卷03（解析版）-2023年高考數(shù)學預測卷(北京卷)

2023年高考金榜預測卷（三）

數(shù)學（北京卷）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

I.本試卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自

己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第1I卷時，將答案寫在答題卡上?寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1,若集合A={x∣χ2+x-2<θ},8={x∣x<-l或x>3},貝∣]AF=（）

A,1X∣-2<Λ<-1∣B.{x∣-2<x<3∣

C.（x∣-l<x<l}D.1x∣l<x<3}

【答案】A

【詳解】因為A=HY+χ-2<θ}={x卜2<x<l},故4c8={x∣-2<x<τ}.

故選：A.

2.在復平面內(nèi)，復數(shù)Z對應的點的坐標為（1,-1）,貝∣Ji?z=（）

A.l+iB.-l-iC.?-iD.-l+i

【答案】A

【詳解】因為復數(shù)Z對應的點的坐標為（1,-1）,則Z=IT

所以i?z=ix（l-i）=i+l

故選:A

3.北京中軸線是世界城市建設歷史上最杰出的城市設計范例之一.其中鐘鼓樓、萬寧橋、景

山、故宮、端門、天安門、外金水橋、天安門廣場及建筑群、正陽門、中軸線南段道路遺

存、永定門，依次是自北向南位列軸線中央相鄰的11個重要建筑及遺存.某同學欲從這11

個重要建筑及遺存中隨機選取相鄰的3個游覽，則選取的3個中一定有故宮的概率為（）

【答案】D

【詳解】設11個垂要建筑依次為4,6,。,a6九8,/?工力3其中故宮為"，

從這11個重要建筑及遺存中隨機選取相鄰的3個有：(α,b,c),g,c∕),(c,d,e),(d,ej),

(e,f,g),(f,g,h),(g,h,i),(h,i,j),(i,")共9種情況，

其中選取的3個中一定有故宮的有：S,Gd),(c,4e),(4ej),共3種，

所以其概率為:K31

故選：D.

4.在,ASC中，“對于任意fκ1,忸TBCl是“ASC為直角三角形”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】設Bo=/8C，則BA-∕BC=BA-80=D4,

所以WAT8c∣>kq即為ID4∣>,q,

所以K4是邊BC上的高，即C4_LcB,即C=5,

故，ΛBC為直角三角形.

若AABC為直角三角形，不一定有C=∣,故不一定有∣A4τ3C∣>kq.

所以“對于任意fWl，IBATBCl>,q”是“aWC為直角三角形”的充分而不必要條件.

故選:A.

5.函數(shù)/(x)=e'-e7的大致圖象是()

【詳解】函數(shù)/(x)=e'-e'定義域為R,f(-x)=e'?-e?=-(ex-e^t)=-/(%),函數(shù)Fa)是

R上的奇函數(shù)，

函數(shù)/U)的圖象關于)，軸對稱，選項A,D不滿足；

因為函數(shù)y=e，在R上單調(diào)遞增，y=e-、在R上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，

選項C不滿足，B滿足.

故選：B

6.已知半徑為1的圓經(jīng)過點(2,3),則其圓心到直線3x-4y-4=0距離的最大值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】由于半徑為1的圓(設為圓A)經(jīng)過點(2,3),

所以圓A的圓心的軌跡是以(2,3)為圓心，半徑為1的圓，

(2,3)到直線3犬-4k4=0距離為但二1/1=2,

所以圓A的圓心到直線3x-4y-4=0距離的最大值為2+1=3.

故選：C

7.已知函數(shù)/(x)=31og2X-2(x-1),則不等式f(x)>0的解集是()

A.(1,4)B.y,DJ(4,y)

C.(0,l)θ(4,+0>)D.(0,4)

【答案】A

2

【詳解】依題意/(x)=31og2x-2(x-l)>0,log2x>∣(Λ-1),

y=log,X

*=ι或X2=4

由2(,、解得

y=](χτ)7i=0=2

2

畫出>=1082X〉=3（》-1）的圖象如下圖所示,

山圖可知，不等式/（x）>0的解集是（1,4）.

故選：A

22

8已知雙曲線,A∣過拋物線八"的焦點’虛軸端點是圓與坐標軸的交

點，則此雙曲線的漸近線方程為（）

A.γ=±4xB.y=±-x

4

C.y=12xD.y=±-x

【答案】D

22

【詳解】拋物線V=8x的焦點坐標為（2,0）,由于雙曲線［-4=1過點（2,0）,則α=2,

a~h~

圓f+y2=］與y軸的交點坐標為（0,±1）,由題意可知b=l,

所以，該雙曲線的漸近線方程為y=±2χ=±!χ.

a2

故選：D.

9.已知正三棱錐P-ABC,若尸4=”,24_1平面28。，則三棱錐P-ABC的外接球的表面

積為（）

A.4λ∕3iz3B.3ττa2C.-?兀/D.12α2

2

【答案】B

【詳解】解：如圖一所示：

因為A4J_平面PBC,

PB,PCu平面PBC,

所以E4_LP8,PALPC,

又因為幾何體為正三棱錐，

所以AB=AC=BC.

PA=PB=PC,

又因為PA=α.

所以上4=P8=PC=",

所以AB=AC=BC=缶、

所以PB?+PC2=2a2=BC2,

所以Pej_PB,

BPPAP8,PC兩兩垂直，

將三棱錐補成以PA,尸3,PC為鄰邊的正方體，如圖二所示:

則二棱錐的外接球即為補形后的正方體的外接球,

所以QR）?=/+/+/,

2

即4R2=3ɑ,

所以SM=4πR?=3πa2.

故選：B.

10.2022年10月31Il,長征五號B遙四運載火箭帶著中華民族千百年來探索浩瀚宇宙的

夢想，將中國空間站夢天實驗艙準確送入預定軌道在不考慮空氣阻力的條件下，若火箭的

最大速度V（單位：km∕s）和燃料的質(zhì)量/（單位：t）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量〃？（單

位：t）的關系滿足U=2000ln（l+竺］,M,m,V之間的關系如圖所示，則下列結論正確的

B.當M=2,"z<600時，V<7.9

C.當M>5,m=800時,v>11.2D.當M>3,m>600時，v>11.2

【答案】C

【詳解】由題及圖象關系可知，在v=2OOOln(l+?)中，當加-定時，M越大，則V越大,

當M-定時，機越小，則V越大,

V=2000ln(I+?∣=2000Inf—)≈7.49

對于A,當M=3,m=800時,故A錯誤.

(800J1800J

v>20001n^l+^=2000ln^j≈6.66,故B錯誤.

對于B,當"=2,加<600時,

V>2000Inɑ+?j=2000In≈12.46>11.2,故C正確.

對于C,當M>5,加=800時,

對于D,因為M>3,n1>600,令M=4.m=1000,

V=2000InI1+—^—∣=20001n∣∣≈7.98<11.2,故D錯誤

I1000JUoooJ

故選：C.

第∏卷

二、填空題：本題共5個小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)八幻=Ig(X+1)+—1的定義域為______________

x-1

【答案】(—1,1)(l,y)

【詳解】因為函數(shù)/(X)=Ig(X+1)+—、

x+l>0

則1≠O'解得x>τ且XNI

所以函數(shù)的定義域為(τ,l)(1,力8)

故答案為：(—1,1)(1,伊)

12.己知集合4={(乂'),一,-相=0”,丫€口},B=∣(x,y)∣x2+γ2-2x+2y=0,x,y∈R∣,

若ACB為2個元素組成的集合，則實數(shù)m的取值范圍是.

【答案】(0,4)

【詳解】集合A表示直線x-y-%=0上的點，

集合B表示圓(X-I)?+(y+l)2=2上的點，圓心為M(I,-1),半徑R=

ACB為2個元素組成的集合，故直線和圓相交，即d=寫如<0,

√2

解得0<π?v4?

故答案為：(0,4)

13.若函數(shù)y=g(x)與小)=2sin(2x+g)的圖像關于點Go)對稱，則函數(shù)y=g(x)在

0,［］上的最大值為__________.

_4_

【答案】-L

【詳解】方法1：Vy=g(x)與y=?(?)關于點噌,°)，

【0中關于點哈,0)的對稱區(qū)間為［*尋,

.?.y=g(χ)在［0,￡］上的最大值與y=/(X)在［-幺芻上的最小值互為相反數(shù).

4126

?'冊6

???2若嗚,爭

TT71

.?.當2x+f=J時，f(χ)取得最小值為1.

36

?,?g(X)max=T?

方法2：設y=g(χ)上任意一點4χ,y),

則點A關于點哈,0)對稱的點4吟-尤,->)在y=g(χ)上，

TTTT2乃2乃

.*.-y=2sin(2(--x)÷—)γ=2sin(2x---),即：g(x)=2sin(2x---),

6333

冗

Vx∈［0,-］,

4

Λ2x-?e[-?,-?l.

336

.?.當2x-4=-g時，g(x)取得最大值為-1.

36

故答案為：-L

14.已知等差數(shù)列｛4｝的公差d≠0,4=4,且4,生，內(nèi)成等比數(shù)列，則為=;其

前n項和5π的最大值為.

【答案】5-n10

【詳解】由4，4，%成等比數(shù)列,得(4+2。=?,(囚+3d)`解得4=-(,??.d=T.

則an=q+-l)d=4-(〃-I)=5-〃；

Cn(n-?)n(n-l)×(-l)∏29

S,,=na.+---------a=4n-?-------------------=-------?--n

n'2222

對稱軸方程為“=4.5.

42O

,“eN,.?.w=4或5時，S,取最大值，最大值為S4=S5=--+-×4=10.

22

故答案為：5-n,10

15.如果函數(shù)〃x)滿足對任意s,，€(。,《?),有/(S+。</。)+/(。，則稱/。)為優(yōu)函數(shù).給

出下列四個結論：

①g(x)=ln(l+x)(x>0)為優(yōu)函數(shù)；

②若為優(yōu)函數(shù)，則/(2023)<2023/(1)；

③若f(x)為優(yōu)函數(shù)，則/(x)在(0，-)上單調(diào)遞增；

④若F(X)=在(0,+8)上單調(diào)遞減，則/(x)為優(yōu)函數(shù).

X

其中，所有正確結論的序號是.

【答案】①②④

【詳解】因為s,f∈(0,物)，

所以g(s)+g1)_g(S+f)=ln(l+Λ,)+ln(l÷f)-ln(l+5+z)=In

1+s+f+sf(.st

=1In--------------=I1nId----------->In11=10a,

l÷5÷rIl+5+f)

故g(s)+g")>g(s+f),故g(X)=ln(l+尤)(x>0)是優(yōu)函數(shù),①正確;

因為/(X)為優(yōu)函數(shù)，故/(1)+∕(1)>∕(1+1),即2/⑴>/⑵，

/(2)+∕(l)>∕(2÷l)=∕(3),故3/⑴>〃3),

同理可得4∕(1)>∕(4),……，2023/(1)>/(2023),②正確；

例如/(x)=r2,x>0,滿足f(s+r)-f(s)-f(t)=-(5+r)2+52+r2=-2st<0,

即/(s+f)<"s)+∕Q),為優(yōu)函數(shù),但“χ)=-χ2在Xw(O,大?)上單調(diào)遞減,

故③錯誤；

若F(X)=區(qū)。在(0,+8)上單調(diào)遞減，

X

任取Sje(O,M),s+t>s,s+t>t,

則F(s+t)<F(5),F(5+∕)<F(r),即T受<3,/(丁)<,

變形為V(S+r)<(s+f)∕(s),∕(s+∕)<(s+z)∕(f),

兩式相加得：(5+r)/(5+r)<(5+r)[/(5)+/(r)],

因為s+∕>0,所以/(s+t)<f(s)+∕(),

則F(X)為優(yōu)函數(shù)，④正確.

故答案為：①②④

三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.如圖，在四棱錐P-AB8中，AD//BC,ABI.AD,PA=PD,ABA,PA,AD=2,

AB=BC=I.E是棱PD上一點，CE〃平面PA8.

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求四棱錐P-的體積.

條件①：點。到平面PA5的距離為0;

條件②：直線。C與平面PAB所成的角為g?

O

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】⑴證明見解析

(2)條件選擇見解析，?

【詳解】(1)過點E作E尸〃4。交P4于點尸，連接斷，如圖所示:

因為8C〃AO,所以BC//EF.

所以B,C,E,尸四點共面.

又因為CE〃平面∕?β,平面BCEF'平面PAB=

所以CE〃BF

所以四邊形BCEF是平行四邊形

所以BC〃ERBC=EF,

由AD=2,AB=BC=1<

所以BC∕∕LADBC=-AD,所以E尸//LADEF=-AD

2222

所以EF為工PAD的中位線，

所以E為尸D的中點.

(2)過戶作POl.AD于。，連接0C.

因為43_LA￡>,又因為AB1PA，

且Ar)CP4=A,

所以ABj,平面P").

又ASu平面ABe￡),

所以平面PAO_L平面ABCD.

因為/%=?￡>,所以。為Ao中點，

又因為平面∕?T>J"平面ABCD,

所以Pol平面ABa>.

又OCU平面ABC。，

所以PoIoC

如圖建立空間直角坐標系。-XyZ.

設PC=α.由題意得,A(O,1,O),B(l,l,0),C(l,0,0),D(O,-1,O),P(0,0,a).

所以京=(1,0,0)，R4=(O,l,-α)?AD=(0,2,0)-

設平面PCo的法向量為"=(x,y,z),則

nVABfn?AB=O[x=Q

?=<=>〈,

nlPA[n-PA=O[y-az=O

令z=l,則V=<3.所以"=(O,α,l).

選擇條件①

因為。到平面PAB的距離為近，

所以d=!?l≤l=學=

l?l√2

解得a=l.

所以四棱錐P-ABCD的體積V‰Q=；XSSXPo=gX手XlXI=；.

選擇條件②

因為直線。C與平面R4B所成的角為?，

6

所以Icos<n,DQI=∣”∣^-=Sin3

√T+i?√262

?n??DC?

解得a=l.

所以四棱錐P—ABCD的體積VP.ABCD=^×SABCDXPO=gx.xlxl=：.

17.在一ABC中，csinB=>∕3?cosC.

⑴求4；

⑵若α+A=6,求C的最小值.

Tr

【答案】(I)C=(2)3.

【詳解】(1)解：因為CSinB=G。CoSC,

所以SinCSinβ=?/?sinBcosC,

又因為SinBWO,

所以SinC二百cosC,

即有tanC=√L

又因為C∈(O,π),

π

所以C=1;

TT

(2)解：因為C=],α+b=6,

所以￠2=a2÷/?2-2abcosC=(?+/?)2-2ab-ab=36-3ab≥36-3×(a+^)2=9,

2

"1a=b=3時，等號成立，

所以c≥3,

故C的最小值為：3.

18.在測試中，客觀題難度的計算公式為月=爺，其中匕為第i題的難度，鳥為答對該題

的人數(shù)，N為參加測試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對某校高三年級240名學生進行一次測試，共5道客

觀題.測試前根據(jù)對學生的了解，預估了每道題的難度，如下表所示：

題號12345

考前預估難度々0.90.80.70.60.4

測試后，隨機抽取了20名學生的答題數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，結果如下:

題號12345

實測答對人數(shù)161614144

(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計這240名學生中第5題的實測答對人數(shù)；

(2)從抽樣的20名學生中隨機抽取2名學生，記這2名學生中第5題答對的人數(shù)為X,求X

的分布列和數(shù)學期望；

2

(3淀義統(tǒng)計量5」W-片尸+/Y)?++(P,,,-Pn)],其中邛為第i題的實測難度，Pi為第

n1

i題的預估難度(i=L2,,〃).規(guī)定：若S<0.05,則稱該次測試的難度預估合理，否則為不

合理.判斷本次測試的難度預估是否合理.

【答案】⑴48人

9

⑵分布列見解析，E(X)=-

(3)是合理的，理由見解析

4

【詳解】(1)因為20人中答對第5題的人數(shù)為4人，因此第5題的實測難度為五=0.2,

所以估計240人中有240x0.2=48人實測答對第5題.

(2)X的可能取值是0,1,2.

P(X=O)=黑嚙P(X=I)=警=||；P(X=2)=導限

120*-z2()V'-,2()“°

X的分布列為:

XOI2

12323

P

199595

EX=Ox-+1×-+2×^--

1995955

⑶第1題的實測難度為*0.8,同理可得：第2題的實測難度為*0.8,

1414

第3題的實測難改為三=0.7,第4題的實測難廢為方=0.7,第5題的實測難度為0.2,

故S=g[(0.8-0.9)2+(0.8-OS-+(0.7_o.7)2+(0.7-0.6)2+(0.2-0.4)2]=0.012.

因為S=0.012<0.05,

所以，該次測試的難度預估是合理的.

19.已知橢圓C:W+]=l(α>%>O)的離心率為且，以桶圓C的任意三個頂點為頂點的三

角形的面積是2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設。為原點，A為橢圓的左頂點，M，N是橢圓。上不同于點A的兩點，且直線4/4V的

斜率之積等于-二.求-AOAl與—AWN的面積比值.

4

2

【答案】(1)t+y2=i(2)；

42

【詳解】(1)由題意得：￡=立，→2α??=2,

a22

故C?==/,

4

因為/="+。2,所以;Q=力,

1?[a=2

故彳/=2,解得：,

2/2=1

橢圓C的方程%+

(2)若直線MN斜率存在，設直線MN方程為V=去+〃.

y=kx-?-n

222

x9，消去y,^(1+4A)X÷8?V+4√-4=0.

?=1

Δ=I64?2n2-4(l+4?2)(4n2-4)=4?2+l-n2,

設M(Xl,乂),N(X2，力)，

SknC4/-4令

則%+W=-γ7/①，

由怎M/AN=U??瓷=-"以及％=3+"，%=/+般整理，得

2

(1+4M)XIX2+(4成-2)(χ+X2)+(4+4H)=0.

將①，②代入上式，整理，得/+2E=0,解得〃=0或〃=-2人

當九二0時,滿足4=4/+1-〃2>o,直線y=?x過(0,0)；

當n=-2k時,i?λlΔ=4?2+I-/?2>0,直線y="-2k=R—2)過(2,0),

此時M,N必有一點為(2,0),不妨令M坐標為(2,0),此時心M=0，

不滿足直線川”，3的斜率之積等于-L.舍去；

若直線MN斜率不存在，則直線AM,4N斜率互為相反數(shù).

不妨設怎M=-；，Bw=；，于是直線AM:y=-；(x-2)與橢圓交于M(0,1),

由對稱性可知直線AN與橢圓交于N(0,-l).

所以直線MN也過(0,0).,所以O為MN中點，即MN=2QM,

所以AOM與.AMN的面積比值為T.

20.已知函數(shù)/(x)=αlnx+Λe'-e,其中awR.

⑴當α=0時,求曲線y=∕(x)在點(Ij(I))處的切線方程；

⑵當a>0時,判斷/(x)的零點個數(shù),并加以證明；

⑶當α<0時,證明:存在實數(shù)凡使"x)2機恒成立.

【答案】⑴2er-y-2e=0

(2)1個

(3)證明見解析

【詳解】(1)解:由題知α=0?

.?.∕(x)=xe*-e,

??J'(x)=(x+l)e”,

.?√(l)=0,Γ(l)=2e.

故”χ)在點(IJ(I))處的切線方程為y=2e(x-1).

即2ex—y—2e=O；

(2)由題〃X)=HnX+xe*-e,(x>()),

.?.∕,(x)=→(x+l)e',

X>O,a>O,

.?.r(x)>o,

故/(x)在(O,+8)上單調(diào)遞增，

/(ι)=o,

故/(χ)有I個零點；

(3)由題/(x)=αlnx+Λe*-e,(x>O),

.?.Γ(X)=→(Λ+l)e?=a+M：+l)e'j(λ>0)

令Mx)=α+x(x+l)e',

.?."(x)=(W?3x+l)ev,

.x>0,

.?.Λ,(x)>O,

即〃(刈在(0,+8)上單調(diào)遞增，

MO)=Q<o.

且MlaD=α+∣α∣(∣α∣÷l)e*rtl

TaI(Ia+。MTa

Tal((Ial+1)MT)>。,

故切>0,使得∕7(ΛO)=0,

即〃(%)=a+j?(為+l)e*>=0,

MX)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

ΛX∈(O,?),∕Z(ΛO)<O,

即/'(χ)<oj(χ)單調(diào)遞減，

X∈(ΛO,+∞),A(XO)>O,

即第x)>0,∕(x)單調(diào)遞增,

故FOO而n="%)，

若/(x)≥m恒成立，

只需f(x)min-m,

即f(%)2∕n即可,

故存在實數(shù)，〃,使