi)口向上，

%>為，

所以③的結(jié)論錯(cuò)誤；

④：ax2+bx+c—2=0,

ax~+bx+c=2，

..?拋物線與直線y=2有兩個(gè)交點(diǎn),

，改2+法+c=2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

所以④的結(jié)論正確；

...①④是正確的，正確的選項(xiàng)有2個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，有一定綜合性和

難度，能夠綜合運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(共8小題，滿分24分，每小題3分)

11.若拋物線y=(a—1)*—4x—1的開(kāi)口向上，則常數(shù)a的取值范圍是.

【答案】a>l

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，圖象開(kāi)口向上，則二次項(xiàng)系數(shù)大于0可得答案.

【詳解】解：???拋物線y=(a—1)Y—4x—1的開(kāi)口向上，

a—l>0,即a>l.

故答案為：a>l.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì).用到的知識(shí)點(diǎn)：對(duì)于二次函數(shù)丁=以2+初^+。

(。/0)來(lái)說(shuō)，當(dāng)。>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

12.在-2、-1、0、1、2這五個(gè)數(shù)中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)，取出的數(shù)是1的概率為.

【答案】1##0.2

【解析】

【分析】根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可.

【詳解】解：?一共有五個(gè)數(shù)，取出每一個(gè)數(shù)的概率都一樣，

...取出的數(shù)是1的概率為g,

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，熟知概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

13.已知尤2+3尤-1=0的兩個(gè)根為與、巧，則石+々一七々的值為.

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解.

【詳解】解：???一+3x-l=0的兩個(gè)根為毛、演，

b.c

Xy+%2=——3,————1,

-aa

%+%2一%9=-3—（-1）二-2,

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程依2+法+°=0（。/0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程

bc

兩個(gè)根為為、巧，則%+龍，=-一，王馬=一，解題的關(guān)鍵是熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系.

aa

14.現(xiàn)有一個(gè)半徑為7cm的半圓形紙片，用它恰好圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則

該圓錐底面圓的半徑為cm.

7

【答案】-

2

【解析】

【分析】設(shè)該圓錐底面圓的半徑為rcm,由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧

長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，則利用弧長(zhǎng)公式得到2夕=180X"）＜7,然后解方程即可.

180

【詳解】解：設(shè)該圓錐底面圓的半徑為rcm,

根據(jù)題意得2萬(wàn)7=180*"*7,

180

7

解得r=—,

2

7

即該圓錐底面圓的半徑為一CH1.

2

7

故答案為：一.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底

面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).

15.如圖，一大型油罐的截面。的直徑為10m,油面寬A3=8m,則油深m.

【解析】

分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：如圖：連接。4,過(guò)點(diǎn)。作。。，人3于點(diǎn)口，交。。于點(diǎn)C,

AD=—AB=4cm

2

由題意得，OA=OC=5m,

/.OD=y/OA'-AD2=452-42=3(m),

CD=OD+OC=3+5=8(m),

故答案：8.

【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，此題難度不大，作出輔助線是解決本題的

關(guān)鍵.

16.點(diǎn)4(5,-加)和點(diǎn)5(”,一4)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則"2+〃=.

【答案】-9

【解析】

【分析】平面內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)為：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，由此可求

解.

【詳解】解：丁點(diǎn)A(5,f)和點(diǎn)B(n,-4)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

.??m=4n=-5,

.*.m+n=-4+(-5)=-9,

故答案為：-9.

【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題

的關(guān)鍵.

17.已知二次函數(shù)的圖象以4(-1,4)為頂點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)8(2,-5),則該二次函數(shù)的表達(dá)式為

【答案】y=-x2-2x+3

【解析】

【分析】設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+l『+4,再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，即可求解.

【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+iy+4,

把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，得

。(2+1)一+4=-5,解得。=-1,

故y=++4=-x2-2x+3,

故答案為：y=-x2-2x+3.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，設(shè)出頂點(diǎn)式是解決本題的關(guān)鍵.

18.如圖，將等邊AAOB放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)B在第一象限.將

等邊AAOB繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AA'OB',則點(diǎn)B'的坐標(biāo)是.

【解析】

【分析】作B，H，x軸于H,根據(jù)勾股定理求出HB，可得結(jié)論.

【詳解】解：?.?等邊aAOB繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到塞A'OB',

.?.A'落在x軸正半軸，作B，H_Lx軸于H,

,.,△0AzB'為等邊三角形，0A，=0B'=0A=4,

.?.OH=A'H=2,

H=Jo/—.=2百,

；.B，點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2班)，

故答案為：(2,-2不).

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵是結(jié)

合旋轉(zhuǎn)的角度和構(gòu)建直角三角形求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo).

三、解答題(共6小題，滿分46分)

19.解方程：2X2-4X-3=0

【答案】寸言便’)"普

【解析】

【分析】由公式法解一元二次方程，即可求出方程的解.

【詳解】解：2X2-4X-3=0,

*.*a=2,b=—4,c=-3,

???b1-4ac=(-4)2-4X2X(-3)=16+24=40>0

.-(-4)±7402土布

??x=-------------=----------

2x22

.2+A/IO2-710

力22

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握公式法解一元二次方程.

20.某景區(qū)檢票口有A、B、C、D共4個(gè)檢票通道.甲、乙兩人到該景區(qū)游玩，兩人分別從

4個(gè)檢票通道中隨機(jī)選擇一個(gè)檢票.

(1)甲選擇A檢票通道的概率是；

(2)求甲乙兩人選擇的檢票通道恰好相同的概率.

【答案】(1)(2)

44

【解析】

【分析】(1)直接利用概率公式求解；

(2)通過(guò)列表展示所有9種等可能結(jié)果，再找出通道不同的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求

解.

【詳解】(1)解：一名游客經(jīng)過(guò)此檢票口時(shí)，選擇A通道通過(guò)的概率=上,

4

故答案為3

(2)解：列表如下:

ABcD

A(A,A)(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,B)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)

D(D,A)(D,B)(D,C)(D,D)

共有16種可能結(jié)果，并且它們的出現(xiàn)是等可能的，“甲、乙兩人選擇相同檢票通道”記為

事件E,它的發(fā)生有4種可能：(A,A)、(B,B)、(C,C)、(D,D)

41

AP(E)=.

164

【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n,

再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率.

21.在二。中，弦CD與直徑A3相交于點(diǎn)P,ZABC=16°.

(1)如圖①，若N54O=52。，求/APC和/CD6的大小；

(2)如圖②，若CDLA6,過(guò)點(diǎn)口作《。的切線，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,求々的

大小.

【答案】(1)ZAPC=68°；ZCDB=74°

(2)58°

【解析】

【分析】(1)由同弧所對(duì)圓周角相等求得/C,進(jìn)而求得/APC；連接AC,求得NB4C,

進(jìn)而由同弧所對(duì)的圓周角相等求得NCDB.

(2)連接0D,求得NPCB,進(jìn)而求得其所對(duì)圓心角/50Z),再由三角心外角和內(nèi)角的

關(guān)系求得

【小問(wèn)1詳解】

解：：BD=BD

：.NC=ZBAD=52。

：.ZAPC=ZC+ZABC=68°

如圖，連接AC,TAB為：。直徑

ZACB=90°

ZBAC=1SCP-ZACB-ZABC=74°

,?*BC=BC

：.NCDB=/BAC=74°

解：如圖，連接0D

?/CD±AB

：.ZCPB=90°

：.ZPCB=90°-NPBC=74°

；在。中，NBOD=2/BCD

：.ZBOr>=148°

?：DE是，。的切線

OD1DE即NODE=90°

ZE=ZBOE>-90°=58°.

【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合問(wèn)題，熟練掌握三角形和圓的相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)

鍵.

22.某商品的進(jìn)價(jià)為每件50元.當(dāng)售價(jià)為每件70元時(shí)，每星期可賣(mài)出300件，現(xiàn)需降價(jià)處

理，且經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查：每降價(jià)1元，每星期可多賣(mài)出20件.在確保盈利的前提下，解答下列

問(wèn)題：

(1)若設(shè)每件降價(jià)x元、每星期售出商品的利潤(rùn)為y元，請(qǐng)寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并

求出自變量x的取值范圍；

(2)當(dāng)降價(jià)多少元時(shí)，每星期的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【答案】(1)y=-20X2+100X+6000,0WX<20

(2)當(dāng)降價(jià)2.5元時(shí)，每星期的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6125元

【解析】

【分析】(1)根據(jù)總利潤(rùn)=單件獲得利潤(rùn)義數(shù)量得出解析式；

(2)首先利用配方法把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，再求出最大自.

【小問(wèn)1詳解】

解：根據(jù)題意得y=(70-x-50)(300+20x)=-20x，100x+6000,

V70-x-50>0,且x20,

，0Wx<20；

【小問(wèn)2詳解】

Vy=-20x^l00x+6000=-20(x-2.5)2+6125,

.,.當(dāng)x=2.5時(shí)，y取得最大值，最大值為6125,

答：當(dāng)降價(jià)2.5元時(shí)，每星期的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6125元.

【點(diǎn)睛】本題考查利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)最大問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)解析式，利

用解析式的性質(zhì)求出極值.

23.在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)0(0,0),點(diǎn)4(6,0),點(diǎn)8(0,8).以

點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形A0EF,點(diǎn)0,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D,

E,F,記旋轉(zhuǎn)角為夕(0°<夕<90°).

(1)如圖1,當(dāng)。=30°時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E落在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)D落在線段OC上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】(1)(6-36，3)；(2)(|,y)；(3)(12,8)

【解析】

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)。作。軸于G,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AD=AO=6,a=ZOAD=30°,

DE=OB=8,由直角三角形的性質(zhì)得出OG=3Ar>=3,AG=6DG=35得出

OG=OA-AG=6-3也，即可得出點(diǎn)。的坐標(biāo)為(6-3如，3)；

(2)過(guò)點(diǎn)D作。軸于G,DH_LAE于H，則G4=OH,HA=DG,由勾股定理

*__________,______24

得出AE=4AD。+DE。=依+8?=10，由面積法求出。”=彳，得出

OG^OA-GA^OA-DH=^,由勾股定理得出。G=],即可得出點(diǎn)。的坐標(biāo)為(g,y)；

(3)連接AE,作軸于G,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出NZM￡=NAOC,AD=AO,由

等腰三角形的性質(zhì)得出NAOC=NADO,得出/ZME=NAZ)O,證出AE//OC,由平

行線的性質(zhì)的NG4E=N4OD,證出NZME=NG4E,證明AAEG三AA￡D(A4S),得出

AG=AD=6,EG=ED=8,得出OG=。4+AG=12,即可得出答案.

【詳解】解：(1)過(guò)點(diǎn)。作。軸于G,如圖所示：

點(diǎn)4(6,0),點(diǎn)3(0,8).

/.OA-6,08=8,

以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AO5C,得到矩形ADEF,

：.AD=AO=6,a=ZOAD=30°,DE=OB=8,

在RtAADG中，DG=^AD=3,AG=QDG=3B

OG=OA-AG=6-3A/3，

二點(diǎn)。的坐標(biāo)為(6-34,3)；

(2)過(guò)點(diǎn)。作。G，x軸于G,于H,如圖所示:

則G4=DH,HA=DG，

DE=OB=8,ZADE=ZAOB=90°,

AE=y/AD2+DE2=46?+8。=10，

-AExDH=-ADxDE,

22

c”ADxDE6x824

二.DH=------------=------=—,

AE105

:.OG=OA-GA=OA-DH=6-^-=^,DG=^AD1-AG2=^62-(y)2=y,

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(g,；

(3)連接AE,作石GJL1軸于G,如圖所示：

.\ZAOC=ZADO,

:.ZDAE=ZADO,

:.AE//OC,

:.ZGAE=ZAOD,

:.ZDAE=ZGAE,

在AAEG和A4ED中，

ZAGE=ZADE=90°

<ZGAE=NDAE,

AE=AE

:.AAEG=AAED(AAS),

:.AG=AD=6,EG=ED=8,

:.OG=OA+AG=12,

.??點(diǎn)E的坐標(biāo)為(12,8).

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、勾股定理、全等三角

形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理

解題意，正確作出輔助線，屬于中考?jí)狠S題.

24.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A,B在x軸上，拋物線y=-爐+6x+c

(1)求拋物線的解析式：

(2)P為y軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱(chēng)軸的垂線，垂足為Q,連接EQ,AP.試求

EQ+PQ+A尸的最小值；

(3)N為平面內(nèi)一點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)M,N,E,A為頂點(diǎn)的四

邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)、=一/+2工+3

(2)用+1

⑶存在，(1,-3),(1,722),(1,-722),(1,一5+后)，(1,-5-717)

【解析】

【分析】（1）求出A點(diǎn)坐標(biāo)，把A、C坐標(biāo)代入解析式計(jì)算即可；

（2）連接0C,交對(duì)稱(chēng)x=l于點(diǎn)Q,證明四邊形AOQP是平行四邊形，即可說(shuō)明若使的

EQ+PQ+AP值為最小，其EQ